# 卷七 类型：古籍章节 书名：《九章算术》 作者：佚名 时代：东汉 类别：数学典籍 · 白话译文 卷目：正文 章节：卷七 ## 本章概览 《九章算术》卷七专讲盈不足术，这是一种通过假设与调整求解问题的经典算法。章中列举了大量实际案例，如众人共买物品，每人出钱有盈有亏，通过交叉相乘求人数与物价；又有良马劣马从长安去齐地，良马日行递增、劣马递减，两者相遇的天数与路程计算；还有黄金白银交换轻重、漆油混合比例、玉与石在立方体中的重量分配等。每个问题都采用假设法：先假设一个数值，计算盈或不足，再用盈不足术的公式——交叉相乘盈不足数，相加为实，盈不足和为法，实除以法得正解。若遇两盈或两不足，则以差为法。章末还涉及带息还款的复杂问题，通过逐次倒推求解本金与利息。这些算法不仅展示了古代数学的实用性与逻辑性，也反映了秦汉时期商业、农业、运输等领域的实际需求。盈不足术作为非线性问题的近似解法，在数学史上具有重要地位，体现了中国古人的智慧与创造力。 本章介绍了盈不足问题的多种情形及其解法，包括一盈一不足、两盈、两不足、盈适足、不足适足等，并通过具体例题演示计算过程。 本章通过多个实例讲解盈不足问题的标准解法：设出率值，计算盈、不足，交叉相乘求实，合并盈不足求法，实除以法得人数或物价。包括一盈一不足、两盈两不足、盈适足、不足适足等情形。 ## 正文 现在共同买物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，少4钱。问人数、物价各是多少？答：七人。物价五十三。 现在共同买鸡，每人出9钱，多出11钱；每人出6钱，少16钱。问人数、鸡价各是多少？答：九人。鸡价七十。 现在共同买琎，每人出半钱，多出4钱；每人出少半钱，少3钱。问人数、琎价各是多少？答：四十二人。琎价十七。 现在共同买牛，七家共出190钱，少330钱；九家共出270钱，多30钱。问家数、牛价各是多少？答：一百二十六家。牛价三千七百五十。 计算方法：将所出的率值，盈和不足分别放在下面。让交叉相乘所出的率值，相加，作为实。合并盈和不足，作为法。实除以法得出一个数。 如果有分数，就通分。 盈不足问题中共同购买物品，将所出的率值，用少的减多的，余数，用来约简法和实。实是物价，法是人数。 另一种方法：合并盈和不足作为实。用所出的率值，用少的减多的，余数作为法。实除以法得到一个人数。用所出率值乘它，减去盈数，加上不足数，就是物价。 现在共同买金，每人出400钱，多出3400钱；每人出300钱，多出100钱。问人数、金价各是多少？答：三十三人。金价九千八百。 现在共同买羊，每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱。问人数、羊价各是多少？答：二十一人。羊价一百五十。 计算方法：将所出的率值，盈和不足分别放在下面。让交叉相乘所出的率值，用少的减多的，余数作为实。两盈或两不足，用少的减多的，余数作为法。实除以法得出一个数。如果有分数，就通分。两盈两不足问题中共同购买物品，将所出的率值，用少的减多的，余数，用来约简法和实。实是物价，法是人数。 另一种方法：将所出的率值，用少的减多的，余数作为法。两盈或两不足，用少的减多的，余数作为实。实除以法得出一个数，得到人数。用所出率值乘它，减去盈数，加上不足数，就是物价。 现在共同买狗，每人出5钱，少90钱；每人出50钱，正好够。问人数、狗价各是多少？答：二人。狗价一百。 现在共同买猪，每人出100钱，多100钱；每人出90钱，正好够。问人数、猪价各是多少？