卷六

均输（用来处理远近劳费问题）现有均输粟的问题：甲县有一万户，路程八天；乙县有九千五百户，路程十天；丙县有一万二千三百五十户，路程十三天；丁县有一万二千二百户，路程二十天，各自到达输送地点。总共四个县应缴纳赋粟二十五万斛，使用一万辆车。想按照路程远近、户数多少按比例分摊，问各县的粟和车各是多少？答案：甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四辆。乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七辆。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七辆。丁县粟四万零五百五十斛，车一千六百二十二辆。

计算方法：让各县的户数各自除以各自的路程天数，作为比例系数。（按：这里的均输，相当于均运。让每户按比例出车，以路程天数为基准，运输粮食。根据甲路程八天，因此让八户共出一辆车；乙路程十天，因此让十户共出一辆车。计算在路上，则每户每天出一辆车，所以可以成为均平的比例。淳风等按：各县户数有多有少，路程有远有近。想要公平，所以各自让路程天数约分户数作为比例系数。路程多的减少户数，路程少的增加户数。所以各自让约分户数作为比例系数。用八天约分甲县，得到一百二十五，乙和丙各九十五，丁六十一。用今有术，将副数相加作为所有率。未相加的各作为所求率，以应赋的粟车数作为所有数，通过今有术求得各车数。用十天约分乙，十三天约分丙，各得九十五；二十天约分丁，得六十一。）甲的比例系数一百二十五，乙、丙的比例系数各九十五，丁的比例系数六十一，将它们相加作为除数。用应赋的粟车数乘以未相加的各比例系数，分别作为被除数。（比例系数，就是分摊的比率。）被除数除以除数得到一辆车。（各自设置应当出的车数，用各自的路程天数相乘，除以户数，得到比率：每户用车二又三十一分之十一日，所以称为平均。求这个每户的比率，应当各自计算车的分摊数。）有分数时，上下调整配比。（辈，就是配。车、牛、人的数量不能分割，推算少的凑成多的，是平均赋役的合理做法。现在按：甲的分额既然少，应当从乙那里拿。满除数就扣除，有余数再从丙拿。丁的分额又少，也应当从丙拿。扣除正好完。给乙、丙各增加一，上下调整，以少从多。）用二十五斛乘以车数，就是粟数。

现有均输卒的问题：甲县一千二百人，驻守边塞；乙县一千五百五十人，路程一天；丙县一千二百八十人，路程两天；丁县九百九十人，路程三天；戊县一千七百五十人，路程五天。总共五个县应派服役的卒一个月一千二百人。想按照路程远近、人数多少按比例分摊，问各县各多少人？答案：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。

计算方法：让各县的卒人数各自除以各自的驻地天数与路程天数的和，作为比例系数。（按：这也是以天数为基准，调发卒进行运输。甲没有路程天数，只以驻地三十天为比率。意思是想要成为均平的比率，应当让甲三十人中出一人，乙三十一人中出一人。出一人，计算役时则都是一人一天，因此可以成为均平的比率。）甲的比例系数四，乙的比例系数五，丙的比例系数四，丁的比例系数三，戊的比例系数五，将它们相加作为除数。用总人数乘以未相加的各比例系数，分别作为被除数。被除数除以除数得到一人。（作为比例系数，用今有术，将相加的和作为所有率，未相加的各作为所求率，以应派的卒人数作为所有数。这个计算法有所不同，考察其含义相同，为了扩充见闻，所以保留它。各自设置应当派出的人数，用各自的驻地天数和路程天数相乘，除以县人数，得到比率：每人服役五又七分之五日。）有分数时，上下调整配比。（辈，就是配。现在按：丁的分数最少，应当从戊那里扣除。不从乙那里，是因为丁离戊近。满除数就扣除，有余数再从乙拿。丙的分数又少，也从乙那里扣除，有余数从甲拿。扣除正好完。从甲、丙两个分数，它们的数值相等，两者离乙的远近相同，不把甲从乙拿，是因为以下从上。）

