# 卷三 类型：古籍章节 书名：《九章算术》 作者：佚名 时代：东汉 类别：数学典籍 · 白话译文 卷目：正文 章节：卷三 ## 本章概览 《九章算术》卷三集中探讨了比例分配问题，其核心算法称为“今有术”。该卷通过一系列生动案例，展示了如何根据爵位等级、钱数多寡或粮食精粗进行公平分配。例如，大夫、不更、簪袅、上造、公士五等爵位的猎人猎获五鹿，按爵位高低分配，等级数分别为五、四、三、二、一，以总等级数之和为除数，各等级数为分子乘以鹿总数，再除以除数，即可得每人所得。类似的案例还有按钱数出关税、按乡算数征徭役、按爵位反比例出钱等。值得注意的是，反比例算法用于处理“爵高者出少”的情况，如五人出百钱，爵位越高出钱越少，这通过反比例计算实现。此外，卷三还涉及混合物品重新分配、货币兑换、丝损耗计算、田地收成估算、利息计算等多种实际应用。所有问题均归结为“今有术”：以所求率乘以所有数，除以所有率。李淳风等注疏者详细解释了算法原理，强调率的概念和比例相通。该卷不仅体现了古代数学的实用性，也反映了秦汉时期的社会等级制度和经济活动，是研究中国古代数学与社会的重要文献。 本章主要讲述分配（差分）问题，包括按比例分配、反比例、今有术等计算方法。 本章通过多个例题讲解按比例分配、反比例和今有术的算法。 ## 正文 分配（用于处理贵贱和赋税） 分配是指差别。 计算方法：分别列出各等级的比例； 这些比例是相互的比率。如果数值有公约数，可以约简。 将列出的比例相加作为除数，用被分配的总数乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到结果。 除数汇总了各比例，而被除数分别对应各比例。数值原本是统一的。现在用被分配的总数乘以上述各比例，再除以汇总的除数，一次乘法一次除法正好相互抵消，因此被分配的总数仍然存在，而且各比例也分别对应。在现今算法中，列出的各比例是所求率，相加的总和是所有率，被分配的总数是所有数。再从平均分配的角度说，假设甲家三人、乙家二人、丙家一人，共六人，分十二，每人得二。如果要分别计算每家所得，就应当列出人数，用每人所得乘之。这里的算法是先乘后除。 如果结果不是整除数，就用除数来表示分数。 现在有大夫、不更、簪袅、上造、公士共五人，一起猎获五只鹿。打算按照爵位等级分配，问各得多少？ 答：大夫得一只鹿又三分之二只鹿；不更得一只鹿又三分之一只鹿；簪袅得一只鹿；上造得三分之二只鹿；公士得三分之一只鹿。 计算方法：列出各爵位的等级数，各自作为比例。 爵位数是指大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一。《墨子·号令篇》中按爵级进行赏赐，可见战国初期就有这些名称。 将各比例相加作为除数。用五只鹿乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一只鹿。 在现今算法中，列出的各比例是所求率，相加的总和是所有率，鹿的数量是所有数，用现今算法计算即得。 现在有牛、马、羊吃了别人的庄稼。田主索赔五斗粟。羊主说：“我的羊吃了马的一半。”马主说：“我的马吃了牛的一半。”现在打算按比例赔偿，问各出多少？ 答：牛主出二斗八升又七分之四升；马主出一斗四升又七分之二升；羊主出七升又七分之一升。 计算方法：设牛为四、马为二、羊为一，各自作为比例，将比例相加作为除数。用五斗乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一斗。 李淳风等按：这个问题的意思是，羊吃马的一半，马吃牛的一半，即四只羊相当于一头牛，两只羊相当于一匹马。现在设羊为一、马为二、牛为四，是通分它们的比率作为比例。 现在有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，共三人一起出关，关税一百钱。打算按照钱数多少按比例出钱，问各出多少？ 