# 卷二十二律历二 类型：古籍章节 书名：《宋史》 作者：脱脱等 时代：元 类别：纪传体断代史 · 白话译文 卷目：志 章节：卷二十二律历二 ## 本章概览 《宋史·律历二》详细记载了北宋三部官方历法——应天、乾元、仪天在月球运动与交食计算上的具体算法与数据差异。其中“步月离”部分，三历分别给出了离总、转日、历中日等基本常数，并规定了以“先后历”标记月球运行快慢的方法。在“九道宿度”中，历家根据合朔所交的阴阳历、季节与黄道方位，推导出月行青、白、朱、黑四道，并通过限数计算求出九道宿度，体现了对月球轨道斜正变化的精细认知。交食计算部分，三历均先求交总、正交等参数，再定食限与食分。黄道差与赤道差的引入，反映了对日、月位置偏差的校正：通过盈缩历与距午分，分别计算黄道差与赤道差，并依据同名相加、异名相消的原则得到日食差，进而推算距交分与食分。月食则区分内道、外道，依食限大小定亏初、复末时刻与方位。此外，带食出入、更点定位、宿度命名等细节，均展现出宋代历法体系的高度系统化与技术严密性。此卷不仅是天文学史的珍贵文献，也为后世研究古代历法传承与革新提供了关键依据。 本章详细记述了应天、乾元、仪天三部历法中关于月离、晷漏、交会等计算方法和公式。 本章包含三部分：步月离（月行计算）、步晷漏（日影和时刻计算）、步交会（日月食计算），每部分下分多个条目，如求天正十一月朔入先后历、求每日晷影去极度晨分、求食甚定余等。 ## 正文 应天、乾元、仪天历 步月离入先后历（《乾元》称为月离。《仪天》称为步月离。） 离总：五万五千一百二十、秒一千二百四十二。（《乾元》转分一万六千二百、秒一千二百四。《仪天》历终分二十七万八千三百一、秒一百六十五。） 转日：二十七、五千五百四十六、秒六千二百一十。（《乾元》转历二十七、一千六百三十、秒六千二十。《仪天》历周二十七、五千六百一、秒一百六十五。） 历中日：一十三、七千七百七十四、秒三千一百五。（《乾元》不立此法。《仪天》历中十三日、七千八百五十、秒五千八十二半。《仪天》有象限六日、八千九百七十五、秒二千五百四十一少。） 朔差日：一、九千七百六十二、秒三千七百九十。（《乾元》转差一、三千八百六十九、秒三千九百八十。《仪天》会差日一、九千八百五十七、秒九千八百三十五。） （《仪天》又有象差日空、四千九百八十、秒四千九百五十八太；望一百八十二度六千三百四十四、秒四千九百五十。） 度母：一万一百。 秒法：一万。（二历同） 求天正十一月朔入先后历：（《乾元》称为求月离入历，求弦、望入历。《仪天》称为推天正经朔入历。）用通余减元积，余数用离总去除得到总数；不尽的数，折半后进位，用元法收为日，不满的为分。如在历中日以下为入先历；以上则去掉，为入后历。命名日，算外，即得天正十一月朔入先后历日分。累加七日、三千八百二十七分、秒六，盈历中日及分秒则去掉，各得次朔、望入先后历日分。（《乾元》用朔余减岁积分，用转分去除，余数用五相乘，满元率收为度；用弦策相加，即弦、望所入。用转差相加，得后朔历；累加，即得弦、望入历及分。《仪天》用闰余减岁积分，余数用历终分去除，不满，用宗法除之为日；在象限以下为初限，以上去掉，余为末限，各为入迟疾历初、末限。） 七日：初数八千八百八十八，（《乾元》初二千六百一十二。）末数一千一百一十四。（末三百二十八。） 十四日：初数七千七百七十四，（《乾元》初二千二百八十五。）末数二千二百二十八。（末六百五十五。《乾元》又有二十一日：初一千九百五十八，末九百八十二；二十八日：初一千六百三十二，末一千三百九。） 又《仪天》法月离先后度数：（《乾元》称为月离阴阳差。《仪天》称为求朔弦望升平定数。）用月朔、弦、望入历先后分通减元法，余进位，下用其日损益率展开，用元法收为分，所得，损益次日下先后积为定数。其中七日、十四日，如初数以下，返减之，以上则去掉，余，返减末数，皆进位，下用损益率展开，各满末数为分，损益次日下先后积为定数。（《乾元》置入历分，用其日损益率相乘，元率收为分，损益其下阴阳差为定数。四七术，如初数以下，用初率乘之，如初数而一，用损益阴阳差为定数；若初数以上，用初数减之，余乘末率，末数除之，用减初率，余加阴阳差，各为定数。） 