现有均赋粟的问题：甲县二万零五百二十户，每斛粟价二十钱，自行输送到本县；乙县一万二千三百一十二户，每斛粟价十钱，到输送地点二百里；丙县七千一百八十二户，每斛粟价十二钱，到输送地点一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，每斛粟价十七钱，到输送地点二百五十里；戊县五千一百三十户，每斛粟价十三钱，到输送地点一百五十里。总共五个县应缴纳粟一万斛。一辆车能装载二十五斛，运费每里一钱。想按照各县的户数征收粟，使费用和劳役相等，问各县各应出多少粟？答案：甲县三千五百七十一斛又二千八百七十三分之五百一十七斛。乙县二千三百八十斛又二千八百七十三分之二千二百六十斛。丙县一千三百八十八斛又二千八百七十三分之二千二百七十六斛。丁县一千七百一十九斛又二千八百七十三分之一千三百一十三斛。戊县九百三十九斛又二千八百七十三分之二千二百五十三斛。

计算方法：用一里的运费乘以到输送地点的里数，（这是以出钱为均平标准。问的人说：“一辆车装载二十五斛，运费每里一钱。”一钱就是一里的运费。乘以里数，是想知道雇一辆车到输送地点所用的钱。甲自行输送到本县，则没有运费。）用一辆车装载的二十五斛除，（想知道运一斛所用的钱。）加上一斛的粟价，就得到运送一斛的总费用。（将一斛的运费加上一斛的粟价，就是总共运输一斛粟所需的钱：甲一斛的费用二十钱，乙、丙各十八钱，丁二十七钱，戊十九钱。）各自用这些费用去除户数，得到比例系数。（意思是让甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计算他们的费用，则每户出一钱，所以可以成为均赋的比例。计算经赋的比率，既有户数比率，也有远近、贵贱的比率。这两个比率各自相通。相通后甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛的费用称为钱率。用钱率约分户率，则钱为分母，户为分子。分子不齐，让分母互乘得到齐，就是比例系数。如果不这样，用一斛的费用去除户数，取比例系数。若有分数，应当通分并纳入分子，约分，计算很繁琐。这一章都是相通共率，大致类似。以上二率、下一率也可以仿照此，从简而已。又用分数来说，让甲一户出二十分之一斛，乙一户出十八分之一斛，各自用户数相乘，也可以得到一县应当输送的总量，都是比例系数。相乘时，乘分子，分母相除。由此看来，用一斛的费用去除户数，其意义没有不同。那么可以设置一斛的费用而反求比例系数。约分户数，用乘以户率得到比例系数。合分注说：“分母除为率，率乘分子为齐。”反衰注说：“先通分，各自用分母约分，其分子为反衰。”用这个比率，计算既约简，而且不妨碍下面。）甲的比例系数一千零二十六，乙的比例系数六百八十四，丙的比例系数三百九十九，丁的比例系数四百九十四，戊的比例系数二百七十，将它们相加作为除数。用应赋的粟数乘以未相加的各比例系数，分别作为被除数。被除数除以除数得到一斛。（各自设置应当出的粟，用一斛的费用相乘，除以户数，得到比率：每户出三钱又二千八百七十三分之一千三百八十一钱。按：这是以出钱为均平。问的人说：“一辆车装载二十五斛，运费每里一钱。”一钱就是一里的运费。乘以里数，是想知道雇一辆车到输送地点所用的钱。甲自行输送到本县，则没有运费。用一辆车二十五斛除，是想知道运一斛所用的钱。加一斛的价于一斛的运费，就是总共运输一斛粟收取的运费：甲一斛的费用二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊十九。各自用这些除户数，得到比例系数：甲的比例系数一千零二十六，乙六百八十四，丙三百九十九，丁四百九十四，戊二百七十。意思是让甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计算他们的费用，则每户出一钱，所以可以成为均赋的比例。用今有术，将相加的和作为所有率，未相加的各作为所求率，赋粟一万斛作为所有数。这是今有、衰分的含义。）

