卷一

今有田宽十五步，长十六步。问田面积是多少？答：一亩。

又有田宽十二步，长十四步。问田面积是多少？答：一百六十八平方步。

〔图：长十四，宽十二。〕

方田算法：宽和长的步数相乘得到积步。

〔这个积就是田的面积。凡是宽和长相乘称为幂。

淳风等人按：经文说宽和长相乘得到积步，注释说宽和长相乘称为幂。看这个注释的意思，积和幂的意义相同。按道理推究，本来不应当这样。为什么呢？幂是单层布列的面积名称，积是众多步数聚集的称呼。循名责实，二者完全不同。虽然想等同它们，私下恐怕不行。现在凡是说幂的，指的是宽和长的一方；说积的，指的是所有步数的总数。经文说相乘得到积步，就是总数的明确说法。注释说称为幂，完全违背了积步的本意。这个注释前面说积是田的幂，在道理上说得通。又说称为幂，繁杂而不恰当。现在注释时，保留好的去掉错的，简要整理，留给后来的学者。〕

用每亩二百四十步的法则去除，就是亩数。一百亩为一顷。

〔淳风等人按：这是篇首，所以特别举出顷、亩两个法则。其他算法不再说这些，从这里可以知道。一亩的田，宽十五步，纵向把它分开，做成十五行，那么每行宽一步而长十六步。又横向把它截断，做成十六行，那么每行宽一步而长十五步。这就是纵分横截的步数，各自成为方形，总共有二百四十步。一亩地的步数正好相同。以此来说，宽和长相乘得到积步，就验证了。

二百四十步，是亩的法则；一百亩，是顷的法则。所以用这些去除，就得到了。〕

今有田宽一里，长一里。问田面积是多少？答：三顷七十五亩。

又有田宽二里，长三里。问田面积是多少？答：二十二顷五十亩。

里田算法：宽和长的里数相乘得到积里。用三百七十五乘它，就是亩数。

〔按：这个算法宽和长的里数相乘得到积里。一平方里中有三顷七十五亩，所以用这个乘它，就得到亩数。〕

今有十八分之十二，问约简后得多少？答：三分之二。

又有九十一分之四十九，问约简后得多少？答：十三分之七。

○约分

〔按：约分，物体的数量，不能全部是整数，必须用分数来说；分数作为数，繁琐则难用。

假设有四分之一的，繁琐地说，也可以是八分之四；约简地说，则是二分之一，虽然说法不同，至于数值，也是同样归宿。被除数和除数相互推求，常有参差，所以做算法的人先处理各种分数。〕

算法：可以折半的就折半；不能折半的，另外设置分母和分子的数，用少的减去多的，辗转相减，求得相等的数。用这个等数来约简。

〔等数约简，就是除法。它们相减的原因，都是等数的重叠，所以用等数来约简。〕

今有三分之一，五分之二，问合并它们得多少？答：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五，问合并它们得多少？答：得一又六十三分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合并它们得多少？答：得二又六十分之四十三。

○合分

〔淳风等人按：合分，数值不止一种，分数没有固定标准，各个分子混杂，各分母参差不齐。粗细既然不同，道理上难以统一，所以使各个分母齐同，使各个分母相同，使它们可以相加，所以称为合分。〕

算法：分母互相乘以对方的分子，相加作为被除数。分母相乘作为除数。

〔分母互相乘以对方的分子。约简地说，分数粗；繁琐地说，分数细。虽然粗细有不同，但实际上是一样的。各种分数错杂，不细化就不能会通。乘而分散开来，是为了通分。通分之后就可以合并了。凡是分母互相乘以分子的称为齐，各个分母相乘称为同。同，就是相互通同，共用一个分母；齐，就是分子与分母相齐，势必要不失去本来的数值。方以类聚，物以群分。数同类的不论多远；数异类的不论多近。远的而能通体知道，虽然位置不同却相从；近的而能殊形知道，虽然同一序列却相违。那么齐同的方法很重要：错综度数，一用就和谐，就像佩带觿解结，无往而不理顺。乘而分散它，约而聚集它，齐同来通分它，这大约是算术的纲纪吧？其中一种方法，可以让分母除成率，率乘分子作为齐。〕