朔弦望定日：用日躔、月离先后定数，先加后减朔、弦、望中日，为定日。（二历法同。） 推定朔弦望日辰七直：用天正所盈之日加定积，（视朔、弦、望中日，如入大、小雪气，即加去年天正所盈之日分；若入冬至气，即加今年天正所盈之日分。）日满七十六去掉，不满，命从金星甲子，算外，即得定朔、弦、望日辰星直。视朔干名与后朔同者为大，不同者为小，其月无中气者为闰。又视朔所入辰分皆与二分相减，余二收，用减八分之六，其朔定小余如此；以上者进一日；朔或有交正见者，其朔不进。定望小余在日出分以下者，退一日，若有亏初在辰分以下亦如之。（二历法同。） （《仪天》又有求朔弦望加时月度，置弦、望加时日度，其合朔加时月与太阳同度，其日、度便为月离所次；余加弦、望象度及余秒，满黄道宿次去掉，即定朔、弦、望加时日、度。） 九道宿度：（《乾元》、《仪天》皆称为月行九道。）凡合朔所交，冬在阴历，夏在阳历，月行青道；（冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，出黄道东；立夏、立冬后，青道半交在立春之宿，出黄道东南：至所冲之宿亦如此。）冬在阳历，夏在阴历，月行白道；（冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，出黄道西；立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，出黄道西北：至所冲之宿亦如此。）春在阳历，秋在阴历，月行朱道；（春分、秋分后，朱道半交在夏至之宿，出黄道南；立春、立秋后，朱道半交在立夏之宿，出黄道西南：至所冲之宿亦如此。）春在阴历，秋在阳历，月行黑道。（春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，出黄道北；立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，出黄道东北：至所冲之宿亦如此。）四序月离为八节，九道斜正不同，所入七十二候，皆与黄道相会。各距交初黄道宿度，每五度为限。初限十二，每限减半，终九限又减尽，距二立之宿减一度少强，却从减尽起，每限减半，九限终十二而至半交，乃去黄道六度；又自十二，每限减半，终九限又减一度少强，更从减尽起，每限增半，九限终十二，复与日轨相会。交初、交中、半交，各以限数，遇半倍使，乘限度为泛差。其交中前后各九限，以距二至之宿前后候数乘之，半交前后各九限，各至二分之宿前后候数乘之，皆满百而一为黄道差。在冬至之宿后，交初前后各九限为减，交中前后各九限为加；夏至之宿后，交初前后各九限为加，交中前后各九限为减。大凡月交后为出黄道外，交中后为入黄道内。半交前后各九限，在春分之宿后出黄道外，秋分之宿后入黄道内，皆以差为加；在春分之宿后入黄道内，秋分之宿后出黄道外，皆以差为减。倍泛差，退一位，（遇减，身外除三；遇加，身外除一。）又以黄道差减，为赤道差。交初、交中前后各九限，以差加；半交前后各九限，皆以差减。以黄赤道差减黄道宿度为九道宿度，有余分就近收为太、半、少之数。（《乾元》初数九，每限减一，终于一，限数并同，即八十四除之。《仪天》初数一百一十七，每限减一十，终于二十七，以一百一除。二历皆不身外为法。初中正交、春秋二分、冬夏二至前后各九限，加减并同《应天》。又《仪天》即除法是九十乘黄道泛差，一百一收为度，乃得月与黄、赤道定差。以上入交定月出入各六度相较之差，黄道随其日行所向，斜正各异，余皆同《应天》。《仪天》有求定朔望加时入迟疾历初末限，置经朔、望入迟疾初末限日及余秒，如求定朔、弦、望法入之，即各得所求。又求初中正交入历，置其朔、望加时入迟疾历初末限日及余秒，视其日月行入阴阳历日及余秒，如近前交者即加，近后交者即返减交中日余，乃如之，各得初、中、正交入迟疾历初末限日及余秒。其加减满或不足，即进退象限及余秒，各得所求。又求朔望加时及初、中、正交入迟疾限日入历积度，各置小余，以其日历定分乘之，宗法收之为分，一百一除之为度，以加其日下历积度，各得所求。