现有均赋粟的问题：甲县四万二千算，每斛粟价二十钱，自行输送到本县；乙县三万四千二百七十二算，每斛粟价十八钱，佣工价每日十钱，到输送地点七十里；丙县一万九千三百二十八算，每斛粟价十六钱，佣工价每日五钱，到输送地点一百四十里；丁县一万七千七百算，每斛粟价十四钱，佣工价每日五钱，到输送地点一百七十五里；戊县二万三千零四十算，每斛粟价十二钱，佣工价每日五钱，到输送地点二百一十里；己县一万九千一百三十六算，每斛粟价十钱，佣工价每日五钱，到输送地点二百八十里。总共六个县应缴纳粟六万斛，都输送到甲县。六人共一辆车，每辆车装载二十五斛，重车每天行五十里，空车每天行七十里，装载和卸载各需一天。粟有贵贱，佣工价各不相同，按照算数出钱，使费用和劳役相等，问各县各应出多少粟？答案：甲县一万八千九百四十七斛又一百三十三分之四十九斛。乙县一万零八百二十七斛又一百三十三分之九斛。丙县七千二百一十八斛又一百三十三分之六斛。丁县六千七百六十六斛又一百三十三分之一百二十二斛。戊县九千零二十二斛又一百三十三分之七十四斛。己县七千二百一十八斛又一百三十三分之六斛。

计算方法：用车行空车和重车的速度，将空车和重车行一里所需日数相乘作为分母，并将空车和重车行一里所需日数相加，乘以路程里数，各自作为分子，分子除以分母得到一天。（按：这个方法重车去空车回，一次运输两次行车。设置空车行一里用七十分之一日，重车行一里用五十分之一日。通分后，空车和重车行一里路，往返用一百七十五分之六日。完整来说，一百七十五里路，往返用六日。所以将空车和重车行一里所需日数相加，是为了通分子；空车和重车行一里所需日数相乘，是为了同分母。用今有术，到输送地点的里数作为所有数，六作为所求率，一百七十五作为所有率，通过今有术，就得到各自运输所用的天数。）加上装载和卸载各一日，（所以得到总天数。）然后乘以六人，（想知道运送一辆车所用的人数。）再乘以佣工价，（想知道运送一辆车的人工佣钱是多少。）用二十五斛除，（想知道运送一斛的佣工费。）加上一斛粟价，就得到运送一斛的总费用。（将一斛的佣工费加到一斛的粟价上，就是总共运输一斛粟所取的佣工钱。）各自用这些费用去除算数，得到比例系数，（现在按：甲的比例系数四十二，乙的比例系数二十四，丙的比例系数十六，丁的比例系数十五，戊的比例系数二十，己的比例系数十六。用今有术，将相加的和作为所有率，未相加的各作为所求率，所赋的粟作为所有数。这是今有、衰分的含义。）将比例系数相加作为除数，用所赋的粟数乘以未相加的各比例系数，分别作为被除数。被除数除以除数得到一斛。

分别按应取粟的数量，用每斛的加工费乘这些数量，再除以算数（即应取粟的总数），得到率：算出九钱又一百三十三分钱之三。又，载运途中各用一天，即两天。

现有粟七斗，三人分舂，一人舂成粝米，一人舂成粺米，一人舂成米，要求三种米的数量相等。问：每人取粟多少？各成米多少？答：粝米取粟二斗又一百二十一分斗之十。粺米取粟二斗又一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗又一百二十一分斗之七十三。各成米一斗又六百五分斗之一百五十一。

算法：列出粝米率三十，粺米率二十七，米率二十四，然后取其倒数排列。

（这里先约简三率：粝米为十，粺米为九，米为八。要使米数相等，取粟的比例应为：粝米取十分之一，粺米取九分之一，米取八分之一。需要统一这些分数的分子，所以称为反衰。淳风等按：米有精粗的不同，粟有多差的差别。根据比率，粺、米少而粝米多；所用粟，则粺、米多而粝米少。如果米按照本来的比例，粟应当加倍，所以现在用反衰，使精米取多而粗米取少。）

将以上各率相加作为除数。用七斗乘未加的各率，分别得到取粟的分子。分子除以除数得出一斗。

（按今有术，加得的和为所有率，未加的各率为所求率，粟七斗为所有数，用今有术计算，所以各得到取粟数。）

如果要求相等的米数，用各本来的率乘定取的粟数作为分子，以粟率五十为除数，分子除以除数得出一斗。

（如果直接求相等的米数，列粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；米十二，用粟二十五。统一粟，齐同米，合并齐数作为除数。用七斗乘同数作为分子，所得即为米的斗数。）

