卷二十七时宪八

凌犯视差新法上卷，道光年间，钦天监秋官正司廷栋所撰写，比旧法更加精密，附在卷末，以备参考。

求用时

推算各行星的运行速度，都以太阳为根本；而太阳的实际运行，又以平均运动为基础。其推算方法，总以每天子正为起点，这里说的子正，是指平子正，即太阳平均位置到达子正初刻的位置。现在的推算时刻，虽然以两个子正之间的实际运动为比例，但所得的都是平均位置所到的点，而实际位置所到的点，自然有快慢的不同。假设太阳在近日点之后，实际运动大于平均运动，那么太阳实际位置必定在平均位置以东，从时刻上说，就是还没到。如果太阳过远日点之后，实际运动小于平均运动，那么太阳实际位置必定在平均位置以西，从时刻上说，就是已经过了。所以把应该加的均数换算成时间，就是应该减的时间差；把应该减的均数换算成时间，就是应该加的时间差。这是因为太阳有平均运动和实际运动的区别，从而产生均数时差。然而太阳运行的是黄道，时刻所依据的是赤道，因为黄道与赤道斜交，所以同升必定有角度差。比如春分秋分后，赤道小于黄道，其差应减，在时刻上表现为未到。夏至冬至后，赤道大于黄道，其差应加，在时刻上表现为已过。所以用正弧三角形法求得黄道赤道升度差，换算成时间，春分秋分后为加，夏至冬至后为减，这是因为经度有黄道和赤道的区别，从而产生升度时差。按照本时的太阳运行和自行运动所产生的两个时差，各自加减于平时而得到用时，由用时才能推算其他数值，所以交食也必定以推算用时为首要任务，就是日食月食的第一项求解。其方法和原理、图解已经记载在《考成前编》中，讲解最详细，其图分为两部分，而且均数时差图使用小轮。到了《考成后编》求均数改为椭圆法，其原理也详细包含在求均数篇内，但没有提到时差。现在依据太阳实际位置所在的黄道点，以均数的分数得到黄道上的平均位置点，即以平均和实际两点，按照过两极、两至的经圈作距等圈的方法，引到赤道上，可以使两个时差合为一图。太阳的经度所对应的时刻以及两个时差的加减，都可以按图查考了。

比如道光十二年壬辰三月初六日癸丑戌正二刻十一分，月亮与司怪第四星同黄道经度，这就是凌犯时刻。当天太阳引数三宫三度五十五分，太阳黄道经度三宫十五度五十三分，求用时。如图，甲为北极，乙丙丁戊为赤道，乙甲丁为子午圈，乙为子正，丁为午正，己庚辛壬为黄道，丙甲戊为过两极两至的经圈，己为冬至，辛为夏至，庚为春分，壬为秋分。子为太阳实际位置的点，对应赤道上的丑，那么丑点就是太阳实际位置所对应的用时。卯为太阳平均位置的点，对应赤道上的辰。卯子和子之间的差，就是应加的均数一度五十五分四十五秒，试从卯、子两点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午、子未两条线，就如同距等圈，将太阳平均位置、实际位置都引到赤道上，那么庚午必定等于庚卯，庚未必定等于庚子，赤道上的午未也必定等于卯子的均数。换算成时间得七分四十三秒，就是赤道上午未的差距，也就是均数时差。其次用庚丑子正弧三角形求庚丑弧，这个三角形有丑直角，有庚角黄赤交角二十三度二十九分，有庚子弧太阳距春分后的黄道度十五度五十三分。于是以半径为一率，庚角的余弦为二率，庚子弧的正切为三率，求得四率为庚丑弧的正切，查表得庚丑弧十四度三十七分三十六秒，为太阳距春分后的赤道度。然后与等于庚子黄道弧的庚未弧相减，得丑未弧一度十五分二十四秒，为应减的黄赤升度差。换算成时间得五分二秒，就是升度时差。这是因为太阳平均位置卯点，距春分的庚卯弧与庚午弧相等，那么午点就是平时，也就是现在的凌犯时刻。而太阳实际位置子点，距春分的庚子与庚未弧相等，那么午未就是平均位置与实际位置的差。如果按太阳右旋来说，是实际位置已经超过平均位置；但按随天左旋来计算，是实际位置未到平均位置，所以未点反而比午点早，因此必须减去午未均数时差，才能得到未点时刻，这是太阳在黄道上虚映到赤道上的时刻。然而子点太阳实际对应的赤道点是丑，那么丑未就是黄道与赤道的差。如果按经度东行来说，是赤道未到黄道；但按时刻西行来计算，是赤道已过黄道，所以丑点又比未点迟，因此必须加上丑未升度时差，才能得到丑点时刻，也就是太阳在黄道上实际对应赤道的时刻。这两个时差既然一加一减，而减去的又大于应加的部分，所以先将两个时差相减，得丑午时分二分四十一秒，作为时差。这是因为两个时差加减符号不同所以相减，如果符号相同则相加，这就是所谓两数合为一数。又因为减数大于加数，所以仍然做减法，如果加数大则做加法。于是从午点的凌犯时刻戌正二刻十一分中减去，得到丑点戌正二刻八分十九秒，作为凌犯用时。

