卷二百九十四畴人二

李潢，字云门，是钟祥人。乾隆三十六年考中进士，从翰林院官做到工部左侍郎。他博览群书，尤其精通算学，推算历法和乐律，都达到了精微的境地。著作有《九章算术细草图说》九卷，附《海岛算经》一卷，共十卷。

他在《重差图》的自序中说：“九幅图，望远海岛原有图解，其余八幅图是现在补充的。同一形状的两个图形两两相比，所得的四率，第二率和第三率相乘，与第一率和第四率相乘的积相同。如果想画图说明它，只需取第一、三率连成一边，又取第二、四率连成一边，作一个相乘的长方形图，自然分成四个幂。又用斜弦界成两组相同的勾股形，那么形状就验证了。旧图在图形外另画两个等积的方形，至于两个图形相距很远的，又必须曲折相通，都不必如此。图中用四边形、五边形立说，似乎与勾股不相关，但在原形外补作勾股形，那么也就成为勾股了。四率比例法，在《九章》的粟米章中称为今有：一是所有率，二是所求率，三是所有数，四是所求数；在勾股章中则统称为率。刘徽注说：‘勾率、股率，就是所见勾、所见股。’现在只说‘同式相比’，是为了简便，异乘同除的原理是一样的。”书刚写完定稿，李潢就病了。等到吴门沈钦裴算校后，才能付印。过了八年，他的外甥程矞采家为他校订刊刻，以完成他的遗志。

《九章》最初经东原戴氏从《永乐大典》中录出，第一次刻于曲阜孔氏，第二次刻于常熟屈氏，都依照戴氏原校本刊刻。当时古籍刚刚显现，校订较难，不免有些矛盾之处。从此天下学习《九章》的人，无不每家收藏一部，奉为标准。而刘徽的《九章》从此也有了善本。李潢又曾因古代算经十书中，除《九章》外最著名的，莫过于王孝通的《缉古》。唐代开科取士，唯独《缉古》四条限以三年，确实是因为这部书隐晦深奥难通。世上所传的长塘鲍氏、曲阜孔氏、罗江李氏各刻本，又都依照汲古阁毛氏影宋本，只有原术文而未详其法，而且传写有脱误。虽经阳城张氏用天元一术推演细草，但天元一术创自宋、元时人，毕竟在王孝通之后，似乎不是此书本旨。于是依据《九章》古义，为之校正，凡错误处纠正，缺失处补充，著《考注》二卷。以阐明斜、袤、广、狭、割、截、附、带、分、并、虚、实的原理，务必符合其术才停止。稿未完成，李潢去世后，被南丰刘衡传授给其同乡，用西洋开方法增补算草，并附图解，刻于江西省中，喧宾夺主，大乱其真。程矞采取江西刻本削去图草，仍以原考注刊布。

武进李兆洛为之作序，说：“《缉古》为何而作？是为了阐发少广、商功的深意而更求精妙。商功之法，广袤相乘，又以高或深乘之得体积，现在反过来用体积与差求广袤高深，所求的数是极小数。为什么以极小数作为所求数？回答说，求大数，则实方廉隅，正负混杂。求小数，则实常为负，方廉隅常为正。观台羡道，筑堤穿河，方仓圆囤，刍甍输粟，形状不一，一概用开立方除之，为什么呢？回答说，这是以一贯通之理。事物产生而后有形象，有形象而后有增长，有增长而后有数。斜解立方体，得两个巉堵，一个是阳马，一个是鳖臑。阳马占二份，鳖臑占一份，这是不变的比率。现在在平地之余延续狭斜之法，无论为巉堵、为阳马、为鳖臑，都作体积。看其体积内不以所求数乘的为减积，以所求数一次乘的为方法，两次乘的为廉法，所求数自乘再乘为立方，即隅法。用开立方除之，得所求数。若绘图在纸上，让广袤相乘，以所求数从横截之。剖平面积为若干段，又以截高与所求数乘之，分立体积为若干段，哪些是减积，哪些是方，哪些是廉，哪些是隅，条段分明，历历可指。作者之意，不烦言而解了。其说廉母自乘为方母，廉母乘方母为实母的分法，是开方的要术。先生于此书立法的根源，如锯解木，如锥划地，又复补正脱误，条理秩然，真是王孝通的功臣！于是叙述大旨，以告知世上学习此书的人，不再苦于其难读了。”

汪莱，字孝婴，号衡斋，歙县人。十五岁，补博士弟子。二十岁后，在吴葑门外读书，仰慕同乡江永文学、戴震庶常、金榜殿撰、程易畴徵君之学，努力精通经史百家及推步历算之术。嘉庆十二年，以优贡生入都，考取八旗官学教习。适逢御史徐国楠奏请续修《天文》、《时宪》二志，经大学士首推汪莱与徐准宜、许沄入馆纂修。十四年，书成。议叙，以本班教职任用，选授石埭县训导。十八年，应省试，得病归，卒于官，年四十六岁。先是十一年夏，黄河启放王营减坝，正溜直注张家河，会六塘河归海。两江督臣奉上命，查量云梯关外旧海口与六塘河新海口地势高下，延请汪莱测算，大概他精于算学的名声，早已被官卿所知。曾制浑天、简平、一方各仪器观测。

