# 卷十历六

类型：古籍章节
书名：《元史》
作者：宋濂、王祎等
时代：明
类别：纪传体断代史 · 白话译文
卷目：志
章节：卷十历六

## 本章概览

《元史·历六》中的交会术和五星术，是元代天文学家为精确预测天文现象而制定的复杂算法。交会术部分，通过设定交终分、交终日等基本参数，利用繁琐的数学运算，推算朔望时刻的入交泛日，进而确定日月食的准确发生时间、食甚时刻、食分大小以及初亏复圆方位。其中涉及气差、刻差的修正，以及阴阳历的判定，体现了对日地月三体运动规律的深刻认识。五星术部分，则分别给出了木、火、土、金、水五颗行星的周率、历率等基本常数，并建立了从平合到各段中积中星的推算方法，通过盈缩定差调整，最终得到行星在黄道上的精确位置及见伏时刻。这些算法虽然计算繁复，却构成了中国古代历法的核心，不仅服务于皇家占星与祭祀，也为农业生产和日常生活提供了时间参考。元代天文学家在继承前代成果的基础上，进一步提高了推算精度，其数学建模思想与现代天体力学有异曲同工之妙，是中华科技史上的璀璨篇章。

本章介绍交会术与五星术的天文计算方法和数据。

本章详细列出交食和行星运动的参数与算法。

## 正文

交会术：

交终分：十四万二千三百一十九，秒九千三百六，微二十。

交终日：二十七日，余一千一百九，秒九千三百六，微二十。

交中日：十三日，余三千一百六十九，秒四千六百五十三，微一十。

交朔日：二日，余一千六百六十五，秒六百九十三，微八十。

交望日：十四日，余四千二，秒五千。

秒母：一万。

微母：一百。

交终度：三百六十三度，分七十九，秒三十六。

交中度：一百八十一度，分八十九，秒六十八。

交象度：九十度，分九十四，秒八十四。

半交象度：四十五度，分四十七，秒四十二。

日食既前限：二千四百。定法：二百四十八。

日食既后限：三千一百。定法：三百二十。

月食限：五千一百。

月食既限：一千七百。定法：三百四十。

分秒母：皆一百。

求朔望入交（先置里差，折半，除以九，所得结果按其加减天正朔积分，然后再求。）

将天正朔积分除去交终分，余数除以日法，得到日数，不满的为余数，即得天正十一月朔入交泛日及余秒。（这便是中朔加时入交泛日及余。）加上交朔，得次朔；加上交望，得望；再加交望，也得次朔；各为朔望入交泛日及余秒。（凡称余秒者，微也包含在内，其余仿此。）

求定朔及每日夜半入交：

各置入交泛日及余秒，减去中朔望小余，即为定朔望夜半入交泛日及余秒。若定朔望有进退的，也相应进退交日，否则以中为定。大月加二日，小月加一日，余皆加四千一百二十，秒六百九十三，微八十，即次朔夜半入交；逐日累加一日，满交终日及余秒则去掉，即得每日夜半入交泛日及余秒。

求定朔望加时入交：

置中朔望加时入交泛日及余秒，用入气入转朓朒定数，朓减朒加，即得定朔望加时入交泛日及余秒。

求定朔望加时入交积度及阴阳历：

置定朔望加时入交泛日，以日法通之，内余进二位，除以三万九千一百二十一，得度，不满则退除为分秒，即得定朔望加时月行入交积度；用定朔望加时入转迟疾度，迟减疾加，即为月行入定交积度；如小于交中度，为入阳历积度，大于交中度则去掉它，为入阴历积度。（每日夜半依此法求之。）

求月去黄道度：

视月入阴阳历积度及分，若小于交象，为少象；若大于交象，则用交中减去它，余为老象。将所入老少象度置于上位，列交象度于下，相减后相乘，再加倍，退位为分，分满百为度，用减所入老少象度及分；余数再与交中度相减、相乘，八倍之，除以一百一十，得分为分，分满百为度，即得月去黄道度及分。

