卷二下

钦定四库全书

数学九章卷二上　　　　宋　秦九韶　撰

天时

推气治历

问太史测验天道庆元四年戊午岁冬至三十九日九

十二刻四十五分绍定三年庚寅岁冬至三十二日

九十四刻一十二分欲求中间嘉泰甲子岁气骨岁

余斗分各得几何

按绍定三年庚寅之冬至实绍定四年辛卯之

始辛卯距戊午三十四年积年为三十三

答曰气骨十一日三十八刻二十分八十一杪八

十小分余岁五日二十四刻二十九分三十杪

三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十

杪三十小分

术曰先距前后年数为法置前测曰刻分减后测曰

刻分余为率(不足减则/加纪策)以纪策累加之今及天道合

用五日以上数为实以法除实得岁余去全日余为

斗分以所求中间年上距前测年数乘岁余益入前

测日刻分满纪策去之余为所求气骨

草曰置前测戊午岁距前岁庚寅岁得三十三为法

置前测戊午岁冬至三十九日(日辰/癸卯)九十二刻四十

五分减后测绍定三年庚寅岁冬至三十二日(日辰/丙申)

九十四刻一十二分今后测者少不及前测者以减

乃加纪法六十日于后测日内得九十二日九十四

日一十二分然后用前测者减之余五十三日一刻

六十七分为率按术当以法三十三余率须使啇数

必得五日以上乃可今率未得五日乃两度累加纪

法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十

七分为刻实如法除之得五日二十四刻二十九分

三十杪三十小分(不尽/弃之)为岁余乃去全五日得二十

四刻二十九分三十杪三十小分为斗分次推嘉泰

甲子上距庆元戊午岁得六以乘岁余五日二十刻

刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五

刻七十五分八十一杪八十小分益入前测戊午岁

三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八

刻二十分八十一杪八十小分满纪法六十去之余

一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分为

所求甲子　气骨之数合问

按气骨者年冬至时距甲子日子正初刻后之

日分也岁余者岁实去六甲子之余日分也斗

分者岁实去三百六十五日之余分也此未知

岁实之法故先以前后两气骨相减余数为实

以积年为法除之岁余约五日余纪日六十故

实数内累加六十日至啇得五日上而止则实

数为积岁余之数以积年除之得岁余日分既

得岁余以甲子积年六乘之得甲子积岁余与

前测气骨相加满纪法去之余即甲子气骨也

治历推闰

问开禧历以嘉泰四年甲子岁天正冬至为一十一日

(日辰/乙亥)四十四刻六十一分五十四杪十一月经朔一

日(日辰/乙丑)七十五刻五十五分六十二杪问闰骨闰率

各几何

答曰闰骨九日六十九刻五分九十一杪(不尽一/百六十)

(九分杪之一/百二十一)

闰骨率十六万三千七百七十一

术曰以日法各通气朔日刻分杪各为气骨朔骨分

其气骨分如约率而一约尽者为可用(或收弃余分/在一刻以下)

(者亦/可用)然后与朔骨分相减余为闰骨率以日法约之

为闰骨策

草曰置本历曰法一万六千九百先通冬至一十一

日四十四刻六十一分五十四杪得一十九万三千

四百四十分二十六小分为实其历约率系三千一

百二十以约之得六十二可用其余小分二十六乃

弃之只用一十九万三千四百四十为气骨分次

置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本历日

法一万六千九百乘之得二万九千六百六十八分

九十九杪七十八小分将近一分故于气骨内所弃

二十六小分借二十二小分以补朔内收上得二万

九千六百六十九为朔然后以朔骨分减气骨分余

有一十六万三千七百七十一为闰骨率复以日法

除之得闰骨策九日六十九刻五分九十一杪不尽

一百二十一算直命之为一百六十九分杪之一百

二十一合问

按此题若置冬至日分内减经朔日分余九日

六十九刻五分九十二杪得闰骨策此原草仅

多一百六十九分杪之四十八尽草中气骨内

弃小分二十六朔骨分内进二十二并之为一

百六十九分杪之四十八其不径相减而必用

通分约分累乘累除者为向后推算用耳

治历演纪

问开禧历积年七百八十四万八千一百八十三欲知

推演之原调日法求朔余朔率斗分岁率岁闰入元

岁入闰朔定骨闰泛骨闰缩纪率气元率元闰元数

及气等率因率蔀率朔等数因数蔀数朔积年二十

三事各几何

答曰日法一万六千九百

朔余八千九百六十七

朔率四十九万九千六十七

斗分四千一百八

岁率六百一十七万二千六百八

岁闰一十八万三千八百四

入元岁九千一百八十

入闰四十七万四千二百六十

朔定骨二万九千六百六十九

闰泛骨一十六万三千七百七十一

闰缩一十八万八千五百七十八

纪率一百零一万四千

气元率一万九千五百

元闰三十七万七千八百七十三

元数四百二

气等率五十二

因率一百四十四

蔀率三百二十五

朔等数一

因数四十五万七千九百九十九

蔀数四十九万九千六十七

朔积年七百八十三万九千

积年七百八十四万八千一百八

术曰以历法求之大衍入之调日法如何承天术用

强弱母子互乘得数并之为朔余以二十九日通日

法增入朔余为朔率又以日法乘前历所测冬至气

刻分收弃末位为偶数得斗分与日法用大衍术入

之求等数因率蔀率以纪乘等数为约率置所求气

定骨如约率而一得数以乘因率满蔀率去之不满

以纪法乘之为入元岁次置岁日以日法通之并以

斗定分为岁率以十二月乘朔率减岁率余为岁闰

以岁闰乘入元岁满朔率去之不满为入闰与闰骨

相减之得差(或适足便以入元岁为积年后术并不/用或差在刻分法半数以下者亦以入)

