卷二十一时宪二

推步算术

推步新法所用的，有平面三角形、球面三角形、椭圆形。现在概括其主要内容，验证立法的原理，检验所用数值的实际情况，汇总为十六种方法，写在篇中。

平面三角形，是由三条直线相交而成的。这些直线称为边，两条线之间的空处称为角。有直角，占整个圆的四分之一，比如甲乙丙形的甲角。有锐角，不足四分之一，比如乙、丙两角。有钝角，超过四分之一，比如丁戊己形的戊角。图形暂无资料

角的度数无论多少，都有与之相应的八种线。分别是正弦、正矢、正割、正切，以及所有角度与九十度相减所得余角的四种线。比如甲乙是本角，那么丙乙就是余角。正弦是乙戊，正矢是甲戊，正割是庚丁，正切是庚甲，余弦是乙己，余矢是丙己，余割是辛丁，余切是辛丙。如果壬癸是本角，那么丑癸就是余角，正弦是癸辰，正矢是壬辰，余弦是癸卯，余矢是丑卯，余割是子寅，余切是丑寅。因为壬癸超过九十度，没有正割、正切，借癸午的子未作为正割，午未作为正切。如果正九十度丑壬是本角，就没有余角，丑子半径作为正弦，壬子半径作为正矢，也没有正割、正切，也没有余弦、余矢、余割、余切。

古代规定整个圆周为三百六十度，四分之一称为一象限，为九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圆半径为十万，后来改为千万。逐度逐分求出其八种线，全部列在表中。推算三角时，在九十度以内，想用某度某线，就从表中取用，算出某线。想知道某度，就从表中对应查找。超过九十度的，想用正弦、正割、正切以及四种余线，就用该度与半周相减取余，从表中取用。想用正矢，取余弦加半径得到。求得某线后，想知道某度，就从表中对应查找得到该度与半周相减的余数来命名。

图形暂无资料

推算平面三角形共有五种方法：

第一种是对边求对角，以已知边为第一项，对角的正弦为第二项，另一条已知边为第三项，第二、第三项相乘，除以第一项，求得第四项，就是未知对角的正弦。如图中甲乙是已知边，丁角是已知对角，乙丁是另一条已知边，甲角是未知对角。这个道理是两次比例合并为一次。如图中乙丁是半径的比例，乙丙是丁角正弦的比例。方法是先以半径为第一项，丁角正弦为第二项，乙丁为第三项，求得第四项是中垂线乙丙。得到乙丙后，甲乙是半径的比例，乙丙是甲角正弦的比例。于是以甲乙为第一项，乙丙为第二项，半径为第三项，求得第四项，自然就是甲角的正弦。然后合并计算，用前面的第一项半径与后面的第一项甲乙相乘作为共同的第一项，前面的第二项丁角正弦与后面的第二项乙丙相乘作为共同的第二项，前面的第三项乙丁与后面的第三项半径相乘作为共同的第三项，求得第四项，自然是前面的第四项乙丙与后面的第四项甲角正弦的乘积，仍然应当除以乙丙，才能得到甲角的正弦。既然后面应当除，不如前面不乘。共同的第二项中的乙丙是与第三项相乘的，乘除相抵消，乙丙应当省去。同时共同的第三项中的半径是与第二项相乘的，共同的第一项中的半径又负责除，乘除相抵消，半径也应当省去。所以直接以甲乙为第一项，丁角正弦为第二项，乙丁为第三项，求得第四项，就是甲角的正弦。

