卷二十一律历一

古代帝王治理天下，把音律和历法放在首位。儒者沟通天与人，到音律历法为止。历法从数字开始，数字从音律产生，所以音律历法端正了，寒暑就能调节，农事就能成功，民事就有秩序，各项功业就能成就，万事的根本由此确立。古人从进入小学开始，懂得音乐和算术，就已经知晓其本源。后世的老师宿儒中还有人不懂音律历法，而音律历法家未必懂得大道，各自师从自己的老师，分歧成两派。即使有巧妙的构思，又怎么能探究造化的总体会合，认识天人的深奥呢？因此审定音律、制作历法，变更不常，最终没有一定之说。治理效果不如古代，也是因为这个原因，而世人哪里能觉察到这一点呢！

宋朝初年承接五代末期，王朴制作音律历法、制作律准，以宣示其声音，太祖认为雅乐音高，诏令有关部门考正。和岘等人用影表铜臬和羊头秬黍累尺制作律管，而度量衡因此得到校正。然而历代尺度与望臬不同，黍粒有大小，纵横排列容积，各位儒者意见不同，最终没有定论。到崇宁年间，徽宗任用蔡京，听信方士“声为律、身为度”的说法，才严重违背了古制。

显德年间的《钦天历》也是王朴制定的，宋朝初年使用它。建隆二年，因为推算验证稍微疏漏，诏令王处讷等人另外制作新历。建隆四年，历法完成，赐名《应天》，不久，气候逐渐出现偏差。太平兴国四年，施行《乾元历》，不久，气候又有偏差。后续制作的有《仪天历》、《崇天历》、《明天历》、《奉元历》、《观天历》、《纪元历》，到靖康丙午年，一百六十多年，改了八次历法。南渡之后，有《统元历》、《乾道历》、《淳熙历》、《会元历》、《统天历》、《开禧历》、《会天历》、《成天历》，到德祐丙子年，又一百五十年，又改了八次历法。如果当初立法就与天道吻合，那么千年之后的冬至日也可以坐等到来，何必多次更改历法，以求侥幸符合天象呢！一定有人要承担这个责任。

虽然如此，天象运行艰难，是古今共同的难题。天体运行，太阳运行，左右已经分开，不能没有误差。说七十九年差一度，虽然比古代误差更密，也仅仅得到大概罢了。更何况黄道、赤道的度数有斜正、宽窄的不同，日月运行有盈缩、晦朔、表里的差异。测量北极星，通常每千里相差三度多，日影长度与此相应。古今的测验，只限于岳台，而岳台难道一定是天地的中心？余杭则位于东南，相距二千多里，华夏疆域东西万里，出没昼夜的时刻怎么能全部和谐？又制作历法的人追求历元，超越远古，不知道尧舜授时齐政的方法，是否全都耗尽于此呢？这也是儒者应当讨论的重大问题，推托说是星翁历生的责任可以吗？至于仪象推测的器具，虽然也多次改动，如熙宁年间沈括的议论、宣和年间玑衡的制造，其详密精致有超出李淳风、瞿昙令瓒的，大概也不是一直缺少人才。如今他们的遗法都在典籍中，只有《奉元历》、《会天历》两种方法不存。旧史将《乾元历》、《仪天历》附在《应天历》之后，如今也将《乾道历》、《淳熙历》、《会元历》附在《统元历》之后，《开禧历》、《成天历》附在《统天历》之后。大抵数字不同而方法相同，沿袭增益减损，以追求符合天象，都没有能大大超过的，详细记载其方法，使后来者有考据。

从前黄帝制作律吕，以调和阴阳之声，以测候天地之气。尧则敬顺历象，以授民时，以成就岁功，因此能够总括三才之道，穷尽万物之情，以成就其政治教化。到司马迁、班固叙述其旨要，记载于简册。从汉到隋，历代遵循，更加详细。到唐贞观年间至周显德年间，五代兴衰，超过三百年，博学通达之士也颇详细整理废坠，但律志都缺失。宋朝初年统一天下，能士全部被举荐，国家纲纪王制，全部恢复古道。《汉书·律历志》有备数、和声、审度、嘉量、权衡的条目，后代沿袭，如今也按次序记载于篇中。