与同郡人巴树穀最友善，客居江、淮间，又与焦循孝廉、江藩上舍、李锐秀才，辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开方诸法。天性敏绝，极能攻坚，不肯苟且著述。凡所言，皆人所未言，与夫人所不能言。

曾因古书八线之制，终于三分取一，用益实归除法求之，其一表之真数，仅得十分之二。因而悟得五分之一通弦与五分之三通弦交错为三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之数益密。梅文鼎《环中黍尺》，有以量代算之术，惟求倚平仪外周之两角，而缩于内半周之角未详。其法较易，因立新术，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆积法，不及三乘方以上，又复推而广之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知积。并及诸物递兼之法，以补古《九章》所未备。

又纠正梅文穆公勾股知积术，及指识天元一、正负开方之可知、不可知。其纠正勾股知积术也，文穆《赤水遗珍》称：“有勾股积及股弦和较求勾股，向无其术，苦思力索，立法四条。”其门人丁维烈又造减纵翻积开三乘方法，文穆许之。汪莱谓：“勾股形等积、等弦和，带纵立方形等基、等高阔和，皆有两形互易。如勾二十，股二十一，弦二十九，勾弦和四十九，勾股积二百一十。若勾十二，股三十五，弦三十七，勾弦积亦四十九，勾股积亦二百一十。设问者暗执一形，则对者交盲两数。梅、丁诸公法成而不可用，盖两句弦较，与一句弦和，恒为连比例之三率。其两句弦较，即首、末二率；两较减一和之余，即中率；而句弦和必为三率并。遂创立有两积相等、两句弦和相等、求两句股形之法。以四倍勾股积自乘，句弦和除之，为带纵长立方积。以句弦和为纵，开得数为两句弦较之中率，自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和，求得长阔两根为两句股较，用求两句股形各数。又同积之边，彼此可互，三次之乘，先后可通，故四倍勾股积自乘，即两形之倍勾相乘为底，两形之股相乘为高，即犹以中末乘首。中化为中率，再乘为立方三率，并为带纵。由是推得立方形两高数恒为首末二率，高阔和恒为三率，并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十，高阔和十九，立方积九百。若高四阔十五，高阔和亦十九，立方积亦九百，其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积，以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根，为两形高数之中率。与高阔和相减，余为带纵之平方长阔和。中率自乘，为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之，得长阔一根，为两形之两高数。两高与和相减，为两阔数。”

其指识正、负开方也，“元李冶传洞渊九容术，撰《测圆海镜》、《益古演段》，以明天元如积相消，其究必用正、负开方，互详于宋秦九韶《数学九章》。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所由来，而正、负开方则未有阐明者。元和李锐秀才特为雠校，谓少广一章，得此始贯于一。好古之士，翕然相从。汪莱独推其有可知、有不可知。如《测圆海镜》边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十为答。《数学九章》田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’，而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下，缕析推之，得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知，为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少，几根数又多，几平方与一立方积等多少杂糅，和较莫定。立法以审之，以几平方数用几立方数除之，得数乘几根数，以较几真数。若少于真数，则以几平方为高阔较，是为可知。若多于真数，则或几平方为通分法，三母总数、几真数为三母维乘之共数，几根数为通分之共子，如二、如六、如十二。设真数一百四十四，少二百八，根数多二十，平方积与一立方积相等，则三数皆同，是为不可知。”

盖以一答为可知，不止一答为不可知。故李锐秀才跋其书，括为三例以证明之。谓：“隅实同名者不可知；隅实异名，而从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。隅实异名，即带纵之长阔较也，较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也，和则不止一答。”李锐以隅实同名、异名，明一答与不止一答；汪莱以长阔、和较，明可知、不可知，其义一也。著有《衡斋算学》七册，《考定通艺录磬氏倨句解》一册。

陈杰，字静弇，乌程县生员。考取天文生，任钦天监博士，供职时宪科兼天文科，司测量。累官国子监算学助教。道光十九年，因病辞官归，卒于家。生平深于算学，尤其精于比例之用。初著《缉古算经细草》一卷，后十余年，又为之指画形象，成《图解》三卷；又博采训诂，考正其传写之舛讹，稽合各本之同异，别成《音义》一卷。

他在自述比例时说：“比例的方法，起源于《九章算术》，从西域传来，在古代方法中称为‘异乘同除’，在西法里称为‘比例’等。比如甲有四百文钱，换二斗米，问乙有六百文钱，能换多少米？答案是三斗。方法是把乙的钱作为被乘数，用甲的钱数乘以甲换到的米数，得到结果，再除以甲的钱数，就得到答案。钱和米不同名相乘，与钱同名的数相除，所以叫‘异乘同除’，这是古法。用甲的钱与甲的米相比，就像乙的钱与乙的米一样。凡是说‘以’的是第一率，说‘比’的是第二率，说‘若’的是第三率，说‘与’的是第四率。第二率和第三率相乘，再除以第一率，得到第四率，这是西法。古法在元、明时期在中国几乎失传，不知道何时流入西域。明神宗时，西洋人利玛窦来到中国，拿出他写的算书，中国人惊异以为是新发现，其实所用的都是古法，只是改变了名称罢了。现在用西洋人的名称来解释王氏的著作，固然取其平易近人，也是为了表明中西方法的相通之处。”

