历一

后世的方法比古代更完善，而且屡次修改越来越精密，只有历法最为显著。《唐志》说天体是运动的，时间久了就会产生误差，不得不屡次改变方法来推算。这种说法似乎有道理，但实际上并非如此。《易经》说：“天地的规律，是端正地显示给人们看的。”因为天的运行极为刚健，确实有固定的规律，本来没有古今的差异。它的岁差、盈缩、迟疾等各种运行，古代没有而现代有的，是因为这些数值非常微小，积累久了才显现出来。古人没有察觉，而后来的人知道了，但这并不是天体运行有了差错。如果天体果真长期运动而产生误差，那么一定会参差错乱而没有常规，又怎么能修改而使之更加精密呢？看史书记载，岁星失次、太阳运行失常的事情，在近代没有出现，也就可以明白了。天的运行度数多种多样，而人的智力有限，拿着短小的仪器，仰望苍穹，怎能完全洞察无遗呢。只有集合古往今来人的心思，继续研究改进，才差不多能符合实际。所以不能成为一成不变的方法。

从黄帝到秦朝，历法共改了六次。汉朝改了四次。从魏到隋，改了十五次。唐朝到五代，改了十五次。宋朝改了十七次。金朝到元朝，改了五次。只有明朝的《大统历》，实际上就是元朝的《授时历》，沿用了二百七十多年，没有改过历法。成化以后，日月交食往往不应验，议论改历的人很多。像俞正己、冷守中这样不知妄作的人暂且不论，而华湘、周濂、李之藻、邢云路这些人颇有见解。郑世子朱载堉撰写了《律历融通》，进献了《圣寿万年历》，他的学说来源于南京御史何瑭，深得《授时历》的要领，并能弥补其不足。钦天监官员拘泥于旧说，当权者害怕改作，都被阻止而未能实行。崇祯年间，议论采用西洋新法，命令内阁大臣徐光启、光禄卿李天经先后主持此事，编成《历书》一百三十多卷，大多阐发了古人未曾阐发的内容。当时平民魏文魁上疏排斥，皇帝下诏设立两局进行推算检验。经过多年校对测验，新法最为精密，但也没有来得及颁布实行。由此看来，历法本来就没有推行久了而不产生误差的，怎能不随时修改，以求符合天象呢。

现在选取各家论说，有裨益于历法的，写在篇首。而《大统历》则记述立法原理，以补充《元史·历志》的未完备之处。《回回历》始终隶属于钦天监，与《大统历》参互使用，也附录于此。

▲历法沿革

吴元年十一月乙未冬至，太史院使刘基率领他的下属高翼进呈戊申年《大统历》。太祖告谕说：“古时候在季冬颁布历法，太迟了。现在在冬至颁布，也不完善。应该在十月初一颁布，著为法令。”洪武元年改太史院为司天监，又设置回回司天监。下诏征召元朝太史院使张佑、回回司天太监黑的儿等共十四人，不久又召回回回司天台官郑阿里等十一人到达京城，商议历法。三年改司天监为钦天监，设立四科：天文、漏刻、《大统历》、《回回历》。由监令、少监统领。每年编造《大统民历》、《御览月令历》、《七政躔度历》、《六壬遁甲历》、《四季天象占验历》、《御览天象录》，按时进呈。日月交食的分秒时刻、起复方位，预先上报。十年三月，皇帝与群臣讨论天与七政的运行，群臣都用蔡氏左旋的说法回答。皇帝说：“朕自从起兵以来，仰观天象，天左旋，七政右旋，历家的论断，确实不容改变。你们还守着蔡氏的说法，难道这就是所谓格物致知的学问吗？”十五年九月，下诏翰林李翀、吴伯宗翻译《回回历书》。

十七年闰十月，漏刻博士元统上言：“历法以《大统》为名，而积分仍沿用《授时》的数值，这不是重视初始、敬奉正朔的做法。况且《授时历》以元朝辛巳年为历元，到洪武甲子年已积一百零四年，年久数盈，逐渐与天度有差，应当修改。七政运行不齐，其道理深奥。听说有个叫郭伯玉的人，精通九数之理，应当征召让他推算，以完成一代的历法制度。”批复同意。提拔元统为监令。元统于是取《授时历》，去掉其岁实消长的说法，分析其条例，得到四卷，以洪武十七年甲子为历元，命名为《大统历法通轨》。二十二年改监令、丞为监正、副。二十六年，监副李德芳上言：“监正元统制定洪武甲子历元，不用消长之法，用来考求鲁献公十五年戊寅岁的天正冬至，比辛巳年为元，差了四日半多。现在应当重新用辛巳年为元以及消长之法。”奏疏呈入，元统上奏辩解。太祖说：“两种说法都难以凭信，只检验七政交会行度没有差错的为正确。”从此《大统历》的历元用洪武甲子，而推算仍依照《授时》之法。三十一年撤销回回钦天监，其《回回历》科仍旧保留。

永乐年间迁都顺天，仍用应天府的冬夏昼夜时刻，到正统十四年才改用顺天的数值。这年冬天，景帝即位，天文生马轼上奏，昼夜时刻不宜改。下廷臣集中商议。监正许惇等说：“前任监正彭德清测验得到北京北极出地四十度，比南京高七度有余，冬至昼长三十八刻，夏至昼长六十二刻。上奏获准改入《大统历》，永为定式。马轼的话虚妄，不值得听从。”皇帝说：“太阳出入的度数，应当以四方之中为准。现在京师在尧时幽都之地，怎么可以作为标准。此后造历，仍用洪武、永乐旧制。”

景泰元年正月辛卯，卯正三刻月食。监官误推为辰初初刻，导致未能救护。交付法司，判处徒刑。下诏宽恕了他。成化十年，因监官多不称职，提拔云南提学童轩为太常寺少卿，掌管钦天监事。十五年十一月戊戌望日，月食，监推又误，皇帝认为天象微渺，不加罪责。十七年，真定教谕俞正己上《改历议》，下诏礼部及童轩参考。尚书周洪谟等说：“俞正己只据《皇极经世书》及历代天文、历志推算气朔，又用自己的意思创为八十七年约法，每月大小相间。轻率狂妄，应当治罪。”于是将俞正己下诏狱。十九年，天文生张升上言改历。钦天监说祖制不可变，张升的建议就此搁置。弘治年间，月食屡次不应验，日食也有差错。

正德十二、十三年，连续推算日食的起复时刻，都不符合。于是漏刻博士朱裕上言：“至元辛巳年距今二百三十七年，年久不能没有误差，如果不酌情加以增减，恐怕越久越错。请求选派大臣总理此事，让本监官生一半推算古法，一半推算新法，两相交验，回回科推算西域《九执历法》。仍派官到各省，候土圭以测量节气的早晚。往复参较，那么交食可以校正，而七政可以整齐。”礼部批复说：“朱裕及监官历学未必都精，今年十月望日月食，中官正周濂等所推算，与古法及朱裕所奏不同，请到期考验。”随后周濂等说：“太阳运行每年退行一分五十秒。今正德乙亥年，距至元辛巳年二百三十五年，赤道岁差，应当退天三度五十二分五十秒。不经改正，推算怎能符合。臣参较考验，得到正德丙子岁前天正冬至气应二十七日四百七十五分，命得辛卯日丑初初刻，太阳运行赤道箕宿六度四十七分五十秒，黄道箕宿五度九十六分四十三秒为历元。其气闰转交四应，以及周天黄赤道，各类立成，都从岁差，随时改正。望敕礼臣并监正主持此事。”礼部奏：“古法不可轻易改变，请仍用旧法。另选精通历学的人，同周濂等用新法参验，再行奏请。”皇帝同意。