说备数。《周礼》记载，保氏教国子六艺，其六曰九数，即方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢朒、旁要，这是九章。其后又有《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯阳》、《周髀》、《缀术》、《缉古》等方法相继兴起，历代传习，称为小学。唐代试右千牛卫胄曹参军陈从运著《得一算经》，其方法通过因折而成，采取损益之道，并且变通，都符合数理。又有徐仁美，作《增成玄一法》，设九十三问，以建立新方法，大则测天地，小则极微妙，虽然粗略叙述其事，也适用于当时。古代设官属于太史，汉、魏时期，都在史官。隋朝开始设置算学博士于国子监，唐代增加其员额，宋代沿袭不改。

说和声。《周礼》记载，典同掌管六律六同的和谐，凡是制作乐器，用十二律作为度数。古代的圣人推演音律来制作乐器，凭借乐器来宣发声波，调和声音以形成音调，排列音调以成为音乐。那么律吕的运用，大概是音乐的根本吧！因为其相生损益，数字极其精微，不是聪明博达的人，很少能详细探究。所以历代以来，其方法有时存在有时缺失，前史已经说得很详细了。周显德年间，王朴开始依照周代方法，用秬黍校正尺度，长九寸，内径三分，作为黄钟管，制作律准以宣示其声音。宋乾德年间，太祖认为雅乐音高，诏令有关部门重新考正。当时判太常寺和岘上言说：“古代圣人设立法度，先确立尺寸，制作律吕，三分损益，上下相生，取合真音，称为形器。但因为尺寸长短不是书可以传授的，所以累秬黍求得标准，后代尝试，有时不符合。西京的铜望臬可以校正古法，就是现在司天台影表铜臬下的石尺。等到用王朴所定的尺比较，比石尺短四分，那么声乐的高亢，大概由此而来。况且影表测于天地，那么管律可以为准绳。”皇上于是命令依照古法，制造新尺和黄钟九寸的管，命工人校对其声音，果然比王朴所定的管低一律。又宫内拿出上党羊头山的秬黍，累尺校对音律，也相符合。于是下尚书省集合官员详细审定，众人议论都相同。从此重新制造十二律管，自此雅音和谐通畅。

说审度，本来起源于黄钟之律用中等秬黍度量，九十粒黍为黄钟的长度，而分、寸、尺、丈、引的制度由此产生。宋朝平定四方之后，凡是新归附的地区都颁布度量衡于其境内，那些伪政权尺度超过法定制度的去除。乾德年间，又禁止民间制造。从此尺度制度全部恢复古制。

说嘉量。《周礼》记载，氏制作量器。《汉志》说，东西有多少用容量接收，起源于黄钟之管容纳秬黍一千二百粒，而龠、合、升、斗、斛五种量器的制度完备。太祖受禅，诏令有关部门精心考查古代式样，制作嘉量，以颁布天下。其后平定西蜀，平定岭南，收复江南，泉州、浙江纳土，并州、汾州归顺，凡是四方斗、斛不符合标准的都去除。嘉量器具全部恢复太平时期的制度。