他又论述说：“《二十一史》中的律历志没有不用比例的，其他如《九章算术》、《缉古算经》等十种算书，大多使用比例，只是古人总是不明确说出比例。比如《缉古算经》第二问，求均匀分配堆积的体积，想从已知的立体求出另一种立体的体积，忽然取两个面的面积数据，一个用来乘，一个用来除，就得到结果。又如第九问求圆形粮囤，第十问求圆形地窖，忽然用周长和直径相乘除，就像用方亭的方法来求，所有数据都得到了。我画图解释，仔细审视了很久，才知道这是比例，于是明确说出比例来揭示它。从此以后阅读古代算书的人，没有不发现比例的了。”

又自道光以来，他曾经亲自在观象台监督率领值班天文生连续多年实测黄赤交角为二十三度二十七分，没有上奏说明，所以当时没敢使用。到甲辰年编修《仪象考成续编》时，钦天监官员就取这个数据上报，被钦定颁布实行。

他晚年撰写的著作是《算法大成》，上编十卷，首先讲加减乘除，接着讲开方、勾股，再讲比例、八线，然后讲对数，然后讲平面三角、弧三角。按门类分别，都是先列出旧法，再把新法附在旁边，配有图解和解释，不厌其烦地详细说明，专门为了引导初学者而设。下编十卷，只有目录没有内容。他说：“算法的用途很多，第一最重要的是编制历法，所以下编讲为官之事，先讲治历，其次讲出兵作战，其次讲工程钱粮，其次讲户籍、盐政，其次讲堆积、丈量；儒者则用于考据经传，下至商人和百姓，则用于资本营运、市场交易、持家日用，无论事情大小，都设立题目作为问答，来阐明算法的用途，如此广泛。”下编似乎没有完成。他的学生丁兆庆、张福僖都以算术闻名。

丁兆庆，字宝书，归安人。沉静好学，为项学正的“两边夹角直接求对角新法”作了图说，认为他的讲解清晰明了，独创新意。

张福僖，字南坪，乌程的生员。精心研究小轮原理，著有《彗星考略》。

时曰淳，字清甫，嘉定人。精通算术。阐发古人算术的意旨，无不深入细微。咸丰末年，与长沙的丁取忠一同客居在胡林翼的幕府，常与他商量探讨数理，看到丁氏的《数学拾遗》中的“百鸡术”，认为与二色方程暗合。于是加以推广，设立了二十八道题，用“旧学商量加邃密、新知培养转深沉”十四个字作为上下标记，成为十四对。所有题目都借方程作为基本方法，并阐述大衍求一术来扩展其趣味，写了《百鸡术衍》二卷。

他在自序中简要说道：“张丘建《算经》中关于鸡翁、鸡母的题目问题，甄鸾、李淳风的注释以及刘孝孙的草稿，都没有理解算法本意，不通。近来焦理堂的解释尤其错误。读到我的朋友丁果臣的《数学拾遗》，他设计的方法与二色方程暗合，这是通法。骆氏的《艺游录》使用大衍求一术，用大小较来求中数，路径颇为巧妙，但遇到比较数除共较数正好除尽的情况，就不可求。方程术则遇到用除数去除被除数得到中数，除不尽时用分母与减率相互运算而使其齐同，没有求不出的。骆氏大概不知道有方程本术罢了。这道题只有原经的一种算法，计算原理的微妙，不如孙子‘不知数’一问，而且术文各自隐秘。前者只举出用数，后者也只标注加减三率，对于前半段取数的方法都缺漏。难道是古人不传的秘诀，一定要等待学者深思才能自己得到吗？孙子的求一术，到宋代秦道古才阐发出来，唯独这道题沿袭谬误，没有人借助方程来求解。曰淳怀疑已久，今年春天与果臣在鄂城同榻，又一起商议，分别后几个月才弄通。豁然开朗，毫无阻碍，这也是穷愁中的一件快事。于是推衍方程术作为《数学拾遗》的补篇，列出求负数法和加减率求答数法，又附带阐述求一术作为《艺游录》的补篇。用中小较求大数法，以及大中较、大小较互相求得中数、小数法，引申探求，温故知新，大概足以充分阐发其旨意吧！将翁、母、雏改为大、中、小，设数不必限于一百，而统称为‘百鸡’，是为了标识这个方法所起源的地方。”

