历三

历三

▲大统历法一下(法原)

日月五星平定三差

太阳盈缩平立定三差的来源。

冬至前后盈初缩末限，八十八日九十一刻，取整。分为六段，每段各得十四日八十二刻。(取整。)各段实测太阳运行度数，与平均运行相比较，以此得出累积差值。

累积日数 累积差值

第一段 十四日八二 七千零五十八分零二五

第二段 二十九日六四 一万二千九百七十六分三九二

第三段 四十四日四六 一万七千六百九十三分七四六二

第四段 五十九日二八 二万一千一百四十八分七三二八

第五段 七十四日一零 二万三千二百七十九分九九七

第六段 八十八日九二 二万四千零二十六分一八四

各取其段的累积差值，用该段的累积日数去除，得到各段的日平均差值。取各段的日平均差值，与后段的日平均差值相减，得到一差。取一差，与后段的一差相减，得到二差。

日平均差值 一差 二差

第一段 四百七十六分二五 三十八分四五 一分三八

第二段 四百三十七分八零 三十九分八三 一分三八

第三段 三百九十七分九七 四十一分二一 一分三八

第四段 三百五十六分七六 四十一分五九 一分三八

第五段 三百一十四分一七 四十三分九七

第六段 二百七十分二零

取第一段日平均差值，四百七十六分二十五秒，作为平均积。用第二段二差一分三十八秒，去减第一段一差十八分四十五秒，余下三十七分零七秒，作为平均积差。另取第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，作为平均立积差。用平均积差三十七分零七秒，加入平均积四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，作为定差。

用平均立积差六十九秒，去减平均积差三十七分零七秒，余下三十六分三十八秒作为被除数，以段日十四日八十二刻作为除数去除，得到二分四十六秒作为平差。取平均立积差六十九秒作为被除数，以段日作为除数去除两次，得到三十一微，作为立差。

夏至前后缩初盈末限，九十三日七十一刻，(取整。)分为六段，每段各得十五日六十二刻。(取整。)各段实测太阳运行度数，与平均运行相比较，以此得出累积差值。

累积日数 累积差值

第一段 十五日六二 七千零五十八分九九零四

第二段 三十一日二四 一万二千九百七十八分六五八

第三段 四十六日八六 一万七千六百九十六分六七九

第四段 六十二日四八 二万一千一百五十分七二九六

第五段 七十八日一零 二万三千二百七十八分四八六

第六段 九十三日七二 二万四千零一十七分六二四四

推算日平均差值、一差、二差的方法，与盈初缩末相同。

日平均差值 一差 二差

第一段 四百五十一分九二 三十六分四七 一分三三

第二段 四百一十五分四五 三十七分八零 一分三三

第三段 三百七十七分六五 三十九分一二 一分三三

第四段 三百三十八分五二 四十分四六 一分三三

第五段 二百九十八分零六 四十一分七九

第六段 二百五十六分二七

取第一段日平均差值，四百五十一分九十二秒，作为平均积。用第一段二差一分三十三秒，去减第一段一差三十六分四十七秒，余下三十一分一十四秒，作为平均积差。另取第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，作为平均立积差。用平均积差三十五分一十四秒，加入平均积四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，作为定差。用平均立积差六十六秒五十微，去减平均差三十五分一十四秒，余下三十四分四十七秒五十微作为被除数，以段日十五日六二作为除数去除，得到二分二十一秒，作为平差。取平均立积差六十六秒五十微作为被除数，以段日作为除数，去除两次，得到二十七微，作为立差。

凡是求盈缩，用入历的初末日乘以立差，得到的数加上平差，再用初末日乘一次，得到的数减去定差，余下的数用初末日乘，得到盈缩积。

凡是盈历以八十日九零九二二五为限，缩历以九十三日七一二零二五为限。在其限以下为初，以上则转减去半年周，余数为末。盈初是从冬至后顺推，缩末是从冬至前逆溯，它们距冬至的距离相同，所以它们的盈积相同。缩初是从夏至后顺推，盈末是从夏至前逆溯，它们距夏至的距离相同，所以它们的缩积相同。