第二种是对角求对边，以已知角的正弦为第一项，对边为第二项，另一个已知角的正弦为第三项，求得第四项，就是未知的对边。这个道理由对边求对角反过来看自然明白。

第三种是两边夹一角求未知的两个角，以已知角旁的两边相加为第一项，相减的余数为第二项，已知角与半周相减，余数为外角，取其一半，用它的正切为第三项，求得第四项，就是半较角的正切。对照表得到度数，与半外角相加，是对已知角旁较大边的角；相减，余数是对已知角旁较小边的角。这个道理之一在于平面三角形。三个角相加，必定共成半周。如图甲乙丙形，中垂线甲丁，分为两个直角三角形。直角是长方形的一半，长方形四个角都是正九十度，直角三角形的两个锐角斜切长方形，这个角超过九十度的一半多少，那个角不足九十度的一半也多少，一条线径直穿过，趋势如此。所以甲右边的分角必定与乙角合为九十度，甲左边的分角必定与丙角合为九十度。就直角三角形各加丁角，都成半周，合起来成为锐角三角形。除去丁角，三个角合起来自然也是半周。所以已知一角之外，其余两个角虽然不知道各是多少度分，但必定知道它们之和是此角减去半周的余数。另一个道理在于相似三角形的比例。如图丙庚戊形，已知丙庚、丙戊两边及丙角。延长丙庚到丙甲，连接丙戊到甲戊，两边相加。在丙戊上截取丙丁等于戊丁，两边相减得余。画庚丁虚线，丙庚、丙丁长度相同，庚丁朝向圆内的两个角必定度数相同，它们都是丙角的半外角，与甲辛、辛庚的度数相等。而庚朝向圆外的角，就是本形庚角大于戊角的一半，称为半外角。以庚丁为半径的比例，那么甲庚就是丁半外角正切的比例。半径与正切恒为直角，甲庚与庚丁在圆内作两条通弦，也没有不成直角的缘故。又画丁己线，与甲庚平行，庚丁仍然是半径的比例，丁己又是庚朝向圆外的半较角正切的比例。而戊甲庚大形与戊丁己小形，戊甲、戊丁既然在一条线上，甲庚、丁己又平行，自然相似。所以甲戊两边相加为第一项，戊丁两边相减的余数为第二项，甲庚半外角正切为第三项，求得第四项，自然应当是丁己半较角的正切。

第四种是两角夹一边求未知的一角，以已知两角相加，与半周相减，余数即是。这个道理包含在两边夹一角中。

第五种是三边求角，以大边为底，中、小两边相加和相减，两数相乘，除以大边，所得数与大边相加折半为分底大边，相减的余数折半为分底小边。于是以中边为第一项，分底大边为第二项，半径为第三项，求得第四项，是对小边角的余弦。或者以小边为第一项，分底小边为第二项，半径为第三项，求得第四项，是对中边角的余弦。这个道理在于勾股弦幂的互求以及两方幂的比较。如图甲丙中边、甲乙小边都是弦，乙丙大边由丁点分割，丁丙、丁乙都是勾，中垂线甲丁为股。勾股幂相加恒等于弦幂，现在甲丁股是两形共同的，所以甲丙大弦幂多于甲乙小弦幂，就等于丙丁大勾幂多于乙丁小勾幂。又两方幂相比较，恒等于两方根和与较相乘之数。如图戊寅壬庚为大方幂，减去己卯辛庚小方幂，余下戊己卯辛壬寅曲矩形。移动卯癸壬辛为癸寅丑子，成为一个直长方形，其长戊丑，自然是大方根戊寅与小方根卯辛之和；其阔戊己，自然是大方根戊庚与小方根己庚之差。所以甲乙丙形，甲丙、甲乙相加为和，相减为较。两数相乘，就如同丙丁、丁乙和较相乘之数。除以丙乙，自然得到其较。丙午相加相减各折半，自然得到丙丁及乙丁。得到丙丁、乙丁后，各以丙甲、乙甲为半径的比例，丙丁、乙丁自然就是余弦的比例了。

这五种方法，有四种不需要计算，一种不可计算。对边求对角时，如果已知两边相等，那么所求角与已知角必定相等。对角求对边时，如果已知两角相等，那么所求边与已知边必定相等。两边夹一角时，如果已知两边相等，那么所求两个角正好是已知外角的一半。三边求角时，如果两边相等，就取不等边的一半为底边；如果三边相等，就平分半周，三个角都是六十度，这些都不需要计算。如果对边求对角时，已知一边数值小，且已知对角是锐角；另一已知边数值大，要求所对的角，不能知道它是锐角还是钝角，这就不可计算了。各种题目中求边角尚未完备的，互相参照可得。