答：甲出五十一钱又一百零九分之四十一钱；乙出三十二钱又一百零九分之十二钱；丙出十六钱又一百零九分之五十六钱。 计算方法：分别列出各人的钱数作为比例，将比例相加作为除数。用一百钱乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一钱。 李淳风等按：这个算法将甲、乙、丙的钱数作为比例，相加的总和是所有率，未相加的各是所求率，一百钱是所有数，用现今算法计算即得。 现在有位女子擅长织布，每天织的布比前一天加倍，五天织了五尺。问每天织多少？ 答：第一天织一寸又三十一分之十九寸；第二天织三寸又三十一分之七寸；第三天织六寸又三十一分之十四寸；第四天织一尺二寸又三十一分之二十八寸；第五天织二尺五寸又三十一分之二十五寸。 计算方法：设一、二、四、八、十六作为比例，将比例相加作为除数。用五尺乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一尺。 现在有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六。三乡共征发徭役三百七十八人。打算按照算数多少按比例分配，问各派多少？ 答：北乡派一百三十五人又一万二千一百七十五分之一万一千六百三十七人；西乡派一百一十二人又一万二千一百七十五分之四千零四人；南乡派一百二十九人又一万二千一百七十五分之八千七百零九人。 计算方法：分别列出各乡的算数作为比例， 李淳风等按：三乡的算数，约简后可以取半，作为比例。 将比例相加作为除数。用征发的徭役人数乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一人。 按：这个算法是现今算法的意义。 现在有发放粟米，大夫、不更、簪袅、上造、公士共五人，共十五斗。现在有一位大夫后来，也应发放五斗。但仓库没有粟米了，打算按比例从原先五人中扣除，问各出多少？ 答：大夫出一斗又四分之一斗；不更出一斗；簪袅出四分之三斗；上造出四分之二斗；公士出四分之一斗。 计算方法：分别列出原先每人应得的粟米斗数，按照爵位等级平均，作为比例。将比例相加，再加上后来大夫的五斗，得到二十作为除数。用五斗乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一斗。 原先五人共十五斗，大夫得五斗，不更得四斗，簪袅得三斗，上造得二斗，公士得一斗。现在想让五人各自按所得粟米多少减少一部分给后来的大夫，使与先前的大夫相同。因为先前的大夫已得了五斗，所以说“也”。各以所得斗数作为比例，相加得十五，再加上后来大夫的五斗，共二十，作为除数。这是六人共出五斗，后来大夫也一起分摊。现今算法中，相加的总和是所有率，未相加的各是所求率，五斗是所有数，用现今算法计算即得。 现在有粟米五斛，五个人分。想让三人得三份，两人得两份，问各得多少？ 答：三人每人得一斛一斗五升又十三分之五升；两人每人得七斗六升又十三分之十二升。 计算方法：设三人每人三份，两人每人两份，作为比例。将比例相加作为除数。用五斛乘以未相加的各比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一斛。 反比例算法：列出比例并令它们互相乘，移动的项成为不移动的项的比例。 现在有大夫、不更、簪袅、上造、公士共五人，共出一百钱。想让爵位高的人出得少，依次逐渐增多，问各出多少？ 答：大夫出八钱又一百三十七分之一百零四钱；不更出十钱又一百三十七分之一百三十钱；簪袅出十四钱又一百三十七分之八十二钱；上造出二十一钱又一百三十七分之一百二十三钱；公士出四十三钱又一百三十七分之一百零九钱。 计算方法：列出爵位数各自作为比例，并取反比例。将反比例相加作为除数。用一百钱乘以未相加的各反比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一钱。 