又《乾元》、《仪天》有求正交黄道月度，《乾元》元率通定交度及分，以一百二十七乘之，满九十五而一，进一等，复收为入交度，用减其朔加时日度，即朔前月离正交黄道宿度。《仪天》置朔、望及正交历积度，以少减多，余为月行去交度及分；乃视其朔望在交前者加、交后者减朔望加时黄道月度，为初、中、正交黄道月度。） 九道交初月度：（《乾元》称为月离入交九道正交月度、九道朔度。《仪天》称为求月离正交九道宿度。）置月离交初黄道宿度，各以所入限数乘之，（遇半倍使）如百而一，为泛差；用求黄、赤二道差，依前法加减之，即月离交初九道宿度。（《乾元》以日躔阴阳差阳加阴减，为朔、望常分；又以所入限率乘，正交黄道宿度相从之，以求黄、赤二道差，如前加减，为月离正交九道宿度；以入交定度加而命之，即朔月离宿度。《仪天》置正交月离黄道，以距度下月九道差，宗法乘之，以距度所入限数乘度，余从之，为总差；半而退位，一百一收之，又计冬、夏二至以求度数乘，满九十而一为度差，依前法加减，为正交月离九道。） 求九道朔月度：百约月离先后定数，后加先减四十二，用减中盈而从朔日，乃加交初九道宿次，即得所求。（《乾元》置九道正交之度及分，以入交定度加之，命以九道宿次，即其朔加时月离宿度及分。《仪天》法见下。《乾元》又有定交度，置月离阴阳定数，以七十一乘之，满九百一除之为分，用阴减阳加常分为度及分。） 求九道望月的度数：（《仪天》称为求定朔、望加时日月度。）用象积加上朔日九道月度，以该道宿度推算，即得所求。（《乾元》将朔、望加时日月相距的度数，加上天中度及分，作为加时象积；用这个加九道朔月度，以该道宿次减去，即得望日月度及分。自望推朔也如此。《仪天》求定朔望加时九道日度，用其朔、望去交度，交前者减，交后者加，满九道宿度即除去，就是定朔、望加时九道日度。求定朔望加时九道月度，设置其日加时九道日度，其合朔者若不是正交，那么日在黄道、月在九道各入宿度，多少不同，考察其去极，若符合准则。所以说月与太阳同度。如同求黄道月度法，满九道宿次即除去，各得其日加时九道宿度，从此以后，都如同求黄道月度法推算，依九道宿度运行，各得所求。） 求晨昏月：（《乾元》称为月离晨昏度。《仪天》称为求晨昏月度。）设置后历七日下的离分，与其日离分相比较，取多者乘朔、望定分，取少者乘晨昏分，都满元法为分，除以一百为度分，再相减，（朔、望度多者为后，少者为前。）各得晨昏前后度分；前加后减朔、望九道月度为晨昏月。（《乾元》设置其月离差，在三百九十三以上者，用乘朔、望定分，以下者，只用三百九十三乘，为加时分；元率除之，进一位，二百九十四收为度；又用离差乘晨昏分，也如前收为度，与加时度相减，加时度多为后、少为前，即得晨昏前后度及分，加减如同《应天》。《仪天》用晨昏分减定朔、弦、望小余为后，不足者，返减为前，用乘入历定分，宗法除之，一百一约之为度，再以前加后减加时月度为晨昏月度。） 晨昏象积：（《仪天》称为求晨昏程积度。）设置加时象积，用前象前后度前减后加，又用后象前后度前加后减，即得所求。（《乾元》法同。《仪天》用所求朔、弦、望加时日度减后朔、弦、望加时日度，余数加弦、望度及余，为加时程积；用所求前后分反向加减，又用后朔、弦、望前后度分依其加减，各为晨昏程积度及余。） 求每日晨昏月：（《仪天》称为求每日入历定度。）累计距离后象的离分，除以一百为度分，用来减晨昏象积为加，若不足，反向减，用距离后象的日数除，为日差；用加减每日离分，除以一百为度分，累加晨昏月，依九道宿次定位，即得所求。（《乾元》法同。《仪天》从所求日累计距离后历的每日历度及分，用减程积为进，若不足，反向减，余数为退，用距离后朔、弦、望的日数平均，进加退减每日历定度及分，各为每日历定度及分。） 步晷漏 求每日晷影去极度晨分：（《乾元》称为晷景距中度晨分。《仪天》另立法，在后。）各用气数相减为分，自雨水后法十六，霜降后法十五，除分为中率，二率相减，为合差；半之，加减中率为初、末率。（前多者，加为初、减为末；前少者，减为初、加为末。）又用元法除合差，为日差；（后多者累加初率，后少者累减初率。）