(元岁为/积年)必在刻分法半数以上却以闰泛骨并朔率

得数内减入闰余与朔率求闰缩(在朔率以下便为/闰缩以上用朔率)

(减之/亦得)以纪法乘日法为纪率以等数约之为气元率

以气元乘岁闰满朔率去之不满为元闰虚置一亿

减入元岁余为实元率除之得乘限乃以元闰与朔

率用大衍入之求得等数因数蔀数以等约闰缩得

数以因数乘之满蔀数去之不满在乘限以下以乘

元率为朔积年并入元岁为演纪积年又加成历

年今人相乘演积年其术如调日法求朔余朔率立

斗分岁余求气骨朔骨闰骨及衍等数约率因率蔀

率求入元岁岁闰入闰元率元闰已上皆同此术但

其所以求朔积年之术乃以闰骨减入闰余为之闰

赢却与闰缩朔率列号甲乙丙丁四位除乘消减谓

之方程乃求得元数以乘元率所得为之积年加入

元岁共为演纪岁积年所谓方程正是大衍术(今人/少知)

非特置算繁多初无定法可传甚是惑悮后学易失

古人之术意故今术不言闰赢而曰入闰差者盖本

将来可用入元岁便为积年之意故今止将元闰朔

率二项以大衍先求等数因数蔀者仍仿前前求入

元岁之术理假闰骨如气骨以等数为约数及求乘

数蔀数以等约闰缩得因乘数满蔀去之不满在限

下以乘元率便为朔积年亦加入元岁共为演纪积

年此术非惟止用乘除省便又且于自然中取见积

年不惑不差矣新术敢不用闰赢而求者实知闰赢

已存于入闰之中但求朔积年之奇分与闰缩等则

自与入闰相合必满朔率所去故也数理精微不易

窥识穷年致志感于梦寐幸而得知谨不敢隐

草曰本历以何承天术调得一万六千九百为日法

系三百三十九强一十七弱先以强数三百三十九

乘强子二十六得八千八百一十四于上次以弱数

一十七乘弱子九得一百五十三并上共得八千九

百六十七为朔余次以日法通朔策二十九日得四

十九万四百一十增入朔余得四十九万九千六十七为

朔率又以日法乘统天历所测每岁冬至周日下二

十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪为斗

泛分验八分既偶遂弃三十九杪只以四千一百八

分为斗定分与日法以大衍术入之□得五十二为

等数一百四十四为因率三百二十五为蔀率以甲

子六十为纪法乘等数得三千一百二十为约率却

置本历上课所用嘉泰甲子岁气骨一十一日四十

四刻六十一分五十一杪以乘日法得一十九万三

千四百四十分二十六杪为气泛骨欲满约率三千

一百二十而一故就近乃弃微杪只以一十九万三

千四百四十为气定骨然后以约率三千一百二十

除之得六十二以因率一百四十四乘之得八千九

百二十八满蔀率三百二十五去之不满一百五十

三以纪法六十乘之得九千一百八十年为入元岁

次置岁　三百六十五以日法乘之得六百一十六

万八千五百并斗定分四千一百八得六百一十七

万二千六百八为岁率却以十二月乘朔率四十九

万九千六百七得五百九十八万八千八百四率内

减去此数余一十八万三千八百四为岁闰以岁闰

乘入元岁九千一百八十得一十亿八千七百三十

二万七百二十满朔率去之不满四十七万四千二

百六十为入闰次置本历所用嘉泰甲子岁天正十

一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪以日法

乘之得二万九千六百六十八分九千九百七十八

杪为朔泛骨就近收杪为一分共得二万九千六

百六十九为朔定骨数然后乃以朔定骨减气骨一

十九万三千四百四十余一十六万三千七百七十

一为闰泛骨置日法以二百归除之得八十四半为

半刻法次以入闰数内减去闰泛骨与入闰相课减

之余三十一万四百八十九(此是/闰赢)为差半刻法以上

乃以闰泛骨并朔率共得六十六万二千八百三十

八以入闰四十七万四千二百六十减之余一十八

万八千五百七十八在朔率下便为闰缩次以纪策

六十乘日法得一百零一万四千为纪率以等数五

十二归除纪率得一万九千五百(按即六十乘三百二/十五之数为一蔀年)