按爵位顺序，大夫五、不更四。如果想让爵位高的人得的多，应当使大夫一人得五份，不更一人得四份。人数为分母，分数为分子。分母相同则分子齐，分子齐就是比例。所以上面的分配应当以五、四作为比例。现在让爵位高的人出的少，则应当大夫五人共出一人份，不更四人共出一人份，所以称为反比例。人数不同，则分数不齐。应当让分母互乘分子。分母互乘分子，则移动的项成为不移动的项的比例。也可以先通分母，各用分母约简分子，得到反比例。将反比例相加作为除数。用被分配的总数乘以未相加的各反比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到结果。 现在有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。想要混合后重新分配，问各得多少？ 答：甲得二升又十分之七升；乙得四升又十分之五升；丙得一升又十分之八升。 计算方法：用粟的比率五十、粝米的比率三十、粝饭的比率七十五作为比例，并取反比例。将反比例相加作为除数。用九升乘以未相加的各反比例，各自作为被除数。被除数除以除数得到一升。 按：这个算法中，三人所持的升数虽然相等，但按本质比率，精粗不同。米率虽小，却让它得最多；饭率虽大，反而让它得最少。所以取反比例，使精的得多而粗的得少。在现今算法中，相加的总和是所有率，未相加的各是所求率，九升是所有数，用现今算法计算即得。 现在有一斤丝，价值二百四十钱。现在有钱一千三百二十八，问能买多少丝？ 答：五斤八两十二铢又五分之四铢。 计算方法：用一斤的价格作为除数，用一斤乘以现有钱数作为被除数。被除数除以除数得到丝的数量。 按：这个算法是现今算法的意义，以一斤的价格为所有率，一斤为所求率，现有钱数为所有数，用现今算法计算即得。 现在有一斤丝，价值三百四十五钱。现在有丝七两十二铢，问能卖多少钱？ 答：一百六十一钱又三十二分之二十三钱。 计算方法：用一斤的铢数作为除数，用一斤的价格乘以七两十二铢作为被除数。被除数除以除数得到钱数。 李淳风等按：这个算法也是现今算法的意义。以一斤丝的铢数为所有率，价格为所求率，现有丝为所有数，用现今算法计算即得。 现在有一丈缣，价值一百二十八钱。现在有一匹九尺五寸的缣，问能卖多少钱？ 答：六百三十三钱又五分之三钱。 计算方法：用一丈的寸数作为除数，用价格乘以现有缣的寸数作为被除数。被除数除以除数得到钱数。 李淳风等按：这个算法也是现今算法的意义。以缣一丈的寸数为所有率，价格为所求率，现有缣的寸数为所有数，用现今算法计算即得。 现在有一匹布，价值一百二十五钱。现在有布二丈七尺，问能卖多少钱？ 答：八十四钱又八分之三钱。 计算方法：用一匹布的尺数作为除数，用现有布的尺数乘以价格作为被除数。被除数除以除数得到钱数。 李淳风等按：这个算法也是现今算法的意义。以一匹布的尺数为所有率，价格为所求率，现有布为所有数，用现今算法计算即得。 现在有一匹一丈的素绢，价值六百二十五钱。现在有五百钱，问能买多少素绢？ 答：能买一匹素绢。 计算方法：用价值作为除数，用一匹一丈的尺数乘以现有钱数作为被除数。被除数除以除数得到素绢的数量。 李淳风等按：这个算法也是现今算法的意义。以价格为所有率，五丈的尺数为所求率，现有钱数为所有数，用现今算法计算即得。 现在给人丝十四斤，约定得到缣十斤。现在给人丝四十五斤八两，问能得多少缣？ 答：三十二斤八两。 计算方法：用十四斤的两数作为除数，用十斤乘以现有丝的两数作为被除数。被除数除以除数得到缣的数量。 李淳风等按：这个算法也是现今算法的意义。以十四斤的两数为所有率，十斤为所求率，现有丝为所有数，用现今算法计算即得。 现在有一斤丝，损耗七两。现在有丝二十三斤五两，问损耗多少？ 答：一百六十三两四铢半。 计算方法：用一斤展开为十六两作为除数。用七两乘以现有丝的两数作为被除数。被除数除以除数得到损耗数。 李淳风等按：这个算法也是现今算法的意义。