一率半径

二率庚角余弦

三率庚子弧正切

四率庚丑弧正切

图形暂无资料

又假设凌犯时刻丑正一刻，太阳引数三宫十三度二十九分，黄道实际位置三宫二十五度三十四分，求用时。如子为太阳实际位置的点，对应赤道上的丑，其丑点就是所对应的用时。卯为太阳平均位置的点，对应赤道上的辰，其子卯为应加的均数一度五十二分二十五秒，也从卯、子两点与过极至经圈平行作卯丑、子未两条距等圈，其平均位置卯点映到赤道上，恰好与实际位置对应的赤道丑点重合，那么由平均位置得到的时刻，已经符合实际位置实际对应的赤道用时，遇到这种情况可以不必求其时差。但是怎么知道呢？因为两个时差的数值相等，必定减尽没有剩余，就没有时差的总数了。现在按方法求之，既然作了卯丑、子未两条线，其庚丑等于庚卯，庚未等于庚子，那么丑未必定等于卯子均数，换算成时间得七分三十秒，就是赤道上应减的均数时差。其次用庚丑子正弧三角形，求得庚丑弧赤道度，与等于庚子弧黄道度的庚未弧相减，得丑未弧，黄赤升度差恰好与均数相等。换算成时间也得七分三十秒，就是赤道上应加的升度时差。其时差一个为加、一个为减，而两数相等，于是减尽没有剩余，既然没有时差的总数，那么其凌犯时刻就是用时，可以知道了。这个方法是用丑点凌犯时刻减去均数时差，得到未点实际位置虚映的时刻，再加上相等的升度时差，所得用时，仍然在丑点位置，这是因为太阳平均位置距春分后的黄道度等于太阳实际位置距春分后的赤道度。又比如太阳正好在本天最卑点或最高点，就没有平均位置与实际位置的差，自然没有均数时差，只加减升度时差一个数。假设太阳在本天最卑点，又正好在子正，如太阳在黄道的子点，则庚乙等于庚子，用庚丑子正弧形求得丑乙黄赤升度差。换算成时间从乙点时刻中减去，得到丑点用时，就在乙点子正之前。如果太阳在本天最高点，又正好在午正，如太阳在黄道的午点，则壬丁等于壬午，用壬寅午正弧形求得寅丁黄赤升度差，换算成时间从丁点时刻中减去，得到寅点用时，就在丁点午正之前。

图形暂无资料

又比如太阳实际位置正好在冬至、夏至或正好在春分、秋分，这四个点都没有黄道与赤道的差，自然没有升度时差，只加减均数时差一个数。假设太阳实际位置六宫初度为正好是夏至，在黄道的辛点，对应赤道上的戊，而平均位置卯点，对应赤道上的辰，从卯点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午距等圈，那么午点为凌犯时刻，其戊午等于辛卯均数，换算成时间得到均数时差。从午点减去得到戊点，就是用时。

图形暂无资料

求春分距午时分、黄平象限宫度及限距地高

推算太阴凌犯视差，固然依照《后编》求日食三差的方法，但其用途不同。因为日食的东西差是求视距弧，而南北差是求视纬，其视距弧、视纬则是求视相距及视运行之用。因为太阴运行在白道上，所以必须以白平象限为准。至于五星距恒星、五星互相距，都以黄道同经度的时候为相距时刻，而比较黄纬南北相距的数值作为其上下之分。至于月亮距五星、月亮距恒星，也都以黄道经度相同的时候为凌犯时刻，不再问白道经度，那与白平象限又有什么关系呢？然而它以东西差确定视时的进退，以南北差判断视纬的大小，以确定视距的远近，这些差都是黄道经纬的差，所以必须以黄平象限的宫度为准。黄平象限，是地平上黄道半周的中点。不过黄道与赤道斜交，地平上赤道半周的中点，总是对着子午圈，而地平上黄道半周的中点，则时常变动。因为黄极由负黄极圈每天随天左旋，绕赤极一周，如果黄极在赤极以南，则冬至对着午正，其黄道斜升斜降；如果黄极在赤极以北，则夏至对着午正，其黄道正升正降，而黄平象限也都正好对着子午圈；假设黄极在赤极以西，则春分对着午正，其黄道势态斜倚，出自东北而入西南，黄平象限就在午正以东；假设黄极在赤极以东，则秋分对着午正，其黄道出自东南而入西北，黄平象限就在午正以西。因此黄道的方向，随时不同，所以用黄道的每一度，推算黄平象限及限距地高来立表。