(表格略)

▲盈缩招差图说

盈缩招差，本是一个象限的方法。(如盈历则以八十八日九十一刻为象限，缩历则以九十三日七十一刻为象限。)现在只作九限，是举此为例。其中空九行定差的本数，作为被除数。斜线以上平差立差的数，作为除数。斜线以下空格的定差，是余数。假设定差为一万，平差为一百，立差为一。现在求九限法，用九限乘定差得九万作为被除数。另取平差，用九限乘两次，得八千一百。取立差，用九限乘三次，得七百二十九。合并两数得八百二十九作为除数。用除数减被除数，余八万一千一百七十一，为九限积。另一种方法，用九限乘平差得九百，再用九限乘立差两次得八十一，合并两数得九百八十一作为除数，定差一万作为被除数，用除数减被除数，余九千零一十九，即九限末位所写的定差。于是再用九限乘余数，得八万一千一百七十一，为九限积，与前一种方法所得不同。前一种方法是先乘后减，后一种方法是先减后乘，道理是一样的。

按《授时历》对于七政盈缩，都用垛积招差来推算，其巧妙吻合天行，与西人用小轮推步的方法，殊途同归。然而世上所传的《九章》等书，不记载这种方法，《历草》记载了这种方法，却不说明其缘故。宣城梅文鼎为此作了图解，对于平差、立差的道理，垛积的方法，都能阐明其所以然。有专书行于世，不能全部收录，谨慎收录《招差图说》，以说明立法的大意。

盈初缩末 取立差三十一微，乘以六，得到一秒八十六微，作为加分立差。取平差二分四十六秒，加倍，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，作为平立合差。

取定差五百一十三分三十二秒，减去平差二分四十六秒，再减去立差三十一微，余五百一十分八十五秒六十九微，作为加分。

缩初盈末 取立差二十七微，乘以六，得到一秒六十二微，作为加分立差。取平差二分二十一秒，加倍，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，作为平立合差。

取定差四百八十七分零六秒，减去平差二分二十一秒，再减去立差二十七微，余四百八十四分八十四秒七十三微，作为加分。

以上所推算的，都是初日的数。推算次日，都用加分立差，累加平立合差，作为次日的平立合差。用平立合差减去该日的加分，作为次日的加分，盈缩都相同。这些加分累积起来，就是盈缩积，其数都见于立成表。

▲太阴迟疾平立三差之原

太阴转周二十七日五十五刻四六。测量分为四象，每象各七段，四象共二十八段，每段十二限，每象八十四限，共三百三十六限，而四象一周。以四象为除数，除转周日，得每象六日八八八六五，分为七段，每段下实测月亮运行迟疾的数，与平均运行相比较，以求累积差值。

积限 累积差值

第一段 十二 一度二十八分七一二

第二段 二十四 二度四十五分九六一六

第三段 三十六 三度四十八分三七九二

第四段 四十八 四度三十二分五九五二

第五段 六十 四度九十五分二四

第六段 七十二 五度三十二分九四四

第七段 八十四 五度四十二分三三七六

各取其段的累积差值，用该段的积限作为除数去除，得到各段限的平均差值。取各段限的平均差值，与后段相减为一差。取一差，与后段的一差相减为二差。

限平均差值 一差 二差

第一段 十分七二六零 四十七秒七六 九秒三六

第二段 十分二四八四 五十七秒一二 九秒三六

第三段 九分六七七二 六十六秒四八 九秒三六

第四段 九分零一二四 七十五秒八四 九秒三六

第五段 八分二五四零 八十五秒二零 九秒三六

第六段 七分四零二零 九十四秒五六

第七段 六分四五六四

取第一段限平均差值十分七二六作为平均积。取第一段一差四十七秒七六，用第一段二差九秒三六减去，余三十八秒四十微，作为平均积差。另取第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，作为平均立积差。用平均积差三十八秒四十微，加平均积十分七二六，得十一分十一秒，作为定差。取平均积差三十八秒四十微，用平均立积差四秒六十八微减去，余三十三秒七十二微作为被除数，以十二限作为除数去除，得二秒八十一微，作为平差。取平均立积差四秒六十八微作为被除数，十二限作为除数，去除两次，得三微二十五纤，作为立差。