十五年，礼部员外郎郑善夫说：“日月交食，日食最难测算。因为月食分数，只论距离交点的远近，没有四时加减，而且月亮小暗虚大，八方所见都相同。如果太阳被月亮所掩，则太阳大而月亮小，太阳在上而月亮在下，太阳远而月亮近。太阳运行有四时的差异，月亮运行有九道的分别。所以南北所见不同，时刻也不同。必须根据地点确定表影，根据时间以求符合。如正德九年八月辛卯日食，历官预报食八分六十七秒，而闽、广之地，竟至食既。时刻分秒，怎能相同？现在应当根据交食以更改历元，时刻分秒，必须使奇零剖析详尽。不然的话，积累岁月，躔离朓朒，又不符合了。”没有答复。十六年因南京户科给事中乐頀、工部主事华湘通晓历法，都提升为光禄少卿，掌管钦天监事。

嘉靖二年，华湘说：“古今善于治理历法的有三家，汉朝《太初历》用钟律，唐朝《大衍历》用蓍策，元朝《授时历》用晷景为接近。想要校正历法而不登台测影，都是空言臆见。希望允许臣暂时朝参，督率中官正周濂等，在冬至前到观象台，昼夜推测，日记月书，到明年冬至，以检验二十四气、分至合朔、太阳月亮运行、黄道赤道、昏旦中星、七政四余的度数，看与元朝辛巳年所测，离合如何，按次记录上报。再敕令礼部延访精通理数的人征召到京师，令详细确定岁差，以完成一代的历法制度。”下礼部集中商议，而护认为历法不可改，与华湘观点颇异。礼部说：“华湘想自行观测，并非没有见识。请两位大臣各尽所见，穷尽异同，以协调天道。”皇帝同意。

七年，钦天监奏：“闰十月初一，《回回历》推日食二分四十七秒，《大统历》推不食。”结果没有日食。十九年三月癸巳朔，台官说应当日食，结果没有日食。皇帝高兴，认为是上天眷顾，但其实是由于推算的疏漏。隆庆三年，掌监事顺天府丞周相刊刻《大统历法》，其历原历叙述古今各历的异同。万历十二年十一月初一癸酉，《大统历》推日食九十二秒，《回回历》推不食，后来《回回历》应验。礼科给事中侯先春因此说：“近来月食在酉时而报戌时，月食将尽而报未到九分，差错太严重了。《回回历》科推算日月交食、五星凌犯，最为精密，何妨编入《大统历》中，以备考验。”下诏同意。二十年五月戊戌夜月食，监官推算差了一天。

二十三年，郑世子朱载堉进献《圣寿万年历》、《律历融通》二书。奏疏大略说：“高皇帝革命时，元历未久，气朔未差，所以不更改，只是讨论润色而已。积年既久，气朔逐渐有差。《后汉志》说‘三百年斗历改宪’。现在以万历为元，而九年辛巳岁正当‘斗历改宪’之期，又符合‘乾元用九’之义，历元正在于此。臣曾取《大统》与《授时》二历比较，考古则气差三日，推今则时差九刻。时差虽然只有九刻，但处在夜半之际，所差便隔了一日。节气差天一日，则置闰差一月。闰差一月，则时差一季。时差一季，则岁差一年。其失误岂是小可？因为《授时历》减分太过，失之先天；《大统历》不减，失之后天。因而调和两家，酌取中数，立为新率，编撰成书，大旨出于许衡，而与旧历不同。黄钟是律历本原，而旧历很少提到。新法则以步律吕爻象为首。尧时冬至太阳运行的宿次，何承天推算在须、女十度左右，一行推算在女、虚之间，元人历议也说在女、虚之交。而《授时历》考之，却在牛宿二度。《大统历》考之，却在危宿一度。相差二十六度，都不与《尧典》符合。新法上考尧元年甲辰岁，夏至午中，太阳在柳宿十二度左右，冬至午中，太阳在女宿十度左右，心宿、昴宿昏中，各离午正不超过半次，与何承天、一行二家之说相合。这些都是与旧历不同的主要方面，其余详见《历议》。希望敕令大臣名儒参订采用。”

其方法首要称为“步发敛”。以嘉靖甲寅年作为历元，元纪为四千五百六十，期实为一千四百六十一，节气岁差为一秒七十五忽，岁周和气策没有固定比率，各自根据岁差推算使用。律应（即气应）为五十五日六十刻八十九分，律总旬周为六十日。其次是“步朔闰”。朔望弦策与《授时历》相同，闰应为十九日三十六刻十九分。其次是“步日躔”。太阳每日平行一度，躔周（即天周）为三百六十五度二十五分，躔中为其一半，象策再为一半，辰策为十二分之一的躔周。黄道、赤道的岁差，盈初缩末限和缩初盈末限，都与《授时历》相同，周应为二百三十八度二十二分三十九秒。（按《授时历》求日度的方法，用周应加上积度，从虚宿七度起算，这个周应是虚宿七度到箕宿十度的数值。《万年历法》用周应减去积度，从角宿初度起算，这个周应是箕宿十度到角宿初度的数值，应为二百八十六度四十五分。现在数值不合，似乎有误。）其次是“步晷漏”。北极出地度分，冬至和夏至的中晷固定数值，以及两至昼夜长短刻数，都以京师为标准。参考岳台，以体现各地里差的数值。其次是“步月离”。月球平行、转周、转中，与《授时历》相同。离周（即迟疾限）为三百三十六限十六分六十秒，离中为其一半，离象再为一半。转差为一日九十刻六十分。转应为七日五十刻三十四分。其次是“步交道”。正交、中交与《授时历》相同。距交为十四度六十六分六十六秒。交周、交中、交差，与《授时历》相同。交应为二十日四十七刻三十四分。其次是“步交食”。日食的交外限为六度，定法六十一，交内限为八度，定法八十一。月食的限定法度与《授时历》相同。其次是“步五纬”。合应：土星为二百六十二日三千零二十六分，木星为三百一十一日一千八百三十七分，火星为三百四十三日五千一百七十六分，金星为二百三十八日三千三百四十七分，水星为九十一日七千六百二十八分。历应：土星为八千六百零四日五千三百三十八分，木星为四千零一十八日六千零七十三分，火星为三百一十四日零四十九分，金星为六十日一千九百七十五分，水星为二百五十三日七千四百九十七分。周率、度率以及晨夕伏见度，都与《授时历》相同。