权衡的用途，是用来使物品均等、统一民众认知、知晓轻重的。权重有五种，分别是铢、两、斤、钧、石，前代史书记载得很详细了。建隆元年八月，下诏让有关官员按照前代旧式制作新的权衡，并颁布给天下，禁止私自制造。等到平定荆湖地区后，立刻在当地颁发量器和衡器。淳化三年三月三日，下诏说：“《尚书》说：‘协调季节和月份，校正日期，统一音律、尺度、容量、权衡。’这是用来建立国家法度、确立民众准则的。国家万邦安定，九赋均衡，但关系到官府出纳，应依据权衡的固定标准。听说秬黍作为标准，有时有毫厘之差，奸人利用锤钩作弊，危害百姓。应当命令详细制定称量法，著为通行规则。”此事交付有关部门，监内藏库、崇仪使刘承珪奏言：“太府寺原有的铜制标准器，从一钱到十斤，共五十一件，轻重没有标准。外府每年接受黄金，必须从毫厘开始计算，标准器从钱开始，就会偏重。”于是探究本末，另外制作标准器物。到景德年间，刘承珪重新加以参定，权衡的制度更加精备，其方法取自《汉书·律历志》以子谷秬黍为标准，扩展十粒黍为一寸，依照大乐尺的标准（秬黍是黑黍。乐尺，从黄钟之管产生。用秬黍中等的作为分寸、轻重的标准），形成两种方法（两种方法是指用尺和黍来求得氂和絫）。因此依据度尺来求氂（度，是丈、尺的总称。依据乐尺的来源，起于黍而成于寸，将寸分为分，分分为氂，氂分为毫，毫分为丝，丝分为忽。十忽为丝，十丝为毫，十毫为氂，十氂为分），从积黍来取絫（从积黍来取絫，则十粒黍为絫，十絫为铢，二十四铢为两。锤都用铜制作）。用氂和絫制造一钱半及一两等两种秤，各悬挂三根毫，用星点校准。一钱半的秤，用来取一秤的标准。它的衡杆合乐尺一尺二寸，重一钱，锤重六分，盘重五分。第一根毫的星点校准半钱，到末端总共一钱半，析分成十五分，每分列十氂（第一根毫下标准半钱，相当于五十氂，如果十五斤的秤，则标准五斤）；中毫到末端一钱，析成十分，每分列十氂；末毫到末端半钱，析成五分，每分列十氂。一两的秤，也作为一秤的标准。它的衡杆合乐分尺一尺四寸，重一钱半，锤重六钱，盘重四钱。第一根毫到末端，布列二十四铢，每铢下面另外出现一星，标准五絫（每铢之下，再出现一星，标准五絫，则四十八星标准二百四十絫，总计二千四百絫为十两）；中毫到末端五钱，布列十二铢，每铢列五星，每星标准二絫（布列十二铢作为五钱的数目，则一铢标准十絫，总共标准一百二十絫为半两）；末毫到末端六铢，每铢列十星，每星标准一絫（每星标准一絫，总共标准六十絫为二钱半）。用御书真、草、行三体淳化钱，校定实际重量二铢四絫为一钱，以二千四百枚得到十五斤为一秤的标准。它的方法，先用积黍为标准，然后用分来推算忽，作为定数的开端。所以从忽、丝、毫、氂、黍、絫、铢各确定一钱的标准（意思是都确定一钱的标准，然后制成等秤）。忽万为分（以一万忽为一分的标准，以十万忽定为一钱的标准。忽，是吐丝为忽；分，是从细微到明显，表示可以分别），丝则千（一千丝为一分，以一万丝定为一钱的标准），毫则百（一百毫为一分，以一千毫定为一钱的标准。毫，是毫毛。从忽、丝、毫三者都是用断裂的骏马尾毛制成），氂则十（一十氂为一分，以一百氂定为一钱的标准。氂，是氂牛尾毛，拉成赤金丝制成），转以十倍倍之，则为一钱（转以十倍，是指从万忽到十万忽之类定为标准）。黍以二千四百枚为一两（一龠容量为一千二百黍，为十二铢，则以二千四百黍定为一两的标准。两，是以二龠为两），絫以二百四十（指以二百四十絫定为一两的标准），铢以二十四（辗转相因成絫为铢，则以二百四十絫定成二十四铢为一两的标准。铢，表示特殊），于是成就了此种秤。秤合黍数，则一钱半的秤，计三百六十粒黍的重量。列为五分，则每分计二十四粒黍。又每分拆为一十氂，则每氂计二粒黍又十分黍之四（以十氂分二十四粒黍，则每氂先得二粒黍。都分成四十分，则一絫又得四分，所以每氂得二粒黍又十分黍之四）。每四毫一丝六忽有差为一粒黍，则氂和絫的数目就到头了。一两的秤，合二十四铢为二千四百粒黍的重量。每百粒黍为铢，二百四十粒黍为絫，二铢四絫为钱，二絫四黍为分。一絫二黍重五氂，六黍重二氂五毫，三黍重一氂二毫五丝，则黍和絫的数目就形成了。标准器用铜制作，镂刻文字，以标识轻重。新法制成后，下诏将新式样留在宫中，取太府旧秤四十件、旧式样六十件，用新式样校对，发现旧式样中所谓一斤实际偏轻的有十件，所谓五斤实际偏重的有一件。式样既然这样，权衡的准确程度就可想而知了。又以前使用像百斤那样的大秤，都是把秤钩悬挂在架上，在衡杆上安装环，如果环倾斜，或者手按压，那么轻重之间，差别很大。到这时，重新铸造新式样，全部依据黍、絫来统一斤、石，不能有所增减。又下令每次使用大秤，必须用丝绳悬挂。放好物品后，人就退后站立观看，不能按压。又铸造铜制标准器，用御书淳化三体钱二千四百枚以及新式样三十三件、铜牌二十件交给太府。又将新式样放置在内府、外府，再颁行四方大都，共十一副。在此之前，守藏吏接收天下每年进贡的金帛，而太府权衡旧式样失去标准，因而能够作弊，所以各道主管官员因亏欠而破产的很多。又守藏吏交接时，计算比较诉讼纷争，动辄数年。到这时，新制度确定后，奸弊无法进行，朝廷内外都认为便利。（度、量、权、衡都由太府掌管制造，以供给内外官府及民间使用。凡遇改元，就差别变法，各自用年号打印标记。印面有方印、长印、八角印，明确制度以防止伪造和滥用。）