凡是求迟疾，都用入历日乘以十二限二十分，以在八十四限以下为初，以上则转减一百六十八限余数为末。各用初末限乘以立差，得到的数加上平差，再用初末限乘一次，得到的数减去定差，余数用初末限乘，得到迟疾积。其初限是从最迟最疾处顺推到后，末限是从最迟最疾处逆溯到前，它们距最迟最疾处的距离相同，所以它们的积度相同。(太阴与太阳立法相同，但太阳以定气立限，所以盈缩数不同。太阴以平均运行立限，所以迟疾来源相同。)

布立成法

设置立差三微二十五纤，乘以六，得十九微五十纤，作为损益立差。设置平差二秒八十一微，乘以二，得五秒六十二微，再加上损益立差十九微五十纤，共得五秒八十一微，作为初限平立合差。从此用损益立差，逐步累加，即得每限平立合差。到八十限以下，累计到二十一秒四一五，作为平立合差的极值。八十一限以下差为一秒七八零九，八十二限以下差为一秒七八零八，到八十三限以下，平立合差与益分中分，作为益分的终点。八十四限以下差，也与损分中分，作为损分的起点。到八十六限以下差，也是二十一秒四一五，从此用损益立差逐步累减，即得每限平立合差，到末限与初限相同。设置定差十一分十一秒，减去平差二秒八十一微，再减立差三微二十五纤，余十一分零八秒十五微七十五纤作为加分定差，即初限损益分。设置损益分，根据其限的平立合差，益分则减、损分则加。即为次限损益分。用益分累加，损分累减，便成为其下的迟疾度。以八百二十分作为一限日率，累加八百二十分作为每限日率。（以上都详述于立成。）

五星平立定三差的来源

凡是五星，各根据实测，将其运行度数分为八段，以求积差，大致如同日月的方法。

木星（立差加，平差减。）

积日 积差

第一段 十一日五十刻 一度二一五二九七一一二

第二段 二十三日 二度三四零五二一四

第三段 三十四日五十刻 三度三五四一三七二六五

第四段 四十六日 四度二三四六零九一二

第五段 五十七日五十刻 四度九六零四零一三七五

第六段 六十九日 五度五零九九七八四四

第七段 八十零日五十刻 五度八六一八零四七二五

第八段 九十二日 五度九九四三四四六四

凡平差 凡平较 凡立较

第一段 一十分五六七八零一 三十九秒一六二一 六秒二四二二

第二段 一十分一七六一八 四十五秒四零四三 六秒二四二二

第三段 九分七二二一三七 五十一秒六四六五 六秒二四二二

第四段 九分二零五六七二 五十七秒八八八七 六秒二四二二

第五段 八分六二六七八五 六十四秒一三零九 六秒二四二二

第六段 七分九八五四七六 七十零秒三七二一 六秒二四二二

第七段 七分二八一七四五 七十六秒六一五三

第八段 六分五一五五九二

各取其段所测积差度作为实，以段日作为法除之，得凡平差。各以凡平差与次段凡平差比较，得凡平较。又以凡平较与次段凡平较比较，得凡立较。设置第一段凡平较三十九秒一六二一，减去其下的凡立较六秒二四二二，余三十二秒九一九九，作为初段平立较。加上初段凡平差一十分五六七八零一，共得一十分八十九秒七十微，作为定差。秒取万位。设置初段平立较差三十二秒九一九九，减去凡立较的一半三秒一二一一，余二十九秒七九八八，用段日十一日五十刻除它，得二秒五十九微十二纤作为平差。设置凡立差的一半三秒一二一一，用段日作为法除两次，得二微三十六纤作为立差。