现在有人应领粟二斛。粮仓无粟，想用米一、豆二代替应领的粟。问米、豆各多少？答：米五斗一升又七分升之三。豆一斛二升又七分升之六。

算法：列米一、豆二，求它们相当于粟的数。相加得三又九分之八，作为除数。又列米一、豆二，用粟二斛乘它们，各自作为分子。分子除以除数得出一斛。

（淳风等按：置粟率五，乘米一，用米率三除，得一又三分之二，即米一相当于粟的数；粟率十，乘豆二，用豆率九除，得二又九分之二，即豆二相当于粟的数。合并整数得三。统一分子，相加得二十四；统一分母得二十七；约简得九分之八。所以说“相加得三又九分之八”。米一、豆二相当于粟三又九分之八，这是它们的粟率。按今有术，米一、豆二都是所求率，当粟三又九分之八为所有率，粟二斛为所有数。凡是说率，应当相对应。通分后，即为米九、豆十八，相当于粟三十五。也有列米一、豆二，求它们相当于粟的率，作为列衰。相加作为除数，用粟乘列衰作为分子，所得即米一、豆二所求的粟。用米、豆的本率按今有术计算，即合所求。）

现在有雇工，背盐二斛，行一百里，给钱四十。现背盐一斛七斗三升少半升，行八十里。问给钱多少？答：二十七钱又十五分钱之一十一。

算法：置盐二斛的升数，用一百里乘，作为除数。

（按：此算法用背盐二斛的升数乘所行一百里，得二万里。即背盐一升行二万里，得钱四十。按今有术，为所有率。）用四十钱乘现在背盐的升数，再用八十里乘，作为分子。分子除以除数得出一钱。

（用现在背盐升数乘所行里数，即现在背盐一升总共行的里数。按今有术，以所有数，四十钱为所求率。衰分章“贷人千钱”与此相同。）

现在有人背笼重一石，行一百步，往返五十次。现在背笼重一石一十七斤，行七十六步，问往返多少次？答：五十七返又二千六百三分返之一千六百二十九。

算法：用现在所行步数乘现在笼重斤数，作为除数。

（此除数即背一斤往返一次所行积步。）用原来笼重斤数乘原来步数，再用原来往返次数乘，作为分子。分子除以除数得出一返。

（按：此除数，即背一斤往返一次所行积步；此分子，即背一斤一日所行积步。所以用往返一次的行程除一日的总程，即得往返次数。淳风等按：此算法，所行步数多的往返次数少，所行步数少的往返次数多。那么原来所行的步数就是现在往返的率。所以用现在所得返数乘现在往返的率，作为分子，而以原来往返的率为除数，这是今有术。按：此背笼有轻重，于是做算法的人让重的返数少，轻的返数多。所以又根据率来乘分子、除数，是为了体现今有术的意义。然而这种意思不对。按：此笼虽轻但行程有限，笼过重则人力不足。人力不足而算法无穷，人行有限而笼轻重不等。使有限的人力随那无穷的变化，所以知道此算法不合道理。如果原来所行有空行往返次数，假设以此提问，应当根据所负重量作为往返率，则现在往返次数可得而知。假令空行一日六十里，负重一斛行四十里。减重一斗则进二里半，负重二斗以下与空行相同。现在背笼重六斗，往返行一百步，问往返次数？答：一百五十返。算法：置负重行程率，加十里，用里法通分，作为分子。以一返的步数为除数。分子除以除数即得。）

现在有驿传运输，空车每日行七十里，重车每日行五十里。现从太仓运粟到上林，五天往返三次，问太仓到上林多远？答：四十八里又十八分里之一十一。

算法：合并空、里数，用三次往返乘，作为除数。使空、里数相乘，再用五天乘，作为分子。分子除以除数得一里。

（这也同上一算法。率：一百七十五里的路程，往返用六天。按今有术，则五天为所有数，一百七十五里为所求率，六天为所有率。由此所得，则是三次往返的路程。现在求一次往返，应当用三除，所以令乘法而合并除。做算法也可分别设空、重行一里所用天数率，作为列衰，相加作为除数。用五天乘列衰作为分子。分子除以除数，所得即空、重各自行车的天数。分别用一天所行里程乘，得到各自总里程。用三次往返约简，即得上林到太仓的距离。按：此算法重车往空车还，一次运输两次还路。设空车行一里用七十分之一天，重车行一里用五十分之一天。齐同后，空、重行一里路程，往返用一百七十五分之六天。完整地说，一百七十五里路程，往返用六天。所以合并空、重，是合并齐数；空、重相乘，是统一分母。按今有术，五天为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。由此所得，则是三次往返的路程。现在求一次往返，应当用三约简。所以令乘法而合并除，也应当约简。）