为每日损益率；用其数累积，各得诸气初数。（《乾元》法同。） 求昏分：用晨分减元法为昏分。（《乾元》称为元率，《仪天》称为宗法。） 求每日距中度：（《乾元》同。《仪天》称为求每日距子度。）用一百乘晨分，如二千七百三十八为度，不尽，退除为距子度，用减半周天度，余为距中星度分；倍距子度分，五等除，为每更度分。（《乾元》用一百约晨分，进一位，用三千六百五十三乘，如元率收为度，余同《应天》。《仪天》设置晷漏母，五因，进一位，用一千三百八十二、小分五十五、微分三十五除为度，不尽，用一千三百六十八、小分八十六退除，皆为距子度，余同《应天》。） 求每日昏明中星：（《乾元》称为昏晓率星。）设置其日赤道日躔宿次，用距南度分加而定位，即其日昏中星；用距子度分加之，为夜半中星；再加，为晓中星。（二历法同。） 求五更中星：设置昏中星为初更中星；用每更度分加之，得二更初中星；再加，得三更初中星；累加，各得五更初中星所在。（二历法同。） 求日出入时刻：（《乾元》称为求昼夜出入辰刻。《仪天》称为求日出入晨刻及分。）用二百五十加晨减昏为出入分，用八百三十三半除为时，不满，除以一百为刻分，像前法命名，即得所求。（《乾元》用七十三半加晨减昏为出入分，各用辰法除，为辰数；不尽，用五乘，满刻法为刻，命辰数起于子正，算外，即日出入辰刻。《仪天》设置其日晷漏母，用加昏明，余用三乘，满辰法除为辰数，余用刻法除为刻，不满为分，辰数命子正，算外，即日出辰刻及分。再设置日出辰刻及分，用加昼刻及分，满辰法及分除为辰数，不满，为入时之刻及分。再设置其辰数，命子正，算外，即得日入辰刻及分。） 昼夜分：（《乾元》称为昼夜刻。《仪天》称为求每日夜半定漏、求每日昼夜刻。）倍日出分，为夜分；减元法，为昼分；除以一百，为尽夜分。（《乾元》设置日入分，用日出分减之为昼分，用减元率为夜分，用五乘，用刻法除为昼夜刻分。《仪天》先求夜半定漏，设置其日晷漏母，用刻法除为刻，不满，用三乘为分，为夜半定漏及分。设置夜半定漏刻及分，倍，其分满刻法为刻，不满为分，即得夜刻及分。用夜刻减一百刻，余为昼刻及分，减昼五刻，加夜刻，为日出没刻之数。） 更筹：（《乾元》称为更点差分。）倍晨分，用五收，为更差；又五收，为筹差。（《乾元》法同。《仪天》不立此法。） 步晷漏 冬至后初夏至后次象：八十八日、小余八千八百九十九半，约余八千八百一十一分。 夏至后初冬至后次象：九十三日、小余七千四百八十五，约余七千四百一十二分。 前限：一百八十八十一日、小余六千二百八十五，约余六千二百二十太。 辰法：八百四十一分三分之二。 刻法：一百一分。 辰：八刻三十三分三分之二。 昏明：二百五十二分半。 冬至后上限五十九日，下限一百二十三日、小余六千二百八十五，约余六千二百二十二太。 中晷：一丈二尺七寸一分半。 冬至后上差、夏至后下差：二千一百三十分。 升法：一十五万六千四百二十八分。 冬至后下差、夏至后上差：四千八百一十二分。 平法：一十七万四千三分。 夏至后上限同冬至后下限，夏至后下限同冬至后上限。 中晷：一尺四寸七分、小分八十四。 《仪天》求每日阳城晷景常数：设置入冬、夏二至后求日数及分，用所入象日数下的盈缩分，盈减缩加，为其日定积，又用减其象小余为夜半定积及分。又隔位除一，若夜半定积及分在二至上限以下者，为入上限之数；以上者，用返减前限日及约余，为入下限日及分。若冬至后上限、夏至后下限，用十四乘，所得，用减上下限差分，为定差法；用所入上下限日数再乘，所得，满一百万为尺，不满为寸及分，用减冬至晷影，余为其日中晷景常数。若夏至后上限、冬至后下限，用三十五乘，用上下差分为定法；用入上下限日数再乘，退一等，满一百万为尺，不满尺为寸及分，用加夏至晷影，即得其日中晷景常数。 《仪天》求晷景每日损益差：用其日晷景与次日晷景相减，其日景长于次日晷影为损，短于次日晷景为益。 《仪天》求阳城中晷景定数：设置五千分，用其日晷景定数损益差乘，所得，用万约之为分，冬至后用减，夏至后用加；冬至一日有减无加，夏至一日有加无减。 《仪天》求晷漏损益度入前后限数：设置入冬至后日数，在前限以下者为损；以上者，减去前限，余为入后限日数者为益。