以上为木星平立定三差的来源。

火星盈初缩末（立差减，平差减。）

积日

第一段 七日六十二刻五十分

第二段 十五日二十五刻

第三段 二十二日八十七刻五十分

第四段 三十零日五十零刻

第五段 三十八日一十二刻五十分

第六段 四十五日七十五刻

第七段 五十三日三十七刻五十分

第八段 六十一日

积差

第一段 六度二六八二五一二二八一八五五九三七五

第二段 十一度六零零一七五七四三五九三七五

第三段 十六度零二五九六三七九二五一九五三一二五

第四段 十九度六六九零一三六二一二五

第五段 二十二度二七九八九一四七六零七四二一八七五

第六段 二十四度一六八二二八六零三二八一二五

第七段 二十五度三三一五五六二四九二六零一五六二五

第八段 二十五度六一九五一五六六

凡平差

第一段 八十二分零六五七三四八四三七五

第二段 七十六分零六六七二六一六七五

第三段 七十零分零五八八五八一零九三七五

第四段 六十四分一八二九六九二五

第五段 五十八分四三九零五九六零九三七五

第六段 五十二分八二七一二九一八七五

第七段 四十七分三四七一七七九八四三七五

第八段 四十一分九九九二零六

凡平较

第一段 六分一三九八四七二九六八七五

第二段 六分零零七八六八零七八一二五

第三段 五分八七五八八八八五九三七五

第四段 五分七四三九零九六四零六二五

第五段 五分六一一九三零四二一八七五

第六段 五分四七九九五一二零三一二五

第七段 五分三四七九七一九八四三七五

凡立较

第一段 十三秒一九七九二一八七五

第二段 十三秒一九七九二一八七五

第三段 十三秒一九七九二一八七五

第四段 十三秒一九七九二一八七五

第五段 十三秒一九七九二一八七五

第六段 十三秒一九七九二一八七五

凡平较前多后少，应加凡立较。设置初段下的凡平较六分一三九八四七二九六八七五，加凡立较十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二五，作为初日下的平立较。设置初段凡平差八十二分二十零秒六五七三四八四三七五，加初日下的平立较六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，作为定差。设置初日下的平立较六分二七一八二六五一五六二五，加凡立较的一半六秒五九八九六零九三七五，得六分三三七八一六一二五作为实，用段日除它，得八十三秒十一微八十九纤作为平差。设置凡立较的一半六秒五九八九六零九三七五，用段日七日六十二刻五十分作为法除两次，得十一微三十五纤作为立差。

火星缩初盈末（平差负减，立差减。）

积日

第一段 十五日二十五刻

第二段 三十零日五十刻

第三段 四十五日七十五刻

第四段 六十一日

第五段 七十六日二十五刻

第六段 九十一日五十刻

第七段 一百零六日七十五刻

第八段 一百二十二日

积差

第一段 四度五三一二五一八五七九六八七五

第二段 九度一零二九六一四五一二五

第三段 十三度五三一六七零九零一七七三七五

第四段 十七度四七八九七九零四

第五段 二十零度八四三六六三零六六四零六二五

第六段 二十三度四三一三三六二四一二五

第七段 二十五度零九二四三五二八三四六八七五

第八段 二十五度六一八三七四七二

凡平差

第一段 二十九分七一三一二六九三七五

第二段 二十九分八四五七七五二五

第三段 二十九分五七八三五五零六二五

第四段 二十八分六五四零六四

第五段 二十七分三三三九五一五六二五

第六段 二十五分六一八零一七七五

第七段 二十三分五零六二六二五六二五

第八段 二十零分九九八六八六

凡平较 凡立较

第一段 十三秒二六四八三一二五 十三秒五七六九七七五

第二段 二十六秒八四一八零八七五 六十五秒五八七二九七五

第三段 九十二秒四二九一零六二五 三十九秒五八二一三七五

第四段 一分三二零一一二四三七五 三十九秒五八二一三七五

第五段 一分七一五九三三八一二五 三十九秒五八二一三七五

第六段 二分一一一七五五一八七五 三十九秒五八二一三七五

第七段 二分五零七五七六二五

取凡立较中相等的，三十九秒五八二一三七五，用它比较一段下的凡平较十三秒二六四八三一二五，余二十六秒三一七三零六二五作为较较，用它加一段下的凡平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，作为定差。设置较较二十六秒三一七三零六二五，用段日十五日二十五刻除它，得一秒七二五七二五。再设置凡立较的一半十九秒七九一零六八七五，用段日除它，得一秒二九七七七五。两数相加得三秒零二微三十五纤作为平差。设置凡立较的一半十九秒七九一零六八七五，用段日十五日二五作为法除两次，得八微五十一纤，作为立差。