李锐，字尚之，元和县的生员。幼年聪敏，有过人的天资。从书塾中捡到《算法统宗》，心领神会其含义，于是开始研究《九章算术》和八线之学。因此向钱大昕学习经学，掌握了中西方数学异同的深奥道理，对古代历法尤其深入研究。从三统历到授时历，都能透彻理解其本质。

他曾说：“三统历的《世经》称殷历，以汉元帝初元二年为纪首，这一年是甲戌年。向上推算，一千五百二十年后是甲寅年作为元首，再向上四千五百六十年后又是甲寅年作为上元。用这个积年，用四分历向上推算，太初元年得到冬至与朔日同一天，但中余是四分之三日，朔余是九百四十分之七百五，所以太初历亏四分之三日，去掉小余七百五分。《汉书》记载三统历而不记载太初历，其实一个月的天数是二十九日八十一分之四十三，所以日法、月法与三统历相同。贾逵说太初历斗二十六度三百八十五分，这是统法周天又与三统历相同。大概四分历与太初历没有差异，而太初历也可以称为三统历。郑玄注释《召诰》，周公居摄五年二月三月，应当是一月二月，不说正月，是因为等待治理安定、礼仪制定后，才正式称为正月。江声、王鸣盛认为根据《洛诰》十二月戊辰逆推，这个说法不确。现在考察郑君精通步算，把二月三月改为一月二月，用纬候入蔀数，推算上推下验，一一符合，不仅仅是检查一两年间的事情。”

因此根据《诗经·大明》的疏，郑玄注释《尚书》文王受命、武王伐纣的时间都用殷历甲寅元，于是从文王得赤雀受命那一年开始，用《乾凿度》所记载的积年推算，这一年进入戊午蔀，第二十九年岁在戊午，与刘歆所说殷历周公六年才进入戊午蔀不同。刘歆说文王受命九年而崩，崩后四年武王克殷，后七年而崩，第二年周公摄政元年，比郑玄少一年。又记载《召诰》、《洛诰》都是摄政七年的事，那一年二月乙亥朔，三月甲辰朔，十二月戊辰朔，都与郑玄不合。于是推算各年及一月二月，排比干支，分次上下，写了《召诰日名考》，这是融会古代历法来阐发经学。

当时，钱大昕是当代第一通儒，生平从未轻易赞许他人，唯独对李锐认为超过自己。钱大昕曾对《太乙统宗宝鉴》中求积年术的日法一万五百岁，实际三百八十三万五千四十八分二十五秒感到怀疑。李锐根据宋代同州王湜的《易学》，说每年在三百六十五日二千四百四十分之外，有的止于五分，有的止于六分，有的止于五分六分之间。止于五分的，是五代王朴的《钦天历》，以七千二百为日法。止于六分的，是近年来的万分历，以一万分为日法。止于五分六分之间的，是《景祐历法》记载在《太乙遁甲》中，以一万五百分为日法，这是暗中使用授时历的方法。试着用日法作为第一率，岁实作为第二率，授时历的日法一万作为第三率，推出第四率，得到三百六十五万二千四百二十五分，就是授时历的岁实。探本穷源，一句话击中要害。

近代历算之学，首推吴江的王锡阐、宣城的梅文鼎，接着是休宁的戴震也号称名家。王锡阐说回回历的历元在唐武德年间，不是开皇己未；梅文鼎说回回历实际用洪武甲子为元，而假托于开皇己未。他们计算宫分，虽然以开皇己未为元，但查立成的基础，却在己未元后二十四年，两说相同。戴震说回回历一百二十八年闰三十一日，是每年在三百六十五天之外，又余一百二十八分之三十一天。以一万万乘以三十一，满一百二十八除一次，得到二千四百二十一万八千七百五十，地谷（第谷）所定的岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒，通分后乘以一万万，满日法除一次，也得到二千四百二十一万八千七百五十，与梅文鼎《疑问》所说相合。这三家的论述，未尝不确知灼见，但都没有得到详细内容。李锐根据《明史·历志》、回回历本术，参考近年来的瞻礼单，精心加以考核，说回回历有太阳年，他们称为宫分；有太阴年，他们称为月分。宫分有宫分的元，就是开皇己未；月分有月分的元，就是唐武德壬午。自开皇己未到洪武甲子，积宫分年七百八十六，自武德壬午到洪武甲子，积月分年也是七百八十六，其迷惑人的地方就是这两个积年相等。于是写了《回回历元考》。其中有求宫分白羊一日入月分截元后积年月日法，认为不明白这个，即使有立成表，也无法计算。稿件遗失未刊行。

梅文鼎没有见过古代的《九章算术》，他写的《方程论》，大多是凭主观臆测创补，但又受西学局限，导致违背了直除的宗旨。李锐探寻古代义理，探索根本，变通简捷，旧术列在前面，另立新术附在后面，写了《方程新术草》，希望古法共同显明于世。古代没有天元一术，它最早出现在元朝李冶的《测圆海镜》、《益古演段》两本书中，元朝郭守敬使用它来造授时历的草稿，而明朝学士顾应祥不理解其要旨，胡乱删减细草，导致此法失传。自从梅文鼎领悟它就是西法的借根方，于是李冶的书才得以在世上被重视。其中原有方法不通的，另外设立新法数则，更在梅文鼎的说法之外辨明天元相消，有减无加，与借根方的两边加减法稍有不同。