其中关于岁余的讨论说：“阴阳消长的道理，是逐渐积累的，没有不从秒开始的。《授时历》考据古代，在百年之际突然增加一分，在道理上不妥当。假如鲁隐公三年（酉岁），向下到至元辛巳年两千年，用《授时历》本来的方法计算，在岁实上应加二十分，得到庚午日六刻，作为那年的天正冬至。次年壬戌岁，向下到至元辛巳年一千九百九十年，本方法应加十九分，得到乙亥日五十刻四十四分，作为那年的天正冬至。两个冬至相减，得到相距三百六十五日四十四刻四十四分，那么岁余是九分之四日，不是四分之一日。历法的错误，没有比这更大的了。新法仔细斟酌，假设每年增减二秒，往上推，就会失去昭公己丑年；增减一秒到一秒半，就会失去僖公辛亥年。如今取中间数，其方法是：将定距自乘，乘以七再除以八，所得结果除以一百约分为分，得到一秒七十五忽，那么辛亥、己丑都能得到。”

关于日躔的讨论说：“古代历法见于《六经》，明白可考的莫过于日躔和中星。但推算历法的人很少有人通晓，大概是因为不知道夏历和周历的不同。大体上夏历以节气为主，周历以中气为主。何承天以正月甲子夜半合朔雨水作为上元，向前违背夏历朔日，向后不合周历正月。所以近代推算《月令》、《小正》的人，都不与古历相符。曾经用新法岁差，向上考究《尧典》的中星，那么所谓的四仲月，大概是从节气开始到中气结束，三十天内的中星罢了。后世的人执着于二分二至，这也是错误的。”

关于测北极的讨论说：“从汉朝到齐、梁，都认为纽星就是不动处。只有祖暅之测量知道纽星距离极星一度有余。从唐朝到宋朝，又测量到纽星距离极星三度有余。《元史·历志》采用三度，大概没有说明原因。新法不测量纽星，用日影验证，在正方案上，周天度内临时指认一度作为北极，从这度向右旋转，数到六十七度四十一分，为夏至日躔所在。再转到一百一十五度二十一分，为冬至日躔所在。向左旋转，数法也如此。四个点加上中心共五个点，各标记一根针。在冬至夏至日中午，将方案直立向南取影，使三根针的影子重合，然后悬绳界定取中间绵线，再取方十字界定，看横界上距离北极出地度分，就是极出地度分。”

关于晷影的讨论说：“何承天立表测量日影，才知道从汉朝以来，冬至都比实际晚三天。那么推算晷影，是治理历法的关键。《授时历》也凭晷影为本，但《历经》不载推算晷影的方法，这是缺漏。现在用北极出地度数，兼用弧矢两种方法来求，希望能穷尽它的原理。又根据地形高低，设立差数来穷尽变化，这是以前所没有的。”又说：“《授时历》的议论根据《前汉书·律历志》鲁献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，引用作为开端。献公十五年向下到隐公元年己未，相距一百六十一年，这不是春秋时期很明白了。但《元史·历志》却说‘从春秋献公以来’，又说‘昭公冬至，是日度失行的验证’，错了。献公甲寅冬至，没有别的根据，只有刘歆《三统历》这么说。难道《左传》不足以相信，而刘歆却可以相信吗？太初元年冬至在辛酉，刘歆却以为是甲子，差天三日，尚且不能知道，却能逆推上下数百年吗？所以春秋前后千年之间，气朔交食，《长历》、《大衍历》所推接近正确，刘歆、班固所说完全错误。”又说：“《大衍历》议论说宋元嘉十三年一月甲戌，影长是日度变行的结果，《授时历》的议论也这么说，我认为过分了。如果日度失行，应当像岁差一样，逐渐移动。今年既然已经不合，明年怎么能复合呢？大概前人所测，或许不够精密。冬至的影长一丈有余，表高晷长，那么影子虚淡，有人用望筒、副表、景符之类来求真实影子。但望筒可能一高一低，副表、景符可能一前一后，所依据的表可能稍有倾斜，圭面可能稍有斜侧，二至前后几天的影子，进退只在毫厘之间，也难以辨别。何况委托的人，不知道是否得当。九服之远，既然不是亲自测量，所报的晷影，难道足以相信吗？”

关于漏刻的讨论说：“日月带食出入，五星晨昏伏见，历家设方法全部依据晷漏作为标准。而晷漏则随地势南北、辰极高下而不同。元朝人都城在燕地，他们的《授时历》七曜出没的早晚，四时昼夜的长短，都依据大都晷漏。国朝初年定都金陵，《大统历》晷漏改到南京，冬夏至相差三刻有余。如今推算交食分秒，南北东西等差以及五星定伏定见，都依照元朝旧法，却单独改了漏刻，所以互相矛盾出现错误。所以新法晷漏，照依元朝旧制。”

关于日食的讨论说：“太阳轨道与月亮轨道相交处有两个，如果正好会合在交点，那么食尽；如果只在交点前后相近的地方，那么就食而不尽。这是天的交限。又有人为的交限，假如中国食尽，太阳底下，所亏才一半，化外之地，那么交而不食。换地方反观，也如此。为什么？太阳像大赤丸，月亮像小黑丸，共同悬挂一条线，太阳在上月亮在下，从下面正望它，黑丸必掩赤丸，好像食尽；等到旁观有远近的差别，那么食数有多有少。春分以后，太阳运行在赤道北侧，交外偏多，交内偏少。秋分以后，太阳运行在赤道南侧，交外偏少，交内偏多。因此有南北差。冬至以后，太阳运行在黄道东侧，午前偏多，午后偏少。夏至以后，太阳运行在黄道西侧，午前偏少，午后偏多。因此有东西差。日中仰视则高，旦暮平视则低。这有距午差。食在中午前见到早，食在中午后见到迟。因此有时差。所有这几种差，只有太阳有，月亮没有。所以推算交食，只有太阳较难。想推九服的变化，必须各据其地，考察晷影的短长，测量辰极的高低，差不多能得到。《历经》所推定的数值，只是以燕都所见来说罢了。旧说：‘月行内道，食多有验。月行外道，食多不验。’又说：‘天的交限，虽然属于内道，如果在人的交限之外，类似外道，太阳也不食。’此说似乎对，但不全面。假如夏至前后，日食在寅卯酉戌之间，人向东北、西北看，那么外道食分反而多于内道。太阳体大于月亮，月亮不能完全遮蔽它，有时遇到食尽，而日光四溢，形状如金环，所以太阳没有食十分的情况。即使食尽，也只有九分八十秒。《授时历》日食，阳历限六度，定法六十，阴历限八度，定法八十。各放置其限度，按其定法除之，都得十分。如今在其定法下，各加一个数来除限度，则得九分八十余秒。”

关于月食的讨论说：“暗虚，就是影子。影子遮蔽月亮，没有早晚高低的差异，四时九服没有不同。譬如悬挂一个黑丸在暗室，左边点蜡烛，右边挂一个白丸，如果烛光被黑丸遮蔽，那么白丸就受不到光了。人在四旁观之，所见没有不同。所以月食没有时差的说法。从《纪元历》妄立时差，《授时历》沿袭，错了。”