以上为火星平立定三差的来源。

▲土星盈历（立差加，平差减。）

积日 积差

第一段 十一日五十刻 一度六八三二四五八二八七五

第二段 二十三日 三度二三二一六四零一

第三段 三十四日五十刻 四度六二零九三零零八六二五

第四段 四十六日 五度八二三七一九六

第五段 五十七日五十刻 六度八一四七零八六六八七五

第六段 六十九日 七度五六八零七一一一

第七段 八十零日五十刻 八度零五七九八四一九一二五

第八段 九十二日 八度二五八六二二八八

凡平差 凡平较 凡立较第一段 一十四分六三六九二零二五 五十八秒四零三三二五 七秒四八五三五第二段 一十四分零五二八八七 六十五秒八八八六七五 七秒四八五三五第三段 一十三分三九四零零零二五 七十三秒三七四零二五 七秒四八五三五第四段 一十二分六六零二六 八十零秒八五九三七五 七秒四八五三五第五段 一十一分八五一六六六二五 八十八秒三四四七二五 七秒四八五三五第六段 一十一分九六八二一九 九十五秒八三零零七五 七秒四八五三五第七段 一十零分零零九九一八二五 一分零三秒三一五四二五第八段 八分九七六七六四

取第一段下的凡平较，减去它下面的凡立较，余下五十零秒九一七九七五，作为平立较。用平立较加上本段的凡平差，得到一十五分一十四秒六十一微，作为定差。取平立较，减去凡立较的一半，即三秒七四二六七五，余下四十七秒一七五三，用段日十一日五十刻去除，得到四秒一十零微二十二纤，作为平差。取凡立较的一半，用段日去除两次，得到二微八十三纤，作为立差。

▲土星缩历 (立差加，平差减。)

积日 积差

第一段 一十一日五十刻 一度二四一九七四二六八七五

第二段 二十三日 二度四一三七三五六九

第三段 三十四日五十刻 三度四八五零七九六八六二五

第四段 四十六日 四度四二五八零一六八

第五段 五十七日五十刻 五度二零五六九七零九三七五

第六段 六十九日 五度七九四五六一三五

第七段 八十零日五十刻 六度一六二四一一零零四七五

第八段 九十二日 六度二七八三七八零八

凡平差 凡平较 凡立较第一段 一十分七九九七七六二五 三十零秒五二七三二五 八秒七五四九五第二段 一十分四九四五零三 三十九秒二八二二七五 八秒七五四九五第三段 一十分一零一六八零二五 四十八秒零三七二二五 八秒七五四九五第四段 九分六二一三零八 五十六秒七九二一七五 八秒七五四九五第五段 九分零五三三八六二五 六十五秒五四七一二五 八秒七五四九五第六段 八分三九七九一五 七十四秒三零三零七五 八秒七五四九五第七段 七分六五四八九四二五 八十三秒零五七零七五第八段 六分八二四三二四

取第一段的凡平较，减去它下面的凡立较，余下二十一秒七七二三七五，作为平立较。用平立较加上本段的凡平差，得到一十一分零一秒七十五微，作为定差。取平立较，减去凡立较的一半，即四秒三七七四七五，余下一十七秒三九四九，用段日一十一日五十刻作为除数去除，得到一秒五十一微二十六纤，作为平差。取凡立较的一半，用段日作为除数去除两次，得到三微三十一纤，作为立差。

以上是土星平定三差的来源。

金星 (立差加，平差减。)