设定太阳正好在春分点，黄道实际位置为三宫初度，求正午时刻的黄平象限的宫度以及限距地高度。如图，甲乙丙丁是子午圈，甲是天顶，丙丁是地平，乙是北极，乙丙是京师北极出地高度，为三十九度五十五分，戊己庚是赤道，与地平相交于己点，其中戊点对应正午，是地平以上赤道半圈的中点，戊丁是赤道距地高度五十度五分，对应戊己丁角，辛子壬是负黄极圈，子是黄极，乙子己丑是过极至经圈，戊丑庚是黄道，与地平相交于寅点，庚是秋分，丑是冬至，戊是春分，也就是太阳所在位置，位于正午，因此没有春分距午的时间。试着从黄极子点画弧线经过天顶，作子甲卯黄道经圈，这就是本时的黄平象限，其辰点是地平以上黄道半圈的中点，在正午的东边，也就是黄平象限的宫度。辰寅卯角是黄道与地平相交的角度，对应辰卯弧，也就是本时的限距地高度。方法是用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰两弧，这个三角形有辰直角，有戊甲弧赤道距天顶，与乙丙北极高度相等。用赤道与子午圈相交的戊直角九十度减去己戊丑角黄赤交角二十三度二十九分，得到寅戊丁角六十六度三十一分，这是黄道与子午圈的交角；也叫黄道赤经交角。它与辰戊甲角是对角，度数相等。于是以半径为一率，戊角黄道赤经交角的余弦为二率，戊甲弧赤道距天顶（也就是太阳距天顶）的正切为三率，求得四率，是黄平象限距午的正切，查表得十八度二十六分十四秒，这是戊辰弧黄平象限距午正的黄道度。与戊点春分三宫相加，因为黄平象限在午东，所以相加。得辰点三宫十八度二十六分十四秒，就是本时黄平象限的经度。又以半径为一率，戊角黄道赤经交角的正弦为二率，戊甲弧太阳距天顶的正弦为三率，求得四率，是黄平象限距天顶的正弦，查表得三十六度三分九秒，这是甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧五十三度五十六分五十一秒，就是本时限距地高度，对应辰寅卯角的度数。

第一率为半径

第二率为戊角余弦

第三率为戊甲弧正切

第四率为戊辰弧正切

第一率为半径

第二率为戊角正弦

第三率为戊甲弧正弦

第四率为甲辰弧正弦

图形尚无资料

又设定太阳正好在秋分点，黄道实际位置为九宫初度，求正午时刻春分距午的时间以及黄平象限和限距地高。就以秋分对应正午的戊点，那么庚未戊是黄道，与地平相交于寅，庚是春分，未是夏至，子乙未己是过极至经圈，也从黄极子点画弧线经过天顶，作子甲卯弧黄平象限，而地平以上黄道的中点辰点，在正午的西边。先用春分距午西的庚戊赤道半圈变换成十二时，作为春分距午的时间，接着仍用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰两弧，这个三角形有辰直角，有戊甲赤道距天顶。用戊直角减去己戊未角黄赤交角，得到辰戊甲角黄道赤经交角，也是六十六度三十一分，求得戊辰弧黄平象限距午正的黄道度，也是十八度二十六分十四秒。与戊点秋分九宫相减，因为黄平象限在午西，所以相减。得辰点八宫十一度三十三分四十六秒，就是本时黄平象限的经度。又求得甲辰弧与甲卯象限相减，得辰卯弧，也是五十三度五十六分五十一秒，就是本时限距地高度，对应辰寅卯角的度数。