球面三角形，是由三个大圆弧相交而成的，其边也以度数计算。九十度为足，小于九十度为小，大于九十度为大。其角有锐角、钝角、直角，与平面三角形相同。计算方法有七种：

第一种是对边求对角，以已知边的正弦为第一项，对角的正弦为第二项，另一已知边的正弦为第三项，求得第四项，就是所求对角的正弦。这个道理也是两次比例合并为一次。如图甲乙丙形，已知甲乙、丙乙两边及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半径与丙角正弦之比，等于乙丙正弦与乙辛正弦之比。方法是先以半径为第一项，丙角正弦为第二项，乙丙正弦为第三项，求得第四项，是乙辛的正弦。得到乙辛正弦后，甲乙正弦与乙辛正弦之比，等于半径与甲角正弦之比。于是以甲乙正弦为第一项，乙辛正弦为第二项，半径为第三项，求得第四项，是甲角的正弦。但乘除相抵消，可以省去。

第二种是对角求对边，以已知角的正弦为第一项，对边的正弦为第二项，另一个已知角的正弦为第三项，求得第四项，就是所求对边的正弦。这个道理反过来看自然明白。

第三种是两边夹一角，角或锐或钝，求未知的一边。以半径为第一项，已知角的余弦为第二项，任意以一条已知边的正切为第三项，求得第四项，命名为正切。对照表得到度数，与另一条已知边相减，余数为分边。然后用之前得到度数的余弦为第一项，先用的边的余弦为第二项，分边的余弦为第三项，求得第四项，就是未知边的余弦。如果原角是钝角，分边大时，此边小；分边小时，此边大。如果原角是锐角，分边小时，此边小；分边大时，此边大。这个道理是三次比例合并为二次。如图甲丙丁形，已知甲丙、甲丁两边及甲角，中间作垂弧丙乙，半径与甲角余弦之比，等于甲丙正切与甲乙正切之比。先算一次容易明白。将甲丁分成甲乙和乙丁，得到丁乙分边后，甲乙余弦与半径之比，等于甲丙余弦与丙乙余弦之比。方法是先以甲乙余弦为第一项，半径为第二项，甲丙余弦为第三项，求得第四项，是丙乙的余弦。得到丙乙余弦后，半径与乙丁余弦之比，等于丙乙余弦与丁丙余弦之比。于是以半径为第一项，乙丁余弦为第二项，丙乙余弦为第三项，求得第四项，是丁丙的余弦。但乘除相抵消，所以从简。如果两边夹的角是直角，那么直接以已知两边余弦相乘除以半径，就得到未知边的余弦，道理自然明白。如果已知两边都大或都小，则此边小；如果已知一边大一边小，则此边大。

第四种是两角夹一边，求未知的一角。以角为边，以边为角，反过来求；得到度数后，再反过来取用；求与取都跟半周相减。

第五种情况：已知两边和它们所对的两角，求未知的边。用半径作为第一率，任意一个已知角的余弦作为第二率，这个已知角所对边的正切作为第三率，求出第四率，命名为正切，查表得到角度。再用另一个已知角和它的对边同样方法计算，又得到一个角度。看原来已知的两个角是锐角还是钝角，如果相同，就把两个得到的角度相加；如果不同，就把它们相减；然后都通过加减得到未知的边。接着按照第一种方法（对边求对角），就能得到未知的角。如果原来另一个角是钝角，那么先用角所对的边大于后得到的角度，这个角就是钝角；先用角所对的边小于后得到的角度，这个角就是锐角。如果原来另一个角是锐角，那么先用角所对的边小于后得到的角度，这个角就是钝角；先用角所对的边大于后得到的角度，这个角就是锐角。这是因为垂弧在三角形内部和外部的情况不同，以及角分锐钝、边有大小，前后左右俯仰向背的对应关系。如图三角形甲乙丙，甲角和乙角都是锐角，两个锐角相对，所以垂弧丙丁从中间取正，落在三角形内部。三角形己丙庚，己角和庚角都是钝角，两个钝角相对，所以垂弧戊丙也在三角形内部。三角形庚丙乙，庚角和乙角一个锐角一个钝角相对，垂弧丙丁从外部补正，自然在三角形外部。在三角形内部时，垂弧将底边分成两段，两段边的度数如乙丁、丁甲，合起来就是一个底边如乙甲，所以应该相加。在三角形外部时，延长底边的剩余部分，两段边的度数如庚丁、乙丁，重叠而不掩盖，底边如庚乙，所以应该相减。锐角钝角与大小的对应关系，也如右图仔细察看。如果已知两边和它们所对的两角中有一个直角，那么一次得到的度数就是未知的边，道理自然明白。