现有络丝一斤可练成练丝十二两，练丝一斤可炼成青丝一斤一十二铢。现有青丝一斤，问原来络丝多少？答：一斤四两一十六铢又三十三分铢之一十六。

算法：用练丝十二两乘青丝一斤一十二铢作为除数。用青丝一斤的铢数乘练丝一斤的两数，再用络丝一斤乘，作为分子。分子除以除数得一斤。

（按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六。又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二。设现有青丝一斤，用练率三百八十四乘，作为分子。分子除以青丝率三百九十六，所得即青丝一斤对应的练丝数。再用络率十六乘，所得作为分子；以练率十二作为除数。所得，即练丝所用络丝数。此即重今有。虽各有率，不问中间。所以令后分子乘前分子，后除数乘前除数而合并除。故以练丝两数为分子，青丝铢数为除数。另一法：又设络丝一斤两数与练丝十二两，约简，络得四，练得三。此即相互之率。又设练丝一斤铢数与青丝一斤一十二铢，约简，练得三十二，青得三十三。也是相互之率。统一青丝、络丝，齐同二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率全通了。现有青丝一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。做率的意义如此，只是不先约简各率罢了。凡率交错不通的，都用积齐同来用。仿此，即使四五转也没有不同。说“同其二练”，是为了说明三率相互通，对于算法没有不同。又一算法：用现有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，作为分子；以青丝一斤一十二铢为除数。所得，即用练丝两数。用络丝一斤乘所得作为分子，以练丝十二两为除数，所得，即用络丝斤数。）

现有劣质粟二十斗，舂得粝米九斗。现想要粺米十斗，问需要劣质粟多少？答：二十四斗六升又八十一分升之七十四。

算法：置粝米九斗，用九乘，作为除数。又置粺米十斗，用十乘，再用劣质粟二十斗乘，作为分子。分子除以除数得一斗。

（按：此算法设现有求粺米十斗，用粝米率十乘，除以粺率九，即粺米化为粝米；再用劣质粟率二十乘，除以粝率九，即粝米也化为劣质粟了。这也是重今有的意义。做算法的意图如同络丝。虽各有率，不问中间。所以令后分子乘前分子，后除数乘前除数而合并除。）

现有善行者行一百步，不善行者行六十步。现在不善行者先走一百步，善行者追他。问多少步追上？答：二百五十步。

算法：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，作为除数。用善行者的一百步乘不善行者先走的一百步，作为分子。分子除以除数得一步。

（按：此算法用六十步减一百步，余四十步，即不善行者先走的率；善行者行一百步，为追及率。约简，追及率得五，先行率得二。按今有术，不善行者先走一百步为所有数，五为所求率，二为所有率，用今有术计算，得追及步数。）

现不善行者先走一十里，善行者追一百里，先到而不善行者差二十里。问善行者多少里追上？答：三十三里又少半里。

算法：置不善行者先走一十里，用善行者先到二十里加它，作为除数。用不善行者先走一十里乘善行者一百里，作为分子。分子除以除数得一里。

（按：此算法不善行者既先走一十里，后差二十里，相加得三十里，称为先行率。善行者一百里为追及率。约简，先行率得三，三为所有率，用今有术计算，即得。其意同上算法。）

现有兔子先走一百步，狗追二百五十步，差三十步而停。问狗不停止，再走多少步追上？答：一百零七步又七分步之一。

算法：置兔先走一百步，用狗差三十步减它，余数作为除数。用差三十步乘狗追步数作为分子。分子除以除数得一步。

按照这个算法，用不及的三十步减去先走的一百步，余下七十步，作为兔子先走率。狗行走二百五十步作为追及率。约分后，先走率得七，追及率得二十五。运用今有术，不及的三十步作为所有数，二十五作为所求率，七作为所有率，用今有术计算，就得到结果。现在有人携带十二斤金子出关，关税是十取一。现在关卡收取了二斤金子，补偿五千钱。问一斤金子值多少钱？答：六千二百五十。算法：用十乘以二斤，再用十二斤减去它，余数作为除数。用十乘以五千作为被除数。被除数除以除数得到一钱。按照这个算法，设置十二斤，用一乘它，除以十，得到一斤又五分之一斤，就是应当缴纳的税。减去二斤，余数就是关卡多收的金子。用多收的金子去除补偿的钱，就是金子的价值。现在的算法既然用十二斤作为被税的数，就是用十作为分母，所以用十乘以二斤和补偿的钱，通分它们的比率。运用今有术，五千钱作为所有数，十作为所求率，八作为所有率，用今有术计算，就得到结果。