为气元率以气元率乘岁闰一十八万三千八百四

得三十五亿八千四百一十七万八千满朔率去之

不满三十七万七千八百七十三为元闰次置一亿

(按此数似虚设不过取一亿之数为限耳/此所求过限又将改率数以迁就之矣)以入元岁

元千一百八十减之余九千九百九十九万八百二

十为实以元率一万九千五百为法除之得五千一

百二十七为乘元限数乃以元闰三十七万七千八百

七十三余与朔率四十九万九千六十七用大衍术

求之得等数一因等四十五万七千九百九十九蔀

数四十九万九千六十七然后以等数一约闰缩只

得一十八万八千五百七十八以因数四十五万七

千九百九十九乘之得八百六十三亿六千八百五

十三万五千四百二十二满蔀数四十九万九千六

百七十去之不满四百二在乘元限数以下为可用

以乘元率一万九千五百得七百八十三万九千年

为数积年并入元岁九千一百八十共得七百八十

四万八千一百八十为嘉泰四年甲子岁积算本历

系于丁卯岁进呈又加丁卯三年共为七百八十四

万八千一百八十三年为本历积年合具绘图如

后

按此术草内奇定相求有等数又有因数蔀数

之异盖等数即度尽定奇两数之数因数乃奇

数之倍数任倍定奇二数相较但得一等数则

奇之倍数即为因数蔀数者奇数最大之倍数

也任倍奇定至两边相等无较数则奇数之倍

数即谓之蔀数也等数甚小者因数不患其甚

大有蔀数以限之也草中尚多讹舛正之于后

按此题术草皆曰何承天调日法而宋书所载

何承天法并无甚率且各用数亦与此不同今

细按其草日法已有定数所调者朔策余分也

然从来朔策余分皆以实测之朔策分岁实分

两母子互乘相通即得并无所谓调法今所载

强弱母子四数大约已有朔策余分与日法分

相约而得非别有所本乃故设曲折以为奇也

试以朔余分八千九百六十七分为第一条置

日法分内减朔策余分余七千九百三十三为

第二条以此二数数取之先置第一条减第二

条余一千零三十四为第三条七因第三条以

减第二条余六百九十五为第四条以第四条

减第三条余三百三十九为第五条二因第五

条以减第四条余一十七为

第六条是第五条即强母数

第六条即弱母数矣次用第

五条第六条转求第一条以

取两子数置第六条于上二

因第五条加之得第五条者

二第六条者一共六百九十

五为第四条以第四条加第

五条得第五条者三第六条

者一共一千零三十四为第

三条七因第三条以加第四

条得第五条者二十三第六

条者八共七千九百三十三

为第二条以第二条加第三

条得第五条者二十六第六

条者九共八千九百六十七为第一

条是第五条倍数即强子数

第六条倍数即弱子数矣至算式中以日法取

强母数者则又以第五条第六条再约而得者

如以第五条为实第六条为法为法商之初商得十以法乘初商得一百七十为初商积减实以

一百六十九恰与百分日法分之一等故百除日

法分为一数又三乘之得五百零七为实以四

十九为法初商得十初商积为四百九十减实

余十七乃以商十乘十七得一百七十与前初

商积等故加与前余积等之百分日法分之一

得三百三十九为五条之数名之曰强数也

次以日法乘朔策日得数并朔余为朔率

斗分见偶则弃见奇则收为偶

按此系弃分以下数不用也分为偶数即用其

数分为奇数则杪微进一分并为偶数如无杪

微即加一分

又按算中用数以日法分一万六千九百分为

主斗分定为四千一百零八为偶数气骨分亦

定为偶数其各时刻分皆由日分比例而得故

变时刻分为日分求之无不合

按求入元岁法用斗分与日法分求等率乘率

盖以六十年之岁实积分与纪法分相约占以

六十除纪法分得日法分为定以六十除岁实

积分得斗分为奇求得蔀数乘数皆与六十年

之岁实积分与纪法分所求者同惟等数则为

六十之一故以六十乘之为乘分以约气骨分

然后以乘数乘之满蔀数去之所得用数为六

十年之周数故以六十乘之始为年数此立法

之意也然以六十年为周数则六十年之间其

气骨数有合者则不可得故所得年数较以岁

实分纪分相求者为逺也

按气元一万九千五百乃前蔀数三百二十五

以六十乘之之数盖求入元岁用六十倍者故

此仍用六十倍也

又按此皆用六十年岁实分求得之数与用一

岁实分求得之数同盖因积年数为六十度尽

之数若非六十度尽之数则得数必逺也今依

其数另设一题以明其法

设宋开禧历日法一万六千九百分岁实分六百一

十七万二千六百零八法纪率分一百零一万四

千分朔率分四十九万九千零六十七分嘉泰甲

子岁天正冬至距甲子日子正后十九万三千四

百四十分(古名/气骨)十一月朔距甲子日子正后二万

九千六百六十九分(古名/朔骨)问距历元甲子子正初

刻冬至朔之积年几何

答曰七百八十四万八千一百八十年

法以纪率为纪定纪率除岁率(即岁/实分)余八万八千

六百零八分为纪奇依大衍术求至奇一百零三

余分六百二十四余分可以度尽上数则命六百

二十四为等数一百零三为乘数又求得奇一千六

百二十五无余分则命一千六百二十五为蔀数

乃以等数约气骨分得三百一十以乘数乘之得

三万一千九百三十满蔀数去之余一千零五十

五即专以气骨分求得距历年之积年数也旧法

以斗分(岁余分四千/一百零八)为奇日法为定求得等数一

纪法六十乘之以约气骨得数以乘数乘之蔀数

除之余数又以六千乘之为积年名入元岁其术

未密(详/前)故所得积年为九千一百八十其数亦较

逺也

次以蔀数(即岁实纪法/满一会年数)乘岁率得一百亿三千四十

八万八千满朔率去之余二十三万九千四百三

十四旧名气元闰为朔奇朔率为朔定依前法求

得等数一乘数六千二百五十一蔀率四十九万

九千零六十七次以前所得积年乘岁率满朔率

去之余二十七万五千二百二十四为前朔距至

前分数旧名入元闰以嘉泰甲子气骨朔骨相减

得十六万三千七百七十一为后朔距至前分数

旧名闰骨夫十一月朔常在冬至前退行今前逺

后近是已退过一朔策则于后闰骨内加一朔策

