历二

历二

▲大统历法一上(法原)

制作历法的人各有其本源，史书应当详细记载，以便后代能够考据。比如《太初历》以乐律为起点，《大衍历》以蓍策为开端，都详细记录在本志中。《授时历》以测量计算为核心，只求与天象吻合，不牵强附会律吕、卦爻。然而它的立法依据、数据的来源，以及晷影、星度，都有完整的书籍。郭守敬、齐履谦的传记中，有书名可供查考。《元史》随意没有采集收录，只保存了李谦的《议禄》、《历经》的初稿。后来修改的三应率和立成数据，以及割圆弧矢法、平立定三差的原理，全部被删削没有记载。使得作者的精细意图湮没，有识之士感到遗憾。现在根据《大统因通轨》和《历草》等书，稍微加以编排，首先法原，其次立成，再次推步。而法原的目录有七项：句股测望、弧矢割圆、黄赤道内外度、白道交周、日月五星平立定三差、里差刻漏。

▲句股测望

在北京立四丈高的表，冬至日正午，测得景长七丈九尺八寸五分。随即用简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。设置周天半径，截取矢度剩余五十四度九十六分为股，这是本地支撑太阳下方的度数。用弦和股另用句术，求得句二十六度一七分七十六秒，为日出地平半弧弦。

在北京立四丈高的表，夏至日正午，测得景长一丈一尺七寸一分。随即用简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。设置周天半径，截取矢度剩余一十七度一十三分二十五秒为句，这是本地距离太阳下方位置的度数。用句和弦另用股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地平半弧弦。

将冬至和夏至的度数相加，得到一百度七十三分，除以二得五十度三十六分半，为北京赤道出地度数。用赤道出地度数减去周天的四分之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度数。

▲弧矢割圆

周天直径一百二十一度七十五分少。（少不用。）半径六十度八十七分半。（又作为黄赤道大弦。）二至黄赤道内外半弧背二十四度。（所测取整。）二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。（半径减去矢度之数。）

割圆求矢法 设置半弧度的自乘积，为半弧背幂，周天直径的自乘积，为上廉。上廉乘半弧背幂，为正实。上廉乘直径，为益从方。半弧背乘以二，再乘直径，为下廉。用初商乘上廉，得数减去益从方，余为从方。设置初商的自乘积减去下廉，余数用初商乘，为从廉。从方、从廉相加，为下法。下法乘初商，减去正实，实不够减，改初商。实有余数，依次商除。将初商数乘以二，与次商相加后乘上廉，得数减去益从方，余为从方。将初商与次商相加后自乘，再加上初商的自乘，两数相加减去下廉，余数用初商的倍数加次商乘，为从廉。从方、从廉相加，为下法。下法乘次商，减去余实，确定次商。有余数，按此方法商除，所得商数为矢度的数值。（黄赤道通用。）

例如用半弧背一度求矢。方法：设置半弧背一度自乘，得一度，为半弧幂。设置周天直径一百二十一度太自乘，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幂，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉再乘直径，得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度乘二，得二度，再乘直径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。设置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，减去益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又设置初商八十秒自乘，得六十四微，减去下廉余二百四十三度四九九三六。再用八十秒乘，得一度九四七九九九四八八，为从廉。将从廉、从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，减去正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。设置初商八十秒乘二，得一分六十秒。加次商二秒得六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，减去益从方，余一百八十万四千四百六十七度二五七六二五，为从方。又设置初次商八十二秒自乘，得六十七微。加初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，减去下廉，余二百四十三度四九九八六九。用之前所得一分六十二秒乘，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。将从廉、从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，减去余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。（不足一秒不用，下同。）

凡是求得矢度八十二秒，其余度数各按上述方法，求得矢度，作为黄赤相求及其内外度的根。（数据详见后。）

▲黄赤道差

求黄赤道各度下赤道积度的方法。 设置周天半径减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。设置黄赤道小弦，用黄赤道大股乘（大股见割圆）为实。黄赤道大弦（半径）为法。实除以法，得黄赤道小股。黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实除以法，得黄道半背弦差。用差减去黄赤道积度，（即黄道半弧背。）余为黄道半弧弦。设置黄赤道半弧弦自乘为股幂，黄赤道小股自乘为句幂，二幂相加，用开平方法除，得赤道小弦。设置黄赤道半弧弦，用周天半径（也为赤道大弦）乘为实，以赤道小弦为法除之，得赤道半弧弦。设置黄赤道小股，（也为赤道横小句）用赤道大弦（即半径）乘为实，以赤道小弦为法除之，得赤道横大句，减去半径，余为赤道横弧矢。横弧矢自乘为实，以全径为法除之，得赤道半背弦差。用差加赤道半弧，得赤道积度。