又设定太阳在春分后三十度，黄道实际位置为四宫初度，求正午时刻黄平象限的各项数值。于是以黄道经度四宫初度对应正午的辛点，也就是太阳所在位置，辛壬癸为黄道，与地平相交于寅。丑是冬至，壬是春分，乙子丑是过极至经圈。仍从黄极子点经过天顶甲点作子甲卯弧黄平象限，其黄道的中点辰点，在正午的东边。求法先用辛戊壬正弧三角形求壬戊、辛戊两弧以及壬辛戊角，这个三角形有戊直角，有壬角黄赤交角，有壬辛太阳距春分后的黄道弧三十度。于是以半径为一率，黄赤交角的余弦为二率，黄道弧的正切为三率，求得四率，是赤道弧的正切，查表得二十七度五十四分一十秒，这是壬戊弧赤道同升度，也就是本时春分距午后的赤道度。变换成时间得一时五十一分三十七秒，就是本时春分距午的时间。又以半径为一率，黄赤交角的正弦为二率，黄道弧的正弦为三率，求得四率，是黄赤距度的正弦，查表得十一度二十九分三十三秒，这是辛戊弧太阳距赤道北纬度。又以黄道弧的余弦为一率，黄赤交角的余切为二率，半径为三率，求得四率，是黄道交子午圈角的正切，查表得六十九度二十二分五十一秒，这是壬辛戊角黄道交子午圈角，也就是黄道赤经交角。接着用辛辰甲正弧三角形求辛辰、甲辰两弧，这个三角形有辰直角，有辛角，与壬辛戊角是对角，度数相等。用甲戊弧赤道距天顶减去辛戊黄赤距度，得甲辛弧二十八度二十五分二十七秒，是本时太阳距天顶。于是以半径为一率，辛角黄道赤经交角的余弦为二率，甲辛弧太阳距天顶的正切为三率，求得四率，是黄平象限距午的正切，查表得十度四十七分二十八秒，这是辛辰弧黄平象限距午正的黄道度。与辛点四宫初度相加，因为黄平象限在午东，所以相加。得辰点四宫十度四十七分二十八秒，就是本时黄平象限的经度。又以半径为一率，辛角黄道赤经交角的正弦为二率，甲辛弧太阳距天顶的正弦为三率，求得四率，是黄平象限距天顶的正弦，查表得二十六度二十七分二十秒，这是甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧六十三度三十二分四十秒，为本时限距地高度，即对应辰寅卯角的度数。

第一率为半径

第二率为壬角余弦

第三率为壬辛弧正切

第四率为壬戊弧正切

第一率为半径

第二率为壬角正弦

第三率为壬辛弧正弦

第四率为辛戊弧正弦

第一率为壬辛弧余弦

第二率为壬角余切

第三率为半径

第四率为辛角正切

第一率为半径

第二率为辛角余弦

第三率为甲辛弧正切

第四率为辛辰弧正切

第一率为半径

第二率为辛角正弦

第三率为甲辛弧正弦

第四率为甲辰弧正弦

又设定太阳在秋分前三十度，黄道实际位置为八宫初度，求正午时刻黄平象限的各项数值。于是以辛点太阳实际位置对应正午，其中申点为秋分，在午东，壬为春分，未为夏至，子乙未为过极至经圈，也从黄极子点经过天顶，作子甲卯弧本时黄平象限，在午西。方法用辛戊申正弧三角形，这个三角形中戊为直角，申角为黄赤交角，申辛黄道弧也是三十度，求得申戊赤道同升度，也是二十七度五十四分一十秒。于是与壬申赤道的半周相减，得壬戊弧五宫二度五分五十秒，为本时春分距午后的赤道度。变换成时间得十时八分二十三秒，就是本时春分距午的时间。接着用辛辰甲正弧三角形，辰为直角，其辛角黄道赤经交角以及甲辛弧太阳距天顶，都与前图的度数相等。求得辛辰弧黄平象限距午正黄道度，也是十度四十七分二十八秒。与辛点八宫初度相减，因为黄平象限在午西，所以相减。得辰点七宫十九度十二分三十二秒，就是本时黄平象限的经度。又求得甲辰弧与甲卯象限相减，得辰卯弧，也是六十三度三十二分四十秒，即本时限距地高度，也对应辰寅卯角的度数。

又设定太阳在正午实际位置在春分前三十度为二宫初度，于是以辛点太阳对应午正，则春分壬点在午正之东，申为秋分，丑为冬至，乙子丑为过极至经圈，其子甲卯本时黄平象限也在午正之东。方法用辛戊壬正弧三角形，有戊直角，有壬角黄赤交角，有壬辛黄道弧三十度。求得壬戊赤道弧，也是二十七度五十四分一十秒。于是与赤道全周相减，得十一宫二度五分五十秒，为本时春分距午后的赤道度。变换成时间得二十二时八分二十三秒，就是本时春分距午的时间。又求得辛戊弧也是十一度二十九分三十三秒，为太阳距赤道南纬度，并求得壬辛戊角也是六十九度二十二分五十一秒，为本时黄道赤经交角。接着用辛辰甲正弧三角形，这个三角形有辰直角，有辛角，用甲戊赤道距天顶与辛戊黄赤距度相加，得甲辛弧太阳距天顶五十一度二十四分三十三秒。于是以半径为一率，辛角的余弦为二率，甲辛弧的正切为三率，求得四率，是黄平象限距午的正切，查表得二十三度四十八分四十秒，即辛辰弧黄平象限距午正的黄道度。与辛点二宫初度相加，得辰点二宫二十三度四十八分四十秒，就是本时黄平象限的经度。又以半径为一率，辛角的正弦为二率，甲辛弧的正弦为三率，求得四率，是甲辰弧黄平象限距天顶的正弦，查余弦表得四十二度五十九分一秒，即卯辰弧本时限距地高度。

