# 卷二

类型：古籍章节
书名：《九章算术》
作者：佚名
时代：东汉
类别：数学典籍 · 白话译文
卷目：正文
章节：卷二

## 本章概览

《九章算术》卷二“粟米”专论粮食等物品的比例换算，核心是“今有”算法。该算法以所求率乘所有数，再除以所有率，可处理各种比例问题。本章详细列出粟、大抃、稻、粝米、粝饭、豉、粺米、粺饭、飧、米、饭、熟菽、御米、御饭、糵、小、菽、荅、麻、麦等二十余种物品的换算比例，每题均给出具体计算过程，如“粟一斗得粝米六升”等。特别值得注意的是，唐代学者李淳风等在注释中校正了一个关键错误：原文称“所求率常作为分母”，李淳风指出实应为分子，并据此修正算法表述。此外，本章还介绍了“经率术”和“反其率”两种计价方法，前者按单位数量直接求单价，后者用于贵贱两种价格混合计算，如出钱买物时通过反向分配得到不同价格物品的数量。这些内容不仅展示了中国古代数学解决实际问题的智慧，也体现了注释者对经典的严谨考订，为后世研读提供了重要参考。

本章介绍粟米等粮食的换算比例及“今有”算法。

掌握粟米等物品的换算比例和“今有”算法，可用于各种比例折算。

## 正文

粟米（用于处理交换和折算）

粟米的比例：这些比例相互关联，使用时根据各自的比例计算。可以约简的就约简。另有其他方法。

粟的比例是50，大抃54，稻60，粝米30，粝饭75，豉63，粺米27，粺饭54，飧90，米24，饭48，熟菽103.5，御米21，御饭42，糵175，小<麦啇>13.5，菽、荅、麻、麦各45。

“今有”算法：这是通用的方法。所有九种计算都用它作为篇名，可以广泛应用于各种比例。所谓举一反三，能处理复杂数据，疏通阻塞，根据事物确定比例，明确区分名称，平衡偏差，统一差异，最终都归结于此法。

算法：用所有数乘以所求率作为被除数，用所有率作为除数。

（少是多的开始，一是数的根本，所以确定比例必须统一为一。根据粟率5、粝率3，即粟5为一，粝米3为一。要将粟转化为米，粟应先作为一。一是指用5约简，使5为一。之后用3乘，使一变为三。这样比例归一，粟5变为粝米3。但先除后乘可能有余数，所以算法反过来。用整数说，粟5升得粝米3升；用分数说，粟1斗得粝米3/5斗，以5为分母，3为分子。用粟求粝米，用分子乘，分母去除。因此所求率常作为分母。

淳风等人按：“应该说所求率常作为分子，所有率常作为分母。”这里说“所求率常作为分母”是错的。

用除数除以被除数得出结果。

现有粟一斗，想换成粝米，问得多少？答：得粝米六升。

算法：用粟求粝米，乘以三，除以五。

（淳风等人按：通用算法：用所求率乘所有数，用所有率做除数。此算法用粟求米，所以粟是所有数，三是米率，所以三是所求率，五是粟率，所以五是所有率。粟率50，米率30，约简后只用三、五。）

现有粟二斗一升，想换成粺米，问得多少？答：得粺米一斗一升又五十分之十七升。

算法：用粟求粺米，乘以二十七，除以五十。

（淳风等人按：粺米率27，所以直接用27乘，50除。）

现有粟四斗五升，想换成米，问得多少？答：得米二斗一升又五分之三升。

算法：用粟求米，乘以十二，除以二十五。

（淳风等人按：米率24，比例太繁，所以各取一半。所求率减半，所有率也减半。因此用12乘，25除。）

现有粟七斗九升，想换成御米，问得多少？答：得御米三斗三升又五十分之九升。

算法：用粟求御米，乘以二十一，除以五十。

现有粟一斗，想换成小<麦啇>，问得多少？答：得小<麦啇>二升又十分之七升。

算法：用粟求小<麦啇>，乘以二十七，除以一百。

（淳风等人按：小<麦啇>率13.5。0.5以2为分母，用2通分得27，作为所求率。再用分母2通分粟率，得100，作为所有率。凡本率有分数时，需先乘除。其他类推。）