关于五纬的讨论说：“古法推算五纬，不如变数的加减。北齐张子信仰观岁久，知道五纬有盈缩的变化，应当加减以求逐日的躔度。大概五纬出入黄道内外，各自有其轨道，视太阳远近为迟疾，其变数的加减，如里路的径直斜曲。宋人有话说：‘五星行度，只在留退之际最多差。从内而进的，其退必向外；从外而进的，其退必由内。其轨迹好像沿柳叶，两头尖中间宽，往还的道路相距很远。所以星行两端度稍迟，因其斜行；中间行度稍速，因其径捷。’前代修历，只增减旧法罢了，未尝实际考察天度。其方法需测验每夜昏晓夜半，月亮及五星所在度秒，置簿记录。满五年，其间除去阴云昼见日数外，可行三年实行，然后可以用算术缀合。”

奏疏呈上后，礼部尚书范谦上奏说：“岁差的方法，自从虞喜以来，历代都有关于岁差方法的议论，但始终没有统一的规则。寻求岁差的方法大致有三种：考察月令中的中星，测量冬至夏至的日影，验证交食的分秒。用衡管考察，用圭表测量，用漏刻验证，这也接近于得到了。历法家把周天三百六十五又四分之一度，用来记录七政的运行，又把度分为百分，分再分为百秒，可以说是精密了。但是浑象的球体，直径只有几尺，布列周天度数，每度还不到一个指头宽，哪里能放置分秒呢？至于圭表树立不过几尺，刻漏的筹码不超过几寸。天既高且广，用寸长的东西去测量它，想要丝毫不差，不也很难吗？所以当误差在分秒之间时，无法验证，等到误差超过一度，才可以用仪器窥测。这就是为什么穷尽古今的智慧技巧，也不能完全掌握它的变化吧？正如世子所说，用《大统历》和《授时历》相比较，考证古代则节气相差三天，推算现今则时刻相差九刻。时刻相差九刻，在亥时和子时之间就会移动一天，在晦日和朔日相交时就会移动一个月，这在近期就可以验证。假设移动向前，那么新月出现在初二日的黄昏；假设移动向后，那么新月出现在初四日的傍晚。现在似乎还没有到这种程度。他的奏疏应该发给钦天监参订测验。世子留心历学，博通古今，应该赐予奖励。”皇帝听从了这个意见。

河南佥事邢云路上书说：“治理历法的要务，没有超过观象、测景、候时、筹策这四件事的。今年丙申年冬至，我测得是乙未日未正一刻，而《大统历》推算在申正二刻，相差九刻。而且今年立春、夏至、立冬都正好在子时半刻的交界。我推算立春是乙亥日，而《大统历》推算是丙子日；夏至是壬辰日，而《大统历》推算是癸巳日；立冬是己酉日，而《大统历》推算是庚戌日。相隔都是一天。如果元旦正好在子时半刻，那么就应该把正月初一退到腊月底，而朝贺大礼就要在正月初二举行了。这难道是小事吗？闰八月初一，日食，《大统历》推算初亏是巳正二刻，几乎食甚，而我观测初亏是巳正一刻，食分只有七分多。《大统历》实际上慢了将近二刻，那么闰应、转应、交应都应该有所增减了。”钦天监看到邢云路的奏疏，非常厌恶他。监正张应候上奏诋毁他，说他僭越狂妄，蛊惑世人。礼部尚书范谦于是说：“历法是国家的重大事务，士大夫应当讲求，不是历官所能私自垄断的。律例所禁止的，是妄言吉凶祥异的人。监官拘泥保守旧法，不能修改以合天象。幸好有这样的人，应当和衷共事，不应该妒忌。请求让邢云路提督钦天监事，督率官属，精心观测，以完成这一大典。”奏议呈上，没有回复。

万历三十八年，钦天监推算十一月壬寅朔日食的分秒和亏圆时刻，职方郎中范守己上疏驳斥其错误。礼官于是请求广泛寻求精通历法的学者，让他们与监官昼夜推测，希望历法没有差错。于是五官正周子愚说：“大西洋归化远臣庞迪峨、熊三拔等人，携带有他们国家的历法，很多是中国典籍所不具备的。请求参照洪武年间翻译西域历法的先例，选取懂历法的儒臣率领监官，将那些书全部翻译过来，以补充典籍的缺失。”在此之前，大西洋人利玛窦进贡土产，而庞迪峨、熊三拔以及能华同、邓玉函、汤若望等先后到来，都精通天文历法。礼部于是上奏：“精通历法的人，如邢云路、范守己被时人推重，请求改授他们京卿职务，共同管理历法事务。翰林院检讨徐光启、南京工部员外郎李之藻也都精心研究历理，可以与庞迪峨、熊三拔等一同翻译西洋历法，让邢云路等人参订修改。然而历法的疏密，没有比交食更明显的，要商议修改历法，必须重视测验。请求敕令有关部门修治仪器，以便从事。”奏疏呈入，留在宫中未批。不久，邢云路、李之藻都被召到京城，参与历法事务。邢云路依据他所学，而李之藻则以西法为宗。

万历四十一年，李之藻已改任南京太仆少卿，上奏西洋历法，大略说钦天监推算日月交食时刻和亏分的错误。并极力推荐庞迪峨、熊三拔以及华民、阳玛诺等人，说：“他们所论述的天文历数，有中国先贤所没有达到的，不仅论述其数字，还能阐明其所以然的道理。他们所制造的窥天、窥日的仪器，种种精妙绝伦。现在庞迪峨等人年纪渐老，请求敕令礼部开设历局，取用他们的历法，翻译成书。”礼科给事中姚永济也这样说。当时各项事务因循守旧，没有空闲开设历局。

万历四十四年，邢云路进献《七政真数》，说：“推算历法的方法，必须将两个交点相对。两个交点正确了，那么中间时刻分秒的度数，一一可以按定。日月的交食，五星的凌犯，都是日月五星的相交。两个交点相对，互相发明，七政的功能就完备了。”天启元年春，邢云路又详细陈述古今时刻，与钦天监所推算的互有差异。声称新法非常精密，奏章下发到礼部。四月壬申朔日食，邢云路所推算的食分时刻，与钦天监所推算的互有差异。他自称新法非常精密，到期检验，都与天象不合。邢云路又曾论《大统历》的宫度交界，应当用岁差考定，不应当仍然用《授时历》三百年前所测量的数据。又说月建与斗杓所指有关，斗杓有岁差，而月建没有改变。这些都是笃实的议论。

崇祯二年五月乙酉朔日食，礼部侍郎徐光启依照西法预先推算，顺天府见到食分二分多，琼州食甚，大宁以北不见食。《大统历》、《回回历》所推算的，顺天食分时刻，与徐光启的推算不同。后来徐光启的方法验证正确，其余的都疏漏。皇帝严厉斥责监官。当时五官正戈丰年等人说：“《大统历》是国初所定，其实就是郭守敬的《授时历》，二百六十年来没有丝毫增减。自从至元十八年造历，过了十八年到大德三年八月，已经应当食而不食，大德六年六月又出现日食而未能预报。当时郭守敬正掌管历局，也无可奈何，何况是拘泥守法的呢？现在如果沿用旧法，以后不能没有差错。”于是礼部奏请开设历局修改历法。于是任命徐光启督修历法。徐光启说：“近代谈论历法的各家，大都尊崇郭守敬的方法，至于岁差环转，岁实参差，天有纬度，地有经度，列宿有本行，月五星有本轮，日月有真会、视会，都是古代所未曾听闻的，只有西历有这些。而舍弃这几种方法，那么交食凌犯，终究不能精密吻合。应当采用西法参互考订，使之与《大统历》会同归一。”