第一率为半径

第二率为辛角余弦

第三率为甲辛弧正切

第四率为辛辰弧正切

第一率为半径

第二率为辛角正弦

第三率为甲辛弧正弦

第四率为甲辰弧正弦

又设定太阳在正午实际位置在秋分后三十度为十宫初度，于是以辛点太阳对应午正，则申点秋分在午正后，而春分必在午正前，未为夏至，子乙未为过极至经圈，其子甲卯本时黄平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形，这个三角形边角之度与前图的辛戊壬形相同，只是申戊弧所变换的一时五十一分三十七秒，是秋分距午后的时间，因此加上赤道半周的十二时，得十三时五十一分三十七秒，才是本时春分距午的时间。接着用辛辰甲正弧三角形，这个三角形边与角的度数也与前图的辛辰甲形相同，只是因为辰点在辛点之西，所以在十宫初度内减去辛辰弧二十三度四十八分四十秒，得九宫六度十一分二十秒，即本时黄平象限的经度。其辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒，也与前数相同。由此，逐度都以距春分、秋分前后各相对的角度推算，其求午正太阳距天顶的加减，依据纬南、纬北而区分。求黄平象限宫度的加减，以冬至、夏至为界限。因为冬至过午西时，黄平象限恒在午正之东，夏至过午西时，黄平象限恒在午正之西，这就是加减的确定依据。

现在设定太阳黄道经度为三宫十六度四十四分，时间是戌正二刻八分十九秒，求春分点距离正午的时间以及黄平象限的宫度和限距地平高度。例如申辛壬癸代表黄道，与地平相交于寅点，壬是春分点，丑是夏至点，申是秋分点，子乙丑亥是通过两极和两至的经圈。从黄极子点经过天顶甲点作子甲卯黄道经圈，黄道上的中间点辰点位于午正西边。现在太阳在春分点之后的未点，对应赤道上的午点，从子正开始计算，就是用时的时间。先用未午壬正弧三角形求壬午弧，这个三角形中午是直角，壬角是黄赤交角二十三度二十九分，壬未弧是太阳距离春分点后的黄道度十六度四十四分，求得壬午弧十五度二十四分五十八秒，这是太阳距离春分点后的赤道度。换算成时间得到一小时一分四十秒，与午点用时相加，得到二十一小时三十九分五十九秒，这是壬点春分点距离子正后的时间。减去十二小时，得到九小时三十九分五十九秒，即壬戊弧对应的本时春分点距离正午的时间。接着用甲戊辛正弧三角形，因为壬戊春分点距离正午后的度数已经超过象限，所以用申戊辛正弧三角形。求辛角以及辛戊、辛申两条弧。这个三角形中戊是直角，申角是黄赤交角，申戊弧是秋分点距离正午前的时间换算成的赤道度三十五度零十五秒，求得戊辛弧十三度五十九分四十秒，这是本时正午的黄赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒，这是黄道与子午圈的交角，也就是黄道赤经交角。这个角与甲辛辰角是对角，度数相等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒，这是秋分点距离正午前黄道度。与申点秋分九宫相减，得到七宫二十二度三十八分一十秒，这就是辛点正午黄道经度。接着用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰两条弧，这个三角形中辰是直角，辛角是黄道赤经交角。用甲戊弧（京师赤道距离天顶三十九度五十五分）减去辛戊正午黄赤距度，得到甲辛弧二十五度五十五分二十秒，这是本时正午黄道距离天顶的度数，求得辛辰弧九度零五十三秒，这是黄平象限距离午西的黄道度。与辛点正午黄道经度相减，得到辰点七宫十三度三十七分十七秒，这就是本时黄平象限的经度，同时求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒，这是黄平象限距离天顶的度数。与甲卯象限相减，得到辰卯弧六十五度三十五分三十六秒，这是本时黄平象限距离地平的高度，也就是辰寅卯角的度数。