以一斤的十六两为所有率，七两为所求率，现有丝为所有数，用现今算法计算即得。 现在有生丝三十斤，干燥后损耗三斤十二两。现在有干丝十二斤，问需要多少生丝？ 答：十三斤十一两十铢又七分之二铢。 计算方法：列出生丝的两数，减去损耗数，余数作为除数。 余数四百二十两，就是干丝的比率。 用三十斤乘以干丝的两数作为被除数。被除数除以除数得到生丝的数量。 凡所得的比率，如果细就都细，粗就都粗，只是两个数互相依存罢了。所以物品不同，如上等缣和丝的比率，是相互关联的比率。三十斤总共是四百八十两，现在生丝的比率是四百八十两，干丝的比率是四百二十两，那么它们的数值是相通的。可以都化为铢，可以都化为两，可以都化为斤，没有阻碍。如果是这样，应该用所拥有的干丝斤数乘以生丝的两数作为被除数。现在用斤和两交错相乘而同样得到结果，是让干丝以两数为率，生丝以斤数为率，好比不同类的物品，也各有一定的态势。 〔淳风等按：这个方法，设置生丝的两数，减去损耗数，剩余的就是干丝的比率，在“今有术”中作为所有率；三十斤作为所求率，干丝的两数作为所有数。凡是作为比率的，细就都细，粗就都粗。现在有一斤乘以两得知，干丝就以两数为率，生丝就以斤数为率，好比不同的物品，各有一定的比率。〕 现在有一亩田，收获粟六升又三分之二升。现在有田一顷二十六亩一百五十九步，问收获粟多少？答：八斛四斗四升又十二分之五升。 解法：以每亩二百四十步作为除数。以六升又三分之二升乘以现有田地的总步数作为被除数。被除数除以除数得到粟的数量。 〔淳风等按：这个解法也是“今有术”的含义。以一亩的步数为所有率，六升又三分之二升为所求率，现有田地的总步数为所有数，用“今有术”计算，即得。〕 现在有取保，一年工钱二千五百。现在先取一千二百，问应该做工多少天？答：一百六十九天又二十三分之二十五天。 解法：以工钱总数作为除数，以一年三百五十四天乘以先取的钱数作为被除数。被除数除以除数得到天数。 〔淳风等按：这个解法也是“今有术”的含义。以工钱为所有率，一年天数为所求率，取的钱数为所有数，用“今有术”计算，即得。〕 现在有借钱给人一千钱，每月利息三十。现在有借钱给人七百五十钱，九天后归还，问利息多少？答：六钱又四分之三钱。 解法：以一个月三十天乘以一千钱作为除数。 〔以三十天乘以一千钱作为除数，得到三万，这就是借钱三万钱，一天利息三十钱。〕 以利息三十乘以现在所借的钱数，再乘以九天，作为被除数。被除数除以除数得到一钱。 〔以九天乘以现在所借的钱数，得到现在一天所有的钱，在“今有术”中作为所有数，利息三十作为所求率；三万钱作为所有率。这又可以以一个月的三十天约简利息三十钱，得到每日十分，用它乘以现在一天所有的钱作为被除数；以一千钱作为除数。作为比率，应当使它们相等。所以三十天或者可以乘本金，或者可以约简利息，都是为了使它们相等。〕 ## 关键人物 - **大夫**：爵位等级之一；按比例分配问题中的受分配者 - **不更**：爵位等级之一；按比例分配问题中的受分配者 - **簪袅**：爵位等级之一；按比例分配问题中的受分配者 - **上造**：爵位等级之一；按比例分配问题中的受分配者 - **公士**：爵位等级之一；按比例分配问题中的受分配者 - **甲**：持钱人；按钱数出关税问题中的出资者 - **乙**：持钱人；按钱数出关税问题中的出资者 - **丙**：持钱人；按钱数出关税问题中的出资者 - **李淳风**：唐代数学家，注释者；对算法进行注释和解释 - **女子**：织布女子；每日织布加倍问题中的主体 ## 为什么值得读 本章是《九章算术》中关于比例分配的核心篇章，奠定了中国古代数学中比例算法的基础。 ## 标签 - 分配 - 比例 - 反比例 - 今有术 - 爵位 - 粟米 - 丝价 原始页面：https://shishuguan.com/books/jiuzhang-suanshu-baihuawen-full/volume-1/chapter-4