现有粟九斗八升，想换成大<麦啇>，问得多少？答：得大<麦啇>十斗五升又二十五分之二十一升。

算法：用粟求大<麦啇>，乘以二十七，除以二十五。

（淳风等人按：大<麦啇>率54。因其可半，所以用27，如同粟求米时取半两个率。）

现有粟二斗三升，想换成粝饭，问得多少？答：得粝饭三斗四升半。

算法：用粟求粝饭，乘以三，除以二。

（淳风等人按：粝饭率75，用粟求粝饭应乘以75。现用等数25约简两个率，所求率得3，所有率得2，所以用3乘2除。）

现有粟三斗六升，想换成粺饭，问得多少？答：得粺饭三斗八升又二十五分之二十二升。

算法：用粟求粺饭，乘以二十七，除以二十五。

（淳风等人按：此算法与大<麦啇>大多相同。）

现有粟八斗六升，想换成饭，问得多少？答：得饭八斗二升又二十五分之十四升。

算法：用粟求饭，乘以二十四，除以二十五。

（淳风等人按：<麦啇>饭率48。这里也是取半两个率后乘除。）

现有粟九斗八升，想换成御饭，问得多少？答：得御饭八斗二升又二十五分之八升。

算法：用粟求御饭，乘以二十一，除以二十五。

（淳风等人按：此算法取半率，也与饭大多相同。）

现有粟三斗少半升（即3斗又1/3升），想换成菽，问得多少？答：得菽二斗七升又十分之三升。

现有粟四斗一升大半升（即4斗又1升又2/3升），想换成荅，问得多少？答：得荅三斗七升半。

现有粟五斗大半升（即5斗又2/3升），想换成麻，问得多少？答：得麻四斗五升又五分之三升。

现有粟十斗八升又五分之二升，想换成麦，问得多少？答：得麦九斗七升又二十五分之十四升。

算法：用粟求菽、荅、麻、麦，都乘以九，除以十。

（淳风等人按：这四种率都是45，都是粟所求，应以此率乘本粟。算法从简，先用等数5约简，所求率得9，所有率得10，所以9乘10除，道理在此。）

现有粟七斗五升又七分之四升，想换成稻，问得多少？答：得稻九斗又三十五分二十四升。

算法：用粟求稻，乘以六，除以五。

（淳风等人按：稻率60，也是约简两个率后乘除。）

现有粟七斗八升，想换成豉，问得多少？答：得豉九斗八升又二十五分之七升。

算法：用粟求豉，乘以六十三，除以五十。

现有粟五斗五升，想换成飧，问得多少？答：得飧九斗九升。

算法：用粟求飧，乘以九，除以五。

（淳风等人按：飧率90，约简后与求稻大多相同。）

现有粟四斗，想换成熟菽，问得多少？答：得熟菽八斗二升又五分之四升。

算法：用粟求熟菽，乘以二百零七，除以一百。

（淳风等人按：熟菽率103.5。0.5分母为2，用分母2通分。所求率乘2后，所有率也相应增加，所以用207乘100除。）

现有粟二斗，想换成糵，问得多少？答：得糵七斗。

算法：用粟求糵，乘以七，除以二。

（淳风等人按：糵率175，应以此数乘本粟。算法从简，先用等数25约简，所求率得7，所有率得2，所以7乘2除。）

现有粝米十五斗五升又五分之二升，想换成粟，问得多少？答：得粟二十五斗九升。

算法：用粝米求粟，乘以五，除以三。

（淳风等人按：上面算法用粟求米，所以粟是所有数，3是所求率，5是所有率。现在用米求粟，所以米是所有数，5是所求率，3是所有率。按通用算法，各得相应数字。以下所有反向求法大多相同，都以此为准。）