求距限差

距限差是指月亮距离黄平象限的差度。旧法以月亮距离限为九十度作为标准，因为黄道在天上运行，方向随时间变化，但出现在地平以上的部分始终是半周，其中间点距离地平东西各为九十度。所以用九十度限来观察月亮在地平以上还是以下，如果月亮距离限超过九十度，就认为在地平以下，因此不纳入计算，但这是以黄道作为计算的起点。然而白道与黄道斜交，月亮在白道上运行，难免有距离黄道南北的纬度。纬度在南的月亮早入迟出，月亮在地平时，它距离黄平象限不到九十度；纬度在北的月亮早出迟入，月亮在地平时，它距离黄平象限已经超过九十度；因此九十度的标准不足以作为依据。于是制定方法来求这个差，就像五星伏见时距离太阳的限度有距离太阳加减差的意思。这个方法是用限距地平的高度和月亮距离黄道的纬度，按照正弧三角形法来求。因为黄道的状态随着天左旋，它的升、降、正、斜时时不同。正升正降时，京师的限距地高达到七十三度多，高度大，月亮纬度对应的距限差反而小；斜升斜降时，京师的限距地高只有二十六度多，高度小，月亮纬度对应的距限差反而大。如果遇到月亮纬度最大，这个差可以达到十度有余，这就是距限差不能不建立的原因。所以依据京师黄平象限距离地平的高度，逐度求出太阴黄道实纬度所对应的距限差来建立表格。

设定京师限距地平高度为三十四度，太阴距离黄道实纬度南北各五度，求距限差。如图甲是天顶，乙丙是地平，丁是黄极，甲丁乙丙是黄道经圈，戊己庚是黄道，与地平交于己点，其中戊点是黄平象限。戊丙是限距地高三十四度，与甲丁黄极距离天顶的度数相等，并且与戊己丙角和乙己庚角是对角，度数也相等。如果月亮恰好位于正交或中交，与黄道的己点重合，正好在地平线上，那么戊己是月亮距离限九十度，如果超过九十度，自然在地平以下。现在设定月亮在黄道南五度，那么辛壬癸是黄道距离等圈，月亮在地平时是壬点，对应黄道上的卯点，这时戊卯月亮距离限不到九十度。又设定月亮距离黄道北五度，那么子丑寅是黄道距离等圈，月亮在地平时是丑点，对应黄道上的辰点，这时戊辰月亮距离限已经超过九十度，所以必须求出差数来加减。方法是用己卯壬正弧三角形求己卯弧，这个三角形有卯直角，有己角（对应限距地高），有卯壬弧（月亮距离黄道纬度）。用己角的正切作为第一率，半径为第二率，卯壬弧的正切作为第三率，求得第四率，这是距限差度的正弦，查表得到七度四十二分，这就是己卯弧，即所求的距限差，并且与己辰弧的度分相等，因为己辰丑正弧三角形与己卯壬形共用己角，而辰丑弧（月亮距离黄道纬度）也与卯壬相等，所以两个正弧形是相等形，因此所得的己卯弧必然与己辰弧相等无疑。求得己卯距限差后，与戊己九十度相减，得到八十二度十八分，这就是戊卯距离限，与距离等圈辛壬的度数相应，是月亮在纬南时的地平限度。用己辰距限差与戊己九十度相加，得到九十七度四十二分，这就是戊辰距离限，与距离等圈子丑的度数相应，是月亮在纬北时的地平限度。

第一率：己角正切

第二率：半径

第三率：卯壬弧正切

第四率：己卯弧正弦

（图形暂无资料）

求黄经高弧交角及月距天顶

旧法推算日食的三差，原本以黄平象限为基础。从《考成前编》认为三差都产生于太阴，而太阴的经纬度是白道经纬度，用白道比用黄道更精确，所以求三差时按照月亮距离白平象限的度数，以白道高弧交角和太阴高弧为依据。《后编》变通了这种方法，用白经高弧交角和日距天顶来求三差，而求白经高弧交角是通过赤经高弧交角加减赤白二经交角得到的，并不求月亮距离白平象限的度数，这种方法比之前的算法简便很多。现在推算视差，是要得到星月黄道同经时的视距和视时，所以三差应该由黄平象限来确定。因此这个方法可以仿照《后编》不求黄平象限而直接求黄经高弧交角的方法，即黄道高弧交角的余度。但是如果不比较月亮距离黄平象限的度数和地平限度，就无法知道月亮在地平线以上还是以下。所以现在求交角，先求得月亮距离黄平象限的东西方向、黄平象限距离地下的高度、太阴距离黄极的远近，然后按照《后编》用斜弧形求赤经高弧交角和日距天顶的方法，就可以得到黄经高弧交角和月距天顶的度数。