第六种情况：已知三边求角，用所求角两边的正弦相乘作为第一率，半径自乘作为第二率，两边相减的差作为较弧，取其正矢与对边的正矢相减的差作为第三率，求出第四率，就是所求角的正矢。这个道理是把两次比例合并为一次。如图三角形甲壬乙，求甲角，它的正矢是丑丁。方法应当用甲、乙边的正弦乙丙作为第一率，半径乙己作为第二率，两边较弧的正矢乙癸与对边正矢乙卯相减的差癸卯（等于辛子）作为第三率，求出第四率是壬辛。然后用甲壬边的正弦戊辛作为第一率，壬辛作为第二率，半径己丁作为第三率，求出第四率是丑丁。甲角的正矢也通过乘除互相抵消，所以可以省略步骤。

第七种情况：已知三个角（或锐或钝）求边，把角当作边，反过来求它的角；得到角之后，再取为边；求与取都要和半周相减。这个道理在于次形，如图三角形甲乙丙，甲角的度数是丁戊，与半周相减得到戊己，它的度数必定等于次形子辛午中的子辛边。因为丑卯是乙角在丑点的交角，甲乙弧必定是正角；丁戊是甲角在戊点的交角，甲乙弧也必定是正角。由同一个甲乙弧交于丑辛、戊辛两条弧都成直角，那么这两条弧必定都是90度，弧三角的情况就是这样。戊辛既然是90度，子己也是90度，去掉重叠的戊子，己戊自然等于子辛，于是庚癸必定等于子午，卯未必等于午辛，道理都是这样。而这个三角形的其余角既然是那个三角形的边，那个三角形的其余角也不得不成为这个三角形的边，所以反过来取就得到了。如果三个角中有一个直角，除了直角外，用其中一个角的正弦作为第一率，另一个角的余弦作为第二率，半径作为第三率，求出第四率，就是另一个角所对边的余弦。这个道理也在于次形，以直角和一个角作为次形的角，以另一个角加减象限作为次形对角边，取象稍有不同。

以上七种方法，只有在边角互求时，有锐钝、大小不能确定的情况，但推算中没有这样的题目，不全部列出。这七题中求边角有未完备的，互相参照可以得到。

椭圆形，是两端直径长、两腰直径短的圆形面。但必须符合规整的形状，才能用来推算。作图的方法：任意取两点作为圆心，一点作为界线，各用一根钉子钉住，用丝线围住，末端用铅笔代替界线。拉着钉子旋转，就形成椭圆形。如图甲、己、午三点，按这种方法作图，得到丑午巳未椭圆，寅丑、寅巳是大半径，寅午、寅未是小半径，寅甲是两心差，己甲是两倍两心差。甲午的长度如同寅巳，也等于寅丑，己午也是这样；这两个数相加，恒等于丑巳。让午针引到申，甲申、申己长短虽然不同，但总和不变。甲午等于大半径的数作为弦，两心差作为勾，小半径作为股，只要知道两个数，就可以用勾股术得到未知的一个数。如果求面积，用平方米率400000000作为第一率，平圆面率314159265作为第二率，大小直径相乘得到的长方面作为第三率，求出第四率就是椭圆面积。如果求中率半径，把大小半径相乘，再开平方就得到。然而从甲心出发的线，离开丑向右旋转，如图到戌，甲丑和甲戌之间，有被切割的面积，也有对应的角度。