现有粺米二斗，想换成粟，问得多少？答：得粟三斗七升又二十七分之一升。

算法：用粺米求粟，乘以五十，除以二十七。

现有米三斗少半升（即3斗又1/3升），想换成粟，问得多少？答：得粟六斗三升又三十六分之七升。

算法：用来求粟，乘以二十五，除以十二。

现有御米十四斗，想换成粟，问得多少？答：得粟三十三斗三升少半升（即33斗又3升又1/3升）。

算法：用御米求粟，乘以五十，除以二十一。

现有稻十二斗六升又十五分之十四升，想换成粟，问得多少？答：得粟十斗五升又九分之七升。

算法：用稻求粟，乘以五，除以六。

现有粝米十九斗二升又七分之一升，想换成粺米，问得多少？答：得粺米十七斗二升又十四分之十三升。

算法：用粝米求粺米，乘以九，除以十。

（淳风等人按：粺米率27，应以此数乘粝米。算法从简，先用等数3约简，所求率得9，所有率得10，所以9乘10除。）

现有粝米六斗四升又五分之三升，想换成粝饭，问得多少？答：得粝饭十六斗一升半。

算法：用粝米求粝饭，乘以五，除以二。

（淳风等人按：粝饭率75，应用本粝米乘此率。算法从简，先用等数15约简，所求率得5，所有率得2，所以5乘2除，道理在此。）

现有粝饭七斗六升又七分之四升，想换成飧，问得多少？答：得飧九斗一升又三十五分三十一升。

算法：用粝饭求飧，乘以六，除以五。

（淳风等人按：飧率90，用粝饭求飧，应用粝饭乘此率。算法从简，先用等数15约简，所求率得6，所有率得5。因此6乘5除。）

现有菽一斗，想换成熟菽，问得多少？答：得熟菽二斗三升。

算法：用菽求熟菽，乘以二十三，除以十。

（淳风等人按：熟菽率103.5。因有半，各用分母2通分，应用菽数乘此率。算法从简，先用等数9约简，所求率得11.5，所有率得5。）

现有菽二斗，想换成豉，问得多少？答：得豉二斗八升。

算法：用菽求豉，乘以七，除以五。

（淳风等人按：豉率63，用菽求豉，应用菽乘此率。算法从简，先用等数9约简，所求率得7，所有率得5。）

现有麦八斗六升又七分之三升，想换成小<麦啇>，问得多少？答：得小<麦啇>二斗五升又十四分之十三升。

算法：用麦求小<麦啇>，乘以三，除以十。

（淳风等人按：小<麦啇>率13.5，应用分母2通分，乘本麦数。算法从简，先用等数9约简，所求率得3，所有率得10。）

现有麦一斗，想换成大<麦啇>，问得多少？答：得大抃一斗二升。

算法：用麦求大<麦啇>，乘以六，除以五。

（淳风等人按：大<麦啇>率54，应用麦数乘此率。算法从简，先用等数9约简，所求率得6，所有率得5。）

现有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。

（瓴甓，即砖。）

问每枚多少钱？答：一枚八钱又九分之八钱。

现在有出钱一万三千五百，买了竹竿二千三百五十个。问每个多少钱？答：每个，五钱又四十七分之三十五钱。

经率术说：用所买的竹竿数作为除数，用所出的钱数作为被除数，用被除数除以除数得到每个的钱数。

（这个方法和经分相同。淳风等人按：今有的含义，用所求率乘以所有数，本来应该用一枚竹竿乘以一百六十钱作为被除数。但因为乘以一不增加数值，所以不再乘，直接以所买的竹竿数和所出的钱数作为除数和被除数。又按：这是今有的含义。出钱是所有的数，一枚是所求的率，所买的竹竿数是所有的率，用今有法计算，就得到所求的数。乘以一不增加数值，所以不再乘，直接以所买的竹竿数作为除数，以所出的钱数作为被除数，用被除数除以除数得到一枚竹竿的钱数。除不尽的，用等数约分后表示分数。）

现在有出钱五千七百八十五，买了漆一斛六斗七升太半升。想按斗计价，问每斗多少钱？答：一斗，三百四十五钱又五百零三分之十五钱。

现在有出钱七百二十，买了缣一匹二丈一尺。想按丈计价，问每丈多少钱？答：一丈，一百一十八钱又六十一分之二钱。

现在有出钱二千三百七十，买了布九匹二丈七尺。想按匹计价，问每匹多少钱？答：一匹，二百四十四钱又一百二十九分之一百二十四钱。

现在有出钱一万三千六百七十，买了丝一石二钧一十七斤。想按石计价，问每石多少钱？答：一石，八千三百二十六钱又一百九十七分之一百七十八钱。

算法：用所求的每石钱数乘所买的钱数作为被除数，用所买的石数作为除数，用被除数除以除数得到每石的钱数。

（淳风等人按：今有的含义，钱数是所求的率，物品数是所有的数，所以用钱数乘物品数，又用分母乘得到的数作为被除数。用被除数除以除数，有分数的要通分。所买的物品通分后加入分子作为所有的率，所以用它作为除数。得到钱数除不尽的用分数表示，以除数为分母，被除数余数为分子。被除数不够除，所以用分数表示。）