设定星、月的黄道经度同为申宫二十六度二十二分十一秒，月亮距离正交前四十三度四十八分五十六秒，黄白交角五度四分一十秒，黄平象限为七宫十三度三十七分十七秒，限距地高六十五度三十五分三十六秒，求太阴实纬、黄经高弧交角和月距天顶。如图甲是天顶，甲乙丙丁是子午圈，丙丁是地平，乙是北极，戊己庚是赤道，戊是午正，己是酉正，庚是子正，卯是黄极，辛壬癸子是黄道，壬是春分点，癸是夏至点，午是黄道与地平的交点。午未弧为九十度，其中未点就是黄平象限，宫度为七宫十三度三十七分十七秒。未辰弧对应的午角为六十五度三十五分三十六秒，即限距地高度，与甲卯黄极距离天顶的度数相等。巳寅丑是白道，寅是正交，寅角是黄白交角五度四分一十秒，申是太阴，对应黄道上的酉点，申寅是月亮距离正交前的白道度四十三度四十八分五十六秒，申酉是月亮距离黄道的纬度，酉点是星月所对应的黄道经度五宫二十六度二十二分十一秒，与未点黄平象限宫度相减，得到未酉弧四十七度十五分六秒，这是月亮在黄平象限西边的度数。这个对应未卯酉角，甲申戌是高弧，卯申甲角是黄经高弧交角，甲申是月距天顶。求法，先用寅酉申正弧三角形，这个三角形中酉是直角，有寅角（黄白交角），有寅申弧（月亮距离正交前的白道度），求得申酉弧三度三十分二十七秒，这是太阴距离黄道南的实纬度。与卯酉象限相加，得到卯申弧九十三度三十分二十七秒，这是月亮距离黄极的距离。接着用甲卯申斜弧三角形，这个三角形有甲卯边（黄极距离天顶），有申卯边（月亮距离黄极），有申卯甲角（对应酉未弧，即月亮距离限度），这是所夹的角，求申角和甲申边。从天顶作甲亥垂弧，分为甲亥卯和甲亥申两个正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形，这个三角形中亥是直角，有卯角，有甲卯边，求得卯亥弧五十六度十四分十五秒，这是距极分边。与申卯弧（月亮距离黄极）相减，得到申亥弧三十七度十六分十二秒，这是距月分边。接着用甲亥申正弧三角形，这个三角形中亥是直角，有申亥边，同时有甲亥卯正弧三角形的亥卯边和卯角。用合率比例法，求得申角五十六度二分五十一秒，这就是黄经高弧交角。仍用甲卯申斜弧形，用对边对角法，求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒，这是月距天顶的度数。

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求太阴距星及凌犯视时

太阴距离地平以上高弧，从地心计算的是实高，在地面所见的是视高，二者相差的分数就是地半径差。月亮在地平时，距离天顶为九十度，相差的数值最大，角的正弦就是当地的半径。等到月亮上升，距离地面渐渐变高，距离地面越高，相差数值就越小，所差的分数都与本时月距天顶的正弦相应，所以用比例法得到本时的高下差。既然有高下差，那么就有视经、视纬的区别。视经与实经的差是东西差；视纬与实纬的差是南北差。现在求三差，依照《后编》日食求三差的方法，用直线三角形计算。但《后编》的三差图是将浑天画在平面上，现在用浑天测量浑天的图求三差，所得的南北差与本时太阴实纬的度数相比较，得到视纬。用视纬与星纬相比较，观察其纬度的南北来确定相距的上下。所得的东西差与一小时太阴实行的比例，得到用时距离视时的时分差。辨别月亮距离限的东西方向，加减凌犯用时，得到凌犯的视时。

