卷四

少广（用来处理面积和方圆问题）

少广（李淳风等人按：一亩的田，宽一步，长二百四十步。现在想截取其中较短的部分，来增加它的宽度，所以称为少广。）

算法：放置整步数以及分子分母，用最下面的分母分别乘各个分子以及整步数，（李淳风等人按：用分母乘整步数，是为了通分；用分母乘分子，是为了使分子统一。）

各自用它们的分母去除它们的分子，把结果放在左边，让通分后的数，再用分母分别乘各个分子以及已经通分的数，全部通分并合并。把这些相加作为除数。（李淳风等人按：各个分子都通分了，所以可以相加作为除数。也应该可以用合分术，但列出的数特别多，如果用乘法计算会非常繁琐，所以另外制定这个方法，以便简化。）

放置所求的步数，用整步数的积分乘它作为被除数。（这是以田的宽度为除数，以每亩的积步为被除数。除数有分数时，应当使分母相同，分子统一，用相同的分母乘除数和被除数，并让除数中的分子统一。现在用分母乘整步数和分子，分子和分母相同就合并，并用合并后的整除数，那么除数和被除数都增长了，原理是一样的。所以除以除数，就得到长度步数。）

被除数除以除数，得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：一百六十步。

算法：下面有半，是二分之一。把一当作二，半当作一，相加得三，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作二来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：一百三十步又十一分之十步。

算法：下面有三分，把一当作六，半当作三，三分之一当作二，相加得十一，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作六来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：一百一十五步又五分之一步。

算法：下面有四分，把一当作十二，半当作六，三分之一当作四，四分之一当作三，相加得二十五，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作十二来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：一百零五步又一百三十七分之十五步。

算法：下面有五分，把一当作六十，半当作三十，三分之一当作二十，四分之一当作十五，五分之一当作十二，相加得一百三十七，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作六十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：九十七步又四十九分之四十七步。

算法：下面有六分，把一当作一百二十，半当作六十，三分之一当作四十，四分之一当作三十，五分之一当作二十四，六分之一当作二十，相加得二百九十四，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作一百二十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：九十二步又一百二十一分之六十八步。

算法：下面有七分，把一当作四百二十，半当作二百一十，三分之一当作一百四十，四分之一当作一百零五，五分之一当作八十四，六分之一当作七十，七分之一当作六十，相加得一千零八十九，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作四百二十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：八十八步又七百六十一分之二百三十二步。

算法：下面有八分，把一当作八百四十，半当作四百二十，三分之一当作二百八十，四分之一当作二百一十，五分之一当作一百六十八，六分之一当作一百四十，七分之一当作一百二十，八分之一当作一百零五，相加得二千二百八十三，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作八百四十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：八十四步又七千一百二十九分之五千九百六十四步。

算法：下面有九分，把一当作二千五百二十，半当作一千二百六十，三分之一当作八百四十，四分之一当作六百三十，五分之一当作五百零四，六分之一当作四百二十，七分之一当作三百六十，八分之一当作三百一十五，九分之一当作二百八十，相加得七千一百二十九，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作二千五百二十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步、十分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：八十一步又七千三百八十一分之六千九百三十九步。

算法：下面有十分，把一当作二千五百二十，半当作一千二百六十，三分之一当作八百四十，四分之一当作六百三十，五分之一当作五百零四，六分之一当作四百二十，七分之一当作三百六十，八分之一当作三百一十五，九分之一当作二百八十，十分之一当作二百五十二，相加得七千三百八十一，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作二千五百二十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步、十分之一步、十一分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：七十九步又八万三千七百一十一分之三万九千六百三十一步。

算法：下面有十一分，把一当作二万七千七百二十，半当作一万三千八百六十，三分之一当作九千二百四十，四分之一当作六千九百三十，五分之一当作五千五百四十四，六分之一当作四千六百二十，七分之一当作三千九百六十，八分之一当作三千四百六十五，九分之一当作三千零八十，十分之一当作二千七百七十二，十一分之一当作二千五百二十，相加得八万三千七百一十一，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作二万七千七百二十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

现在有一块田，宽一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步、十分之一步、十一分之一步、十二分之一步。要求得到一亩田，问长度是多少？

答案：七十七步又八万六千二十一分之二万九千一百八十三步。

算法：下面有十二分，把一当作八万三千一百六十，半当作四万一千五百八十，三分之一当作二万七千七百二十，四分之一当作二万零七百九十，五分之一当作一万六千六百三十二，六分之一当作一万三千八百六十，七分之一当作一万一千八百八十，八分之一当作一万零三百九十五，九分之一当作九千二百四十，十分之一当作八千三百一十六，十一分之一当作七千五百六十，十二分之一当作六千九百三十，相加得二十五万八千零六十三，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作八万三千一百六十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。