不久徐光启上奏历法修正十件事：第一，讨论岁差，每年东行逐渐长短的数字，以纠正自古以来百年、五十年、六十年多少互异的说法。第二，讨论岁实的小余，过去多现在少，逐渐改变，以及日影长短年年不同的原因，以确定冬至，以正节气明确朔日。第三，每天测验太阳运行的经度，以确定盈缩加减的真率，东西南北高下的差异，以推算月行。第四，夜间测验月亮运行的经纬度数，以确定交转迟疾的真率，东西北高下的差异，以推算月行。第五，精密测量列宿的经纬行度，以确定七政的盈缩、迟疾、顺逆、离合、远近的数字。第六，精密测量五星的经纬行度，以确定小轮行度的迟疾、留逆、伏见的数字，东西南北高下的差异，以推步凌犯。第七，推算变化黄道、赤道广狭的度数，精密测量二道的距离，以及月亮、五星各道与黄道相距的度数，以确定交转。第八，讨论日月离开交点的远近以及真会、视会的原因，以确定距午时差的真率，以校正交食。第九，测量太阳运行，考知二极出入地表的度数，以确定周天纬度，以齐平七政。通过月食考知东西相距的地球经度，以确定交食时刻。第十，依照唐代、元代的方法，随地测验二极出入地表的度数，地球经纬，以求得昼夜晨昏的长短，以校正交食的有无、先后、多少的数字。于是推荐南京太仆少卿李之藻、西洋人能华民、邓玉函。皇帝答复可以。九月癸卯日开设历局。崇祯三年，邓玉函去世，又征召西洋人汤若望、罗雅谷翻译书籍演算。徐光启晋升为本部尚书，仍然督修历法。

当时巡按四川御史马如蚊推荐资县生员冷守中精通历学，把他所呈的历书送到历局。徐光启极力驳斥其错误，并预推次年四月四川的食时刻，让他临时比测。崇祯四年正月，徐光启进献《历书》二十四卷。夏四月戊午日，夜望月食，徐光启预推分秒时刻方位。上奏说：“日食随地不同，所以用地纬度算其食分多少，用地经度算其加时早晚。月食的分秒，海内各地都相同，只用地经度推求先后时刻。我根据地图约略推步，开列各布政司月食初亏度分。因为食分多少既然天下都相同，那么其余的比例可以类推，不像日食的经纬各不相同，必须详细完备。又月体十五分，则全部进入暗虚也只有十五分而已。现在推算为二十六分六十六秒，是因为暗虚体大于月，如果食时离交点稍远，那么月体不能全部进入暗虚，只从月体论其分数。今晚的月食，非常接近交点，所以月入暗虚十五分才为食既，再进十一分有余，才得生光，所以为二十六分有余。如《回回历》推算十八分四十七秒，大致与此法相同。”后来四川报告冷守中所推算的月食实际相差两小时，而新法精密吻合。

徐光启又进献《历书》二十一卷。冬十月辛丑朔日食，新法预推顺天府见食二分一十二秒，应天以南不见食，大汉以北食甚，按例京师见食不及三分，不进行救护。徐光启说：

“月食发生在夜里，加时早晚，似乎没有定准。只有日食按日晷定时，无可迁就。所以历法的疏密，这是确切的证据。我们编纂新法，逐渐就绪，而距下次交食的时间还远，此时不与监臣共同见证，等到历法编成后，将凭什么取信？而且这次日食必须观测等待，更有理由。

旧法认为食在正午，则没有时差。现在这次日食既然在日中，而新法仍然有时差，是因为七政运行都依照黄道，不经过赤道。旧法所谓的正中是赤道的午中，不是黄道的正中。黄赤二道的中点，只有冬至夏至加时正午，才能同度。现在十月初一距离冬至度数尚远，两个中点的差，有二十三度多，怎么能因为加时近午，就不加不减呢？恰好遇到这一天，又值这个时刻，足以验证时差的正确方法，这是第一。

本地的东西经度，没有得到真率，则加时难以确定，其方法必须从交食时测验数次，才可以较勘统一。现在这次日食按照新术测候，其加时刻分，如果以后不吻合，应当取从前所记载的经度分，斟酌改定，这可以求得里差的真率，这是第二。

时差这一方法，只知道中午没有加减，而不知道中午分为黄道中午和赤道中午，现在一旦亲眼见到，人人都知道加时是由于黄道，由此推彼，其他方法也都如此，足以知道学习很容易，这是第三。

即使食分很少，也应当详细测候，以求显验。”

皇帝认为他说得对。到了那天，徐光启率领监臣预先检查日晷，调整漏壶，用测高仪器测量食甚时的日晷高度。又在密室中斜开一条缝隙，放置窥筒、望远镜以测量亏圆，白天用日体分板分数图板以确定食分，其时刻、高度都吻合，只有食甚分数没有达到二分。于是徐光启说：“现在食甚的度分密合，那么经度里差已经无需再更改了。唯独食分不吻合，原来推算的原因大概是太阳光太强，能够减弱月魄，必须食分达到四五分以上，才能与原推相合，然而这次测量，用了密室窥筒，所以能得到这个分数，倘若只凭目力，或者用水盆照映，就会眩耀不定，恐怕少的不止这些。”

当时有一位满城县的平民魏文魁，撰写了《历元》、《历测》两本书，让他的儿子魏象乾把《历元》进献给朝廷，通政司将书送到历局检验。徐光启摘出其中应当极力辨析的七件事：第一，岁实（回归年长度）从汉代以来，历代都有减少的差值，到《授时历》减少为二十四分二十五秒。按照郭守敬的方法，每百年消减一秒，现在应当是二十一秒有余。但《历元》采用赵知微的三十六秒，反复突然增加。第二，用弧背求正弦和余弦，应当采用精确的圆周率。现在《历测》中仍然使用径一围三（圆周率近似3）的方法，不符合弧矢的真实数值。第三，盈缩的界限，不在冬至和夏至，应当在冬至和夏至后六度。如今考察太阳运行，从春分到夏至，从夏至到秋分，这两个时段中，每天的时长不等。另外从立春到立夏，从立秋到立冬，这两个时段中，每天的时长也不等。通过测量可以看出来。第四，说月亮在远地点运行快，在近地点运行慢，并且用圭表测量得到这个结论，这是错误的。月亮的快慢是月球运行周期内的事情，用圭表测量高低是月球交食轨道内的事情，怎么能混淆推算。而且月球在运行周期之上，又向左旋转，所以远地点向西移动极慢，近地点向东移动极快，旧法正好相反。第五，说日食发生在正午没有时差，这是错误的。时差是指距离，不是距离赤道的午中，而是距离黄道界限东西各九十度的中点。黄道界限的中点，有的距离子午线前后二十多度，只按照午正加减，怎么能一定符合。第六，说交食的界限，月亮在黄道北时八度，在黄道南时六度，这是错误的。日食，月亮在黄道北时应当十七度，在黄道南时应当八度。月食则无论南北都是十二度。第七，《历测》说：“宋文帝元嘉六年十一月己丑初一，日食食分不足如钩，白天能看到星星。现在用《授时历》推算，只食六分九十六秒，郭守敬的历法错了。”月食天下相同，日食各地不同。南宋建都于金陵，郭守敬历法制作于燕地，北极出地高度差八度，时间在十一月则食分差应得将近二分，它说“不尽如钩”，应当在大约九分左右。郭守敬历法推得七分弱，正好吻合，不是错误。本局现在确定日食食分，首先说交食条件，其次说地点，再次说时间，一项都不能缺少。随后魏文魁反复辩论诘难，徐光启进一步申说之前的观点，撰写了《学历浊辨》。