之前推算出道光十二年壬辰三月初六日癸丑，月亮与司怪第四星凌犯的用时为戌正二刻八分十九秒，黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，月亮距离天顶五十三度四十三分二十四秒，当天月亮最大地半径差为六十分七秒，月亮黄道实际纬度在南三度三十分二十七秒，司怪第四星黄道纬度在南三度十一分四十四秒，月亮一小时实际运行三十六分三十三秒，求星和月相距的分钟秒数以及凌犯的视时。如图甲为天顶，甲未辰巳为黄道经圈，辰午巳为地平，卯为黄极，未午辛为黄道，未点即为黄平象限宫度，未辰弧即限距地高，与卯甲黄极距天顶的度数相等。申点为太阴，子点为司怪第四星，两者共同位于黄道上的酉点。酉点就是月亮和星的黄道经度，酉未弧即月亮距离黄平象限西侧的度数，子酉为星距离黄道南纬度三度十一分四十四秒，申酉为太阴距离黄道南实际纬度三度三十分二十七秒，申卯弧即月亮距离黄极，甲申戌为高弧，申甲为月亮距离天顶的度数五十三度四十三分二十四秒，卯申甲角为黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，与戌申亥角为对角，度数相等。这些都是从地心计算的实度。但人居住在地面比地心高，所以视高通常低于实高，而月亮在接近地平线时，其地半径差为最大，如今是六十分七秒。于是依照《后编》求本时高下差的方法，以半径与甲申弧的正弦之比等于最大地半径差与本时高下差之比，得到本时高下差四十八分二十八秒。如申火之分，其火点就是太阴的视高，从火点与黄道平行，作火木线，于是形成申木火直角三角形。因为弧度非常小，所以当作直线计算，与《后编》求日食三差的原理相同。这个三角形中，木是直角，有申角（黄经高弧交角），有申火边（本时高下差），求得木火边四十分十二秒为东西差，求得申木边二十七分四秒为南北差，加到申酉太阴实纬上，得到木酉太阴视纬三度五十七分三十一秒。从中减去子酉星纬，得到子木弧四十五分四十七秒，是人眼仰视太阴距离司怪第四星，月亮在星下方的分数。星和月共同位于酉点的经度，本来是相距的。现在太阴视高在火点，其视纬虽然差到木点，但距离星之子点尚在一度以内，其火点对应黄道的视经度则差到土点，因此用时星的经度虽然在酉点，而太阴视经度的土点却在其西，称为未及。然而土酉的分差与火木相等，所以用一小时太阴实际运行与火木东西差作比例，得到距分一时六分，是月亮运行火木的时间分数。加到月亮视高到达火点的用时上，得到亥初二刻十四分十九秒，就是人眼视太阴到达木点并与星共同位于酉点经度的视时。

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求视时月亮距离黄平象限的限度。视时月亮距限必然大于用时月亮距限，因为其视经差所对应的距分既有加减，那么月亮和星随着天球西移自有进退。因为月亮因地半径差由高变低，所以视经差与实际经度、视纬差与实际纬度必然会有差异。现在依据黄平象限在天顶以南的地面来说，视纬总是偏向南，如果实际纬度为北，则视纬通常小于实纬，其差值作减；如果实际纬度为南，则视纬通常大于实纬，其差值作加。因此，纬度在南的星和月，实际距离虽在一度以内，而视距却可能转到一度以外；纬度在北的星和月，实际距离虽在一度以外，而视距却可能转到一度以内。南北相距一度以外的，不算入凌犯的限度，所以不采用。至于视经差，所对应的月亮运行距分最大时可能达到二小时，而二小时之间，各天体随着天球左旋，几乎移动一宫，所以视经差关乎月亮运行的进退。例如月亮在黄平象限西侧时，视经度偏向西，视时必然比用时晚；月亮在黄平象限东侧时，视经度偏向东，视时必然比用时早。以至于用时星月尚未进入地平，而视时星月已经进入地平的情况，或者用时星月已经出地平，而视时星月尚未出地平的情况。所以在求得用时之后，就用月亮距黄平象限的度数与地平限度相比较，可知此时月亮在地平之上还是之下。月亮距限小于地平限度的，是月亮在地平之上；大于地平限度的，是月亮在地平之下。如果遇到月亮距限略小于地平限度，则用时星月必然在地平之上，而视时星月或许在地平之下，所差的，就是视经差所对应的月亮运行距分内各天体的左旋度。现在取最小的实际经度差与视经度差所对应的左旋度作为视经差，方法见下卷求地平限度节。减去地平限度，得到视地平限度，再与月亮距限度数考校。如果月亮距限小于地平限度而大于视地平限度，那么就是用时月亮虽然在地平之上，视时月亮必然在地平之下；既然知道月亮必然在地平之下，所以遇到这种情况就舍弃。如果月亮距限小于视地平限度，那么就是视时月亮在地平之上。然而也有不如此的情况，因为视经差所取的都是最小的数值。如果知道月亮的实际运行轨迹不是由视时决定，再推算月亮距限度，那么此时月亮是否在地平之上或之下，不能得到确切准度。所以现在在得到视时之后，必须详细考察太阴实际纬度和用时月亮距限度。如果实际纬度在南、月亮距限超过六十度，或者实际纬度在北、月亮距限超过七十度，而用时月亮距限在此限度内，那么视时月亮必然在地平之上。都通过视时再求月亮距黄平象限的度数。如果其度数大于地平限度，那么视时月亮在地平之下，仍然不采用。必须其度数小于地平限度，才说明视时月亮必然在地平之上，从而可以通过实测验证。这就是视差之所以必须逐项详细推算，然后才能得到并采用的原因。