宋朝初年，沿用后周显德年间的《钦天历》，建隆二年五月，因为该历推算检验稍有不精确，于是下诏让司天少监王处讷等人另外编造历法。四年四月，新历法完成，赐名《应天历》。太平兴国年间，有人上言《应天历》节气逐渐有偏差，下诏让王处讷等人重新详细审定。六年，上表进呈新历法，下诏交付本监召集官员详细审定。适逢冬官正吴昭素、徐莹、董昭吉等人各自进献新历法，王处讷所上呈的历法于是不再施行。下诏将吴昭素、徐莹、董昭吉所进献的新历法，派遣内臣沈元应召集本监官员及学生参校测验，考核其精确程度。秋官正史端等人说：“董昭吉的历法有偏差。吴昭素、徐莹两人的历法用建隆癸亥年以来二十四年的气朔检验，颇为准确。又对验两人的历法，只有吴昭素的历法气朔稍微均匀，可以施行使用。”又下诏让卫尉少卿元象宗与沈元应等人，再次召集精通历术的吴昭素、刘内真、苗守信、徐莹、王熙元、董昭吉、魏序以及本监官员史端等人精心详细审定。元象宗等人说：“吴昭素的历法考验没有差错，可以长期施行。”于是赐名《乾元历》。《应天》、《乾元》二历都有御制序文。

真宗继位后，命令判司天监史序等人考验前代历法，研究核查旧有文献，提取其精要，编成新历法。到咸平四年三月，历法完成进呈，赐名《仪天历》。凡是天道运行，都有固定的规律，历象之术，古今相同。大致是改变历法以顺应天时，随时而推算数目，所以历法有疏密之分，数目有繁简之别，虽然条例稍有不同，但纲目是一致的。现在将三历参互考核，以《应天历》为本，《乾元历》、《仪天历》附随而注释，方法相同的不再重复出现，方法不同的则全部列在后面。

建隆《应天历》

演纪上元木星甲子年，距离建隆三年壬戌年，岁积四百八十二万五千五百五十八。（《乾元历》上元甲子年距离太平兴国六年辛巳年，积三千零五十四万三千九百七十七。《仪天历》自上元土星甲子年至咸平四年辛丑年，积七十一万六千四百九十七。）

步气朔

元法：一万零二。（《乾元历》元率九百四十。《仪天历》宗法一万零一百。又总称为日法。）

岁盈：二十六万九千三百六十五。（《乾元历》岁周二十一万四千七百六十四。《仪天历》岁周三十六万八千八百九十七。《仪天历》有周天三百六十五、余二千四百七十，约余二千四百四十五；岁余五万二千九百七十、余二千四百七十。《应天历》、《乾元历》没有此法，此后都仿照此例。）