若计算立成，自冬至后一日，日加满初象，即加象下约余，为一象之数。 《仪天》求每日晷漏损益数：设置入前后限损益日数及分，如初象以下为在上限；以上者，返减前限，余为下限，都自相乘，其分半以下乘，半以上收；用一百通日，内含其分，再乘；所得，在冬至后初象、夏至后次象，用升法除。若冬至后次象、夏至后初象，用平法除；都为分，不满，退除为小分；所得，置于上位，又别置五百五分于下，以上减下，以下乘上；用在升法者，用二千八百五十除；用在平法者，用五千五百五十二除；都为分，不满，退除为小分；所得，用加上位，为其日损益数。 《仪天》求每日黄道去极度及赤道内外度分：若春分后设置损益差，用五十乘，用一千五十二除为度，不满，用一千四十二除为分，用加六十七度三千八百四十五。若秋分后，设置损益差，用五十乘，用一千六十除为度，不满，用一千五十退除为分，用减一百一十五度二千二百二十二分，即得黄道去极度。设置去极度分，与九十一度三千八百四十五相减，余为赤道内外度分。若黄道去极度分在九十一度三千八百四十五以下者为内，若在以上者为外度及分。 《仪天》求每日晷漏母：各用其日损益差，自春分初日以后加一千七百六十八，自秋分初日以后减二千七百七十七，各得其日晷漏母，又称晨分。 《仪天》求每日昏分及距午分：设置日元分，用其日晷漏母减，余为昏分。又用其日晷漏母减五千五十分，余为其日距午分。 月离九道交会（《乾元》称为交会，《仪天》称为步交会。） 交总：七十一万七千八百零一、秒八十二。 正交：三百六十三度、八千二百八十三、秒七。 半交：一百八十一度、九千一百四十二、秒五十三半。 少交：九十度、九千五百二十一、秒二十六太。 平朔：一度、四千六百三十二。 平望：空、七千三百一十六。 朔差：二度、八千八百四十一。 望差：二度、一千五百二十五。 初准：一万六千六百四十一。 中准：一万八千一百九十一。 末准：一千五百五十。 《乾元》交会 交率：一万六千、秒七千八百九十一。 交策：二十七、余六百二十三、秒九千四百五十五。 朔准：二、九百三十六、秒五百四十五。 望准：十四、二千二百五十。 初限：三万六千五百九十四。 中限：四万二。 末限：三千四百八。 《仪天》步交会 交终分：二十七万四千八百四十三、秒二千二百七十九。 交终日：二十七、余二千一百四十三、秒二千二百七十九。 交中日：一十三、余六千一百二十一、秒六千一百二十一。 交朔日：二、余三千二百一十五、秒七千七百二十一。 交望日：一十四、余七千七百二十九、秒五千。 前限日：一十二、余四千五百一十三、秒七千二百七十九。 后限日：一、余一千六百七、秒八千八百六十半。 交差：四十五。 交数：五百七十二。 秒母：一万。 阴限：七千二百八十六。 交日：空、小余六千一百四十六、秒三百七十三。 阳限：三千一百七十四。 月食既限：二千五百八十二。 月食分法：九百一十二半。 中盈度：（《乾元》称为求平交朔日。《仪天》称为求天正朔入交。）用通余减去元积，乘以七十五，除以四百六十七得到分，满交总则去掉，得到总数；余数取半后进位，加倍总数，以百收为分，用此减之，余数用元法收为度，不满为分，命名为中盈度及分。（《乾元》设置朔分，除以交率，余数乘以五，满元率收为日，即得平交朔日及分；后续朔、望，用朔、望准相加，即得所求。《仪天》设置天正朔积分，除以交终分，满宗法为日，即得所求。） 求次朔望中盈：（《仪天》称为求次朔入交。）各设置天正经朔中盈度分，看十一月望，十二月朔、望中日，如果小于二十九日五千三百七以下，就加朔、望差度分秒，其余月份则加平朔、望度分秒，即得所求。（《乾元》方法见上。《仪天》设置天正朔入交泛日余秒，如果交朔及交望余秒满交终日及余秒则去掉，各得朔、望入交泛日及余秒。） 月离朔交初度分：（《乾元》称为求朔望交分。《仪天》称为求入交常日。）设置其朔中盈度分，（常与其朔常日度分合并，如果小于正交以下则减半法，大于以上则加倍再加。）加减完成后确定为定数，用此减天正加时黄道宿度分，余数从天正之宿初算起，即得所求。（《乾元》设置平交朔、望日及分，用元率通分，用日躔阴阳差阳加阴减，得到朔、望交分。