被除数除以除数得到结果。不满除数的，用除数来命名分数。

〔现在想求得被除数，所以使分子齐同，又使分母相同，让它们如分母一样除。其余用等数约简，就可知道，所谓同法为分母，被除数余数为分子，都从这个例子。〕

如果分母相同，直接相加。

今有九分之八，减去它的五分之一，问余下多少？答：四十五分之三十一。

又有四分之三，减去它的三分之一，问余下多少？答：十二分之五。

○减分

〔淳风等人按：各个分子、分母的数都不同，用少的减多的，想知道余下多少，减去后的余数作为被除数，所以称为减分。〕

算法：分母互相乘以对方的分子，用少的减多的，余数作为被除数。分母相乘作为除数。被除数除以除数得到结果。

〔分母互相乘以对方的分子，是为了使分子齐同。用少的减多的，是因为齐同后可以相减。分母相乘作为除数，是为了使分母相同。分母相同分子齐同，所以如分母一样除，就得到了。〕

今有八分之五，二十五分之十六，问哪个多？多多少？答：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六，问哪个多？多多少？答：九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七，问哪个多？多多少？答：二十一分之八多，多一千五百分之四十三。

○课分

〔淳风等人按：分数名称不同，道理不齐一，比较它们相近的数值，所以称为课分。〕

算法：分母互相乘以对方的分子，用少的减多的，余数作为被除数。分母相乘作为除数。被除数除以除数得到结果，就是相差的数值。

〔淳风等人按：这个算法分母互相乘以分子的，用少分数减多分数，与减分意义相同；只是相差的数值，意思与减分有异：减分是求余下的数有多少；课分是用余下的数来比较相差多少。〕

今有三分之一，三分之二，四分之三。问减少多的、增加少的，各是多少才能平均？答：减少四分之三的两个，三分之二的一个，合并，用来增加三分之一，然后各自平均于十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。问减少多的、增加少的，各是多少才能平均？答：减少三分之二的一个，四分之三的四个，合并，用来增加二分之一，然后各自平均于三十六分之二十三。

○平分

〔淳风等人按：平分，各个分数参差不齐，想让它们相等，减少那多的，增加这少的，所以称为平分。〕

算法：分母互相乘以对方的分子，

〔使分子齐同。〕

另外合并作为平均被除数。

〔淳风等人按：分母互相乘以分子，另外合并作为平均被除数，是确定这个平均被除数作为界限，各个分子应当增减的界限，界限为平均。〕

分母相乘作为除数。

〔分母相乘作为除数，也是使分子齐同，又使分母相同。〕

用分数的个数乘未合并的各个分数，各自作为分数被除数。也用分数的个数乘除数。

〔这应当另外设置分数的个数除平均被除数，如果这样则有重复的分数，所以反过来用分数的个数乘同与齐。

淳风等人按：问题问所平分的分数多少不定，或三或二，列位没有固定。平分三个，设置三重位置；平分两个，设置二重位置。凡是这种例子，一律按照平分不能预先确定多少，所以只说分数的个数而已。〕

用平均被除数减分数被除数，余数，约简作为所减少的数。合并所减少的数来增加给少的。用除数来命名平均被除数，各自得到它们的平均。

今有七个人，分八钱又三分钱之一。问每人得多少？答：每人得一钱又二十一分钱之四。

又有三人又三分之一人，分六钱又三分之一钱、四分之三钱。问每人得多少？答：每人得二钱又八分钱之一。

○经分

〔淳风等人按：经分，从合分以下，都与各种分数有关，这里是直接求一个人的分数。用人数来分所分的钱数，所以称为经分。〕

算法：以人数为除数，钱数为被除数，被除数除以除数得到结果。有分数的通分。

〔分母互相乘以分子，是使分子齐同；分母相乘，是使分母相同。用分母通分，是分母乘整数部分再加上分子。

乘，分散整数则为积分，积分则与分子相通，所以可使它们相加。凡是数相互关联的称为率。率，自然相互通分。有分数则可分散，分数重叠则约简；用等数除被除数和除数，就得到相互的率。所以分散分数，必须让两个分母互相乘被除数和除数。〕