并且不满意顾应祥所著的《勾股算术》、《弧矢算术》，说：“弧矢起源于《九章算术》的方田章，北宋沈括用两矢的平方求弧背，元朝李冶用三乘方求矢度，引申触类，其方法很详细。顾应祥对‘如积’不明白，开方只是空谈，不也是颠倒吗？”于是取弧矢十三术，加入天元，写了《弧矢算术细草》。并仿照演段的体例，概括勾股和较六十多术，写了《勾股算术细草》，用来引导学习天元的人入门。

又从同乡顾千里那里得到秦九韶的《数学九章》，见其中也有“天元一”的名称，但其方法是将奇放在右上，定放在右下，立天元一在左上。先用右上除右下，得到的商数与左上相生，放入左下。依次上下相生，直到右上最后出现一个奇数才停止，然后检验左上所得作为乘率。与李冶书中将天元一立在太极上，如积求之，得到寄左数与同数相消的方法不同。由此知道秦书是大衍求一中的另一种天元，秦九韶与李冶虽然同时，但宋元时期南北隔绝，两家方法无法流通，大概各有师承。

锐曾经说：“四季形成一年，最早记载在《虞书》中；五种历法纪年明确历法，见于《洪范》。历学确实是治理国家的关键，是施政的根本。然而《通典》《通考》却将其搁置不录，邢云路虽然撰写了《古今律历考》，但只是引用经史，用来增加篇幅。梅氏只有想撰写《历法通考》的建议，最终没有成书。因此我进一步搜集各史资料，从黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六种历法，下至元、明数十家，一一阐明其含义，存在的加以表彰，缺失的考订补充，写成《司天通志》，使读史的人能打开门径，研究历法的人增长智慧。”可惜只完成了四分、三统、乾象、奉天、占天五种历法的注释。其余的与《开方说》都只是草稿，未完成。

《开方说》三卷，锐读秦氏的书，看到他关于超步、退商、正负、加减、借一为隅等方法，很得古代《九章算术》少广章的遗意，比起梅氏《少广拾遗》中没有方廉的方法，差距不可以道里计。梅氏的方法源于《同文算指》《西镜录》两书，终究来自西法，起初不知道立方以上没有不带从的方。锐根据秦法加以推广详细说明，来阐述他的学说。刚完成上、中两卷就去世了，年仅四十五岁。下卷则由弟子黎应南续成。

黎应南，字见山，号斗一，广东顺德人。嘉庆戊寅年顺天经魁，因在书馆议叙，选任浙江丽水县知县，调任平阳县知县。在海疆任职期满，加六品衔，死于任上。

骆腾凤，字鸣冈，山阳人。嘉庆六年举人，道光六年，大挑一等，授知县。因母亲年老不愿赴任，改授舒城县训导。不到一年，告假养亲回乡，在乡里教书，学生很多。道光二十二年八月，在家中去世，享年七十二岁。他性格敏锐，喜欢读书，尤其精通天文历算之学。在京城时跟从钟祥李潢学习，精心钻研，寒暑不停。

著有《开方释例》四卷，自序大略说：“天元一术，见于宋代秦九韶的《大衍数》中，没有说明是谁创立的。元代李冶的《测圆海镜》《益古演段》两书，也用了这个例子。李冶说他的方法出于洞渊九容，现在已不清楚它的来源了。这本书从平方到多乘方，都用同一方法，即使是刍童、羡余等形状，也能握笔而得，确实是算术的密钥。西法借根方实际源于此，却用多少来代替正负，只是想掩盖他们抄袭的痕迹。不知道正负是用来区别异同，多少是用来划分盈缺，毫厘之差千里之谬，一定会有能辨别的人。”

又著有《游艺录》二卷，自题说：“我对于正负开方的例子，已经写了释例来说明它的方法。至于衰分、方程、勾股等方法，以及《九章算术》中没有记载的，还有古今算术中未能全面涵盖的，就追溯其源流，纠正其错误。不敢掠取前人的美名，也不作晦涩之词来欺骗世人。随所见记录下来，汇成一编。”遗稿共十多万字，就是现在的传本。

南汇张文虎曾经给青浦户部熊其光写信评论说：“承蒙示下骆司训的算书两种，读完奉还。李四香的《开方说》，详细于超步、商除、翻积、益积等例子，却不讲立法之根，让初学者茫然不知他说的什么。骆氏对于各种乘方、方廉、和较、加减的道理，都直白地说出来，而推求各元进退、定商等方法，尤其能补充李书所未备，确实是学习开方者的金钥匙。汪孝婴创设了两勾股同积同勾股和的一个问题，用两勾弦较中率辗转求两勾弦较，设立的方法迂回。骆氏用正负开方直接求得两勾，颇为简易。衡斋也应当首肯。”他就是这样被人推重佩服。

