# 序

类型：古籍章节
书名：《九章算术》
作者：佚名
时代：东汉
类别：数学典籍 · 白话译文
卷目：正文
章节：序

## 本章概览

《九章算术》序言中，刘徽追溯了算术的起源：伏羲画八卦创九九乘法，黄帝建立历法，隶首造算术，至周公制定九数而流传为《九章》。秦朝焚书后，经术散失，汉北平侯张苍与司农中丞耿寿昌皆以算术闻名，依据残篇各自删补，使篇章与古本有异，行文多用时语。刘徽自幼研习《九章》，长而深究，并为之作注，以辞析理、以图解形，力求简约周全。他指出算术为六艺之一，古代用以选拔贤能，然而当时喜好者少，博学之士未必尽通。继而引用《周官》夏至测影之法，认为南戴日下距地一万五千里之说可用算推，但张苍等人的算法未臻完备。刘徽特举“重差”之名，推究其旨在于测量极高极深及未知距离：如测量日高日远，需用双表测影，以影差为除，表高乘表间距为被除，得日高；又以影长为被除，得南戴日下距离；再以勾股求日距。甚至用竹筒测日径。他认为即圆穹可测，何况泰山江海。于是撰《重差》一篇并注解，附于勾股篇之后，述重表、累矩、三望、四望诸法，俾触类旁通，穷尽幽隐。

刘徽阐述《九章算术》的源流，说明自己作注的缘由，并介绍重差法的原理和应用。

刘徽从伏羲画卦、黄帝引申、隶首创算、周公制礼讲起，历数秦焚书、汉张苍耿寿昌删补，然后自述学习作注，最后详述重差法测日高远。

## 正文

从前伏羲氏开始画出八卦，用来通达神明的德性，用来分类万物的情状，创制了九九乘法，来配合六爻的变化。到了黄帝，他神奇地变化它，引申扩展它，于是建立了历法纪年，协调了乐律，用来考查道的本源，然后阴阳、四象等精微之气就可以得到效验了。记载说隶首创造了算术，但详细情况没有听说过。按周公制定礼仪而有了九种数学方法，九种数学方法的流传，就是《九章算术》了。过去暴虐的秦国焚烧书籍，经书学术散失毁坏。从那以后，汉朝的北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌都因为擅长算术而闻名于世。张苍等人根据旧有的文章残篇，各自进行了删减补充。所以核对它们的篇目，与古代可能有所不同，而所论述的多数是当时的语言。我从小学习《九章》，长大后又仔细阅览。观察阴阳的分裂，总括算术的根源，探索深奥之余，于是领悟了其中的意旨。因此敢于竭尽愚钝之才，采用我所见到的，为它作注释。事物类别互相推求，各有归属，所以枝条虽然分开但同根干相连，只是从一个端绪出发而已。又用言辞分析道理，用图解剖析形体，希望能够既简约又周全，通达而不繁琐，使阅读的人能领会大半。况且算术属于六艺之一，古代用来选拔贤能，教育贵族子弟；虽然名为九种算法，但它能穷尽纤细、进入精微，探测没有极限；至于用方法相传，也就像规矩度量那样可以共同掌握，并不是特别难的事情。如今喜欢它的人很少，所以世上虽然有很多博学通达的人才，但未必能总揽这些学问。《周官·大司徒》职文说，夏至那天立八尺高的表杆。它的影长一尺五寸，这个地方叫做地中。解说认为，南戴日下有一万五千里。这样说，是用算法推出来的。按：《九章算术》中设立四根标杆望远以及借树望山的方法，都是端点与旁侧互相显现，没有像这样遥远的。如此看来，张苍等人的算法还不足以广泛涵盖所有的数理。我探究九种算法中有“重差”这个名称，推究它的旨趣正是用来应用于这种情况的。凡是观测极高处、测量极深处并且同时知道其距离的，必须用重差和勾股，就一定要以重差作为比率，所以叫做重差。在洛阳城中竖起两根标杆，使它们高八尺，南北方向都位于平地。在同一天测量它们正午时的影子。以影长之差作为除数，标杆高度乘以两杆之间的距离作为被除数，用除数去除被除数。所得结果加上标杆高度，就是太阳离地面的距离。用南表影长乘以两杆之间的距离作为被除数，用除数去除，就是从南杆到南戴日下的距离。以从南戴日下到太阳正下方的距离和太阳离地面的距离作为勾和股，求出弦，就是太阳到人的距离。用直径一寸的竹筒向南看太阳，太阳刚好充满筒孔，就确定竹筒的长度作为股率，以竹筒直径作为勾率，太阳到人的距离作为大股，大股对应的勾就是太阳的直径。即使是圆穹的天象尚且说可以测量，又何况泰山的高度和江海的广阔呢。我认为现在的史籍暂且简略地列举天地之物，考论它们的数字，记载在志书中，以阐发世间算法的美好，于是撰写了《重差》，并为之作注解，以探究古人的意旨，附在勾股篇之后。测量高度者用重表法，测量深度者用累矩法，孤立远处者用三望法，孤立远处还需旁侧求取者用四望法。触类旁通地推广，那么即使是幽深遥远、怪异隐蔽之处，没有不能进入的。博学多识的君子，请详细阅读。

## 关键人物

- **伏羲氏**：上古圣人；画八卦、创九九
- **黄帝**：上古帝王；引申扩展算术，建立历法
- **隶首**：传说人物；创造算术
- **周公**：周朝制礼者；制定九数
- **张苍**：汉北平侯；删补《九章》
- **耿寿昌**：大司农中丞；删补《九章》
- **刘徽**：本文作者、注家；为《九章》作注，撰《重差》

## 时间线

- **本章前段**：伏羲氏开始画出八卦，创制了九九乘法
- **本章前段**：黄帝神奇地变化并引申扩展算术，建立了历法纪年
- **本章前段**：隶首创造算术，但详细情况没有听说过
- **本章前段**：周公制定礼仪而有了九种数学方法；九种数学方法的流传就是《九章算术》
- **本章中段**：秦国焚烧书籍，经书学术散失毁坏
- **本章中段**：张苍、耿寿昌根据旧有文章残篇删减补充；核对篇目与古可能不同，所论多为当时语言
- **本章后段**：刘徽从小学习《九章》，长大探索深奥，领悟意旨，为作注释；写出注释
- **本章后段**：刘徽探究重差之名，撰《重差》并作注解，附在勾股篇之后

## 地点

- **洛阳**：测日影时竖起两根标杆的地方
- **南戴日下**：太阳正下方的地点
- **地中**：夏至日影长一尺五寸的地方

## 为什么值得读

刘徽指出算术是六艺之一但世人少习，故为之作注，并发明重差法拓展测量，彰显算术的深远价值。

## 标签

- 伏羲氏
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