（李淳风等人按：凡是制定算法的意图，以简约为好。应当说“下面有十二分，把一当作二万七千七百二十，半当作一万三千八百六十，三分之一当作九千二百四十，四分之一当作六千九百三十，五分之一当作五千五百四十四，六分之一当作四千六百二十，七分之一当作三千九百六十，八分之一当作三千四百六十五，九分之一当作三千零八十，十分之一当作二千七百七十二，十一分之一当作二千五百二十，十二分之一当作二千三百一十，相加得八万六千零二十一，作为除数。放置田的二百四十步，也把一当作二万七千七百二十来乘，作为被除数。被除数除以除数得到长度步数。”这个算法也能得到结果，并不繁琐。）

现在有面积五万五千二百二十五平方步，问边长（正方形）是多少？

答案：二百三十五步。

又有面积二万五千二百八十一平方步，问边长是多少？

答案：一百五十九步。

又有面积七万一千八百二十四平方步，问边长是多少？

答案：二百六十八步。

又有面积五十六万四千七百五十二又四分之一平方步，问边长是多少？

答案：七百五十一步半。

又有面积三十九亿七千二百一十五万零六百二十五平方步，问边长是多少？

答案：六万三千零二十五步。

开方（求正方形面积的一边。）

算法：放置面积作为被开方数。借一算（算筹），移动它，每两位跳一级。（意思是：一百的平方根是十，一万的平方根是一百。）

估计所得，用一乘所借的一算作为除数，然后进行除法。（先得到黄色方阵的边长，上下对应，这是自乘后除去的部分。）

除完后，将除数加倍作为定法。（加倍是为了预先张起两边的朱色面积的长，等待下一步除，所以称为定法。）

下一步除时，将定法折半并移下。（想要除朱色面积，本应另置所得的正方形，加倍为定法，然后折半、估计、乘，再除。这样应当再移动步数才停止，就能得到对应结果。所以让它在上层折半并移下。）

重新放置借算，像开始时一样移动。用第二次估计的数乘一，（想要除去朱色面积的角、黄色乙的面积，其原理和最初所得一样。）

所得结果加在定法上，用来除。用所得结果加到定法上。（再次把黄色乙的边长加到定法上，这是为了张起两边的青色面积的长度。）

再进行除法，像前面一样折半移下。如果开方开不尽，就是不可开，应当用边长（分数）来表示结果。（算法中有的用借算加定法来命名分母，虽然粗略接近，但不能用。凡是开方得到正方形，平方后应当恢复原来的面积。如果不用加借算而命名分母，则结果常偏小；如果加借算而命名分母，则结果又偏大。数值无法确定。所以只能用边长（分数）来表示，才不会出错。好比用三除十，把余数作为三分之一，而数值可以完整表示。不用边长（分数）表示，而像前面一样加定法，求其微小数值。微小数值没有名称的作为分子，第一次退位以十为分母，第二次退位以百为分母。退得越往下，分数越细，那么朱色面积虽然有余数，也不值得说了。）

如果被开方数有分数，将分数通分并纳入分子，得到确定的被开方数，然后开方。开完后，再开分母，用分母去除分子。

分母可以开方的，就把通分后的分子分母合并，先让两个分母结合。开方之后，还有一个分母存在，所以开分母，求出这一个分母作为除数，然后相除。

如果分母不能开方，就再用分母乘定实，然后开方。开方结束后，让结果除以分母。

〔淳风等人按：分母不能开方的，原本只有一个分母。再用分母乘它，就合并成两个分母。开方之后，也还有一个分母存在，所以让结果除以这个分母，得到完整的数值。

又按：这个“开方”的算法，是求正方形的边长。借一算，是假借一个算筹，只有列位名称，而没有实际用来除积的数值。方形的边角得到边长，所以借算列在下面。“步之超一等”是说：边长十自乘，积是一百；边长一百自乘，积是一万，所以跳位，到百就说十，到万就说百。“议所得，以一乘所借算为法，而以除”是说：先得到黄色甲方的边长，用方形面积是两边相乘，所以开方除它，又让两边上下相合，这是自乘然后相除。“除已，倍法为定法”是说：实际积数还未除尽，应当再除，所以预先张设两边的红色幂的长度，等待再次除，所以叫定法。“其复除，折法而下”是说：想要除红色幂，本应在旁边放置所得的正方形，加倍作为定法，通过折、议、乘，然后相除，这样，应当再步进而停止，才能互相配合。所以让它向上折而往下。“复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”是说：想要除红色幂的角上黄色乙的幂。“以所得副从定法”是说：再用黄色乙的边长加定法，这样就张设了两块青色幂的长度，所以像前面一样开方，就符合所问的问题。〕