现在有客人的马，每天行三百里。客人离去时忘了带衣服。时间已过三分之一日，主人才发觉。主人带着衣服追上客人，交给客人后返回；到家时看时间，已经是四分之三日。问主人的马不停歇，每天行多少里？答：七百八十里。算法：设置四分之三日，减去三分之一日，按照这个算法“设置四分之三日，减去三分之一日”，减，就是减去。减后余数有十二分之五，就是主人追及客人并返回所用的日率。取其一半作为除数。去掉返回，只保留前往。比率中，分子不能取半，所以分母加倍，得到二十四分之五。这就是主人与客人平均行走所用的日率。再设置除数，加上三分之一日。除数二十四分之五，是主人前往追及时所用的日分。三分之一，是客人离去主人未发觉之前独自行走所用的日分。合并这些数，得到二十四分之十三，就是主人追及之前所用的日分。这就是客人所用的日率。那么主人所用的日率，是客人马的行程率；客人所用的日率，是主人马的行程率。分母相同则分子齐，就是客人马行程率五，主人马行程率十三。运用今有术，三百里作为所有数，十三作为所求率，五作为所有率，用今有术计算，就得到结果。用三百里乘之，作为被除数。被除数除以除数，得到主人马一日行程。想知主人追客所行里数，用三百里乘客人所用日分子十三，除以分母二十四，得一百六十二里半。用这个乘客人马与主人均行日分母二十四，除以客人马与主人均行用日分子五，也得主人马一日行七百八十里。

现在有金锤，长五尺，从根部截下一尺，重四斤；从末梢截下一尺，重二斤。问中间每尺各重多少？答：末梢一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤八两。次一尺重四斤。算法：令末重减本重，余数就是差率。又设置本重，用四间乘它，作为下第一衰。再设置，用差率减它，每尺各自为衰。按照这个算法，五尺有四间，就有四个差。现在本末相减，余数就是四个差的总数。用四除它，就得到每尺的差。用差数减本重，余数就是次尺的重。算法的设置，如此而已。现在这个率以四为分母，所以令分母乘本作为衰，通分其率。也可以设置末重，用四间乘它，作为上第一衰。用差重率加它，作为次下衰。再设置下第一衰，作为除数。用本重四斤遍乘列衰，各自作为被除数。被除数除以除数得到一斤。用下第一衰作为除数，用本重乘其分母的数值，又反过来用这个率乘本重，作为被除数。一乘一除，势无损益，所以只有本重存在。众衰相互推求为率，则其余可知。也可以再设置末衰作为除数，用末重二斤乘列衰作为被除数。这虽然迂回，但是旧法。所以用新法来说。

现在有五个人分五钱，要求上面两人所得与下面三人相等，问各得多少？答：甲得到一又六分之二钱。乙得到一又六分之一钱。丙得到一钱。丁得到六分之五钱。戊得到六分之四钱。算法：设置钱，锥行衰。按照这个算法，“锥行”是指像立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，为一列。合并上二人为九，合并下三人为六。六少于九，差三。数不得等，但以五、四、三、二、一为率。用三均加焉，再合并作为除数。用所分钱乘未并者，各自作为被除数。被除数除以除数得到一钱。这个问题，是让上二人与下三人相等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下部等。运用今有术，合并的作为所有率，未合并的各作为所求率，五钱作为所有数，用今有术计算，即得等。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均减，乃合所问。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。

现在有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升。问中间二节要均匀容量，各多少？答：下第一节一升又六十六分之二十九升。次一升又六十六分之二十二升。次一升又六十六分之十五升。次一升又六十六分之八升。次一升又六十六分之一升。次六十六分之六十升。次六十六分之五十三升。次六十六分之四十六升。次六十六分之三十九升。算法：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。这两个率，各是其平率。上、下率以少减多，余为实。按照这个，上、下节各分所容为率者，各是其平率。上、下以少减多者，余为中间五节半之凡差，故以为实。设置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。下率一升少半升者，下第二节容也。一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。