月率：五万九千零七十三。（《乾元历》不设置此法。《仪天历》合率二十九万八千二百五十九。又《仪天历》有岁闰一万九千八百六十二，月闰九千一百一十五、秒六。）

会日：二十九、小余五千三百零七。（《乾元历》朔策二十九、小余一千五百六十。《仪天历》会日二十九、小余五千三百五十七。）

弦策：七、小余三千八百二十七、秒六。（《乾元历》小余一千一百二十五。《仪天历》小余三千八百六十四、秒二十七。策并相同。）

望策：十四、小余七千六百五十四、秒一十二。（《乾元历》小余二千二百五十七。《仪天历》小余七千七百二十七、秒一十八。策并相同。）

气策：十五、小余二千一百八十五、秒二十四。（《乾元历》小余六百四十二半。《仪天历》小余二千二百零七、秒三。策并相同。又《仪天历》有气盈四千四百一十四、秒六。）

朔虚分：四千六百九十五。（《乾元历》一千三百八十。《仪天历》四千七百四十一。）

没限：七千八百一十六、秒九。（《乾元历》二千二百九十七半。《仪天历》七千八百九十二。又《仪天历》有纪实六十万六千。）

秒法：二十四。（《乾元历》一百。《仪天历》秒母三十六。）

纪法：六十。（两历相同。）

推元积：（《乾元历》、《仪天历》都称为求岁积分。）设置所求年份，用岁盈展作为元积。

求天正所盈之日及分并冬至大小余：用八十四万一百六十八去除元积，除不尽的，减半后进位，用元法收为所盈日，不足的为小余。日满六十去掉，不满的，从甲子算起，算外，即冬至日辰、大小余。（《乾元历》用岁周乘以积年得岁积分，用七万五百六十去除，除不尽的，用五乘，满元率收为日，不足的为余日。《仪天历》用岁周乘以积年，进一位，得岁积分；满宗法而得一为积日，不足的为余日。去除和命名都与《应天历》相同。）

求次气：用天正冬至大、小余遍加诸常数，满六十去掉，不满的，命名如前，即得各气日辰、大小余秒。（《乾元历》设置中气大、小余，用气策加上，命名如前，即下一气日辰。《仪天历》设置冬至大、小余，加气策及余秒，秒满秒母则进为小余，满纪法去掉，都按前法命名，各得次气常日辰及余秒。）

求天正十一月朔中日：（《乾元》称为经朔。《仪天》称为天正合朔。）用月率去除元积，余数就是天正十一月通余；用通余减去七十三万六百三十五，余数取其一半进位，用元法收为日数，不满的为分数，就得到所求的天正十一月朔中日及其余秒。（《乾元》用一万七千三百六十四去除岁积分，余数为朔余；用岁积分作为朔积分，再乘以五万二千九百二十，除以这个数，余数乘以五，满元率为日数，不满为分数。《仪天》用合率去除岁积分，余数为闰余；满宗法为闰日，不满为余，用闰日及余减去天正冬至的大、小余，得天正合朔的大、小余；按前面的方法去命数，就得到合朔的日辰、大、小余。）

求次朔望中日：（《乾元》称为求弦望经朔。《仪天》称为求次朔。）将朔中日，累次加上弦策及其余秒，就得到弦、望及次朔的中日。（《乾元》用弦策加经朔的大、小余，就得到次朔经日；用弦策及其余秒加经朔，得到上弦；再加一次，得到望；再加一次，得到下弦。）

求望中月：将朔中月，加上半交，如果满交正就减去，余数为望中月。（其他两部历法不设立此法。）

求朔弦望入气：将朔、望的中日，各用盈缩准去减，余数就是入气日及分。（其他两部历法不设立此法。）

推没日：选取有没之气的小余，（小余在七千八百一十六、秒九以上的才求。）将其接近减去元法，余数乘以八，用一千零九十二、秒一十九点五除，得没日，从气初开始命数，就得到没日的日辰。如果秒数不足，退一分，加二十四秒，然后再除，超过四分之三的进位。（《乾元》选取有没之气的小余，在二千二百九十七点五以上的，乘以十五，用四万四千七百四十二点五减去，余数用六百四十二点五除，得没日。《仪天》用秒母乘通常气小余及秒，然后从岁周中减去，余数满五千二百九十七为没日，按前面的方法命数。）