《仪天》用其日入盈朔限升平定数，升加平减入交泛日，即为其朔、望入交常日。《仪天》又有求朔、望入定交日，设置其日入迟疾限升平定数，用交差乘之，除以交数，升加平减入交常日，即为入定交日。） 月入阴阳历：（《乾元》称为求朔望阴阳定分，《仪天》称为求月行阴阳历。）用月离先后定数，先加后减朔、望中盈，用来加朔、望常日月分，（分即除以百，度即乘以百。）如果小于中准以下则为月出黄道外；大于以上则去掉，余数为月入黄道内。（《乾元》用一百四十二乘阴阳差，除以一千八百零二，阳加阴减朔、望交分，得到度定分；中限以上为阳，以下为阴。《仪天》看入交定日及余秒，如果小于交中日以下则为阳，大于以上则去掉，余数为月入阴历。） 求食甚定余：设置朔定分，如果小于半法以下则用半法减之，余数为午前分；如果大于半法以上则减去半法，余数为午后分；乘以三百，除以半昼分，得到差。（午后加上，午前减去一半。）加减定朔分，得到食定余。用差都加午前、后分，得到距中分。其望定分，直接作为食定余。（《乾元》用半昼刻约刻法作为时差，然后看定朔小余，如果小于半法以下则用半法减之得到午前分；大于以上则去掉，得到午后分；用时差乘，乘以五，除以刻法，午前减，午后加，又都加午前、后分，得到距日分；除以刻法，得到距午刻分。月食只以定朔小余作为食定余。《仪天》设置月行去交黄赤道差，看月道差，如果与黄赤道交，则按其加减；如果不与黄赤道交，则反向加减；定朔、望小余作为食甚余，也反向加减去交定分。日食，则又用其日昼刻，其三百五十四作为时差，然后看食甚余，如果小于半法以下，则用半法减之，余数为初率；半法以上则去掉半法，余数为末率；满一百一收之，得到初率；用初率减末率，加倍，再加食甚余，得到食定余；也加减初、末率，得到距午退分；放置之，都像求发敛加时术那样处理，即得日、月食甚辰刻及分。） 入食限：设置黄道内、外分，如果在初准以上、末准以下则为入食限。望入食限则月食，朔入食限则日食。月在黄道内则日食，在外则不食，望则不分内外皆食。末准以下为交后分；初准以上则减去中准，得到交前分。（《乾元》设置阴阳定分，在初限以上、末限以下，则为入食限，其余同《应天》。《仪天》设置朔、望入交月行阴阳历日及余秒，如果在前限以上、后限以下，则为入食限。望入食限则月食，朔入食限、月入阴历则日食。如果后限以下为交后限，以上则用交中日及余秒减去，得到交前限，各得所求。） 入盈缩历：（《乾元》、《仪天》不立此法。）设置朔定积，如果小于一百八十二日、六千二百二十三以下则为入盈日分；大于以上则去掉，余数为入缩日分。 黄道差：（《乾元》称为求晷差。《仪天》称为求黄道食差。）设置其朔入历盈、缩日及分，如果在四十五日以上、一百三十七日以下，都用一千五百乘，得到泛差；如果在四十五日以下，则减去，余数为初限日，一百三十七日以上则减去，余数为末限日及分，用六十七乘，取半，用减泛差，再乘距午分，用元法收为黄道定分；入盈，用定分午前内减外加、午后内加外减；入缩，用定分午前内加外减，午后内减外加。（《乾元》设置入气日，用距冬至的气，乘以十五，再用所入气日通分，如果小于一百八十二日以下则为入阳历，大于以上则去掉，为入阴历。设置入历分，在四十五日以下，用三十七乘，除以五，退一等，得到泛差；在四十五日以上、一百三十七日以下，只用三十三、秒三十作为泛差；一百三十七以上则去掉，余数用三十七乘，除以五，退一位，再用三十三、秒三十减去，得到泛差；都用距午分乘得到晷差。《仪天》二至后每天差减到立春、立秋，得一百一十三、小分六十二半，立夏、立冬后每天损，用宗法乘之；冬至、立冬后三气用四十四万二千三百八十四，夏至、立夏后各三气用二十七万九千八百五十八除，得到食差；用食甚距午正刻乘其日食差，得到定差；冬至后，食甚在午正东，阴减阳加；食甚在午正西，阴加阳减；夏至后则相反；立冬初日后，每气益差二十、秒四十四，到冬至初日加六十二、秒三十二；此后每气损差二十、秒四十四，终于大寒，食甚在午正西，则每刻累加其差，阴历加，阳历减。） 赤道差：（《乾元》称为求离差，《仪天》称为求赤道食差。）