项名达，字梅侣，仁和人。嘉庆二十一年举人，考授国子监学正。道光六年，考中进士，改任知县，没有就任，退而专心研究算学。道光三十年，在家中去世，享年六十二岁。著述很多，现在传世的，只有《下学庵勾股六术》及图解，又附有《勾股形边角相求法》三十二题，合为一卷。由于勾股和较相求各题的方法稍显繁琐困难，于是取旧的方法稍加变通。分方法为六种，使问题相同的统一为一种方法，清楚明白地都能驾驭。第一、二、三术及第四术的前二题，都依据旧解，其余为重新制定的新方法，都另外注明快捷方法，各自作图解，来说明其意。第四、五、六术其原理都出于第三术，可以用比例来解释。第三术以勾弦较比股，等于股与勾弦和；以股弦较比勾，等于勾与股弦和，这是三率连比例。凡是有比例进行加减，其和差也可以互相比例。所以第四、五、六术的各题，都可以由第三术的题目加减而得，也可以由第三术的比例另生比例。因比例而成同积，而各种开方方法的所以然就明白了。项名达又创立了弧三角总较术，求椭圆弧线术，方法确定后，没有解释，因为含义深奥趣味幽远，难以仓促完成，所以六术独自先完成。

项名达与乌程陈杰、钱塘戴煦交情最深，晚年造诣更加精进，认为古法无用，不大涉猎，而专意于平面弧三角，与陈杰的见解不谋而合。与陈杰讨论平三角，项名达说：“平三角两边夹一角，直接求对角对边，向来没有方法，我曾经模拟得到它，您听说过吗？”陈杰说：“没有。”记下他的方法回去。大概是用甲乙边自乘与甲丙边自乘相加，得数寄存在左边；然后用半径为一率，甲角的余弦为二率，甲乙、甲丙两边相乘再加倍为三率，求得四率，与左边的数相减，钝角则相加，开平方，得数就是乙丙边。

又曾经说西洋杜德美的割圆九术，道理精妙，其原本于三角堆，董方立定四术来说明，确实是卓越的见解。只是求倍分弧，有奇无偶，徐有壬补全，才得以详备。项名达曾经玩味三角堆，感叹其数只是一递加，而理法象数，包蕴无穷。方圆之率不相通，通方圆者必用尖，勾股是尖的象，三角堆是尖的数。古法用半径屡次求勾股得圆周，不胜其繁。杜氏则用三角堆来驾驭连比例诸率，而弧弦可以互通，割圆术无以复加了。然而用这个来制作八线全表，每求一个数，必须乘除两次，所用弧线，位数多而乘起来不方便，董、徐二氏大小弧相求法也是这样。一向想别立简易法，于是从三角堆整数中推出零数，只用半径，就可以任意求几度几分几秒的正余弦，不需取资于弧线及其他弧的弦矢。而且每次一乘除，便得一数，似乎可以作为制表的一种帮助。

又著有《象数原始》一书，没有完成，病重时，嘱托戴煦。后来戴煦向名达之子锦标索取原稿，校算增订六个月而稿才定，共七卷。原书第四卷只有六页，连同第七卷都是戴煦所补。第一卷叫《整分起度弦矢率论》，第二卷叫《半分起度弦矢率论》，第三、四卷叫《零分起度弦矢率论》，都是用两等边三角形说明其象，递加法定其数，最后申论其算法。第五卷叫《诸术通诠》，取新立的弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术及杜、董诸术，按术解释。第六卷叫《诸术明变》，杂列所定的弦矢求八线术、开诸乘方捷术、算律管新术、椭圆求周术，以说明都是从递加数转变而得。第七卷叫《椭圆求周图解》，原术以长为直径，求大圆周长及周差，相减得周长；补术则以宽为直径，求小圆周长，周差相加得周长，最后附以图解。徐有壬任江苏巡抚时，寄信索取戴煦的写定本刻印，刚刻完徐有壬就殉难了，书和板都毁了。

有个叫王大有的，字吉甫，仁和县的秀才。任翰林院待诏。穷究天文算学，向处士戴煦请教。凡是戴煦的著述，都录了副本拿去，项名达见到后，因此与戴煦订交。王大有曾经校订《割圆捷术合编》。后来在杭州殉难。

丁取忠，字果臣，长沙人。研究天文算学，不求名声地位，刻印算书二十一种，为《白芙堂丛书》。光绪初年，在家中去世，年过七十。自己所撰写的是《数学拾遗》一卷，因为所演绎的算草比较详细，便于初学，又意在拾遗，所以没有详细说明其含义出自何人。