现在有面积一千五百一十八步又四分之三步。问：对应的圆周是多少？答：一百三十五步。

〔按刘徽的算法，圆周应是一百三十八步又十分之一步。

淳风等人按：根据密率，圆周是一百三十八步又五十分之九步。〕

又有面积三百步，问：对应的圆周是多少？答：六十步。

〔按刘徽的算法，圆周应是六十一步又五十分之十九步。

淳风等人按：根据密率，圆周是六十一步又一百分之四十一步。〕

开圆术说：放置积的步数，用十二乘它，再开方除，就得到圆周。

〔这个算法以周三径一为比率，与旧的圆田术相反。按刘徽的算法，用三百一十四乘积，除以二十五，所得的数开方除，就是圆周。开方除得到直径。这是依据现有面积求圆周，仍有微小的误差。如果用二百乘积，除以一百五十七，开方除得到直径，仍有微小的偏差。

淳风等人按：这个注释中刘徽求圆周的方法，里面没有“开方除之，即径”六个字，现在版本上有的是多余的。根据密率，用八十八乘，除以七。按周三径一的比率，假如圆周六直径二，半周半径相乘得面积三，圆周六自乘得三十六。都用等数除面积，得到一周之数十二。它的面积：圆周自乘，合起来用一乘，除以十二，得面积三。算法是乘一不增长，所以除以十二，得到这个面积。现在还原，放置这个面积三，用十二乘它，恢复原有的圆周自乘之数。凡物自乘，开方除它，恢复原数，所以开方除就得到圆周。〕

现在有体积一百八十六万八百六十七尺，〔这个尺指的是立方尺。凡物有高度、深度而说体积的，叫做立方。〕

问：对应的立方边长是多少？答：一百二十三尺。

又有体积一千九百五十三尺又八分之一尺，问：对应的立方边长是多少？答：一十二尺半。

又有体积六万三千四百一尺又五百一十二分之四百四十七，问：对应的立方边长是多少？答：三十九尺又八分之七尺。

又有体积一百九十三万七千五百四十一尺又二十七分之一十七，问：对应的立方边长是多少？答：一百二十四尺又大半尺。

开立方

〔立方各边相等，求它的一边。〕

算法说：放置体积作为实。借一算，步进，超过二等。

〔说一千的边长是十，说一百万的面长是一百。〕

议所得，用再乘所借的一算作为法，然后除它。

〔再乘，也是求方幂。用上面的议数相除，则立方相等。〕

除完后，三倍它作为定法。

〔为了继续除，所以预先张设三个面，用定出的方幂作为定法。〕

再除，折而下。

〔再除时，三个面的方幂都是自乘之数，需要折、议，确定它们的厚薄。开平方时，一百的面长是十；开立方时，一千的面长是十。根据定法已有成方的幂，所以再除应当以千为百，折下一等。〕

用三乘所得的数，放在中行。

〔设置三棱的定长。〕

再借一算，放在下行。

〔想作为隅方。立方相等还没有定数，暂且放一算确定位置。〕

步进，中超一等，下超二等。

〔上方法，长自乘然后一折；中廉法，只有长，所以降一等；下隅法，没有面长，所以又降一等。〕

再放置议数，用一乘中行，

〔作为三棱的完备幂。〕

再乘下行，

〔让隅自乘，作为方幂。〕

都作为副数加在定法上。用定法除。

〔三个面、三个棱、一个隅都已有了幂，用上面的议数相除，去掉三个幂的厚度。〕

除完后，加倍下行，并入中行，合到定法上。

〔凡是用中行、下行再加到定法上的，三个棱各应当用两个面的幂连接两个方的面，一个隅连接三个棱的端头，以等待再除。言语不能完全表达意思，解释这个需要借助棋子才能明白。〕