推灭日：用冬至的大、小余，全部加上朔日中作为上位，有分为下位，在下位四千六百九十五以下的，就是有灭之分。选取有灭之分，进位，用一千五百六十五除，得灭日，用灭日加上上位，从甲子开始命数，算外，就得到月内的灭日。（《乾元》选取有灭之经朔的小余，在一千一百八十以下的，乘以八，满三百六十八除，得灭日。《仪天》经朔的小余在朔虚法以下的，乘以三，进位，用朔虚分除，得灭日。）

求发敛

候策：五、小余七百二十八、秒二，分母二十四。（《乾元》候数五、小余一百一十四、秒十二，秒母七十二。《仪天》候率五、小余七百三十五、秒二十五，秒母三十六。）

卦策：六、小余八百七十四、秒六。（《乾元》卦位六、小余二百五十七，秒母六十。《仪天》卦率六、小余八百八十三、秒二十。）

土王策：十二、小余一千七百四十八、秒十二。（《乾元》策三、小余一百二十八点五，秒母一百一十。《仪天》土王率三、小余四百四十、秒五，秒母同上。）

辰数：八百三十三点五。（《乾元》辰法二百四十五，辰率一千五百二十。）

刻法：一百。（《乾元》一百四十七。《仪天》刻三百。）

求七十二候：各根据诸气的大、小余及秒来命数，就是初候日；各用候策加，得到次候日；再加一次，得到末候日。（两部历法同法。）

求六十四卦：各设置诸中气的大、小余及秒来命数，就是公卦用事日；用卦策加，得到次卦用事日；再加一次，得到终卦用事日。十二节气的开始，都是诸侯外卦用事日。（两部历法同法。）

求五行用事：各根据四立的大、小余及秒来命数，就是春木、夏火、秋金、冬水首用事日；用土王策加四季之节的大、小余及秒，从甲子开始命数，算外，就是该月土王用事日。（《乾元》用土王策减四季中气的大、小余。《仪天》用土王率加四季的大、小余。）

求二十四气加时辰刻：（《乾元》称为辰刻。《仪天》称为求时。）各设置小余，用辰数除，得到时数，不满的，用一百收为刻分，从子正开始命数，算外，就是所在时辰。（《乾元》时数相同，其余数，乘以五，用刻法除，得刻分。《仪天》用三乘小余，用辰率除，得时数，不满的，满刻率除，得刻，余为分。）

天总：七十三万六百五十八、秒六十四。（《乾元》轨率二十一万四千零七十七、秒七千五百一十、小分七十。《仪天》乾元数三百六十八万九千零八十八、秒九十九。）

天度：三百六十五、小余二千五百六十三、微八十八。（《乾元》周天三百六十五度、小余二千五百六十三。《仪天》乾则三百六十五度、小余二千五百八十八、秒九十九。《仪天》各种方法都在天总数中。《乾元》、《仪天》各自设立其方法。《乾元》周天策一百零七万三千八百五十三、秒七千五百五十三点五，会周一万七千三百六十四，会余二十一万四千七百六十四，天中一百八十二、六千二百八十一点五。《仪天》岁差一百一十八、秒九十九，一象度九十一、余三千一百四十二、秒五十，盈初缩末限分八十九万七千六百九十九、秒五十，限日八十八、余八千八百九十九、秒五十，缩初盈末限分九十四万六千七百八十五、秒十五，限日九十三、余七千四百八十五、秒五十，盈缩积二万四千五百四十三，进退率一千八百三十六，秒母一百。）

《乾元》二十四气日躔阴阳度

（《应天》、《乾元》两部历法，用常气求其阴阳差，所以有二十四气立成。《仪天》用盈缩定分、四限直接求二十四气阴阳差，于是不再制定二十四气差法。）

求日躔损益盈缩度：（《乾元》称为求每日阴阳差。《仪天》称为求入盈缩分先后定数。）各设置定日及分，用冬至常数相减，以一百收，通为分，从雨水后以十六为法，从霜降后以十五为法。用分除以法，得气中率，两者相减为合差；取其一半，加减率，得初率、末率。（后多的，减为初率、加为末率；后少的，加为初率、减为末率。）另一种方法，用合差除以得日差。（后少的，每日减少初率；后多的，每日增加初率。）作为每日日躔损益率；累积这些数，就是盈缩度分。（《乾元》各设置气数，用一百二十乘，用一千八百二十六除，所得为平行率；相减为合差；初、末都如同《应天》。《仪天》用宗法乘盈缩积，用其限分除，得限率分，加倍，得末限平率；用日分乘，也用限分除，得日差；取其一半，加减初、末限平率，在初限的减初率加末率，在末限的减末率加初率，得末定率；然后用日差累次加减限初定率，初限用减、末限用加，得每日盈缩定分；各按其限盈加缩减其下的先后数，得每日先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后积缩为后，在盈减之。其进退率、升平积也按此求，就各自得到其限每日进退率、升平积。）