求朔望加时入交常日及定日：

置朔望入交泛日，用入气朓朒定数，朓减朒加，为入交常日。又置入转朓朒定数，进一位，除以一百二十七，所得，用朓减朒加于交常日，为入交定日及余秒。

求入交阴阳历交前后分：

视入交定日，若小于交中，为阳历；大于则去掉它，为阴历。若在一日上下，以日法通日内分，内余为交后分；在十三日上下，用交中日减去它，余为交前分。

求日月食甚定余：

置朔望入气入转朓朒定数，同名相从，异名相消，以一千三百三十七乘之，除以定朔望加时入转算外转定分，所得，用朓减朒加于中朔望小余，为泛余。日食时，视泛余，若小于半法，为中前；大于半法则去掉它，为中后。置中前后分，与半法相减、相乘，加倍，万约为分，称为时差。中前用时差减泛余，为定余；再用半法减去它，余为午前分；中后用时差加泛余，为定余；减去半法，余为午后分。月食时，视泛余，若在日入后夜半前，且小于日法四分之三，则减去半法，为酉前分；大于四分之三，则用日法减去它，余为酉后分。又视泛余，在夜半后日出前，若小于日法四分之一，为卯前分；大于四分之一，则用半法减去它，余为卯后分。其卯酉前后分各自相乘，四倍，退位，万约为分，加于泛余，为定余。各置定余，用发敛加时法求之，即得日月食甚辰刻及分秒。

求日月食甚日行积度：

置定朔望食甚大小余，与中朔望大小余相减，余数用以加减中朔望入气日余，（用中朔望少加多减。）即为食甚入气；加其气中积，为食甚中积。又置食甚入气余，用所入气日损益率（盈缩的损益。）乘之，除以日法，用以损益其日盈缩积，盈加缩减食甚中积，即为食甚日行积度及分。先以食甚中积经分为约分，然后加减，其余类此者，照此求之。

求气差：

置日食食甚日行积度及分，满中限则去掉，余数若在象限以下，为初限；以上，则用中限减去它，为末限；皆自相乘，进二位，除以四百七十八，所得，用减一千七百四十四，余为气差恒数；用午前后分乘之，除以半昼分，所得，用以减恒数，为定数。（若不够减，则反减为定数，应加者减之，应减者加之。）春分后，阳历减阴历加；秋分后，阳历加阴历减。（春分前秋分后，各二日二千一百分为定气，在此宜加减之。）

求刻差：

置日食食甚日行积度及分，满中限则去掉，余数与中限相减、相乘，进二位，除以四百七十八，所得，为刻差恒数；用午前后分乘之，除以日法四分之一，所得，为定数。（若大于恒数，则倍恒数，用所得之数减去它，为定数，依其加减。）冬至后，午前阳加阴减，午后阳减阴加；夏至后，午前阳减阴加，午后阳加阴减。

求日食去交前后定分：

置气刻二差定数，同名相从，异名相消，为食差；依其加减去交前后分，为去交前后定分。视其前后定分，若在阳历，则不食；若在阴历，则有食。若交前阴历不够减，则反减，（反减食差。）为交后阳历；交后阴历不够减，反减之，为交前阳历；则不食。交前阳历不够减，反减之，为交后阴历；交后阳历不够减，反减之，为交前阴历；则日有食。

求日食分：

视去交前后定分，若小于二千四百，为既前分；除以二百四十八，得大分；大于二千四百，则用五千五百减去它，（不够减则不食。）为既后分；除以三百二十，得大分，除不尽则退除为秒。（其一分以下者，涉及交会太浅，太阳光盛，或不见食。）

求月食分：

视去交前后分，（不用气刻差。）若小于一千七百，则食既；大于一千七百，则用五千一百减去它，（不够减则不食。）余数除以三百四十，得大分；除不尽则退除为秒，即月食的分秒。去交分在既限以下，用既限减去它，也除以三百四十，为既内的大分。

求日食定用分：

置日食的大分，与二十分相减、相乘，又以二千四百五十乘之，除以定朔入转算外转定分，所得，为定用分；减定余，为初亏分；加定余，为复圆分；各用发敛加时法求之，即得日食三限辰刻。