设置入盈缩历日及分，如果小于九十一日以下，则减去，得到初限日；大于以上，则用一百八十二日半减之，余数为末限日及分；乘以四，再用三百七十四减之，得到泛差；再乘距中分，除以半昼分，用减泛差，得到赤道定分；盈初缩末内减外加、缩初盈末内加外减。（《乾元》计算春、秋分后日加入气日，乘以十五，在九十以下，用九十一乘，退为泛差；九十一以上则去掉，余数用九十一乘，退一等，再用八百一十九减，得到泛差；二分气内设置入气日，用九十一乘，退为泛差；用半昼刻除之一，再乘距午分，用加减泛差，得到离差；食甚在出没以前，不用求离差，只用泛差，春分后阴加阳减，秋分后阴减阳加。《仪天》二分后益差到二至，积差都是二千八百二十六，此后累减到二分空，冬至后每天损三十一、小分八十，夏至后每天益三十、小分十五，再用宗法乘积差，各除以盈缩初末限分，得到日差；然后用末限累增、初限累损，各为每日食差；再用半昼刻数约其日食差，乘以食甚距午正刻，所得用食差减去，余数为定数。其余同《乾元》。） 日食差：依黄、赤二差，同名相加，异名相消，得到食差。（二历法同。） 距交分：（《乾元》称为去交分。《仪天》称为去交定分。）设置交前后分，用黄、赤二差加减，得到距交分。如果月在内道不足减，则反向减入外道，不食；如果月在外道不足减，则反向减食差，为反向减入内道则有食。（《乾元》设置阴阳历去交前后分，用食差该加减的，按其加减，所得为去交前后定分。月在阴历，去交前后分不足减，则反向减食差，交前减之，余数得到阳历交后得减之，余数为阳历交前定分，都不入食限。月在阳历，去交前后分不足减，也反向减食差，交前减之，余数为阴历交后定分，交后减之，余数为阴历交前定分，都入食限。《仪天》应食差，同名相从，异名相消，其余同《乾元》法。） 日食食分：设置距交分，如果在四百二十以下则等同于阳历分；以上则去掉，成为阴历分；再用食定余减去四分之三，（午前加倍，午后减半。）都退一位，用来减阴阳历分，得到食定分；如果不够减，就反过来减，余数进一位，加阴历分，得到食定分；阳历除以四十二，得到食的大分；阴历在九百六十以下则反过来减，除以九十六，得到食的大分，以十为限。（《乾元历》设置交前后分，用食差加减，得到定交分；在九百二十以下为阳历，以上去掉则为阴历。在阳历除以九十四、在阴历除以二百一十三得到大分，其余同《应天历》。《仪天历》设置入限去交定分，减去七百二十八，阳限以上为阴历食，用阳限去掉，余数减阴限得到阴历食分，以下则为阳历食分，也减去三百一十七，除以限数，都进一位，各以十为限，其余同《应天历》。） 月食食分：设置黄道内外前后分，如果食限在三百四十以下，则为食既；以上则反过来减末准，余数除以一百二十一，得到月食的大分。（如果食分在五分以下，并且在子正前后八刻内，以二百四十二除为食的大分，以十为限。）其前后分，在九百以上进入可能食或不食的界限。（《乾元历》定交分在七百五十二以下，食既；以上，反过来减末限，以二百六十四除之为大分。《仪天历》阳减阴加前后定分九百一十二半，在既限以下、食既以上，用去交分减之，以月食法除之为大分。） 日月食亏初复末：（《乾元历》称为求定用刻，《仪天历》称为求日月泛用分、求亏初复末。）用一百乘日月食的大小分，以一千三百三十七乘之，各自除以日离分，得到定用分；加食定余，得到复末定分；减去，得到亏初定分。至于月食，用食限减定用分，再用食甚减去，得到亏初定分；如果不够减，就用食限分像望定余那样作为食定分，其余依照日食加减，分别得到月食亏初、复末定分。（《仪天历》月食以五百八十八，日食以五百二十九、秒二十乘以所食分，退一位，取一半，得到定用刻。《仪天历》日食以五百四十五、秒四十，月食以六百零六，都乘以所食分，其小分用本母除，跟随，得到泛用分；其食又看去交定分在一千七百二十六以下增加半刻，八百五十六以下又增加半刻，以一千三百五十乘，除以辰定分，得到定用刻；都减定朔、望小余得到亏初，加得到复末。） 日食起亏：（《乾元历》称为求日食初起。）看距交分如果在四百二十以上，则初亏在西北，食甚在正北，复圆在东北；如果以下，初亏在西南，食甚在正南，复圆在东南。凡是食分在八分以上的，都初亏在正西，复圆在正东。（《仪天历》、《乾元历》太阳在阴历，初亏西北；在阳历，初亏西南，其余同《应天历》。） 