重复有分数的，相同而通分。

〔又用法分母乘被除数，被除数分母乘除数。这是说除数和被除数都有分数，所以让分母各乘整数部分加分子，又让分母互相乘上下。〕

今有田宽七分步之四，长五分步之三，问田面积是多少？答：三十五分步之十二。

又有田宽九分步之七，长十一分步之九，问田面积是多少？答：十一分步之七。

又有田宽五分步之四，长九分步之五，问田面积是多少？答：九分步之四。

○乘分

〔淳风等人按：乘分，分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数，所以称为乘分。〕

算法：分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数，被除数除以除数得到结果。

〔凡是被除数不满除数的而有分子、分母的名称。如果有分数，用它乘被除数而增长它，则也满除数，就成为整数。又因为分子有所乘，所以分母应当反过来除。反过来除，就是被除数除以除数。现在分子相乘则各分母应当反过来除，因此让分母相乘而连续除。这里田有宽长，难以用宽来比喻。假设有提问说：马二十匹，价值金十二斤。现在卖马二十匹，三十五人分它，每人得多少？答：三十五分斤之十二。它的做法，应当用经分算法，以十二斤金为被除数，三十五人作为除数。假设再说马五匹，价值金三斤。现在卖马四匹，七人分它，每人得多少？答：每人得三十五分斤之十二。它的做法，应当使金、人的数齐同，都符合最初的问题而进入经分了。那么分子相乘作为被除数，就如同齐同金；分母相乘作为除数，就如同齐同人。同分母为二十，马与同无关，只是想要得到齐而已。又，马五匹，价值金三斤，这是完全的率；分开来说，则是一匹价值金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互产生。所说的角度不同，而计算则三种方法同归。〕