求月食定用分：

置月食的大分，与三十五分相减、相乘，又以二千一百乘之，除以定望入转算外转定分，所得，为定用分；加减定余，为初亏复圆分。各如发敛加时法求之，即得月食三限辰刻。

月食食既者，用既内大分，与十五分相减相乘，又以四千二百乘之，除以定望入转算外转定分，所得为既内分；用减定用分，为既外分。置月食定余，减定用分，为初亏分；再加既外分，为食既分；再加既内分，为食甚分；（即定余分。）再加既内分，为生光分；再加既外分，为复圆分。各用发敛加时法求之，即得月食五限辰刻及分。（如月食既者，以十分并既内大分，依其法求定用分。）

求月食所入更点：

置食甚所入日晨分，加倍，五等分之，为更法；再五等分之，为点法。乃置月食初末诸分，若在昏分以上，则减昏分；在晨分以下，则加晨分；若不满更法，为初更；不满点法，为一点。依法依次求之，即得更点之数。

求日食所起：

食在既前，初起西南，甚于正南，复于东南。食在既后，初起西北，甚于正北，复于东北。其食八分以上者，皆起正西，复正东。（此据正午地而论。）

求月食所起：

月在阳历，初起东北，甚于正北，复于西北。月在阴历，初起东南，甚于正南，复于西南。其食八分以上，皆起正东，复正西。（此亦据正午地而论。）

求日月出入带食所见分数：

各以食甚小余，与日出入分相减，余为带食差；乘以所食之分，除以定用分，（月食既者，以既内分减带食差，余乘所食分，除以既外分，若不够减，则为带食既出入。）用以减所食分，即日月出入带食所见之分。（其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退；食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。）

求日月食甚宿次：

置日月食甚日行积度，（望则再加望度。）以天正冬至加时黄道日度加而命之，依黄道宿次去掉，即各得日月食甚宿度及分秒。

五星术

木星：

周率：二百八万六千一百四十二，秒九。

历率：二千二百六十五万五百五十七。

历度法：六万二千一十四。

周日：三百九十八日八十八分。

历度：三百六十五度二十四分九十秒。

历中：一百八十二度六十二分四十五秒。

历策：一十五度二十一分八十七秒。

伏见：一十三度。

（以下表格略）

火星：

周率：四百七万九千四十二，秒一十四半。

历率：三百五十九万二千七百五十七，秒四十四少。

历度法：九千八百三十六半。

周日：七百七十九日九十三分一十六秒。

历度：三百六十五度二十四分七十五秒。

历中，一百八十二度六十二分三十七秒半。

历策，一十五度二十一分八十六秒。

伏见，一十九度。

（以下表格略）

土星

周率，一百九十七万七千四百一十一，秒六十九。

历率，五千六百二十二万三千二百四十八半。

历度法，一十五万三千九百二十八。

周日，三百七十八日九分二秒。

历度，三百六十五度二十五分六十八秒。

历中，一百八十二度六十二分八十四秒。

历策，一十五度二十一分九十秒。

伏见，一十七度。

（以下表格略）

金星

周率，三百零五万三千八百零四，秒六十三又四分之三。

历率，一百九十一万零二百四十，秒七十六又二分之一。

历度法，五千二百三十。

周日，五百八十三日九十分一十四秒。

合日，二百九十一日九十五分七秒。

历度，三百六十五度二十四分六十八秒。

历中，一百八十二度六十二分三十四秒。

历策，一十五度二十一分八十六秒。

伏见，一十度半。

（以下表格略）

水星

周率，六十万六千零三十一，秒七十七又二分之一。

历率，一百九十一万零二百四十二，秒一十三又二分之一。

历度法，五千二百三十。

周日，一百一十五日八十七分六十秒。

合日，五十七日九十三分八十秒。

历度，三百六十五度二十四分七十秒。

历中，一百八十二度六十二分三十五秒。

历策，一十五度二十一分八十五秒。

晨伏夕见，一十四度。

夕伏晨见，一十九度。

（以下表格略）

【求五星天正冬至后平合及诸段中积中星】

设置通积分，（先用里差加减它。）分别用各星的周率去除它，余数就是前合分；再用周率减去余数，剩余的就是后合分；如同日法一样统一单位，不满的，退位算作分秒，就得到该星在天正冬至后的平合中积和中星。（中积命名为日，中星命名为度。）用各段的日数依次累加中积，就是各段的中积；用平度依次累加中星，遇到退行就减去它，就是各段的中星。