他论述岁实的小余和日食的变差尤其清晰。说：“岁实的小余，从汉代到元代逐渐消减。现在新法确定的回归年长度，比元代还要减少。不了解的人必定说不仅比天道超前，更比《大统历》超前。然而用新法推算壬申年的冬至，《大统历》得到己亥日寅正一刻，而新法得到辰初一刻十八分。这是为什么呢？因为确定岁首年份与推算月行相似，冬至没有固定的数值，与定朔、定望没有固定数值是一样的。朔望没有固定数值，应当用平朔望加减；冬至没有固定数值，应当用平年加减。所以新法的平冬至，虽然在《大统历》之前，但定冬至常常在《大统历》之后。”又说：“宋仁宗天圣二年甲子岁，五月丁亥初一，历官推算应当发生日食却没有发生，各家历法推算都说应当日食。从历法规则来说确实应当日食，但从当时实际情况来说确实没有日食。现在应当如何解释呢？因为日食有变差这一方法，月亮在黄道北，距离交点十度以上，按规则应当日食。但唯独这一天此地，南北差变为东西差，所以从天体运行来说，地心与日月相对成直线，实际上不失食。但从人眼所见，日月之间的距离由近变远，实际上不得见食。只有汴京是这样，如果从汴京向东数千里，则逐渐见到日食，到东北一万多里以外，则完全见到日食。变差因时间不同，有时多变为少，有时少变为多，有时有变为无，有时无变为有。推算历法的困难，全在于这些地方。”不久，徐光启进入内阁。

崇祯五年九月十五日，月食，钦天监推算初亏在卯初一刻，徐光启等人推算在卯初三刻，回回科推算在辰初初刻。三种方法不同，导致皇帝下旨质问。到观测时，阴云密布看不见，无法验证。徐光启详细陈述三种方法不同的原因，说：

时刻的加减，是由于盈缩和迟疾两种差值。而盈缩差，旧法从冬至夏至开始，新法从远地点开始，远地点有移动分值，只有宋代绍兴年间与夏至同度。郭守敬之后一百年，离开一度有余，所以没有觉察。现在远地点在夏至后六度。这是两种方法盈缩差不同的原因。迟疾差，旧法只用一整个运转周期，新法称为自行轮。自行轮之外，又有两次轮。这是两种方法迟疾差不同的原因。至于《回回历》又不同，或许是由于四应，或许是由于里差，我确实不明白其中的缘故。总之，三家都依照各自的方法推算，不能改变方法迁就。

将来有应当研究的两件事：一是食分多少。日食时，阳光强烈闪耀，常常先被食而后看到。月食时，游气纷扰，常常先看到而后被食。其差值达到一分以上。现在要准确看到实际食分，有最近制造的窥筒，日食时，在密室中取其光影，映照在白色绢帛上，从初亏到复圆。食分数值准确，清晰无误。月食时用窥筒仰头观察二体离合之际，轮廓明显。与目测完全不同。这是确定食分的方法。二是加时早晚。确定时间的方法，壶漏是古法，轮钟是新法，但不如从太阳和星辰求得，白天用太阳，夜晚任意用一颗星。都用仪器测量经纬度数，推算得到。这是确定时间的方法。这两种方法确立后，那么各种方法的疏密，丝毫不能隐藏。

古往今来的月食，各史书没有记载。日食，从汉代到隋代，共二百九十三次，而发生在晦日的七十七次，晦日前一天的两次，初二日的两次，其疏漏如此。唐代到五代共一百一十次，而发生在晦日的一次，初二日的一次，初三日的一次，稍微精密了。宋代共一百四十八次，没有晦日日食，更精密了。还有推算应当日食却没有日食的一次。至于加时差到四五刻的，在当时就已经如此。可知高远无穷的事，必须积累时间经历世代，才能逐渐看到端倪。所以从汉代到现在一千七百年，制定历法的有十三家，而郭守敬最优，尚且不能没有刻的误差，何况沿袭旧法的人，怎么能看到它的精密呢？

这一年，徐光启又进献《历书》三千卷。明年冬十月，徐光启因病辞去历务，由山东参政李天经接替。过了一个月徐光启去世。崇祯七年，魏文魁上奏说，历官所推算的交食节气都不对。于是命令魏文魁入京测验。这时谈论历法的有四家，除了《大统历》、《回回历》外，另立西洋历为西局，魏文魁为炙局。各家说法各不相同，纷乱如聚讼。

李天经缮写进献《历书》共二十九卷，以及星屏一件，都是已故辅臣徐光启率领西洋人制造的。李天经预先推算五星凌犯会合运行度数，说：“闰八月二十四日，木星侵犯积尸气。九月初四黄昏初刻，火星与土星同度。初七卯正，金星与土星同度。十一日黄昏初刻，金星与火星同度。旧法推算火星与土星同度在初七，是晚了三天。金星与火星同度在初三，是早了八天。”而魏文魁说，李天经所报告的，木星侵犯积尸气不符合。李天经又说：“我在闰八月二十五日夜及九月初一夜，同体臣陈六韦等人，用窥管观测，看到积尸气是几十颗小星围聚，木星与积尸气，都纳入管中。因为窥管圆径一寸左右，两星相距三十分以内的，才能一同看到。如觜宿三星相距二十七分，就不能一同看到。而魏文魁只凭臆想推算，没有经过实测。据他说初二日木星已在柳宿之前，那么此前难道能越过鬼宿飞渡吗？”李天经又推算木星退行、顺行，两次经过鬼宿，其度数和时刻，后来都得到验证，于是魏文魁的说法被驳倒。