月食起亏：（《乾元历》称为月食初定，《仪天历》称为月食初起。）月亮在内道，初亏在东南，食甚在正南，复圆在西南；月亮在外道，初亏在东北，食甚在正北，复圆在西北。凡是食分在八分以上的，初亏在正东，复圆在正西。（《乾元历》《仪天历》以内道为阴历，外道为阳历，其余都同《应天历》。而《仪天历》又有一个方法说，这个方法依据古经所记载，来探究天体，食在午中前后一辰之内，其余方位如果要精确验证，应当看日月食时所在方位的高下，详细审察黄道的斜正、月亮运行的方向，初亏和复圆都可以知道。） 带食出入：（《仪天历》称为求带食出入见食分数。）看那天的日出日落分，如果在亏初定分以上、复末定分以下，就是带食出入。食甚在出入分以下，用出入分减复末定分，得到带食差；食甚在出入分以上，用亏初定分减出入分，得到带食差；乘以食定分，除以定用分，日食阳历以四十二、阴历以九十六、月食以一百二十一除之，得到带食的大分，余数为小分。（《乾元历》各自用食甚余与该日的晨昏分相减，余数为带食差；带食差在定用刻以下，就是带食出入；以上则不带有出入。用带食差乘以所食之分，除以定用刻，所得减去所食之分，就是带食出入所看到的分。如果朔日日食食甚在白天，早晨为已食之分，黄昏为所残余的分；如果食甚在夜晚，黄昏为已食之分，早晨为所残余的分。月食同理可知。《仪天历》用食甚余减晨昏分，余数为出入前分，不够减则反过来减食甚，余数为出入后分，乘以所食之分，食分用本母通分，跟随小分，除以定用分，所得用本母约分，不满的，半以上为半强，半以下为半弱，即得到带食出入的分数。日、月食甚在出入前者，为所残余的分；在出入后者，为已退的分。） 更点：（《乾元历》、《仪天历》称为月食入定点。）分别设置亏初、食甚、复末定分，如果在晨分以下则加晨分，在昏分以上则减去昏分，都以更分除得到更数，除不尽，以点分除得到点数。从初更开始，计算之外，即得到所求。（《乾元历》方法相同。《仪天历》将该日晨分加倍，以五除之为更分，又以五除之为点分。然后看所求小余，如果在晨分以下加晨分，昏分以上减去昏分，求更点都同《应天历》。） 日月食宿分：（《乾元历》称为日月食宿。）用天正冬至黄道日度加朔望常日月度，从斗初度开始起算，计算之外，就是日月食所在的宿分。（《乾元历》用距离日没时辰到食甚时辰的数目，约算该日的日离差，用来加昏度。《仪天历》用加时定月度。） ## 时间线 - **本章前段**：步月离部分，列出离总、转日、历中日、朔差日等常数。；给出各历法计算月离的基本参数。 - **本章前段**：求天正十一月朔入先后历的算法。；得到入历日分，区分先历、后历。 - **本章前段**：朔弦望定日的计算。；用日躔、月离先后定数修正中日得定日。 - **本章前段**：九道宿度及交初月度等计算。；给出月行九道的计算方法。 - **本章前段**：求晨昏月及晨昏象积。；得到晨昏前后度及分，以及晨昏象积。 - **本章中段**：步晷漏部分，求每日晷影去极度晨分。；得到各气初数。 - **本章中段**：求昏分、距中度、昏明中星、五更中星等。；得到每日昏分、距子度、中星位置等。 - **本章中段**：求日出入时刻、昼夜分、更筹。；得到日出、日入辰刻，昼夜刻数，更点差分。 - **本章后段**：步晷漏后附常数和《仪天》求每日阳城晷景常数等方法。；列出冬至后、夏至后各象日数、辰法、刻法等，以及《仪天》特殊算法。 - **本章后段**：月离九道交会部分，列出交总、正交、半交等常数。；给出交会计算的基本参数。 - **本章后段**：求中盈度、次朔望中盈、月离朔交初度分、月入阴阳历等。；得到各中间量。 - **本章后段**：求食甚定余、入食限、入盈缩历、黄道差、赤道差、日食食分、月食食分、日月食亏初复末、日食起亏、月食起亏、带食出入、更点、日月食宿分等。；得到日月食的所有相关量。 ## 标签 - 应天历 - 乾元历 - 仪天历 - 步月离 - 步晷漏 - 步交会 - 月离 - 九道 - 交会 - 日月食 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