现在有野鸭从南海起飞，七天到达北海；大雁从北海起飞，九天到达南海。现在野鸭和大雁同时起飞，问多少天相遇？答：三天又十六分之十五天。算法：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。按照这个算法，设置野鸭七日一至，大雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日野鸭九至，大雁七至。今野鸭、大雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一说：野鸭飞日行七分至之一，大雁飞日行九分至之一。齐而同之，野鸭飞定日行六十三分至之九，大雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，野鸭日行九分，大雁日行七分也。并野鸭、大雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。

现在有甲从长安出发，五天到达齐地；乙从齐地出发，七天到达长安。现在乙已经先出发两天，甲才从长安出发，问多少天相遇？答：两天又十二分之一天。算法：合并五天、七天，作为法。按照这个算法，“合并五天、七天为法”者，犹并齐为法。设置甲五天一到，乙七天一到。齐而同之，定三十五天甲七到，乙五到。合并之为十二到者，用三十五天也。谓甲、乙与发之率耳。然则日化为到，当除日，故以为法也。用乙先发两天减七天，“减七天”者，指甲、乙都出发，现在以出发为始发之端，于本道里则余分也。余，用乘甲日数为实。七天，是长安去齐之率也；五天，是后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。用乘甲五天，为二十五天。指甲七到，乙五到，更相去，用这二十五天也。实如法得一天。一天甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。现在乙先出发两天，已行十分，余，相去二十五分。故减乙两天，余，令相乘，为二十五分。

现在有一人一天做牝瓦三十八枚，一人一天做牡瓦七十六枚。现在让一人一天做瓦，牝瓦和牡瓦各半，问做成瓦多少枚？答：二十五枚又少半枚。算法：合并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。这个意思也和野鸭大雁的算法相同。牝瓦、牡瓦相并，犹如野鸭、大雁日飞相并也。按：此术“合并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实如法，即得也。

现在有一人一天矫正箭杆五十支，一人一天安装箭羽三十支，一人一天搓制箭杆十五支。现在让一人一天自己完成矫正、安装羽、搓制，问做成箭多少支？答：八支又少半支。算法：矫正箭杆五十支，用徒一人；安装箭羽五十支，用徒一人又太半人；搓制箭杆五十支，用徒三人又少半人。合并之，得六人，以为法。以五十支箭为实。实如法得一箭。按照这个算法，说做成箭五十支，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹野鸭、大雁共至之类，亦以同为实，并齐为法。可令箭互乘一人为齐，箭相乘为同。现在先令同于五十支箭。箭同则徒齐，其归一也。——以此术为野鸭大雁者，当大雁飞九日而一至，野鸭飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。——实如法而一，得一人日成箭之数也。

现在有租田，第一年租田三亩一钱，第二年四亩一钱，第三年五亩一钱。总共三年得到一百钱。问田有多少？答：一顷二十七亩又四十七分之三十一亩。算法：设置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，合并，作为法。亩数相乘，又用一百钱乘之，作为实。实如法得一亩。

按：这个算法让亩数与钱数互相乘，是为了使钱数齐一；让亩数相乘，是为了使亩数相同。同一于六十，那么第一年租得二十钱，第二年得十五钱，第三年得十二钱。总共三年得钱一百，作为所有数，相同亩数为所求率，四十七钱为所有率，用今有术计算，即得结果。使钱数齐一，亩数相同，也如同凫雁算法。在现今的算法中，一百钱作为所有数，相同亩数为所求率，齐一后的总和为所有率。

淳风等人按：假设田六十亩，第一年得钱二十，第二年得钱十五，第三年得钱十二。加起来，得钱四十七。这就是得田六十亩，三年所租。在现今的算法中，一百钱作为所有数，六十亩为所求率，四十七为所有率，用今有术计算，即合题意。

现在有规定耕作量：一人一天能开荒七亩，一人一天能耕地三亩，一人一天能播种五亩。现在让一人一天自己完成开荒、耕地、播种，问能整治田多少？答案是：一亩一百一十四步又七十一分之六十六步。

