序

从前伏羲氏开始画出八卦，用来通达神明的德性，用来分类万物的情状，创制了九九乘法，来配合六爻的变化。到了黄帝，他神奇地变化它，引申扩展它，于是建立了历法纪年，协调了乐律，用来考查道的本源，然后阴阳、四象等精微之气就可以得到效验了。记载说隶首创造了算术，但详细情况没有听说过。按周公制定礼仪而有了九种数学方法，九种数学方法的流传，就是《九章算术》了。过去暴虐的秦国焚烧书籍，经书学术散失毁坏。从那以后，汉朝的北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌都因为擅长算术而闻名于世。张苍等人根据旧有的文章残篇，各自进行了删减补充。所以核对它们的篇目，与古代可能有所不同，而所论述的多数是当时的语言。我从小学习《九章》，长大后又仔细阅览。观察阴阳的分裂，总括算术的根源，探索深奥之余，于是领悟了其中的意旨。因此敢于竭尽愚钝之才，采用我所见到的，为它作注释。事物类别互相推求，各有归属，所以枝条虽然分开但同根干相连，只是从一个端绪出发而已。又用言辞分析道理，用图解剖析形体，希望能够既简约又周全，通达而不繁琐，使阅读的人能领会大半。况且算术属于六艺之一，古代用来选拔贤能，教育贵族子弟；虽然名为九种算法，但它能穷尽纤细、进入精微，探测没有极限；至于用方法相传，也就像规矩度量那样可以共同掌握，并不是特别难的事情。如今喜欢它的人很少，所以世上虽然有很多博学通达的人才，但未必能总揽这些学问。《周官·大司徒》职文说，夏至那天立八尺高的表杆。它的影长一尺五寸，这个地方叫做地中。解说认为，南戴日下有一万五千里。这样说，是用算法推出来的。按：《九章算术》中设立四根标杆望远以及借树望山的方法，都是端点与旁侧互相显现，没有像这样遥远的。如此看来，张苍等人的算法还不足以广泛涵盖所有的数理。我探究九种算法中有“重差”这个名称，推究它的旨趣正是用来应用于这种情况的。凡是观测极高处、测量极深处并且同时知道其距离的，必须用重差和勾股，就一定要以重差作为比率，所以叫做重差。在洛阳城中竖起两根标杆，使它们高八尺，南北方向都位于平地。在同一天测量它们正午时的影子。以影长之差作为除数，标杆高度乘以两杆之间的距离作为被除数，用除数去除被除数。所得结果加上标杆高度，就是太阳离地面的距离。用南表影长乘以两杆之间的距离作为被除数，用除数去除，就是从南杆到南戴日下的距离。以从南戴日下到太阳正下方的距离和太阳离地面的距离作为勾和股，求出弦，就是太阳到人的距离。用直径一寸的竹筒向南看太阳，太阳刚好充满筒孔，就确定竹筒的长度作为股率，以竹筒直径作为勾率，太阳到人的距离作为大股，大股对应的勾就是太阳的直径。即使是圆穹的天象尚且说可以测量，又何况泰山的高度和江海的广阔呢。我认为现在的史籍暂且简略地列举天地之物，考论它们的数字，记载在志书中，以阐发世间算法的美好，于是撰写了《重差》，并为之作注解，以探究古人的意旨，附在勾股篇之后。测量高度者用重表法，测量深度者用累矩法，孤立远处者用三望法，孤立远处还需旁侧求取者用四望法。触类旁通地推广，那么即使是幽深遥远、怪异隐蔽之处，没有不能进入的。博学多识的君子，请详细阅读。