李天经又进献《历书》三十二卷，以及日晷、星晷、窥筒等仪器。崇祯八年四月，又呈上《乙亥丙子七政行度历》及《参订历法条议》二十六则。

其中七政公说的七条建议：第一，各天体的历元应当修改。太阳、月亮、五星平行起算的根点就是历元，即某天体某日某时在某一宫次的位置。现在新法修改确定各历元，都从崇祯元年戊辰前冬至后己卯日子正开始。第二，测量各天体运行度数，应当使用黄道仪。因为太阳沿黄道运行，月亮和行星各有本道，出入黄道内外，不沿赤道运行。如果用赤道仪测量，得到的经纬度数，必须用黄赤转换表换算，不如用黄道仪，直接得到七政的本度来得方便。第三，各地七政的运行度数，因地不同。太阳和月亮的东西见食时间各有先后，已经无疑问。那么太阳运行二十四节气，与月亮行星的掩食凌犯，怎能不与交食同一道理？所以新法编成的各种表格，虽然以顺天府为主，但推算各地运行度数也各有本来的方法。第四，各天体加减分，用平、立、定三差法，还不够。因为加减平行以求自行，是历家的要务。只是天是圆体，与平行不同类，旧所用的三差法，都是从勾股平行确定的，与天体不符合。即使计算盈缩损益的数值，也得不到真实值。现在新法加减各表，是用圆来配合圆，才能符合天象。第五，随时随地可以求各天体的经度。旧法要得到某日天体经度，必须先推算各天体冬至日所行的宫度宿次，然后才用各段日度比算得到。现在方法不拘泥于时间和地点，只翻查本表推算即可。第六，径一围三，不是弧矢的真实方法。古代历家用直线测量圆形，名叫弧矢法，而计算用径一围三，是错误的。现在建立割圆八线表，使用简便而效用广大。弧矢等线，只需乘除一次，就能得到。第七，球面上的三角三弧形，不是勾股能完全处理的。古代方法测天以勾股为本，但勾股能处理直角，不能处理斜角。而且天是圆球，其表面与各道相割产生许多三弧形，勾股不足以处理。

关于恒星的四个建议：第一，恒星本身的运行，即所谓岁差，从黄道极起算。因为各星距离赤道的度数，古今不同。它们距离赤道内外的位置，也古今不同。而距离黄极或黄道内外，则始终如一，所以知道太阳、月亮、行星都沿黄道运行。恒星本身的运行，应从黄极起算，作为岁差的比率。第二，古今各宿的度数不同。因为恒星以黄道极为极，所以各宿距星的运行度数，与赤道极有时近有时远。运行逐渐靠近极，那么赤道通过距星所产生的线逐渐密集，其本宿的赤道弧就较小。逐渐远离极，那么通过距星的线逐渐稀疏，其本宿的赤道弧就较大。这是因为二道二极不同，不是距星有不同运行，也不是距星有易位。如觜宿距星，汉代测量距参宿二度，唐代测量一度，宋代崇宁年间测量半度，元代郭守敬测量五分。现在测量，不止没有分，而且侵入参宿二十四分，这不是一个证据吗？第三，夜晚观测恒星确定时间。因为太阳沿赤道左行，每十五度为一小时。现在任意测量一星距子午圈前后的度数，又用本星的经行与太阳经行查加减，得到太阳距子午圈的度数，因而变为真时刻。第四，宋代所定的十二宫次，在某宿某度，现在不能确定在某宿某度。因为恒星有本身运行，宿度已经右移的缘故。

关于太阳的讨论有四条：第一，太阳运行速度变化的界限，并不是冬至和夏至，而是所谓的远地点和远地点移动。这个界限每年向右移动，现在已经超过冬至点和夏至点后六度多。第二，用圭表测量冬至和夏至，并不是好方法。因为冬至和夏至前后，太阳南北方向移动的度数非常小，以高达一丈的表来说，一天的影差不过一分三十秒，那么一秒相当于六刻多，如果测量误差有两三秒，就会差将近二十刻，怎么能得到准确值呢？现在新的方法只采用春分和秋分，因为这时候太阳一天南北移动二十四分，一天的影差是一寸二分，就算测量误差有一两秒，算下来也不足一刻，比冬至和夏至要精确得多。第三，日出和日落的时刻，应该从顺天府（北京）开始计算。因为各地的北极出地高度不同，晨昏时刻也因此不同。《大统历》依据应天府（南京）计算，导致昼夜长短、日月在东西方向上的交食推算不准确。现在按照天象重新改定。第四，平节气并不是天上的真实节气。因为旧法的节气间隔，是将一年平均分成二十四份。但太阳运行有快有慢，不能平均分配。如果平均分配，就会导致春分晚两天，秋分早两天。现在全部改定。

关于月亮的讨论有四条：第一，除了朔望之外，还有额外的增减量，单用一个加减值不能完全概括。因为旧法确定月亮平均运动，计算朔望的加减值，大体上是五度多，但两弦时实际数量有多有少，即使《授时历》也说朔望之外，平均运动数值不确定，讲明了道理却没有给出方法。现在在加减之外，再增加一个加减值，称为二三均数。第二，月亮的纬度不能固定在五度，有时多有时少。古今历法家通过交食分数和交泛等测量，确定黄道和白道相距大约五度。但朔望之外两道的距离有增有减，最大距离是五度又三分之一度。如果一个月有两次交食，在弦时用仪器测量距黄道五度，不能符合天象。第三，交点运行有增减量。罗喉和计都就是正交和中交点运行度数，古今都认为是均匀运动。如今仔细测量，月亮有时正好在交点上，用均匀运动来推算，必然不合。因此设一个加减值，作为交点运动的均数。第四，天象中并没有紫气。旧法说紫气产生于闰余，又是木星的余气。现在仔细考察各个星体，没有可见的形象，知道是虚妄增加的。

关于交食的讨论有四条：第一，日月和影子的直径大小并不固定。因为日月有时在远地点，有时在近地点，由于距离有远近，看上去就有大小。又因为远近不同，月球经过影子时，厚度也不同，所以直径大小不能一成不变。第二，日食的正午并不是中限，而是以黄道九十度限作为中限。因为南北差和东西差都依据黄道，那么时差怎能不按照黄道来讨论它的开始和结束以求中限呢？而且黄道高出地平，两个象限各有自己的高度，也各自有它们的中限。这个道理不明白，就会该加的反减，该减的反加，凡是推算不合的都是因为这个原因。第三，日食初亏和复圆的时间长短经常不相等，不是两倍食甚时间的说法。因为视差能够把实际运动变成视运动，如果用视差来比较食甚前后，很少有不参差不齐的。既然视差在食甚前后不一样，又怎能让视运动前后一致呢？现在用视运动来推算变动的时刻，那么初亏和复圆不相等就很明白了。第四，各地要依据当地经度来推算时刻和日食分数。因为地面上东西方向看日月出没，各有先后不同，所得时刻也不同。所以虽然看到的是同一次交食，但时刻不同，这是日月食共同的道理。至于日食，因为视差随地不同，月球视距也不同，看到的食分也会不同。