答：一十人。猪价九百。 计算方法：用盈和不足的数目作为实。将所出的率值，用少的减多的，余数作为法。实除以法得到一个人数。求物价时，用正好够的钱数乘人数，得到物价。 现在有米在十斗的桶中，不知道数量。加满粟米后舂捣，得到米七斗。问原来的米是多少？答：二斗五升。 计算方法：用盈不足的方法来求。假设原来米二斗，少二升；假设三斗，多二升。 现在有一堵墙高九尺。瓜生长在墙顶，蔓每天长七寸；瓠生长在墙根，蔓每天长一尺。问多少天相遇？瓜和瓠各长多少？答：五天又十七分之五天。瓜长三尺七寸又十七分之一寸。瓠长五尺二寸又十七分之十六寸。 计算方法：假设五天，少五寸；假设六天，多一尺二寸。 现在蒲草第一天长三尺，莞草第一天长一尺。蒲草每天增长一半，莞草每天增长一倍。问多少天长到一样长？答：二天又十三分之六天。各长四尺八寸又十三分之六寸。 计算方法：假设两天，少一尺五寸；假设三天，多一尺七寸半。 现在有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱十。现在用钱三十，买到酒二斗。问醇酒、行酒各得多少？答：醇酒二升半。行酒一斗七升半。 计算方法：假设醇酒五升，行酒一斗五升，多十钱；假设醇酒二升，行酒一斗八升，少二钱。 现在有大容器五个，小容器一个，容量三斛；大容器一个，小容器五个，容量二斛。问大、小容器各容多少？答：大容器容二十四分之十三斛。小容器容二十四分之七斛。 计算方法：假设大容器容五斗，小容器也容五斗，多十斗；假设大容器容五斗五升，小容器容二斗五升，少二斗。 现在有漆三份可以换得油四份，油四份可以和漆五份混合。现在有漆三斗，想要分出一部分换油，再用换来的油与剩下的漆混合。问输出漆、得到油、混合漆各多少？答：输出漆一斗一升又四分之一升。得到油一斗五升。混合漆一斗八升又四分之三升。 计算方法：假设输出漆九升，少六升；假设输出漆一斗二升，多二升。 现有三斗漆，取出九升，换来一斗二升油，可调和一斗五升漆，剩余二斗一升漆，其中六升没有油可调和，所以说“不足六升”。如果取出漆一斗二升，则换得一斗六升油，可调和二斗漆。在三斗漆中已经取出一斗二升，剩余一斗八升。现有的油调和得漆二斗，则有余二升。用盈、不足数交叉相乘，作为被除数。将盈和不足相加作为除数。除数除被除数，得到取出漆的升数。求油和可调和的漆，四、五分别是所求率，三、四分别是所有率，用今有术计算，即得结果。 现有玉一方寸，重七两；石一方寸，重六两。现有一块立方体石头，边长三寸，内含玉，总重十一斤。问玉、石各重多少？答：玉十四立方寸，重六斤二两。石十三立方寸，重四斤十四两。 解法：假设全是玉，则多出十三两；假设全是石，则不足十四两。不足的对应玉，多出的对应石。各自乘以一寸的重量，得到玉和石的体积和重量。 （立方三寸是边长为三寸的立方体，体积为二十七立方寸。玉方一寸重七两，石方一寸重六两，因此玉和石每立方寸相差一两。假设全是玉，总重应为一百八十九两。与十一斤比较，多出十三两。玉重而石轻，所以有超出。即在二十七立方寸中有十三立方寸，每立方寸减一两，则变为石重，所以说多出的部分对应石。多出的数量是从石变成玉产生的。假设全是石，总重应为一百六十二两。与十一斤比较，少十四两，所以说不足。这不足是因为将重的当作轻的。所以将减少的数量加到总重上，即在二十七立方寸中有十四立方寸，每立方寸增加一两。） 现有良田一亩，价三百钱；劣田七亩，价五百钱。现一并买一顷（一百亩），总价一万钱。问良田、劣田各多少？答：良田十二亩半。劣田八十七亩半。 