如黄道半弧背一度，求赤道积度。方法：“设置半径六十度八十七分五十秒，（即黄赤道大弦。）内减黄道矢八十二秒余六十度八六六八，为黄赤道小弦。设置黄赤道小弦，用黄赤道大股五十六度零二六八乘，得三千四百一十度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十度八七五为法，实除以法，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道小股。（又为赤道小句。）设置矢度八十二秒自乘，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道半背弦差。设置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。设置黄道半弧弦一度自乘，得一度为股幂。黄赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幂。二幂相加得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤道小弦。设置黄道半弧弦一度，以半径（即赤道大弦）乘，得六十度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。设置黄赤道小股五十六度零一九二，（又为赤道小句。）以赤道大弦（半径）六十度八七五乘，得三千四百一十度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十度八十六分五十三秒，为赤道横大句。设置半径六十度八十七分五十秒，内减赤道大句六十度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。设置赤道横弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。设置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微以下不加，即用半弧弦为积度。

凡是求得赤道积度一度零八分六十五秒。其余度数各按上述方法，求得各黄道度下的赤道积度，两数相减，即得黄赤道差，乃至后的比率。其分后，用赤道度求黄道，反过来求，其数相同。

▲黄赤道相求弧矢诸率立成上

（表格略）

▲黄赤道相求弧矢诸率立成下

（表格略）

按郭守敬创立五法，其中第一是黄道差，这是其根本比率。旧法用一百一度相减相乘。《授时历》建立方法，用句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，符合浑象原理，比古代精密。但《至元历经》所载简略，又误将黄道矢度作为积差，黄道矢差作为率，现在加以订正。

▲割圆弧矢图

凡是浑圆从中剖开，则成为平圆。任意割取平圆的一部分，成为弧矢形，都有弧背、弧弦、矢。将弧矢形对半剖开，则有半弧背、半弧弦、矢。因弦矢形成句股形，以半弧弦为句，矢减半径的余数为股，半径为弦。句股内形成小句股，则有小句、小股、小弦，而大小可以互相求得，平侧可以互相使用，浑圆的道理，这样就接近精密了。

平的为赤道，斜的为黄道。因二至黄道赤道的距离，产生大句股。因各度黄道赤道的距离，产生小句股。

外面的大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以产生大句股。又各有其相应的黄道半弧弦，以产生小句股。这两者都可以互相求得。

按旧史没有图，但表也是图的一类。现在句股割圆弧矢的方法，实在是历法家测算的根本。没有图就不明白，因此保存其要点数项。

▲黄赤道内外度

计算黄道各度，距离赤道內外以及离北极远近的方法。取半径减去赤道小弦，余数为赤道二弦差。（也叫做黄赤道小弧矢，又叫做内外矢，也叫做股弦差。）取半径内外减去黄道矢度，余数为黄赤道小弦，用二至黄赤道内外半弧弦乘这个数作为被除数，用黄赤道大弦作除数，（即半径。）相除得到黄赤道小弧弦。（也就是黄赤道内外半弧弦，也叫做黄赤道小句。）取黄赤道小弧矢自乘，（即赤道二弦差。）用全径除它，得到半背弦差。用这个差数加上黄赤道小弧弦，得到黄赤道小弧半背，就是黄赤道内外度。取黄赤道内外度，看在盈初缩末限就加，在缩初盈天限就减，都加减象限度，就各自得到太阳离北极的度数。

例如冬至后四十四度，求太阳离赤道内外以及离北极的度数。方法说：“取半径六十度八十七分半，减去黄道四十四度对应的赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，就是黄赤道小弧矢。（即内外矢。）取半径六十度八七五，减去黄道四十四度的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十零分六十八秒，就是黄赤道小弦。取黄赤道小弦，用二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，用黄赤道大弦六十度八七五作除数除，得一十七度二十五分十九秒，就是黄赤道小弧弦。（即内外半弧弦。）取黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用全径一百二十一度七十五分除，得五分二十一秒作为背弦差，用差数加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，就是二至前后四十四度太阳离赤道内外度数。取象限九十一度三十一分四十三秒七五，加内外度一十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至后四十四度太阳离北极的度数。

▲黄道每度去赤道内外及去北极立成

（表格略）

▲白道交周

推算白赤道正交，距离黄赤道正交北极数。方法说：“取实测白道出入黄道内外六度作为半径弧弦，又作为大图弧矢，又作为股弦差。取半径六十度七五自乘，得三千七百零五度七六五六二五，用矢六度除，得六百一十七度六十三分作为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分作为大圆径。按方法求得容阔五度七十分，又作为小句。又用二至出入半弧弦二十三度七十一分作为大句。以大句作除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分（取整）作为度差。用度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，作为容半长。取半径六十度八七五作为大弦，乘小句五度七十分作为被除数，用大句二十三度七十一分作除数除，得一十四度六十三分作为小弦，又作为白赤道正交距黄赤道正交半弧弦。按方法求得半弧背一十四度六十六分，作为白赤道正交距黄赤道正交的极数。