求日躔先后定数：（《乾元》称为求入气、求弦望气入、求日躔阴阳差。）各用朔、弦、望的入气日及分减去本气的定日及分秒，通分后，用下面的损益率展开，用元法作为分，损减益加次气下的先后积，得定数。（《乾元》用该月气节减去经朔的大、小余，就得到入气日及分；又用弦策累次加天正朔日入气的大、小余，满气策去掉，就得到弦、望经朔的入气日及分；用该日损益率乘入气日的余分，所得，用来损益该日阴阳差，得定数。《仪天》方法见上。又《仪天》有求四正节定日，去掉冬、夏二至盈缩的中间，先后皆空，以常为定；其春、秋二分盈缩的极点，用一百乘盈缩积，满宗法为日，先减后加，按前面方法命数，各得定日。若求朔、弦、望盈缩限日，用天正闰日及余减去缩末限日及分，余为天正十一月经朔加时入限日及余；用弦策累次加，就得到弦、望及后朔的初、末限日；各设置入限日及余，用该日进退率乘，如同宗法一样除，所得，用来进退该日下的升平积，就各为定数。）

赤道宿度

斗：二十六 牛：八 女：十二 虚：十（及分）

危：十七 室：十六 壁：九（两部历法相同）

北方七宿九十八度。虚分二千五百六十三、秒一十九。（《乾元》七千五百三十五、秒二十五。《仪天》二千五百八十八、秒九十九。）

奎：十六 娄：十二 胃：十四 昴：十一

毕：十七 觜：一 参：十

西方七宿八十一度。（两部历法相同）

井：三十三 鬼：三 柳：十五 星：七

张：十八 翼：十八 轸：十七

南方七宿一百一十一度。（两部历法相同）

角：十二 亢：九 氐：十五 房：五

心：五 尾：十八 箕：十一

东方七宿七十五度。（两部历法相同）

（又《仪天》说：“以上都是赤道度，自古以来，多次依据天仪测定，用作常准。赤道是天中的纮带，仪极所凭依，用来格黄道。”）

求赤道变黄道度：（《乾元》称为求黄道度。《仪天》称为推黄道度。）根据二至的赤道日躔宿次。前后五度为一个限，初限十二，每限减少一半，到第九限减尽。距离二立之宿，减去一度少强，又从尽头起限，每限增加一半，九限终于十二。距离二分之宿，都乘限度，身外除一，余数满百为度分，命名为黄赤道差。二至前后各九限，用差作为减；二分前后各九限，用差作为加。各加减赤道度得黄道度，有余分就近收为太、半、少之数。（《乾元》初率九，每限减一，末率一。《仪天》初数一百零七，每限减十，末率二十七，其余限数加减都同《应天》。）