今有田宽三步又三分步之一，长五步又五分步之二，问田面积是多少？答：十八平方步。

又有田宽七步又四分步之三，长十五步又九分步之五，问田面积是多少？答：一百二十步又九分步之五。

又有田宽十八步又七分步之五，长二十三步又十一分步之六，问田面积是多少？答：一亩二百步又十一分步之七。

○大广田

〔淳风等人按：大广田，最初算法只有整步而没有余分；其次算法只有余分而没有整步；这个算法先见到整步，又有余分，可以广泛包含三种算法，所以称为大广。〕

算法：分母各乘它们的整数部分，分子跟随，

〔分母各乘它们的整数部分，分子跟随，是通分整步内藏分子。这样则分子、分母都成为被除数了。〕

相乘作为被除数。分母相乘作为除数。

〔如同乘分。〕

被除数除以除数得到结果。

现在的计算方法是：如果宽和长都有分数，应当各自通分。原来的分母进入后，还必须再取出来，所以让分母相乘作为除数而连除。现在有圭田，宽十二步，正长二十一步，问田的面积是多少？答：一百二十六步。又有圭田，宽五步二分之一步，长八步三分之二步，问田的面积是多少？答：二十三步六分之五步。计算方法：取宽的一半乘以正长。（宽的一半，是用盈补虚的方法变成直田。也可以取正长的一半乘以宽。按：半宽乘以长，取中平之数，所以宽和长相乘得到积步。用亩法除它，就得到了。）现在有邪田，一头宽三十步，另一头宽四十二步，正长六十四步。问田的面积是多少？答：九亩一百四十四步。又有邪田，正宽六十五步，一畔长一百步，另一畔长七十二步。问田的面积是多少？答：二十三亩七十步。计算方法：将两斜边相加取一半，乘以正长或正宽。也可以将正长或正宽取一半，乘以两斜边的和。除以亩法。（相加取一半，是用盈补虚的方法。）现在有箕田，舌宽二十步，踵宽五步，正长三十步，问田的面积是多少？答：一亩一百三十五步。又有箕田，舌宽一百一十七步，踵宽五十步，正长一百三十五步，问田的面积是多少？答：四十六亩二百三十二步半。计算方法：将踵和舌相加取一半，乘以正长。除以亩法。（从中间分开箕田则成为两个邪田，所以它们的计算方法相似。也可以将踵和舌相加，正长取一半，再相乘。）现在有圆田，周长三十步，直径十步。（李淳风等按：计算方法的意思是取周三径一为比率，周长三十步，对应直径十步。现在依密率，对应直径九步十一分之六步。）问田的面积是多少？答：七十五步。（此按刘徽的方法，应为田七十一步一百五十七分之一百三步。李淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分之一十三步。）又有圆田，周长一百八十一步，直径六十步三分之一步。（李淳风等按：周三径一，周长一百八十一步，直径六十步三分之一步。依密率，直径五十七步二十二分之一十三步。）问田的面积是多少？答：十一亩九十步十二分之一步。（此按刘徽的方法，应为田十亩二百八步三百一十四分之一百一十三步。李淳风等按：依密率，应为田十亩二百五步八十八分之八十七步。）计算方法：半周乘以半径得到积步。（按：半周作为长，半径作为宽，所以宽和长相乘得到积步。假设圆直径二尺，圆内容纳六觚的一面，与圆直径的一半，数值相等。符合径率一而外周率三。又按：画图，用六觚的一面乘以一段弧的半径，乘以三，得到十二觚的面积。如果再分割，然后用十二觚的一面乘以一段弧的半径，乘以六，则得到二十四觚的面积。分割得越细，误差越小。不断分割，直到不能再分割，则与圆周合为一体而没有误差了。觚面之外，还有多余的径。用面乘以多余的径，则面积超出觚的外表。至于很细的觚，与圆合为一体，则外表没有多余的径。外表没有多余的径，则面积不会向外超出。用一面乘以半径，将觚裁开，每次总是倍增。所以用半周乘以半径得到圆面积。这一周和径，指的是最精确的数，不是周三径一的比率。周三，是从六觚的环形得来的。用它来推算圆规的差异，就像弓与弦的关系。然而世间传下这个方法，没有人肯精审核验；学者沿袭古法，习惯于其中的谬误缺失。没有明确的依据，要辩驳它很困难。凡是物体的形象，不是圆的就是方的。方圆比率，确实在近处显露，那么即使远处也可以知道。由此说来，它的用途很广了。谨按图验证，重新制造密率。恐怕凭空设立方法，数值晦涩而难以比喻，所以设置检验手段，详细地记载注释。分割六觚成为十二觚的方法说：设置圆直径二尺，取一半为一尺，就是圆内接觚的面。让半径一尺为弦，半面五寸为勾，由此求股。用勾的平方二十五寸减去弦的平方，剩余七十五寸，开平方，一直到秒、忽。再用退位法，求其微小数值。微小数值没有名称，用它作为分子，用十作为分母，约简为五分之二忽。所以得到股八寸六分六厘二秒五忽五分之二忽。用它减去半径，剩余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分之三忽，称为小勾。觚的半面又称为小股。由此求弦。它的平方是二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余数舍弃。开平方，就是十二觚的一面。分割十二觚成为二十四觚的方法说：也让半径为弦，半面为勾，由此求股。设置上面小弦的平方，除以四，得到六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余数舍弃，就是勾的平方。用它减去弦的平方，剩余部分开平方，得到股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分之四忽。用它减去半径，剩余三分四厘七秒四忽五分之一忽，称为小勾。觚的半面又称为小股。由此求小弦。