再减去入元闰余三十八万七千六百一十四为

后朔前朔相差之分数旧名闰缩乃以等数约闰

缩仍得原数以乘数乘之满蔀数去之余四千八

百二十九为会数乃以一会年数(即前/蔀数)乘之得七

百八十四万七千一百二十五为朔积年加入前

积年得七百八十四万八千一百八十为嘉泰甲

子积年

又法仍按本法求之先以岁率纪率朔率求总等

朔率不尽无总等各率朔即为各元数次连环求

等朔元不尽岁元等数等数为六百二十四留岁

元不约约纪元得一千六百二十五分为纪泛定

岁元朔元即为岁泛定朔泛定次求续等纪泛定

岁泛定等数为十三约岁泛定乘纪泛定得四十

七万四千八百一十六为岁定二万一千一百二

十五为纪定朔泛定即朔定三定数连乘得五○

○五八八五五五四六九六○○○为衍母纪定

朔定相乘得八一○九八三八七五为岁衍岁定

朔定相乘得二三六九六四

九九六六七二为纪衍岁定

纪定相乘得一○○三○四

八八○○○为朔衍置各衍

数满各定数去之余岁奇四

七二九六三纪奇二○○四

七朔奇二三九四三四次以

各定各奇求各乘数得岁乘

数(此题不用岁乘数/求之以备其数)二四九

六七纪乘数二○○○八

朔乘数六二五一以各乘数

乘各衍数得各泛用数岁泛

用二○一九八九三二○七

九四六二五纪泛用四七四

一一九五六五四四一三三

七六朔泛用六二七○○五

八　四八八○○○并三泛用与衍母数等则泛

用即为定用乃以气骨乘纪定用得九一七一三

六八八七一九六二八三四五五三四四○置气骨

减去朔骨余十六万三千七百七十一以乘朔定

用得二○二六八五三六七六七一○○二四八

○○○并数得九二七○四五四二三九六三三

八三七○一四四○满衍母去之余四八四四三

七三八六五三四四○为实以岁实分为法除

之得七百八十四万八千一百八十即嘉泰甲子

积年之数也此法较前法数繁然其理可互相发

明后复设一法兼二法用之

三法先以岁率纪率求等数得六百二十四专约

纪率得一六二五分为纪元岁率即为岁元又求

续等数得十三以约岁元得四七四八一六为岁

定以乘纪元得二一一二五为纪定纪定岁定相

乘得一○○三○四八八○○○为衍母以纪定二一

一二五为岁衍以岁定四七

四八一六为纪衍岁衍小于

岁定即为岁奇纪衍满纪定

去之余一○○六六为纪奇

次以各定各奇求各乘数得

岁乘数二五四八六一纪乘

数九七八六以各乘数乘各

衍数得各用数岁用数五三

八三九三八六二五纪用数

四六四六五四九三七六乃

以气骨乘纪用数得八九八

八二八五一一二九三四四

○满衍母去之余六五一二

一○一四四○为通积分为

实以岁实分为法除之得一

千零五十五即专以气骨求

次以前衍母分(即岁率纪率一会一千/六百二十五年之积分)一○○三○

四八八○○○与朔率分求等数得一即以前衍

衍母分为岁纪元亦即为岁纪定以朔率分四九九

○六七为朔元亦即为朔定二定数相乘得五○○

五八八五五五四六九六○○

○为衍母以朔定为岁纪衍以

岁纪定为朔衍岁纪衍小于岁

纪定即以岁纪衍为岁纪奇明

衍满朔定去之余二三九四

三四为朔奇各以定奇求乘

数得岁纪乘数九九○四八

五二四○三朔乘数六二五

一以各乘数乘各衍数得岁

纪泛用数四九四三一八四

九七四二○八○○一朔泛

用数六二七○○五八○四

八八○○○并二泛数与衍

母等则泛用数即为定用数

乃置前通积分六五一二一

○一四四○满朔率去之余

二七五二二四为入元第一

千零五十五年之闰分又置

嘉泰甲子气骨减去朔骨余

一六三七七一为嘉泰甲子

之闰分闰分每岁渐加今后数小于前数是知已

加过一朔率乃于后闰分内加一朔率分减去前

闰分得三八七六一四为前后闰分差以乘朔定

用数得二四三○三六二二八○五二七五六三

二○○○满衍母去之余四八四三七二二六五

五二○○○为实以岁率为法收之得七百八十

四万七千一百二十五为后积年数并前积年数

共得七百八十四万八千一百八十年为嘉泰甲

子积年与前数合

按右奇定相求其上层奇一数即大衍术中所

谓立天元一也其逐层数即术中所谓递互乘

余也其下层奇得数即术中所谓乘数也(有等/数者)

(求蔀/数)古无笔算旧式所载不详兼多重复舛伪

之处集中惟此问甚繁故既设题以明其法

复备录加减乘除之数以详其算式俾观者易

见焉

缀术推星

问岁星合伏经一十六日九十分行三度九十分去曰

一十三度乃见后顺行一百一十三日一十十七度

八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率

末行率平行率各几何

按此以两积曰之递差积度求各行率也盖合

伏初日其行最疾以次渐迟迟极则留总其积

度略如递减差分故古法皆以其术步之

答曰合伏一十六日九十分　常度三度九十度

初行率二十三分九十七杪　平行率二十三

分二杪　末行率二十二分七杪

晨疾初三十日　常度六度一十三分　初行

率二十一分九十六杪　平行率二十分三十

三杪　末行率一十八分七十杪

术曰以方程法求之置见日减一余半之为见率以

伏日并见日为初行法以法半之如见率共为伏率

以伏日乘伏率为伏差以见日乘见率为见差以伏

日乘见差于上以见日乘伏差减上余为法以见日

乘伏度为泛以伏日乘见度减泛余为实实满法而

一为度不满退除为分杪即得日差

按此求逐日之递差为日差也术曰方程非也

其所谓见数者乃徒设一数宛转附会使合于

方程之行列也如　见日减一折半为见率并

伏见日折半为半总日既以半总日加见率先

以伏日乘之后以见日乘之复置见率先以见

日乘之后以复日乘之相减然后为法岂非半

总日不用加见率但以伏日见日连乘之即可

为法乎特多立名目故为曲折颠倒使人不易

办耳今去其见率另为步算于后以明其立法

之本意焉

法以合伏日除伏行度得二十三分(九七六/ 二三)为合

伏日折中第八日四十五分一日之行度(即第七/日九十)