现在有出钱五百七十六，买了竹竿七十八个。想按大小两种价格计价，问各多少个？答：其中四十八个，每个七钱；其中三十个，每个八钱。

现在有出钱一千一百二十，买了丝一石二钧十八斤。想按贵贱两种斤价计价，问各多少斤？答：其中二钧八斤，每斤五钱；其中一石一十斤，每斤六钱。

现在有出钱一万三千九百七十，买了丝一石二钧二十八斤三两五铢。想按贵贱两种石价计价，问各多少石？答：其中一钧九两一十二铢，每石八千五十一钱；其中一石一钧二十七斤九两一十七铢，每石八千五十二钱。

现在有出钱一万三千九百七十，买了丝一石二钧二十八斤三两五铢。想按贵贱两种钧价计价，问各多少钧？答：其中七斤一十两九铢，每钧二千一十二钱；其中一石二钧二十斤八两二十铢，每钧二千一十三钱。

现在有出钱一万三千九百七十，买了丝一石二钧二十八斤三两五铢。想按贵贱两种斤价计价，问各多少斤？答：其中一石二钧七斤十两四铢，每斤六十七钱；其中二十斤九两一铢，每斤六十八钱。

现在有出钱一万三千九百七十，买了丝一石二钧二十八斤三两五铢。想按贵贱两种两价计价，问各多少两？答：其中一石一钧一十七斤一十四两一铢，每两四钱；其中一钧一十斤五两四铢，每两五钱。

这种计价方法：分别把所买的石、钧、斤、两的数量作为除数，用所对应的每单位钱数乘所出的总钱数作为被除数，用被除数除以除数。除不尽的，反过来用被除数减去除数。除数代表便宜的物品，被除数代表贵的物品。求石、钧、斤、两时，用积铢分别除除数、被除数，各自得到积整数部分，余数各为铢。

（这种计价法，是想避免分数。按：出钱五百七十六，买竹竿七十八个，用钱除以竹竿数，得七，被除数余三十，这意味着三十个竹竿每个可以再加一钱。那么被除数的余数就是贵竹竿的个数，所以说被除数代表贵的。本来用七十八个作为除数，现在用贵竹竿的个数减去它，那么剩下的就都是便宜竹竿的个数，所以说除数代表便宜的。求石、钧、斤、两时，用积铢分别除除数、被除数，各自得到积整数部分，余数各为铢，意思是把石、钧、斤、两化成积铢来除被除数，又用石、钧、斤、两的积铢来除除数，余数各为铢，就得到所求。）

现在有出钱一万三千九百七十，买了丝一石二钧二十八斤三两五铢。想按贵贱两种铢价计价，问各多少铢？答：其中一钧二十斤六两十一铢，每五铢一钱；其中一石一钧七斤一十二两一十八铢，每六铢一钱。

现在有出钱六百二十，买了羽毛二千一百翭。

（翭，是羽毛的根部。数羽毛时以根部计数，就像数草木时以根株计数一样。）

想按贵贱两种价格计价，问各多少翭？答：其中一千一百四十翭，每三翭一钱；其中九百六十翭，每四翭一钱。

现在有出钱九百八十，买了箭杆五千八百二十枚。想按贵贱两种价格计价，问各多少枚？答：其中三百枚，每五枚一钱；其中五千五百二十枚，每六枚一钱。

反其率计算方法：用所出钱数作为除数，用所买的物品数作为被除数，用被除数除以除数。除不尽的，反过来用被除数减去除数。除数代表少的，被除数代表多的。两种物品各用所得到的多少之数乘除数和被除数，就得到物品的数量。

（按：这种计价法：出钱六百二十，买羽毛二千一百翭。反过来计算，应当用二百四十钱，每钱一翭；其余三百八十钱，每钱三翭。这样钱有两种价格，物品有贵贱之分。所以用羽毛数乘钱数，是反过来计算。

淳风等人按：这种计价法，是钱多物少；反过来计价，是钱少物多；多少相反，所以叫反其率。正着计价，用物品数作除数，钱数作被除数。反过来计价，用钱数作除数，物品数作被除数。除不尽的，被除数有余数。应当把余下的物品折算成钱。除数是总钱数，现在用折算后的钱数减去它，所以用被除数减去除数。除数少，是正常分配所得，所以说除数少；被除数多，是剩余部分增加的，所以说被除数多。乘被除数应该用多的，乘除数应该用少的，所以说各用所得多少之数乘除数和被除数，就得到物品的数量。）

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