它的平方是六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余数舍弃。开平方，就是二十四觚的一面。分割二十四觚成为四十八觚的方法说：也让半径为弦，半面为勾，由此求股。设置上面小弦的平方，除以四，得到一百七十亿三千七百零八万七千三百六十六忽，余数舍弃，就是勾的平方。用它减去弦的平方，剩余部分开平方，得到股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分之四忽。用它减去半径，剩余八厘五毫五秒五忽五分之一忽，称为小勾。觚的半面又称为小股。由此求小弦。它的平方是一百七十一亿一千零二十七万八千八百一十三忽，余数舍弃。开平方，得到小弦一寸三分八毫六忽，余数舍弃，就是四十八觚的一面。用半径一尺乘以它，再用二十四乘，得到面积三万一千三百九十三亿四千四百万忽。用百亿除它，得到面积三百一十三寸六百二十五分之五百八十四寸，就是九十六觚的面积。分割四十八觚成为九十六觚的方法说：也让半径为弦，半面为勾，由此求股。设置次上弦的平方，除以四，得到四十二亿七千七百五十六万九千七百零三忽，余数舍弃，就是勾的平方。用它减去弦的平方，剩余部分开平方，得到股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分之九忽。用它减去半径，剩余二厘一毫四秒一忽十分之一忽，称为小勾。觚的半面又称为小股。由此求小弦。它的平方是四十二亿八千二百一十五万四千零一十二忽，余数舍弃。开平方，得到小弦六分五厘四毫三秒八忽，余数舍弃，就是九十六觚的一面。用半径一尺乘以它，再用四十八乘，得到面积三万一千四百一十亿二千四百万忽，用百亿除它，得到面积三百一十四寸六百二十五分之六十四寸，就是一百九十二觚的面积。用九十六觚的面积减去它，剩余六百二十五分之一百零五，称为差的面积。加倍，为六百二十五分之二百一十，就是九十六觚之外弧田九十六块，这就是用弦乘矢的总面积。把这块面积加到九十六觚的面积上，得到三百一十四寸六百二十五分之一百六十九寸，就超出圆的外表了。所以返回到一百九十二觚的整个面积三百一十四寸作为圆面积的固定比率，而舍弃其余的分量。用半径一尺除圆面积，加倍，得到六尺二寸八分，就是周长数。让直径自乘为正方形面积四百寸，与圆面积相减，圆面积得到一百五十七作为比率，正方形面积得到二百作为比率。正方形面积二百中间能容纳圆面积一百五十七。圆比率还是稍微小一点。按：弧田图让正方形中间容纳圆，圆中间容纳正方形，内正方形正好是外正方形的一半。这样看来，圆面积一百五十七，其中能容纳正方形面积一百。又让直径二尺与周长六尺二寸八分相约，周长得到一百五十七，直径得到五十，就是它们相互的比率。周长比率还是稍微小一点。晋朝武库中汉朝王莽制作的铜斛，它的铭文说：律嘉量斛，内方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫，面积一百六十二寸，深一尺，体积一千六百二十寸，容量十斗。用这种方法求它，得到面积一百六十一寸有余，数值相近了。这种方法稍微偏小。而觚的差面积是六百二十五分之一百零五。用一百九十二觚的面积作为标准来增减，应当取这一百分之一的三十六，增加到一百九十二觚的面积上，作为圆面积，是三百一十四寸二十五分之四寸。设置直径自乘的正方形面积四百寸，让它与圆面积通分相约，圆面积三千九百二十七，正方形面积五千，作为比率。正方形面积五千中能容纳圆面积三千九百二十七；圆面积三千九百二十七中能容纳正方形面积二千五百。用半径一尺除圆面积三百一十四寸二十五分之四寸，加倍，得六尺二寸八分二十五分之八分，就是周长数。整个直径二尺与周长数通分相约，直径得到一千二百五十，周长得到三千九百二十七，就是它们相互的比率。像这样的，大概是穷尽了它的细微了。拿来使用，上面的方法仍然粗略。应当求一千五百三十六觚的一面，得到三千零七十二觚的面积，而裁去它的微小部分，数值也应该如此，重要的是验证它。李淳风等按：旧方法求圆，都用周三径一作为比率。如果用这个方法求圆周的长度，则周长偏少直径偏多。用它求六觚的田，就与这个比率相合。为什么呢？假设六觚的田，觚之间各一尺作为面，自然从角到角，它的直径二尺可以知道。这就是周长六直径二与周三径一已经相合。恐怕这还是难以明白，现在再用实物来比喻。假设刻制六个圭形的物体，每个有三个面，都长一尺。把六个物体攒聚，都让尖头朝里，就形成六觚的周长，角直径也都是一尺。再从觚角的外边，围绕成圆规，那么六觚的直径都到达圆规。当面直径短，不到外边的圆规。如果用直径来说，就是圆规直径六尺，直径二尺，面直径都是一尺。面直径的股不到外边，肯定没有二尺可以知道。所以周三径一的比率对于圆周来说是直径偏多周长偏少。直径一周长三，道理不是精密。大概计算方法从简，举出大纲，粗略地说。刘徽特意认为它疏略，于是更改了它的比率。但周长和直径相乘，数值难以吻合。刘徽虽然提出这两种方法，终究不能穷尽它的纤毫。祖冲之认为它不精密，在其中进一步推求数值。现在修撰，收集各家，考订其是非，祖冲之的方法精密。所以列在刘徽方法之下，希望学者知道如何裁断。还有一种计算方法：周长和直径相乘，除以四。（这个周长与上面的觚相同。周长和直径相乘，各自相当于一半。而现在周长和直径都是完整数值，所以两个分母相乘为四，用来除它。按刘徽的方法，用五十乘周长，除以一百五十七，就是直径。用一百五十七乘直径，除以五十，就是周长。新方法中直径比率还是稍微偏小。根据周长求直径，则得到的偏长；根据直径求周长，则得到的偏短。凡是根据已知直径求面积的，都失之于偏小；根据已知周长求面积的，都失之于偏大。）