算法：设置开荒、耕地、播种的亩数，让它们互相乘人数，加起来作为除数。亩数相乘作为被除数。被除数除以除数得出一亩。

（这如同凫雁算法。淳风等人按：这个算法将开荒、耕地、播种的亩数与人数互乘，是为了使人数齐一；亩数相乘，是为了使亩数相同。所以把齐一后的数加起来作为除数，把相同的数作为被除数。计算得田一百零五亩，开荒用十五人，耕地用三十五人，播种用二十一人。加起来，得七十一工。整治得一百零五亩，所以作为被除数。而一人一天所整治的，所以用人数作为除数去除，即得结果。）

现在有水池，五条渠向它注水。第一条渠单独开，少半日即满；第二条一日满；第三条二日半满；第四条三日满；第五条五日满。现在全部打开，问多少日满池？答案是：七十四分之十五日。

算法：分别设置各渠一日满池的次数，加起来作为除数。

（按：这个算法中，第一条渠少半日满，即一日满三次；第二条一日满一次；第三条二日半满，即一日满五分之二次；第四条三日满，即一日满三分之一；第五条五日满，即一日满五分之一。加起来，得四又十五分之十四满。）以一日作为被除数，被除数除以除数得一日。

（这如同矫正箭矢的算法。先使时间相同于一日，日数相同则满数齐一。从凫雁问题到这里，同与齐的方法有两种，可随率数适宜选用。）

另一种算法：分别设置日数和满数。

（第一条渠少半日满，即一日满三次；第二条一日满一次；第三条二日半满，即五日满两次；第四条三日满一次；第五条五日满一次。这叫做分别列置日数和满数。）让日数互相乘满数，加起来作为除数。日数相乘作为被除数。被除数除以除数得一日。

（也如同凫雁算法。按：这里第一条渠少半日满池，即一日满池三次；第二条一日满一次；第三条二日半满，即五日满两次；第四条三日满一次；第五条五日满一次。这是把日数列在右边一行，满数列在左边一行。用日数互乘满数，是为了使满数齐一；日数相乘，是为了使日数相同。满数齐一日数相同，所以用齐一后的和除以相同的数，即得。）

现在有人带着米经过三个关卡，外关抽取三分之一，中关抽取五分之一，内关抽取七分之一，剩余米五斗。问原来带米多少？答案是：十斗九升又八分之三升。

算法：设置米五斗，用所纳税率的三、五、七相乘，作为被除数。用剩余不纳税的二、四、六互相乘作为除数。被除数除以除数得一斗。

（这也是连续使用今有术。所纳税率，是指应当纳税的比例。定三、五、七都是所求率，二、四、六都是所有率。设置现在剩余米五斗，用七乘，除以六，即得内关未纳税的原来米数。再用五乘，除以四，即得中关未纳税的原来米数。再用三乘，除以二，即得外关未纳税的原来米数。现在从末端求原本，不经过中间，所以让中间率互相乘而统一，也如同络丝算法。

另一种算法：外关抽取三分之一，则剩余原来米的三分之二。求外关纳税后的剩余，则应当设置一，用二分乘，除以三。想知道中关，用四乘，除以五。想知道内关，用六乘，除以七。所有剩余部分，乘其母、子：用三、五、七相乘得一百零五，作为分母；二、四、六相乘，得四十八，作为分子。约简来说，就是剩余米是原本所带米的三十五分之十六。在现今算法中，剩余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率。）

现在有人带着金子经过五个关卡，前关抽取二分之一，次关抽取三分之一，次关抽取四分之一，次关抽取五分之一，次关抽取六分之一。五个关卡所抽税加起来恰好重一斤。问原来带金多少？答案是：一斤三两四铢又五分铢之四。

算法：设置一斤，用所抽税率的全部数相乘，作为被除数。也把不纳税的部分全部相乘，用所得数减去全部相乘数，余数作为除数。被除数除以除数得一斤。

（这个意思与上面算法相同。“设置一斤，用所抽税率的全部数相乘”，是指让二、三、四、五、六相乘，作为分母，七百二十。“把不纳税的部分全部相乘”，是指让纳税后剩余的一、二、三、四、五相乘，作为分子，一百二十。约简来说，就是剩余金是原本所带金的六分之一。用分子减去分母，共五个关卡纳税六分之五。在现今算法中，纳税一斤为所有数，分母六为所求率，分子五为所有率。这也是连续使用今有术的含义。又虽然各有关税率，但不经过中间，所以让中间率互相乘而连除，即得。设置一作为持金的本率，用税率乘、除，则其率也形成积分。）