又撰写《粟布演草》二卷，自序说：“道光壬辰年，我开始学习算术，友人罗寅交学博洪宾用难题来问我，很久没能回答。同治初年，才结识南丰吴君子登太史，他用开屡乘方法教导我，我才通晓此法，但不了解其立法的根源。后来吴君游历岭南，我把它推广到其他题目，以及辗转相求，仍有很多阻碍。又写信询问李君王叔，承蒙他示以廉法表及求总率二术，其理才显现。后来吴君又示以指数表及开方式表，李君又为之图解来阐明其义。由此三事互求，理归一贯。我于是取数题详细演算草稿，并捷法图解，合为一卷。请教南海邹君特夫，他又增订开屡乘方法，并另设题目演算补充，补所未备。即使是算家最精微的道理，如圆内接各种等边形，都可借发商生息来说明，真是快事！”

后来他又撰写《演草补》一篇，序中说：“我前年与左君王叟共辑《粟布演草》，原是为商人学算者而设，有的一个例子演算数题，有的一个题目变换数式。有的用真数，有的用代数。其式有的横列，有的直下，杂乱陈列，无非是想让学者比类参观，容易领悟。然而初学的人学习它，仍然说茫然无入门处，因为商人所学的算书，大都详细于文字而简略于算式。何况代数又是古代算术所没有的，难怪他们突然看到而不理解。兹再拟一题附后，特仿《数理精蕴》借根方体例，专门详细于文字，希望初学者读它，可以因文知义。算理既明，则全书各式，可涣然冰释，或者还可兼为学习代数者之先导？”他的同乡李锡蕃，也以演算著名。

李锡蕃，字晋夫。道光三十年早逝，著有《借根方勾股细草》一卷，衍为二十五术，丁取忠刊入丛书。

谢家禾，字和甫，钱塘举人。与同学戴氏兄弟戴熙、戴煦相友善。年少时喜好西学，点线面体四部，无不精通。随后，又取元初诸家算书，深入探索，尽得其奥秘。于是辑录平时所得，分析通分加减，确定方程正负，以标示立元的大要，撰写《演元耍义》一卷。其自序说：“元学非常精深，而寻求其要领，不过通分加减。凡是四元的分别正负，及相消法，互隐通分法，大致源于方程。方程，就是通分的含义。方程不明，是由于正负没有定例，加减没有定则，以讹传讹，如梅宣城精研数理，没有时间深究，其他书可知。《九章算术》正负术很明白，而解释者反而凭主观臆测，古义之不明，可胜道哉！唯有以衍元之法来纠正方程之义，由此方程明而元学亦明。著《演元要义》，综合通分方程而论述之，附以连枝同体之分等法。通晓此理，则四元大概可以窥其涯际了。”

又用刘徽、祖冲之的圆周率求弧田，寻求比古率更精密的方法，撰《弧田问率》一卷。同乡戴煦为之作序说：“古率直径一周长三，徽率是刘徽所定，直径五十周长一百五十七。密率是祖冲之的约率，直径七周长二十二。各书弧田术都用古率，郭太史用二至相距四十八度求矢也用古法。而徽、密二率的周长既然大于古率，则面积也大于古率，试设同径之圆，旁边割出四弧，其中两弦相交所成的方形三率都相同，可知三率圆面积的大小，正是三率弧面积的大小。徽、密二率弧田古无其术，只有《四元玉鉴》一见其名，而设问隐晦，难以捉摸。穀堂得其要旨，于是依李尚之《弧矢算术细草》设问立术，也足以发前人所未发。”

又根据直角三角形两直角边的和差与斜边直角边和差的关系辗转相求，撰写了《直积回求》一卷，其自序说：“当初戴谔士著有《句股和较集成》，我也著有根据直积与和差求句股弦的书籍，但这两本书内容尚浅显，而且用直积与句弦和求三事，需要用到立方、三乘方等，得数不易，又不便于作为规律，这些书后来就没有保存。近来见到《四元玉鉴》中直积与和差回求的方法，多设立二元，曾与谔士思考其中的深意，发现有些不必用二元。因为句弦较与句弦和相乘得到股幂，股弦和与股弦较相乘得到句幂，而直积自乘，就是句幂与股幂相乘。如果用句弦较乘股弦较的幂，除以直积的幂，就得到句弦和乘股弦和的幂。句弦和乘股弦和的幂，就是弦幂与和幂之和减去半个黄方幂。因为相乘的幂中去掉一个弦幂，剩下的是句股相乘的一个、句弦相乘的一个、股弦相乘的一个，这三个幂合成和幂，就缺少半个黄方幂。半个黄方幂，就是句弦较与股弦较相乘的幂。加上半个黄方幂，就得到弦幂与和幂之和。加上两个直积，就是两个和幂。减去六个直积，就是两个较幂。另外，句弦和乘股弦较的幂，是句幂中缺少一个句股较乘股弦较的幂。股弦和乘句弦较的幂，是股幂中多出一个句股较乘句弦较的幂。减去一个句股较乘股弦较的幂，还剩下一个句股较的幂。算法中的精妙之处，都出于此。其他参用常用方法之处，可以不用解释而自然明白。草稿中既没有时间论述，怕学习者不理解其中的道理，因此揭示其大要在书端，可见演算步骤不能不精。”