淳风等人按：根据密率，用7乘以周长，再除以22，就得到直径；用22乘以直径，再除以7，就得到周长。按照这种方法计算，就能得到结果。〕 另一种方法：直径自乘，乘以3，再除以4。

〔按：圆直径自乘得到外接正方形的面积，乘以3再除以4，是因为圆占外接正方形的四分之三。如果让正六边形的一条边乘以半径，它的面积就是外接正方形的四分之一。再乘以3，也就得到外接正方形的四分之三。这实际上是圆内接正十二边形的面积。把它当作圆的面积，结果偏小。按徽的新方法，应当直径自乘，再乘以157，除以200。

淳风等人按：密率，直径自乘，乘以11，再除以14，就是圆面积。〕 另一种方法：周长自乘，再除以12。

〔正六边形的周长，与圆直径的比是3比1。所以正六边形的周长自乘得到的面积，相当于圆直径自乘得到的9个正方形。9个正方形一共能构成12个正十二边形，所以说除以12，就得到正十二边形的面积。现在让周长自乘，不仅仅是相当于圆直径自乘得到的9个正方形。那么除以12，得到的也不是正十二边形的面积。如果想把它当作圆面积，结果偏大。用正六边形的周长，除以12是可以的。按徽的新方法，直接让圆周自乘，再乘以25，除以314，得到圆面积。它的比率是：25是周长的平方，314是周长自乘的平方。设周长为6尺2寸8分，自乘得到面积394384平方分。又设圆面积为31400平方分。都用1256约简，得到这个比率。

淳风等人按：正方形边长自乘就得到它的面积。用圆周求圆面积，借助比率才能相通。但这种方法所求的用3和1作为比率。圆田的正规方法，是半周与半径相乘。现在用全周自乘，所以必须以12作为分母。为什么？根据全周求半周，需要用2作为除数。根据全周求半径，又需要用6来除。这是2和6相乘，除周长自乘的数。按密率，乘以7，除以88。〕 现在有宛田，下周长30步，直径16步。问田面积是多少？答：120步。

又有宛田，下周长99步，直径51步。问田面积是多少？答：5亩62步又四分之一步。

方法：用直径乘以周长，再除以4。

〔这个方法不准确，所以用方锥来显示它的形状。假设方锥下边长6尺，高4尺。4尺为股，下边的一半3尺为句。正面斜边为弦，弦长5尺。让句和弦相乘，再乘以4，得到60尺，这就是方锥四个侧面的面积。如果让其中容纳一个圆锥，圆锥的侧面积与方锥的侧面积，其比率就像正方形面积与圆面积之比。按：方锥下边长6尺，那么底面周长24尺。用5尺乘以下周长的一半，也就得到方锥的侧面积。所以求圆锥的数值，折半直径乘以下周长的一半，就是圆锥的侧面积。现在宛田上径是圆穹形状，却与圆锥用同样的方法，那么面积就会偏小。然而这个方法难以使用，所以大致举例，适用于大面积的田。求圆锥的侧面积，就像求圆田的面积。现在用两个全长相乘，所以用4作为除数，得到结果，也像圆田那样。开立圆术所说的圆方各种比率很完备，可以验证这一点。〕 现在有弧田，弦长20步，矢长15步。问田面积是多少？答：1亩97步半。