再除，折下如前。开方开不尽的，也是不可开。

〔算法也有用定法取分数的，不如保留原幂开方，用微数作为分数。〕

如果体积有分数，通分后把分子纳入作为定实。定实然后开方。开完后，开分母以相除。

〔淳风等人按：分母可以开方的，把通分后的积先合并三个分母。开方之后还有一个分母存在，所以开分母，求一个分母作为除数，然后相除。〕

如果分母不能开方，就再用分母两次乘定实，然后开方。开完后，让结果除以分母。

〔淳风等人按：分母不能开方的，原本只有一个分母。再用分母两次乘它，让它合并三个分母。开方之后，还有一个分母存在，所以让结果除以这个分母，得到完整的数值。

按：“开立方”知道，立方各边相等，求它一边的数值。“借一算，步之，超二等”是说：立方求体积，边长两次自乘，就体积开方，所以超二等，说一千的边长是十，说一百万的面长是一百。

“议所得，以再乘所借算为法，而以除”是说：求为方幂，用议数相除，则立方相等。“除已，三之为定法”，是因为体积未除尽，应当再除，所以预先张设三个面已定的方幂作为定法。“复除，折而下”是说：三个面的方幂都已有了自乘之数，需要折、议确定厚薄。根据开平方，一百的面长是十；开立方，一千的面长是十。而定法已有成方的幂，所以再除时，应当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”是说：设置三棱的定长。“复借一算，置下行”是说：想作为隅方，立方相等还没有数，暂且放一算确定位置。“步之，中超一，下超二”是说：上方法长自乘然后一折，中廉法只有长，所以降一等，下隅法没有面长，所以又降一等。“复置议，以一乘中”是说：作为三棱的完备幂。“再乘下”，应当让隅自乘作为方幂。“皆副以加定法，以定法除者”，三个面、三个棱、一个隅都已有了幂，用上面的议数相除，去掉三个幂的厚度。“除已，倍下、并中，从定法”是说：三个棱各应当用两个面的幂连接两个方的面，一个隅连接三个棱的端头，以等待再除。如果开方开不尽，折下如前，开方，就符合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”是说：“求一母为法，以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分母不能开方的，原本一个分母，再用分母两次乘，让它合并三个分母，开方之后，也还有一个分母存在。所以让结果除以这个分母，得到完整的数值。〕

现在有体积四千五百尺。

〔也指立方尺。〕

问：对应的立圆直径是多少？答：二十尺。

〔按密率，立圆直径二十尺，计算体积为四千一百九十尺又二十一分之十尺。〕

又有体积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问：对应的立圆直径是多少？答：一万四千三百尺。

〔按密率，直径为一万四千六百四十三尺又四分之三尺。〕

开立圆术说：放置体积的尺数，用十六乘它，除以九，所得的数，开立方除，就得到立圆直径。

〔立圆就是球。作算法的人，大概是依据周三径一的比率。让圆面积占正方形面积的四分之三，圆柱占立方体体积也是四分之三。再让圆柱作为方率十二，球作为丸率九，球占圆柱又是四分之三。

放置四分自乘得十六，三分自乘得九，所以球占立方体积的十六分之九。所以用十六乘体积，除以九，得到立方体积。球直径与立方边长相等，所以开立方除，得到直径。但是这个意思不对。怎么验证？取八个立方棋子，每个都是一立方寸，堆积成边长二寸的立方。用圆规旋成圆柱，直径二寸，高两寸。再横着旋转，它的形状就像牟合方盖。八个棋子都像阳马，圆形的。按：合盖，是方率，球在其中，就是圆率。由此推论，说圆柱是方率，难道不欠缺吗？用周三径一作为圆率，则圆面积偏小；让圆柱作为方率，则球体积偏大，互相通补，所以九与十六的比率偶然与实际相近，但球体积还是偏大。观察立方内部，合盖外部，虽然衰减有渐变，但多少不匹配。分合总结，方圆交缠，粗细诡变，不能等同。想用简陋的形状推测，怕失去正理。不敢不存疑，等待能说明的人。

黄金一立方寸，重十六两；金球直径一寸，重九两，这个比率产生于此，但没有验证过。《周官·考工记》：“朅氏做量器，反复冶炼金锡则不耗，不耗之后称量，称量之后校准，校准之后度量。”说的是炼金使极精，然后分份就可以作为比率。让球直径自乘，除以三，开方除，得到球的内接立方边长。假设球内接立方边长五尺，五尺为勾，勾自乘幂二十五尺。加倍得五十尺，作为弦幂，指平面边长五尺的弦。用这个弦作为股，也用五尺作为勾，合并勾股幂得七十五尺，这是大弦幂。开方除，则大弦可知。大弦是内接立方体的长斜线，斜线就是球直径。所以内接立方自乘的幂是球直径自乘幂的三分之一。现在大弦再乘它的幂，就是球外立方体积。大弦幂开方不尽，让它的幂七十五再自乘，作为面，得到外立方体积，四十二万一千八百七十五尺的面。又让内接立方边长五尺自乘，再乘边长，得体积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，作为面，得到体积一万五千六百二十五尺的面。都用六百二十五约分，外立方体积是六百七十五尺的面，内接立方体积是二十五尺的面。〕