黄道宿度

斗：二十三度半

牛：七度半（两部历法相同）

女：十一度太（两部历法都是十一度半）

虚：十度少强（二千五百六十三、秒十九。《乾元》无分。《仪天》六十三分、九十九秒。）

危：十七度少（《乾元》同。《仪天》十七度太）

室：十六度太

壁：十度（《乾元》九度太。《仪天》同。）

北方七宿九十七度二千五百六十三、秒十九。（《乾元》九十六度半、《仪天》九十七度半、六十三、秒九十九。）

奎：十七度半（两部历法相同）

娄宿：十二又四分之三度（《乾元历》为十三度。《仪天历》同）。

胃宿：十四又四分之一度（二历均为十四又四分之三度）。

昴宿：十一度（二历同）。

毕宿：十六度半（《乾元历》同。《仪天历》为十六又四分之一度）。

觜宿：一度。参宿：九又四分之一度（二历同）。

西方七宿共八十二又四分之一度（《乾元历》八十三度。《仪天历》八十二度半）。

井宿：三十度。

鬼宿：二又四分之三度（二历同）。

柳宿：十四度半（《乾元历》《仪天历》为十四又四分之一度）。

星宿：七度（《乾元历》《仪天历》均为六又四分之三度）。

张宿：十八又四分之一度（《乾元历》同。《仪天历》为十八又四分之三度）。

翼宿：十九又四分之一度（《乾元历》十九度。《仪天历》同）。

轸宿：十八又四分之三度（二历同）。

南方七宿共一百一十度半（《乾元历》一百零九又四分之三度。《仪天历》同）。

角宿：十三度。

亢宿：九度半（二历同）。

氐宿：十二又四分之一度（《乾元历》《仪天历》均为十五度半）。

房宿：五度（二历同）。

心宿：五度（《乾元历》同。《仪天历》为四又四分之三度）。

尾宿：十七又四分之一度（《乾元历》同。《仪天历》十七度）。

箕宿：十度（《乾元历》十又四分之三度。《仪天历》十度）。

东方七宿共七十五又四分之一度（《乾元历》七十六度。《仪天历》七十四又四分之三度）。

求赤道日度（《仪天历》称为推日度）：用天总数除初始积累数，得到总数；余数不够除时，取其半数并进位，再用一百乘以总数并入，用元法收成度，不满度的为分秒，从赤道虚宿四度开始计数（《乾元历》用轨率除去岁积分，余数乘以五，满轨率收成度，不满的退位为分，其余相同。《仪天历》用乾数除去岁积分，用宗法收成度，从虚宿二度开始计数，其余同《应天历》。再用一象度及其余秒累加，满赤道宿度即除去，各得四正，就是初日加时的赤道日度）。

求黄道日度：设定冬至赤道日躔宿度，用所入限数相乘，所得数值，除以自身减一，满百为度，不满为分，用此减去赤道日度，即为冬至加时的黄道日度及分（《乾元历》《仪天历》也沿用此法。《乾元历》用八十四除，《仪天历》用一百零一除为度，其余同《应天历》）。

求朔望常日月（《乾元历》称为求黄道平朔日度）：设定朔、望日躔先后定数，进一位，加倍，除以自身减一，用元法收成度分，先加后减朔望中日、月，得到朔望中常日、月度分；用此加冬至黄道之宿，如前法命名，即得朔望常日、月所在（《乾元历》设定会周一万七千三百六十，用距十一月以来的月数相乘，所得减去朔余，加会余后减半，用二百九十四收成度，不足的退位为分。《仪天历》方法在后面。《乾元历》又有求黄道加时朔日度，设定平朔日，用日躔阳加阴减之法，再用冬至黄道日度相加并命名，即得该朔加时的黄道日度及分。若求望日度，用半朔策相加，即得望日度及分。使用阳度，即依本术）。

每日加时黄道日度（《乾元历》称为每日行分）：用定朔、望日所在相减，余数用距后日数除，得平行分；两个行分相减，得合差；取其半数，加减平行分，得初行分（后平行多，减为初；后平行少，加为初）；用距后日数除合差，得日差；后少则减，后多则加，得每日行分；累加朔、望日，即得所求（《乾元历》同。《仪天历》不立此法。又《仪天历》有求次正定日加时黄道日度，设定岁差，用限数相乘，退一位，满一百零一为差秒及小分，再析分，乃用一象度相加，所得累加冬至黄道日，满黄道宿次除去，各得四正，即加时黄道日度。若求四正定日夜半黄道日度，设定其定日小余副之，用其日盈、缩分相乘，满宗法而一，盈加缩减其副，乃用减其日加时，即为夜半黄道日度。又有求每日夜半日度，因四正初日夜半度，累加一策，用其日盈缩分盈加缩减，满黄道宿次除去，即得每日夜半日度。又有求定朔、弦、望加时日度，设定定朔、望小余副之，用其日盈缩分相乘，用宗法收成数，盈加缩减其副，用加其日夜半度，各得其时加日躔所次。如朔、望有进退者，此术不用）。