(五分至第八日九/十五分之行度)以顺行日除顺行度得十五分

(七七八/七六一)为顺行日折中第五十六日五十分一日

之行度两一日之行度相减行七分(一九八/一六二)为合

伏第八日四十五分与顺行第五十六日五十分

两一日之行度较为实并合伏顺行两日数而半

之得六十四日(九/五)为合伏第八日四十五分至顺

行五十六日五十分之积日为法除之得十一杪

(二三六/五八五)为一日递差之数即日差若不先用除则

以两日数与两行度互乘相减为实两日数相乘

又并两日数而半之再乘为法得数亦同

求初行率置初法减一余乘日差为寄以半初行法

乘寄得数又加伏见度共为初行实以法退除之得

合伏日初行率

按此求合伏第一日最疾之行也其法即递减

差分有总数有次数有每次差数求初次最大

之数也初行法减一乘日差为寄者合伏初日

与顺行末日两行率之差也半法乘寄与积差

等故加共度为实以共日为法除之为合伏初

日行率二十三分九十七杪也

求未行率以段日乘日差减初行率余为末行率

按此求合伏末日之行率也以段日乘日差求

合伏初末日两行率之较也既得初末日两行

率之较以减初行率即末行率也

求平行率以初行率并未行率而半之为平行率

按此即均分合伏度为每日之平行率也与递

加递减有首尾数求中数者同应与伏日除伏

度数同不同者本非递差之数也

求交段差以各段常日下分数减全日一百分余乘

末日行率为交段差

按此即各段日下分数不及一日所差之行分

也求之以备后数加减

累减前段积度以益后段积度各为常度

按常度即各段积度也求晨疾初段常度见常

中专解于后

草曰以伏日随伏度为右行以见日随见度为左行

以度对度日对日其度于上日于中空其下列之

置见日一百一十三减一余一百一十二以半之得

五十六为见率以伏日一十六日九十分并见日一

百一十三得一百二十九日九十分为初行法

以初行法半之得六十四日九十五分并见率五十

六日得一百二十日九十五分为伏率以初行法寄

之以伏率归右下以对见率仍分左右两行为首图

以首图伏日一十六日九十分乘伏率一百二十日

九十五分得二千四十四日五分五十杪为伏差于

右下以首图见日一百一十三乘见率五十六得六

十三百二十八日为见差于左下乃成次图　凡方

程之术先欲得者存之以未欲得者互偏乘两行诸

数今验此图先欲得日差故存其左右之上下以左

右之中伏见日数互偏乘两行乃以次图右中伏日

一十六日九十分先偏乘左行毕左上得三百一度

三十二分七十杪左中得一千九百九日七十分左

下得一十万六千九百四十三日二十分又以次图左

中见日一百一十三偏乘右行毕右上得四百四十

日七十分右中亦得一千九百九日七十分右下得

二十三万九百七十八日二十一分五十杪

以两行　得变名泛积法而成才图乃验才图左上

下皆少用减右行毕行上余一百三十九度三十七

分三十杪为日差实右中空右下得一十二万四千

三十五日一分五十杪为日差法今维图法多实少

除得空度空分十一杪二十三小分六十五小杪不

尽十杪五十五小分三十九小杪五十二微分五十

微杪收为一小杪为日定差一十一杪二十三小分

六十六小秒

既得日差乃行初行率置法图内初行法一百二十

九日九十分内减去一日余一百二十八日九十分

乘日差一十一杪二十三小分六十六小杪得空度

一十四分四十八杪三十九小分七十七小杪四十

微分为寄次置(按此下脱三十一字应作次置寄以/半法乘之得九度四十分七十三杪)

(四十三小分三十二/小杪一十三微杪)