关于五大行星的讨论有三条：第一，五星应该用太阳的视运动来推算，不能按段落确定。因为五星都以太阳为主，与太阳相合时就运行快，相冲时就逆行。而且太阳运行有快有慢，那么五星合伏的天数，有时少有时多，自然不能按段落确定它们的度分。第二，五星应该加上纬度运动。因为五星出入黄道，各有固定的距离。而且木星、土星、火星在冲太阳时纬度大，合太阳时纬度小。金星、水星在顺伏时纬度小，逆伏时纬度大。第三，测量五星，应该用恒星作为标准。因为测量星体除用黄道仪外，还应该用弧矢等仪器。用所测的纬度星，看它距离某两颗恒星多少度分，按照方法布算，才能得到该星的真经纬度分。或者画图也可以免去计算。

这时新法书籍和仪器都已完备，多次观测交食、凌犯都很吻合，但魏文魁等人多方暗中阻挠，内官们在旁边支持他们。所以皇帝不能决断，谕令李天经同监局的官员虚心详细研究，务必求得统一。这一年，李天经推算水星出现和木星所在的位置，都与《大统历》不同，而新法符合实际。又推算八月二十七日寅正二刻，木星、火星、月亮同在张宿六度，而《大统历》推算木星在张宿四度，火星、月亮在张宿三度。到了那天，果然同在张宿六度。九年正月十五日辛酉，清晨望月食。李天经及《大统历》、《回回历》、东局各自推算亏圆、食甚的分秒时刻。李天经担心到时云遮难以看见，就按照里差，推算河南、山西所见时刻，奏请派遣官员分头去测量验证。那天，李天经与罗雅谷、汤若望、大理评事王应遴、礼臣李焻以及监局守登、文魁等去观象台测量，只有李天经的推算完全符合。不久，河南报告的结果完全符合原推算，山西则因食时云掩无法验证。

皇帝因为测验月食，新法比较接近，但十五日是雨水，而李天经以十三日为雨水，命令他再奏明。李天经回答说：谕旨说节气有两种方法：一为平节气，一为定节气。平节气是把一年的实际长度平均分成二十四份，每得到十五天多，就是一个节气。所以从岁前冬至起算，必须经过六十天八十七刻多才是雨水。旧法所推十五日子正一刻就是这样的。定节气是把三百六十度作为周天度，也平均分成二十四份，每得到十五度就是一个节气。从岁前冬至起算，经过五十九天二刻多，太阳运行满六十度就是雨水。新法所推十三日卯初二刻八分就是这样的。太阳的运行有快有慢，不用方法加减，必然不符合天象，怎能平均分配一年的长度作为节气呢？用春分来验证，这个道理更明白。春分是黄道和赤道相交的点，太阳运行到这里，昼夜平分。旧法在二月十四日下面注明天昼五十刻、夜五十刻就是这样的。既然十四日昼夜已经平分，那么新法推算十四日为春分符合天象，而旧法推算十六日，就晚了两天。知道了春分，那么秋分和各节气就可以知道，对雨水就没有疑问了。

不久李天经在春分那天，每天中午去观象台测量午正太阳高度。二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十分。李天经于是说：京师北极出地三十九度五十五分，那么赤道应该高五十度五分，春分日太阳正当赤道上，它的午正高度与赤道高度相等，过了这一天，太阳高度必然逐渐增多。现在以十四日所测高度，加上地半径差二分，比赤道已经多出五分。原来推算春分在卯正二五分弱，这时每天纬度移动二十四分弱，时差二十一刻五分，那么纬度移动应加五分强。到十五日，加上地半径差，比赤道高度已经多出三十分，何况十六日呢？所以春分应当在十四日，不在十六日。秋分也是这样。又出示《节气图》说：内规分三百六十五又四分之一度，是日度。外规分三百六十度，是天度。从冬至起算，经过九十一日三十一刻六分，才到春分，这是太阳运行的限度，但在天度上已超过二度多。又经过二百七十三日九十三刻十九分，就交秋分，这也是太阳运行的限度，但在天度上还差二度多。这难道不是旧法春分总是晚两天，秋分总是早两天吗？

十年正月初一辛丑，日食，李天经等人预先推算京师见食一分一十秒，应天府以及各省的分秒各不相同，只有云南、太原不见食。初亏、食甚、复圆的时刻也不同。《大统历》推算食一分六十三秒，《回回历》推算食三分七十秒，东局所推只是游气侵光三十多秒。而食时验证，只有李天经的推算最精密。当时将要废除《大统历》，采用新法，皇上另外管理历局事务的代州知州郭正中说：“中国历法一定不能全部废除，西洋历法一定不能单独推行。四种历法各有长短，应当综合各家，兼收西法。”十一年正月，于是下诏仍行《大统历》，像交食经纬、晦朔弦望等，因为年代久远有误差的，参考新法，与回回科并存。同年，晋升李天经为光禄寺卿，仍管理历务。十四年十二月，李天经说：“《大统历》设置闰月，只论月份没有中气，新法则还要看合朔的先后。现在所进的十五年新历，其十月、十二月中气，正好交在次月合朔时刻之前，所以月份内虽无中气，实际上并不是闰月。因为中气在朔日前，那么这个中气还属于前月的晦日。到十六年第二月只有惊蛰一个节气，而春分中气交在第三月合朔之后，那么第二月是闰正月，第三月是第二月，就毫无疑问了。”当时皇帝已经深知西法的精密。到十六年三月朔日乙丑日食，测验又只有新法准确。八月，下诏说西法果然精密，就改为《大统历法》，通行天下。不久明朝灭亡，竟然没有施行。本朝用为《宪历》。

按：明朝制度，历官都是世袭职业，成化、弘治年间还能提出修改的议论，万历以后就都固守己见、抱残守缺了。那些不是历官而通晓历法的人，除郑世子之外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗都有著作。唐顺之没有成书，他的议论散见于周述学的《历宗通议》、《历宗中经》。袁黄著有《历法新书》，其中的天地人三元，本于陈壤。而雷宗也著有《合璧连珠历法》，都是会通回回历而入《授时历》，虽然不能像郑世子那样精微，但对于中西历理，也有所阐发。邢云路的《古今律历考》，有人说本出于魏文魁之手，文魁的学问本来浅薄，难怪他所疏解的《授时历》，都不能得到它的要领。

西洋人来到中国的人，都自称瓯罗巴人。他们的历法与回回历相同，而更加精密。曾考察前代，远国之人讲论历法的多在西方，而东南北没有听说。（唐代的《九执历》，元代的《万年历》，以及洪武年间所译的《回回历》，都是西域的。）大概尧命羲和、羲仲、羲叔、和仲、和叔分别掌管四方，羲仲、羲叔、和叔以隅夷、南交、朔方为界，只有和仲只说“宅西”，而不限定地方，难道不是当时声教向西传播得很远吗？到了周末，天文世家子弟分散。西域、天方各国，与西部边境接壤，若论东南有大海阻隔，又无北极严寒的畏惧，那么携带书籍仪器向西迁移，形势本来方便。瓯罗巴在回回西边，风俗相类，而好奇喜新争胜的习性超过他们。所以历法与回回同源，而世代增修，就不是回回所能赶得上的，也是他们好胜的欲望造成的。羲和既已失守，古籍中可见的，只有《周髀》的范围，也可以知道其源流的来由了。广泛搜求采择以继承千百年失传的学问，也是礼失求野的意思，所以详细论述。