【求五星平合及诸段入历】

设置通积分，分别加上该星的后合分，用历率去除它，余数分别用该星的历度法除，得到度数，不满的，退位算作分秒，就是该星平合时入历的度数及分秒；用各段的限度依次累加它，就得到各段入历的度数及分秒。

【求五星平合及诸段盈缩定差】

分别设置各星段的入历度数及分秒，如果在历中以下，就是盈；以上，减去历中，余数就是缩。用该星的历策去除它，得到策数；余数就是入策的度数及分。从策数算起，用该策的损益率乘它，再用余历策除，得到分，用它增减该策下的盈缩积度，就是该星段的盈缩定差。

【求五星平合及诸段定积】

分别设置各星段的中积，用该段的盈缩定差，盈加缩减去它，就得到该段的定积日及分；加上天正冬至的大余及约分，满纪法就减去，不满，以壬戌开始算起，就得到日辰。

【求五星平合及诸段所在月日】

分别设置各段的定积，加上天正冬至的闰日及约分，用朔策及约分除，得到月数；余数就是入月以来的日数及分。月数从天正十一月开始算起，就得到该段入月的中朔日数及分；然后用日辰相距，得到所在定朔的月日。

【求五星平合及诸段加时定星】

分别设置中星，用盈缩定差，盈加缩减（金星加倍，水星乘三，然后再加减），就是五星各段的定星；加上天正冬至加时的黄道日度，按宿次命名，就是该星该段加时所在的宿度及分秒。

【求五星诸段初日晨前夜半定星】

分别用各段初日行率，乘该段定积日下的加时分，除以一百，然后顺行就减，逆行就加，到该日加时的定星，就是该段初日晨前夜半定星所在的宿度及分秒。

【求诸段日率度率】

分别用各段的日辰，相距后段的日辰，就是日率。用该段的夜半宿次，与后段的夜半宿次相减，余数就是度率。

【求诸段平行分】

分别设置各段的度率及分秒，用该段的日率除它，就得到该段的平行度每日及分秒。

【求诸段总差及日差】

本段前后平行分相减，就是该段的泛差；（假如求木星次疾泛差，就用顺疾与顺迟的平行分相减，余数就是次疾泛差，其他都类似此）加倍并退一位，就是增减差；加减该段的平行分，就是初日和末日的行分；（前段多后段少的，加为初日行分，减为末日行分；前段少后段多的，减为初日行分，加为末日行分。）加倍增减差，就是总差；用日率减一除它，就是日差。

【求前后伏迟退段增减差】

前伏段的，设置后段初日行分，加上其日差的一半，就是末日行分；后伏段的，设置前段末日行分，加上其日差的一半，就是初日行分；用它减去伏段的平行分，余数就是增减差。前迟段的，设置前段末日行分，加倍的日差减去它，就是初日行分；后迟段的，设置后段初日行分，加倍的日差减去它，就是末日行分；用它减去迟段的平行分，余数就是增减差。（前后靠近留的迟段。）木火土三星，退行的，用六倍的平行分，退一位，就是增减差。金星，前后伏退的，用三倍的平行分，一半后退一位，就是增减差。前退段的，设置后段初日行分，用其日差减去它，就是末日行分。后退段的，设置前段末日行分，用其日差减去它，就是初日行分；用本段平行分减去它，余数就是增减差。水星，用平行分直接作为增减差，都用增减差加减平行分，就是初末日行分。（前段多后段少的，加初日减末日；前段少后段多的，减初日加末日。）再加倍增减差为总差，用日率减一除它，就是日差。