以得数加伏度三度九十分见度一十七度八十三

分共得三十一度一十三分七十三杪四十三小分

三十二小杪一十三微分为初行实如初行法一百

二十九日九十分而一乃行空度二十三分九十七

杪为伏合初日行率余三杪一十三分分三十二小

杪一十三微分弃之

求末行率置合伏段日数一十六日九十分乘日差

一十一杪二十三小分六十六小杪得一分八十九

杪八十九小分八十五小杪四十微分为得数乃以

得数减初行率二十三分九十七杪余二十二分七

杪一十小分一十四小杪六十微分为合伏末日行

求平行率置初行率二十三分九十七杪并末行率

二十三分七杪得四十六分四杪以半之得二十三

分二杪为平行率

求交段差置合伏日下减全日一百分余一十分乘

末行率二十二分七杪得二分二十杪七十小分为

交段差

求晨疾初段常度置合伏日一十六日九十分乃收

九十分作一日通为一十七日并旧历所注晨疾初

段常日三十得四十七为共日乘合伏初行率二十

三分九十七杪得一十一度二十六分五十九杪为

寄上

按此有第一日行度有逐日递减之差有前后

各段日数有前段积度求后段积也先以共日

乘初行率者以最疾为率之共积也下求递差

以减之故为寄

乃副置共日四十七减一余四十六以半之得二十

三乘副四十七得一千八十一以乘日差一十一杪

二十三小分六十六小杪得一度二十一分四十六

杪七十六小分四十六小杪以减上寄一十一度一

十六分五十九杪余一十度五分一十二杪二十三

小分五十四小杪为合伏晨疾初两段共积度

按此乃求积差以减上数得共日之积庆也法

应于共日内减一日以乘日差得数为共日数

初末日行率之较再以共日数乘之得数折半

为积差此先折半次连乘得积差其理亦同

置共积内减合伏三度九十分余六度一十五分一

十二杪二十三小分五十四小杪为泛次以交段差

二分二十杪七十小分减泛余六度一十二分九十

一杪五十三小分五十四小杪为晨疾初段常度注

历乃收八杪五(按应/作四)十六小分四十六小杪为全分

常定度

按此于共积内减去合伏段积尚有合伏九十

分不及一日所差之行分即交段差未减故为

泛数再减交段差为晨疾初段常泛度再收为

六度十三分始为定常度也

求晨疾初段初行率以日差一十一杪二十三小分

六十六小杪减合伏末行率二十二分七杪余二十

一分九十六杪为晨疾初段初行率行泛收之为定

者也

按此以合伏末日之次日为晨疾初段之初日

也故置合伏之末行率减一日之差即为晨疾

初段之初行率五杪余收为六杪凡寄零未收

名泛数已收名定数下仿此

求晨疾初末行率置晨疾初常日三十减一余二十

九日乘日差一十一杪二十三小分六十六十小杪得

三分二十五杪八十六小分一十四小杪以减晨疾

初段初行率泛二十一分九十五杪七十六小分三

十四小杪余一十八分六十九杪九十小分二十小

杪为晨疾初末行率

按此求晨疾初段末日之行率也常日减一日

乘日差得数为晨疾初段初末二日行率之较

也故减初行率得末行率

求平行率以晨疾初初行泛二十一分九十五杪七

十六小分三十四小杪并晨疾初末泛一十八分六

十九杪九十小分二十小分得四十分六十五杪六

十六小分五十四小杪以半之得二十分三十二杪

八十三小分二十七小杪为晨疾初平行泛乃以三

泛收弃为之定

按此与求合伏平行率同其言泛弃为定者盖

截去杪下奇零过半则收为一杪也然语意欠

明

又按五星行度迟疾差回非递加递减之数术

中仅以合伏与顺见二段各取中数至推遂日

行度仍用递加递减之法故古法之疏五星尤

甚原文语多隐晦令悉为解之可以见古今疏

密之所在焉

数学九章卷二上

钦定四库全书

数学九章卷二下　　　　宋　秦九韶　撰

天时

揆日究微

问历代测景惟唐大衍历最密本朝崇天历阳城冬至

景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七

分七十杪九系与大衍历同今开禧历临安府冬至

景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求

临安府夏至后差几日而景与阳城夏至日等较以

大衍历晷景所差尺寸各几何

答曰大暑后五日午中景长一尺四寸八分八十

五杪

按旧本答数后有二图舛错潦草传写者失其

真也细考图内所载之数皆与今法颇合知此

悉当时实测所定非同臆说也因取其数改正

于后

置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五杪以

夏至景九寸一分减之余九尺九寸一分二十五杪

为景差以为实

置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一

度二十五分二十七杪五十小分命度为寸得一百

二寸五十六百七十一分五十杪为法以除前差实

得空寸九十六百六十四分四十杪不尽弃之自乘

得节泛数九千三百四十分不尽弃之

先以小暑节乘率二十五乘节率九千三百四十分

得二十三寸三千五百分于上

次以临安夏至九寸一分自乘得八十二寸八千一

百分为夏至幂

乃以夏至幂加上得一百六寸一千六百分为小暑

幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三分为临安

小暑节景不尽七百分即寸下七毫弃之

按各节气影长皆当时实测所定本不待求今

所设求法乃故为溟涬使人不可解也细查其

数首以象限加十一度余为法以除影差得数

自乘为节率四每节下又有乘率以乘率节率

相乘与夏至影幂相加即为本节影幂是知节

率乃强取之数盖以此数先除各节影幂与夏

至影幂之较名为乘率故以此与节率相乘加

夏至影幂即各节影幂也数家设术误人往往

如此

又以大暑乘率一百九乘节率九千三百四十分得

一百一寸八千六十分于头位

仍以夏至幂八十二寸八千一百分加头位一百一

寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分

为大暑幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三寸

五分八十七杪为大暑不尽弃之

又置立秋乘率二百八十九乘节率九千三百四十

分得二百六十九寸九千二百六十分于上

仍置夏至幂八十一寸八千一百分加于上二百六

十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三

百六十八为立秋幂

置立秋幂为实以一寸为隅开平方得一尺八寸七

分八十一杪为立秋景不尽弃之

乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑

后立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪并立

秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六

十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪为大暑

后九日景　又以九日景并大暑景得二尺九寸七

分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半

为大暑后五日景

乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪

半以半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后

三日景

又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪

大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五

十小杪为大暑后四日景

今验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪为入临

安府大暑后四日景一尺四寸五分六十杪太强乃

以四日减五日景余三分二十四杪太弱为景差以

十二时除之得二十七杪五小分二十小杪为法

乃置阳城夏至景一尺四寸七分七十九抄减临安

大暑后四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分

五十小杪余二分一十八杪一十二小分五十小杪

为实后以法二十七杪五小分二十小杪除之实如

法而一得商数八有余命大暑四日午后数八辰得

大暑五日寅时景与阳城夏至之日午景等

求较以大衍历晷景所差乃置阳城大暑景长一尺

九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三分

三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二

寸四分五十三杪半为次暑后九日午中景

置九日景复并大暑景一尺九寸五分七十六抄得

四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四

杪太为大暑后五日景

今验开禧历所推临安府大暑后五日午中景一尺

四寸八分八十五杪半与阳城大暑后五日午中景

尺一寸一十四杪太课之

乃以临安府五日景减阳城五日景差六寸一分二

十九杪少

按此法不过以临安前后两节气影长比例一影

长之日数时刻复以所得节气日数时刻比

例一阳城影长与之相较耳题内引大行崇天

开禧诸法名目又称其较同异差数皆故为张

皇之语且影差逐日不同皆以平派求之法亦

未密也

草曰置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五

抄以夏至景九寸一分减之余九尺九寸一分二十

五抄为景差以为实置象度九十一度三十一分四

十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度为

寸得一百二寸五千六百七十一分半为法除实得

空寸九千六百六十四分四十杪以自乘之得空寸

九千三百四十分为节率先以小暑乘率二十五乘

之得二十三寸三千五百分于上次以临安夏至景

九寸一分自乘得八十二寸八千一百分为夏至景

幂以加上得一百六寸一千六百分为小暑景幂开

平方以一寸为隅开之得一尺三分为小暑景又以

大暑乘率一百九乘节率九千三百四十分得一百

一寸八千六十分于上仍加夏至幂八十二寸八千

一百分得一百八十四寸六千一百六十分为大暑

幂以为实一寸寸为隅开平方得一尺三寸五分八

十七杪为大暑景又置立秋乘率二百八十九乘节

率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六

十分于上仍加夏至幂八十二寸八千一百分共得

三百五十二寸七千三百六十为立秋幂以为实以

一寸为隅开平方得一尺八寸七分八十一抄为立

秋景乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在

大暑后立秋前乃并大暑立秋二景半之得一尺六

寸一分八十四杪为大暑后九日景又并大暑景半

之得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日午

中景又并大暑景得数半之得一尺四寸二分三十

六杪少为大暑后三日景又并五日景一尺四寸八

分八十五杪半得数半之得一尺四寸五分六十杪

强为大暑后四日景验得阳城夏至景入临安大暑

后四日乃以四日景减五日景余三分二十四杪太

弱为差以十二时除之得二十七杪五小分二十小

杪为法复除阳城景与本日景差二分一十八杪一

十二小分五十小杪得八命外为在初五日寅时景

等求较以大衍历晷景所差乃置阳城大暑景长一

尺九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三

分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺

二寸四分五十三杪半为大暑后九日午中景复并

暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九

杪半以半之得二尺一寸一十四杪太为大暑后五

日暑以较今开禧历当日景一尺四寸八分八十五

杪半差少六寸一分二十九杪少合问

接集中皆术在前草次之图在后此条之例不

同

天池测雨

问今州郡多有天池盆以测雨水但知以盆中之水为

得雨之数不知器形不同则受雨多少亦异未可以

所测便为平地得雨之数假今盆口径二尺八寸底

径一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地

雨降几何

答曰平地雨降三寸

术曰盆深乘底径为底率二径差乘水深并底率为

面率以盆深为法除面率得面径以二率相乘又各

自乘三位并之乘水深为实盆深乘口径以自之又

三因为法除之得平地水深

草曰以盆深及径皆通为寸盆深得一十八寸底径

得一十二寸相乘得二百一十六寸为底率置口径

二十八寸减底径一十二寸余一十六寸为差以乘

水深九寸得一百四十四寸并底率二百一十六寸

得三百六十寸为面率以盆深一十八寸为法除面

率得二十寸展为二尺为水面径以底率二百一十

六寸乘面率三百六十寸得七万七千七百六十寸

于上以底率二百一十六寸自乘得四万六千六百

五十六寸加上又以面率三百六十寸自乘得一十

二万九千六百并上共得二十五万四千一十六以

乘水深九寸得二百二十八万六千一百四十四寸

为实以盆深一十八寸乘口径二十八寸得五百四

寸自乘得二十五万四千一十六寸又三因得七十

六万二千四十八寸为法除实得三寸为平地雨深

合问

竹器验雪

问以圆竹箩验雪箩口径一尺六寸深一尺七寸底径

一尺二寸雪降其中高一尺箩体通风受雪多则平

地少欲知平地雪高几何

按箩体通风一语与算术不相涉或箩口所降

之雪归于箩底与前天池测雨题相同然依上

步算平地雪深只七寸余今其数又不合殆故

为是语以误人也

答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百

六十四

术曰口径减底径余乘雪深半之自乘为隅以箩深

幂乘雪深幂并隅又乘雪深幂为实隅实可约约之

开连枝三乘方得平地雪厚

草曰列问数各通为寸置口径一十六寸减底径一

十二寸余四寸乘雪深一十寸得四十寸以半之得

二十寸自乘得四百寸为隅以箩深一十七寸自乘

得二百八十九寸为箩深幂次置雪深一十寸自乘

得一百寸为雪深幂以乘箩深幂数加隅又乘深幂

得二百九十三万寸为实隅实求等得四百俱约之