又有弧田，弦长78步二分之一，矢长13步九分之七。问田面积是多少？答：2亩155步又八十一分之五十六。

方法：用弦乘以矢，矢再自乘，相加，再除以2。

〔方中画圆，圆内接正十二边形的面积，等于外接正方形面积的四分之三。中间正方形等于外接正方形的一半，那么朱色和青色部分合计等于外接正方形的四分之一。弧田是半圆的面积。所以按照半圆的形状来制定方法。用弦乘以矢再除以2，得到黄色部分的面积；矢自乘再除以2，得到两个青色部分的面积。青色和黄色相连成为弧体，弧体的形状应当符合圆弧。现在弧田的弦面不到圆弧的外边，结果偏小。圆田旧方法用周三径一作为比率，都得到正十二边形的面积，也偏小，与此相似。这仅仅验证了半圆的面积。如果不是半圆，就更不精确了。应当采用勾股锯圆材的方法，用弧弦作为锯道长，用矢作为锯深，来求直径。知道了圆直径，弧就可以分割。分割时，把弧田的弦的一半作为股，矢作为句，求它们的弦，就是小弧的弦。把小弧的弦的一半作为句，半径作为弦，求股。用半径减去这个股，剩下的就是小弧的矢。这样一次次分割，直到非常精细。只要举出弦和矢相乘的数值，就一定接近精确比率。然而计算次数繁多，必须有所探究。如果只是丈量田亩，取大致的数值，旧方法比较简便。〕 现在有环田，中周长92步，外周长122步，径5步。

〔这是想与周三径一的比率相应，所以说径5步。根据中、外周长，用徽的方法计算，应当径4步又一百五十七分之一百二十二。

淳风等人按：按密率，合径4步又二十二分之十七。〕 问田面积是多少？答：2亩55步。

〔按徽的方法，田面积应为2亩31步又一百五十七分之二十三。

淳风等人按：按密率，田面积为2亩30步又二十二分之十五。〕 方法：将中周长和外周长相加取一半，用直径乘，得到积步。

〔这块田截取中间的部分，周长就成为长。相加取一半，也是用盈补虚的方法。可以让中周长和外周长各自作为圆田，用中圆减去外圆，剩下的就是环田的实际面积。〕 又有环田，中周长62步又四分之三，外周长113步又二分之一，径12步又三分之二。

〔这块田是环状但不完全闭合，所以径12步又三分之二。如果根据上周长来求直径，这个直径偏大，超过了周三径一的比率，大概是因为粗略。按徽的方法，应当径8步又六百二十八分之五十一。

淳风等人按：用周三径一考察，合径8步又二十四分之一十一。按密率，合径8步又一百七十六分之一十三。〕 问田面积是多少？答：4亩156步又四分之一。

〔按徽的方法，田面积应为2亩232步又五千二十四分之七百八十七。按周三径一，田面积为3亩25步又六十四分之二十五。

淳风等人按：密率，田面积为2亩231步又一千四百零八分之七百一十七。〕 方法：放置中、外周的步数，分母和分子各在其下。分母互乘分子，通分后加入整数步数。用中周减外周，余数取一半，加到中周上。直径也通分加入分子，乘以周长作为被除数。分母相乘作为除数。相除得到积步。余数就是积步的分数。用亩法除以积步，就得到亩数。

〔按：这个方法，将中、外周的步数放在上面，分母和分子放在下面。分母互乘分子，是因为中、外周都有分数，所以用互乘使分子相同，分母相乘使分母相同。分子相同分母相同，所以通分后加入分子。取一半，是用盈补虚，得到平均的周长。周长为长，直径为宽，所以长宽相乘得到积步。既然有分母，还需要除去分母。所以让周长和直径的分母相乘并连续除，就得到积步。除不尽，用等数约简并命为分数。用亩法除以积步，得到亩数。〕