积日 积差

第一段 一十一日五十刻 空度四零二一三四零九八七五

第二段 二十三日 空度七九一三九三六六

第三段 三十四日五十刻 一度一五四九一二零八一二五

第四段 四十六日 一度七四九八二二七六

第五段 五十七日五十刻 一度七五三二五九零九三七五

第六段 六十九日 一度九六二三五五四八

第七段 八十零日五十刻 二度零九四二四二三一六二五

第八段 九十二日 二度一三六零五六

凡平差 凡平较 凡立较第一段 三分四九六八一八二五 五秒五九七六二五 三秒七二九四五第二段 三分四四零八四二零零 九秒三二七零七五 三秒七二九四五第三段 三分三四七五七一二五 一十三秒零六五五二五 三秒七二九四五第四段 三分二一七零零六 一十六秒七八五九七五 三秒七二九四五第五段 三分零四九一四六二五 二十零秒五一五四二五 三秒七二九四五第六段 二分八四三九九二 二十四秒二四四八七五 三秒七二九四五第七段 二分六零一五四三二五 二十七秒九七四三二五第八段 二分三二一八

取第一段下的凡平较，与它的凡立较相减，余下一秒八六一七五作为平立较，加上凡平差，得到三分五十一秒五十五微，作为定差。取平立较，与凡立较的一半，即一秒八六四七二五相减，余下三十四纤，用段日一十一日五十刻作为除数去除，得到三纤，作为平差。取凡立较的一半，用段日作为除数去除两次，得到一微四十一纤，作为立差。

以上是金星平立定三差的来源。

▲水星 (立差加，平差减。)

积日 积差

第一段 一十一日五十刻 空度四四零八四七三五三七五

第二段 二十三日 空度八六三一零一六八

第三段 三十四日五十刻 一度二五三八九六三七六二五

第四段 四十六日 一度六零零三六四八四

第五段 五十七日五十刻 一度八八九六三一零四三七五

第六段 六十九日 二度一零八八六六六

第七段 八十零日五十刻 二度二四五二九二一一三七五

第八段 九十二日 二度二八五六四四三二

凡平差 凡平较 凡立较

第一段 三分八三三四五五二五 八秒零八三九二五 三秒七二九四五

第二段 三分七五二六一六 一十一秒八一三三七五 三秒七二九四五

第三段 三分六三四四八二二五 一十五秒五四二八二五 三秒七二九四五

第四段 三分四七九零五四 一十九秒二七二二七五 三秒七二九四五

第五段 三分二八六三三一二五 二十三秒零零一七二五 三秒七二九四五

第六段 三分零五六三一四 二十六秒七三二一七五 三秒七二九四五

第七段 二分七八九零零二二五 三十零秒四六零六二五

第八段 二分四八四三九六

计算方法与金星相同，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纤，立差一微四十一纤。

以上是水星平立定三差的来源。

在五星中，都以立差作为秒，平差作为本，定差作为总。五星各按段次乘以秒，木星、土星、金星、水星四星都加上本，只有火星减去本，各用积日相乘而积，五星都加上总，又各用积日乘之，得到各实测的度数分。

五星的积日，都以度率为本，除以周日得到三百六十五度二十五分太。各以四分之一作为象限，只有火星用象限的三分之一，减去象限作为盈初缩末限，加上象限作为缩初盈末限。其中将度命名为日的，是为了各取盈缩历乘除的方便，其实积日的数值，就是积度。

▲里差刻漏

求二至差股及出入差。方法：放置所测北极出地四十度九十五分作为半弧背，用前面的割圆弧矢法，推算出地半弧弦三十九度二十六分，作为大三斜中股。放置测到的二至黄赤道内外度二十三度九十分作为半弧背，用前面的方法推得内外半弧弦二十三度七十一分。又作为黄赤道大句，又作为小三斜弦。放置内外半弧弦自乘作为句幂，半径自乘作为弦幂，两个幂相减，开方得到股，用股转减半径，余下四度八十一分作为二至出入矢，即黄赤道内外矢。夏至日，南至地平七十四度二十六分半作为半弧背，求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。半径六十零度八十七分半，作为大三斜中弦。放置大三斜中股三十九度二十六分，用二至内外半弧弦二十三度七十一分乘之作为实，用半径六十零度八十七分半作为法除之，得到一十五度二十九分，作为小三斜中股又作为小股。放置小三斜中股一十五度二十九分，减去日下至地半弧弦五十八度中十一分，余下四十三度一十六分，作为大股。用出入矢四度八十一分，减去半径六十零度八十七分半，余下五十六度零六分半，作为大股弦。放置大股弦，用小股一十五度二九乘之作为实，大股四十三度一六作为法除之，得到一十九度八十七分作为小弦，就是二至出入差半弧弦。放置二至出入差半弧弦，依法求得二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。放置二至出入差半弧背一十九度九十六一四秒，放置二至出入半弧背一十九度九六一四，用二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分除之，得到八十四分一十九秒，作为度差分。