角度和面积互求，有四种方法：

第一种方法：用角度求面积。以半径作为第一率，已知角的正弦作为第二率，两倍两心差作为第三率，求出第四率就是两倍两心差端点的垂线，如己酉。又以半径作为第一率，已知角的余弦作为第二率，两倍两心差作为第三率，求出第四率就是界度积线，引出的线如甲酉。将两倍两心差端点的垂线作为勾，自乘。用引出的线与甲戌、己戌的和（等于巳丑大径）相加，作为股弦和，相除得到差。和与差相加折半得到己戌弦，与大径相减得到甲戌线。又以半径作为第一率，已知角的正弦作为第二率，甲戌线作为第三率，求出第四率是戌亥边。又以小径作为第一率，大径作为第二率，戌亥边作为第三率，求出第四率是辰亥边。又以大半径寅辰（等于寅丑）作为第一率，半径作为第二率，辰亥边作为第三率，求出第四率是正弦，查表得到角度。又以半周天180度化为秒作为第一率，半圆周率31415926作为第二率，所得角度化为秒作为第三率，求出第四率是比例弧线。又以半径作为第一率，大半径作为第二率，比例弧线作为第三率，求出第四率是辰丑弧线，与大半径相乘折半，得到寅辰丑分平圆面积。又以大半径作为第一率，小半径作为第二率，分平圆面积作为第三率，求出第四率是寅戌丑分椭圆面积。然后用寅甲两心差与戌亥边相乘折半，与寅戌丑相减，得到甲戌、甲丑之间被切割的面积。这个道理源于本图以及平面三角、球面三角，方法非常精密。

第二种方法：用面积求角度。用两心差减去大半径，得到甲丑线自乘作为第一率，中率半径自乘作为第二率，甲戌、甲丑之间的面积作为第三率，求出第四率是中率面积，如甲氐亢。将椭圆面积分成360度，取1度的面积作为除数去除，就得到甲戌、甲丑之间所夹的角度。这个道理是相似形比例。然而甲亢与甲氐长度相同，甲戌则比甲丑长，由于相差不大，借为相同数值。如果引戌到心，甲丑和甲心相差较多，仍须用前法求甲戌线，借甲戌和甲心相近作为相同数值来求。

第三种方法：借面积求面积。用已知面积，如图中的辛甲丑，用1度的面积作为除数去除，得到面积的度数。假设这个度数为角度，在两倍两心差的端点如庚己丑。以半径作为第一率，己角的正弦作为第二率，两倍两心差作为第三率，求出第四率是甲子垂线。又以半径作为第一率，己角的余弦作为第二率，两倍两心差作为第三率，求出第四率是己子分边。甲子作为勾自乘，己子与大径相减的差作为股弦和，相除得到股弦差。和、差相加折半得到甲庚线。又以甲庚线作为第一率，甲子垂线作为第二率，半径作为第三率，求出第四率是庚角的正弦，得到角度与己角相加得到庚甲丑角。然后使用角度求面积的方法，求得庚甲丑面积，与辛甲丑面积相减，得到庚甲辛，再用面积求角度的方法，得到度数，与庚甲丑角相加，就得到辛甲丑角。

第四种方法：借角度求角度。用已知面积如前法取为积度，如丑甲丁。假设这个度数为角度，在椭圆心如丁乙辛。以小半径作为第一率，大半径作为第二率，所设角度的正切作为第三率，求出第四率是丁乙癸角的正切。查表得到角度，然后在两倍两心差的端点丙作丙丑线，就让丑丙甲角等于癸乙丁的角度，再将丙丑线延长到寅，使丑寅等于甲丑，则丙寅等于大径。又作甲寅线，形成甲寅丙三角形，用切线分外角法求得寅角，加倍得到甲丙丑形的丑角，与丙角相加得到丑甲丁角。这个道理是癸乙甲角度比丑甲丁积度多出子乙癸角度。就用这个度数作为之前补算辛甲庚时的数值，因为相差不大。

以上四种方法中，凡是单独提到半径的，都是八线表中一千万的数值。图形目前还没有资料。