解法：假设良田二十亩，劣田八十亩，则多出一千七百一十四又七分之二钱；假设良田十亩，劣田九十亩，则不足五百七十一又七分之三钱。 （按：良田二十亩，价值六千钱；劣田八十亩，价值五千七百一十四又七分之二钱，与一万钱比较，多出一千七百一十四又七分之二钱。假设良田十亩，价值三千钱；劣田九十亩，价值六千四百二十八又七分之四钱；与一万钱比较，不足五百七十一又七分之三钱。用盈不足术求解。） 现有黄金九枚，白银十一枚，称重正好相等。交换其中一枚，黄金比白银轻十三两。问黄金、白银每枚各重多少？答：黄金每枚重二斤三两十八铢。白银每枚重一斤十三两六铢。 解法：假设黄金每枚三斤，白银每枚二又十一分之五斤，则不足四十九两，标示在右边。假设黄金每枚二斤，白银每枚一又十一分之七斤，则多出十五两，标示在左边。用分母分别乘以各行内的数值。用盈、不足数交叉乘以所出的率，相加作为被除数。将盈和不足相加作为除数。除数除被除数，得到黄金的重量。用分母乘除数再除，得到白银的重量。约分得到分数。 （按：此解法假设黄金九枚，白银十一枚，总重都是二十七斤。黄金九枚，除以九得三斤；白银十一枚，除以十一得二又十一分之五斤；分别是金、银每枚的重量。从黄金总重二十七斤中减去一枚黄金的重量，加给白银；从白银总重二十七斤中减去一枚白银的重量，加给黄金，则黄金重二十六又十一分之五斤，白银重二十七又十一分之六斤。以少减多，则黄金轻十七又十一分之五两。与十三两比较，多出四又十一分之五两。通分并化为假分数，即不足四十九两。又假设黄金九枚，每枚重二斤，九枚重十八斤；白银十一枚，也应重十八斤。于是用十一除，得每枚白银重一又十一分之七斤。现在从黄金总重十八斤中减去一枚黄金，加给白银；再减去一枚白银，加给黄金，则黄金重十七又十一分之七斤，白银重十八又十一分之四斤。以少减多，即黄金轻十一分之八斤。与十三两比较，少一又十一分之四两。通分并化为假分数，即多出十五两。用盈不足术求解，按方法得到黄金重量。用分母乘除数再除，是因为白银两数有分母，所以需同分母。必须通分后再除，得到白银重量。其余约分，是为了简化计算。） 现有良马和劣马从长安出发去齐地。齐地离长安三千里。良马第一天行一百九十三里，以后每天增加十三里；劣马第一天行九十七里，以后每天减少半里。良马先到达齐地，然后返回迎接劣马。问多少天相遇？各自行了多少里？答：十五又一百九十一分之一百三十五天相遇。良马行四千五百三十四又一百九十一分之四十六里。劣马行一千四百六十五又一百九十一分之一百四十五里。 解法：假设十五天，不足三百三十七里半；假设十六天，多出一百四十里。用盈、不足数交叉乘以假设的天数，相加作为被除数。将盈和不足相加作为除数。除数除被除数，得到天数。除不尽的，用等数约分后命分。求良马行的路程：用十四乘每天增加的路程，再除以二，加上良马第一天的行程，乘以十五天，得十五天的总行程。再用十五天乘每天增加的路程，加上良马第一天的行程。乘以天数分子，除以天数分母。所得加上之前良马的总行程，即得。有余数则命分。求劣马行的路程：用十四乘半里，再除以二，从劣马第一天的行程中减去，乘以十五天，得劣马十五天的总行程。再用十五天乘半里，从劣马第一天的行程中减去，余数乘以天数分子，除以天数分母。所得加上之前的里数，即劣马确定的总里数。若有半里奇数，则作为半法。用半法增加剩余分数，即得。有余数则命分。 （按：“假设十五天，不足三百三十七里半”是说：根据良马十五天总行四千二百六十里，先减去到齐的三千里，确定返回迎接劣马行一千二百六十里；劣马十五天总行一千四百零二里半，良马和劣马所行相加得二千六百六十二里半。与三千里比较，少三百三十七里半，所以说不足。