求黄道每度昼夜刻。方法：放置所求每度黄赤道内外半弧弦，用二至出入差半弧背乘之作为实，二至黄赤道内外半弧弦作为法除之，得到每度出入差半弧背。(另一种方法：放置黄赤道内外半弧弦，用度差八十四分一十九秒乘之，也得到出入差半弧背。放置半径内减去黄赤道内外矢，即赤道二弦差，见前面条目的立成。)余数加倍，又乘以三，所得数加一度，作为日行百刻度。(另一种方法：用黄赤道内外矢加倍，减去全径余数，乘以三加一度，作为日行百刻度，也相同。)放置每度出入半弧背，用百刻乘之作为实，日行百刻作为法除之，得到出入差刻。放置二十五刻，用出入差刻看黄道，在赤道内则加上，在赤道外则减去，得到半昼刻，加倍得到昼刻，用百刻减去，得到夜刻。

求冬至后四十四度昼刻的计算方法：将冬至后四十四度黄赤道内外半弧一十七度二十五分六十九秒（这也是黄赤道小弧弦，从前面的立成表中取得）与二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒相乘作为被除数，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分为除数，得到一十四度五十二分八十五秒，即为出入半弧背。（另一种方法：将黄赤道内外半弧弦一十七度二五六九与度差零度八四一九相乘，同样得到一十四度五二八五，作为出入半弧背。）将半径六十度八七五减去四十四度黄赤道内外矢二度五十一分八十一秒（这也是赤道二弦差，从前面的立成表中取得），剩余五十八度三十五分六十九秒（即赤道小弦），将其加倍得到一百一十六度七十一分三十八秒，再乘以三并加一度，得到三百五十一度一十四分一十四秒，即为日行百刻度。（另一种方法：将黄赤道内外矢加倍得到五度零三分六十二秒，用全径一百二十一度七十五分减去它，同样得到一百一十六度七十一分三十八秒，再乘以三加一度，得到日行百刻度，结果相同。）将出入半弧背一十四度五十二分八十五秒与百刻相乘作为被除数，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒为除数，得到四刻一十三分七十五秒，即为出入差刻。将二十五刻减去出入差刻四刻一十三分七十五秒（因为冬至后四十四度时，黄道在赤道外，所以减去），剩余二十刻八十六分二十五秒，即为半昼刻。将其加倍得到四十一刻七十二分半，即为昼刻。用百刻减去昼刻，剩余五十八刻二十七分半，即为夜刻。（另一种方法：将出入差刻四刻一十三分七十五秒加倍，得到八刻二十七分半，用春秋分昼夜五十刻减去它，得到四十一刻七十二分半，作为昼刻。将加倍后的八刻二十七分半加五十刻，得到五十八刻二十七分半，作为夜刻。昼刻减少则夜刻增加，其余情况以此类推。）

（表格略）

以上《历草》所记载的昼夜刻分，是依据大都即燕京的日晷漏刻测定的。夏季白昼和冬季黑夜最长，为六十一刻八十四分；冬季白昼和夏季黑夜最短，为三十八刻一十六分。明朝迁都到燕京后，不知沿用此标准。只有正统己巳年（1449年）经奏准颁历使用六十一刻，但遭到众人非议。景泰初年仍恢复使用南京的晷刻，整个明朝时期都未能改正。