【求每日晨前夜半星行宿次】

分别设置各段的初日行分，用日差依次增减（后段少就减，后段多就加），就是每日行度及分秒；然后顺行就加，退行就减，满宿次就减去，就得到每日晨前夜半星行宿次。（查看前段末日后段初日行分相差的数量，不超过一两日差为好；如果差多日差数倍，或者颠倒不伦，应当类似前后增减差稍微调整它，使其有次序，然后用它。或者前后平行分都多都少，就平均注写；或者总差的秒数不满一分，也平均注写；如果有不伦而平均注写得伦的，也平均注写。）

【求五星平合及见伏入气】

设置定积，用气策及约分除它，得到气数；余数就是入气日及分秒；从天正冬至开始算起，就得到所求的平合及见伏入气日及分秒。

【求五星平合及见伏行差】

分别用各段初日星行分与太阳行分相减，余数就是行差。如果金星在退行、水星在退合，就把它们相加作为行差。如水星夕伏晨见，直接以太阳行分作为行差。

【求五星定合及见伏泛积】

木火土三星，分别以平合、晨疾、夕伏的定积，作为定合、定见、定伏的泛积。金水二星，设置该段的盈缩定差（水星加倍），分别用行差除它们，得到日数，不满的，退位算作分秒；如果在平合、夕见、晨伏时，盈减缩加；如果在退合、夕伏、晨见时，盈加缩减；都用它加减定积，得到定合、定见、定伏的泛积。

【求五星定合定积定星】

木火土三星，分别用平合的行差除当日的太阳盈缩差，得到距合差日；再用太阳盈缩差减去它，得到距合差度；太阳在盈历时，用差日、差度减去它；在缩历时，加上它；用它加减该星的定合泛积，得到定合、定积、定星。金水二星，顺合和退合，分别用平合、退合的行差除当日的太阳盈缩差，得到距合差日；顺加退减太阳盈缩差，得到距合差度；顺合在盈历时，用差日、差度加上它；在缩历时，减去它；退合在盈历时，用差日减去它，差度加上它；在缩历时，用差日加上它，差度减去它；都用它加减该星的定星、定合、再定合泛积，得到定合、再定合、定积、定星；用冬至大余及约分加上定积，满纪法就减去，得到定合的日辰；用冬至加时的黄道日度加上定星，满宿次就减去，得到定合所在的宿次。（其中顺退所在的盈缩，就是太阳的盈缩。）

【求木火土三星定见伏定日】

分别设置各星的定见伏泛积，晨加夕减象限日及分秒；（半中限为象限。）如果在象限以下，自己相乘；以上，用岁周日及分秒减去它，余数也自己相乘；除以七十五，所得结果，用该星的伏见度乘它，除以十五，得到差值。这个差值，用该段的行差除它，得到日数，不满的，退位算作分秒；见加伏减泛积，得到定积；像前面一样加命，就得到日辰。

【求金水二星定见伏定日】

分别用伏见日行差除当日的太阳盈缩差，得到日数。如果晨伏夕见，太阳在盈历时，加上它；在缩历时，减去它；如果夕伏晨见，太阳在盈历时，减去它；在缩历时，加上它；用它加减该星的泛积，得到常积。看常积，如果在中限以下，就是冬至后；以上，减去它，余数就是夏至后。在二至后，如果在象限以下，自己相乘；以上，用中限减去它，余数也自己相乘；分别按方法除得到分数，（冬至后晨、夏至后夕，以十八为法；冬至后夕、夏至后晨，以七十五为法。）用伏见度乘它，除以十五，得到差值。这个差值，满行差就除，得到日数，不满的，退位算作分秒；加减常积，得到定积；（冬至后，晨见夕伏，加上；夕见晨伏，减去。夏至后，晨见夕伏，减去；夕见晨伏，加上。）像前面一样加命，就得到定见伏的日辰。

其中水星，夕疾在大暑气初日至立冬气九日三十五分以下的，看不见；晨留在大寒气初日至立夏气九日三十五分以下的，看不见。春天不晨见，秋天不夕见，这也是旧历中有的。

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