得七千三百二十五为实得一为隅开三乘方步法

不可超乃约实置商九寸与隅一相生得九为下廉

又与商相生八十一寸为上廉又与商相生得七百

二十九为从方乃命上商除实不尽七百六十四已

而复以商生隅入二廉至方陆续又生毕以方廉隅

共并之得三千四百三十九分寸之七百六十四为

平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十

四合问

按此法之意不可见然以数考之非通法也设

原题雪深为一寸以口径底径较四寸乘雪深

一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸为隅

以箩深一十七寸自之得二百八十九寸为箩

深幂雪深一寸自之仍得一寸为雪深幂二深

幂相乘仍得二百八十九寸并隅得二百九十

三寸再以雪深幂乘之仍得二百九十三寸为

实隅实相约得七十四寸二十五百分为实一

为隅开三乘方得二寸又六千四百分寸之五

千七百二十五是平地雪反深于箩内矣

列问数各通为十口径得一十六寸深一十七寸底

径一十二寸箩中雪高一十寸

乃以底径减口径余四寸乘雪深一十寸得四十寸

以中得数二十寸自乘得四百寸为隅

以箩深一十七寸自乘得二百八十九寸为箩深幂

次置雪深一十寸自乘得一百寸为雪深幂

以雪深幂一百寸乘箩深幂二百八十九寸得二万

八千九百寸并隅四百寸得二万九千三百寸为上

置头位数二万九千三百寸又乘雪深幂一百寸得

二百九十三万寸为实开三乘方

以隅实求等得四百俱为约之得七千三百二十五

为实一为隅开之

步法不可超乃约实置商九寸与隅相生得九为下廉

下廉九又与商九相生得八十一为上廉

上廉又与商相生得七百二十九为从方

乃以从方七百二十九命上商九除实七千三百二

十五讫实余七百六十四既而后以商生隅入下廉

下廉得一十八又与商九相生入上廉

上廉得二百四十三又与商相生入方得二千九百

一十六

又以商九生隅一入下廉一十八内得二十七

又以商九生下廉二十七入上廉二百四十三内得

四百八十六又以商生隅入下廉二十七内得三十

六为求图乃以末圆方廉隅四者并之得三千四百

三十九为母以实余七百六十四为子

命为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百

六十四合问

圆罂测雨

问以圆罂接雨口径一尺五寸腹径二尺四寸底径八

寸深一尺六寸并里明接得雨水深一尺二寸圆法

用密率问平地雨水深几何

按此题问平地雨深无关圆法密率句赘若求

罂中雨积数则当加此语

答曰平地雨深一尺八寸七万四千八十八分寸

之六万四千四百八十三

按答数误改正见后

术曰底径与腹径相乘又各自乘并之乘半罂深以

一十一乘之为下率以四十二为下法除得下积以

半罂深并雨深减元罂深余为上深以口径减腹径

余乘上深为次以半罂深乘口径加次为面率以半

深除面率得水面径以半深乘腹径为腹率置面率

与腹率相乘又各自乘并以一十一乘之为上率

以半深自乘为幂以乘下法为上法上法除上率得

上积半深幂乘下率并上率为总实口径幂乘上法

为总法除实得平地雨高

草曰置底径八寸与腹径二十四寸相乘得一百九

十二寸于上又底径八寸自乘得六十四寸加上又

腹径二十四寸自乘得五百七十六寸并上共得八

百三十二寸乘半罂深八寸得六千六百五十六

寸又以一十一乘之得七万三千二百一十六寸为

下率(按此下法不合皆为/题中图法句所误)置密率法一十四以所并

三因之得四十二为下法以半深八寸并雨深一十

二寸得二十寸以减元深一十六寸余四寸为上深

以口径一十寸五分减腹径二十四寸余一十三寸

五分乘上深四寸得五十四寸为次以半罂深八

寸乘口径一十寸五分得八十四寸加次共得一百

三十八寸为面率以半深八寸乘腹径二十四寸得

一百九十二寸为腹率置面率一百三十八寸与腹

率一百九十二寸相乘得二万六千四百九十六寸

于上又以面率一百三十八寸自乘得一十九寸四

十四加上又以腹率一百九十二寸自乘得三万六

千八百六十四并上共得八万二千四百四寸(按此/条内)

(落以上高四/寸乘之一层)以一十一乘之得九十万六千四百四

十四寸为上率以半深八寸自乘得六十四寸为半

深幂以乘下法四十二得二千六百八十八为上法

以半深幂六十四寸乘下率七万三千二百一十六

寸得四百六十八万五千八百二十四寸并上率九

十万六千四百四十四共得五百五十九万二千二

百六十八寸为总实以口径一十寸五分自乘得一

百一十寸二分五厘以乘上法二千六百八十八寸

得二十九万六千三百五十二寸为总法除实得一

尺八寸不尽二十五万七千九百三十二与法求等

得四俱约之为一尺八寸七万四千八十八分寸之

六万四千四百八十三为平地雨深合问

按此法有二误法实皆当用圆幂或皆用方幂

今以圆幂率乘实方幂率乘法法实不同类一

误也罂内雨自腹径截之为雨圆台体下高八

寸上高四寸于下体并三幂以高乘之于上体

只并三幂未以高乘之二误也有此二误故得

平地雨深少三十五分之十七今依本法改正

于后

法以腹径底径相乘又各自乘并三积以半罂深

八寸乘之得六千六百五十六寸为三倍方罂内

腹下雨积又以口径腹径相减余一十三寸五分

以雨深减罂深余四寸相乘以半罂深除之得六

寸七分五厘与口径相加得一十七寸二分五厘

为雨面径与腹径相乘又各自乘并三积以雨上

深四寸乘之得五千一百五十寸二五为方罂内

三倍腹上雨积并二雨积得一万一千八百零六

寸二五为方罂内三倍共雨积为实口径自乘三

因得三百三十寸七五为法除实得三尺五寸又

一千三百二十三分寸之九百二十为平地雨深

若不先用除则以口径腹径较与罂深雨深较相

乘之五十四寸为雨面径口径较加一半罂乘之

数(应以半罂除之得雨径较今不/除即如雨径较以半罂乘之)即为雨面径口

径较此数既加一半罂乘则诸数皆以半罂乘之

得口径八十四寸腹径一百九十二寸以口径与

雨面径口径较相加得雨面径一百三十八寸与

腹径相乘又各自乘并三幂以腹上雨深四寸乘

之得三十二万九千六百一十六寸为三倍上雨

积又以半罂深幂乘前三倍下雨积得四十二万

五千九百八十四寸为三倍下雨积并二积得七

十五万五千六百寸为三倍共雨积为实以半罂

深幂乘三因口径幂得二万一千一百六十八寸

为法除之得数亦同

峻积验雪

问验雪占年墙高一丈二尺倚木去址五尺梢与墙齐

木身积雪厚四寸峻积薄平积厚欲知平地雪厚几

何

答曰平地雪厚一尺四分

术曰以少广求之连枝入之以去址自乘为隅以墙

高自乘并隅于上以雪厚自之乘上为实(可约者约/而开之)

开连枝平方得地雪厚

草曰以问数皆通为寸置去址五十寸自乘得二千

五百为隅以墙高一百二十寸自乘得一万四千四

百寸并隅得一万六千九百寸于上以雪厚四寸自

之得一十六乘上得二十七万四百寸为实开连枝

平方今隅实可求等得一百俱约之得二千七百四

为实得二十五为隅开平方得一十寸四分展为一

尺四分为平地雪厚合问

按此术理法皆确然实用勾股不曰勾股而曰

少广曰连枝者犹有所闭匿而不肯尽发也试

以图明之甲乙为墙上雪厚即平地雪厚乙丙

为木上雪厚甲乙丙勾股形与木倚墙所成勾

股形同式墙高为大股木为大弦木去址为大

勾甲乙为小弦甲丙为小

股乙丙为小勾以墙高大

股自乘木去址大勾自乘

并之为大弦幂为实以木

上雪厚乙丙小勾幂乘之以木去址大勾幂除

之得甲乙小弦幂开平方即为平地雪厚也

数学九章卷二下