“假设十六天，多出一百四十里”是说：根据良马十六天总行四千六百四十八里，先减去到齐的三千里，确定返回迎接劣马行一千六百四十八里；劣马十六天总行一千四百九十二里。良马和劣马所行相加得三千一百四十里。与三千里比较，多出一百四十里，所以说多。用盈不足术，除数除被除数得到天数，即设差后正好不盈不亏的正数。用两马第一天所行里数乘十五天，得十五天的平行数。求初末增加和减少的数值，是将一与十四相加，用十四乘再除以二，得到平均增量。再用每天增减的里数乘之，各得到增减的平均里数。因此各从平行数中减去增量或加上减量，得十五天的确定行里。若求后一天，用十六天的确定行里数乘天数分子，除以天数分母，各得天数分子对应的确定行里数。因此各加上十五天的确定行里，即得。其中劣马有半里奇数，是因为以全里为分母，所以将半里作为半法，用以增加剩余分数，即符合所求。） 现有人带钱去蜀地经商，利润为十分之三。第一次返回还款一万四千，第二次还款一万三千，第三次还款一万二千，第四次还款一万一千，最后一次还款一万。共五次还款，本金和利息全部还清。问最初的本金和利息各多少？答：本金三万四百六十八又三十七万一千二百九十三分之八万四千八百七十六钱。利息二万九千五百三十一又三十七万一千二百九十三分之二十八万六千四百一十七钱。 解法：假设本金三万钱，则不足一千七百三十八钱半；假设本金四万钱，则多出三万五千三百九十钱八分。 （按：假设本金三万钱，加上利息共三万九千钱；扣除第一次还款剩余，加利息得三万二千五百钱；扣除第二次还款剩余，再加利息得二万五千三百五十钱；扣除第三次还款剩余，再加利息得一万七千三百五十五钱；扣除第四次还款剩余，再加利息得八千二百六十一钱半；扣除第五次还款还剩一万钱，不足一千七百三十八钱半。若假设本金四万钱，加上利息共五万二千钱；扣除第一次还款剩余，加利息得四万九千四百钱；扣除第二次还款剩余，再加利息得四万七千三百二十钱；扣除第三次还款剩余，再加利息得四万五千九百一十六钱；扣除第四次还款剩余，再加利息得四万五千三百九十钱八分；扣除第五次还款还剩一万，多出三万五千三百九十钱八分，所以说多。 另一种解法：将最后一次还款一万，乘以十，除以十三，即得到最后一次还款前所持的本金。加上一万一千，再乘以十，除以十三，即得到第四次还款前的本金。加上一万二千，再乘以十，除以十三，即得到第三次还款前的本金。加上一万三千，再乘以十，除以十三，即得到第二次还款前的本金。加上一万四千，再乘以十，除以十三，即得到最初的本金。将五次还款的钱相加，从本金中减去，即得利息。） 现有墙厚五尺，两只老鼠相对挖洞。大老鼠每天挖一尺，小老鼠也每天挖一尺。大老鼠每天挖的速度加倍，小老鼠每天挖的速度减半。问多少天相遇？各挖了多少？答：二又十七分之二天。大老鼠挖三尺四又十七分之十二寸，小老鼠挖一尺五又十七分之五寸。 解法：假设两天，不足五寸；假设三天，多出三尺七寸半。 （大老鼠每天加倍，两天共挖三尺；小老鼠每天减半，共挖一尺五寸；加上大老鼠所挖，共四尺五寸。与墙厚五尺比较，不足五寸。假设三天，大老鼠挖得七尺，小老鼠挖得一尺七寸半。相加，减去墙厚五尺，多出三尺七寸半。用盈不足术求解，即得。以后一天所挖乘天数分子，除以天数分母，即得到天数分子中所挖的尺寸。因此各加上两天确定的挖尺，即符合所求。） ## 标签 - 盈不足 - 两盈两不足 - 交叉相乘 原始页面：https://shishuguan.com/books/jiuzhang-suanshu-baihuawen-full/volume-1/chapter-8