张衡在计算中又把立方体称为“质”，把球体称为“浑”。张衡说，质与内外浑的关系：六百七十五平方尺的面积，开平方后不足一，称为外浑的体积是二十六；内浑，二十五平方尺的面积，称为体积是五立方尺。现在刘徽让质来表示中浑，浑又表示质，那么两个质的比例就像张衡两个浑的比例一样。张衡大概也是先根据两个质的比例来推导浑的比例。张衡又说：“质，六十四的面积；浑，二十五的面积。”质再说浑，说占质的八分之五。又说：“方，八的面积；圆，五的面积。”根据圆与浑相互推导，知道他又把圆柱体作为方的比例，球体作为圆的比例，这样就错得太远了。张衡的说法自然是想要协调阴阳奇偶的说法，而不顾及疏密了。虽然有文辞，但这混乱了道理，破坏了意义，是一种弊病。假设外质的体积是二十六，乘以九，除以十六，得到体积十四又八分之五尺，这就是质中的浑。用分母乘整数部分再加分子，得到一百一十七。又假设内质的体积是五，乘以分母，得四十，这称为质占浑的一百一十七分之四十，而浑的比例仍然偏大。假设边长二尺，正方形有四边，加起来得八尺，称为方周。其中使圆的直径与正方形边长相等，也是二尺。圆半径乘以圆周的一半，就是圆面积。半个边长乘以方周的一半，就是正方形面积。那么知道方周，就能知道正方形面积的比例；知道圆周，就能知道圆面积的比例。按：如张衡的方法，方周率是八的面积，圆周率是五的面积。设方周六十四尺的面积，圆周四十尺的面积。又设直径二尺自乘，得直径四尺的面积，这是圆周率十的面积，而直径率一的面积。张衡也认为周三径一的比率不对，所以另外提出了这个方法，但是增加圆周太多，超过了实际。

淳风等人按语：祖暅之认为刘徽、张衡两人都把圆柱体作为方的比例，把球体作为圆的比例，于是设立了新方法。祖暅之的开立圆术说：“用二乘体积，开立方后再除以二，就是立圆（球）的直径。这是什么意思呢？取一枚立方棋子，把枢轴立在左下后的下角，用圆规去掉它右上的棱；再合起来水平地用圆规去掉它前上的棱。这样立方棋子被分成四块，圆规内的棋子一块，称为内棋；圆规外的棋子三块，称为外棋。圆规再合拢四块棋子，再横断它们。用勾股定理来说，设剩余的高为勾，内棋断上方的长为股，本方的边长是弦。勾股方法：用勾的平方减弦的平方，余数就是股的平方。如果让剩余的高自乘，减本方的平方，余数就是内棋断上方的平方。本方的平方就是这四块棋子的断上方的面积。那么剩余的高自乘，就是外三棋的断上方的面积了。不论高低，情况都是这样。本来就有殊途同归的情况。于是引用远处来演绎类推，借助比喻来分析细微之处。按：阳马当长宽高相等的，倒过来立着，横截去上面，则高的自乘与断上方的面积数值也相等。叠棋子形成体积，因为面积状况相同，那么体积不会不同。由此看来，圆规外的三块棋子靠拢在一起，就是一个阳马。把立方体分成三份，那么阳马占一份，内棋占两份就可以知道了。合八个小正方形成一个大正方形，合八个内棋成一个合盖。内棋占小正方形的三分之二，那么合盖占立方体的也是三分之二，这是很明显的。取三分之二，用圆面积率三乘，除以方面积率四，约简后确定为球的比例。所以说球占立方体的二分之一。等数已经精密，心里也明白了。张衡沿用旧法，留给后人嘲笑，刘徽遵循旧法，没有时间校对新法。这难道难吗？只是没有思考罢了。根据密率，这个立圆体积，本来是用圆直径再自乘，乘以十一，除以二十一，得到这个体积。现在想求原来的体积，所以乘以二十一，除以十一。凡是物体再自乘，开立方后再除，就恢复原来的数。所以立方后再除，就是球的直径。