家禾去世后，戴熙搜集其遗稿，嘱咐其弟戴煦校勘后交付刻印。戴煦精通算术，事迹在《忠义传》中有记载。著有《补重差图说》、《句股和较集成消法简易图解》、《对数简法》、《外切密率》、《假数测圆》及《船机图说》等。

吴嘉善，字子登，南丰人。咸丰十一年进士，改任翰林院庶吉士，散馆后授编修。与徐有壬一同研究算学。同治改元时，为躲避太平天国战乱而游历长沙，结识了丁取忠。过了一年，客居广州，通过邹伯奇又认识了钱塘人夏鸾翔。三人志同道合，相得益彰。光绪五年，奉命出使法国，驻扎巴黎。后受人代替返回，不久去世。

所撰写的算书，首先叙述笔算。其次是《九章翼》，包括今有术、分法、开方、平方平圆各术。推演方田的，有立方立圆术；推演商功的，有句股、衰分术、盈不足术、方程术。在句股术后，附有平三角、弧三角测量高远的方法。再往后则专门论述天元四元的书籍，包括《天元一术释例》、《名式释例》、《天元一草》、《天元问答》、《方程天元合释》、《四元名式释例并草》、《四元浅释》。自序说：“算学到今天，可以说很兴盛了。古义已经彰显，新方法不断出现，这是以前没有的。我与丁君果臣都沉迷于此，既忘了自己的癖好，还想用这种癖好引导别人。曾苦于近代为初学者提供入门指导的书籍没有善本，梅文穆公所删定的《算法统宗》，如今也不传世。因此商议著述此书，选取浅近易懂的内容，作为登高行远的帮助。”

罗士琳，字茗香，甘泉人。以监生身份按例入贡太学，曾考取天文生。咸丰元年，因恩诏征举孝廉方正之士，郡县交相推荐，他以老病推辞。咸丰三年春，太平军攻陷扬州，他死于战乱，年近七十。年轻时研究经学，跟随其舅江都秦太史恩复习举子业，后来放弃，专心致力于算术，博览天文历算之书，日夜研习数年。

起初精通西方算法，自己撰写的谈论历法的书叫《宪法一隅》。又思考句股、少广互相表里，而方田与商功没有差别，差分与均输没有不同。按类相从，摘取《九章》中切合日用的内容，全部用比例来驾驭，汇集为十二种。以各种定率放在前面，借根方紧随其后，各种乘方开方法附在末尾，共四卷，叫《比例汇通》，虽然后悔是年少之作，但确实便于初学者入门。

后来见到《四元玉鉴》，十分佩服赞叹，于是专心致力于四元之术。罗士琳博闻强记，兼通百家，对古今算法尤其有深刻的见解，认为朱世杰这部书确实是集算学之大成，想通晓并发挥其方法，于是用尽精力十二载，逐步演算为全草，并将原书中率不通及演算传写的错误全部标出，补漏正误，反复设立例题，申明疑难之处，推演订正。就原书三卷二十四门，扩充为二十四卷，每门都补充了演草。

曾作提要钩玄的论述，说：“这部书整体不超出《九章》的范围，不只是商功修筑、句股测望、方程正负。例如端匹互隐、廪粟回求中寓含粟布，如意混和寓含借衰，茭草形段、果垛叠藏、如像招数寓含商功中的差分，直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套吞容寓含方田、少广诸法。其他如分索隐是约分命分，方员交错、三率究员、箭积交参是定率兼交互。至于或问歌彖、杂范类会，因为它们各自为法，不能比类。所以一则寄诸歌词，一则编成杂法，都像是补遗。大旨都用加、减、乘、除、开方、带分六例为问题，每门必备这些例子，略去简易而详述繁难，尤其对于历来算书所没有的，一定设立两个问题来说明。如混积问元中既设种金田及勾三股四八角田为问题，拨换截田中又设半种金田，锁套吞容中又设方五斜七八角田为问题。又果垛叠藏中两设圆锥垛，杂范类会中既设徽率割圆，又设密率割圆。还有一门专门说明一义的，如和分索隐中的分开方，三率究员两仪合辙中的反复互求。这部书只说‘如积求之’，如积有用定率为同数相消的，有如同加减乘除得积为同数相消的。祖颐序中说：‘平水刘汝谐撰如积释锁，可惜今不传。’想来大概是解释这些例子的吧？”

道光年间，在京城厂肆得到朱世杰的《算学启蒙》，罗士琳又加以校勘注释刊布。此书总二十门，共二百五十九问，其名术义例多与《玉鉴》相表里。罗士琳将它们互相校勘，从“天元”开始，到“四元”结束，义理主精深，所得甚深。考大德四年莫若序，计后于此书四年。此书首先列出乘除布算诸例，从超径等接之术开始，到天元如积开方结束，由浅近以至通变，循序渐进，其理易知。名曰启蒙，实则为《玉鉴》立术之根，这是一证。《玉鉴》原本每页十行，每行十九字，“今有”低一格，“术曰”又低二格，与此书相同，这是二证。《玉鉴》中斗斛的“斗”别写作“貐”，这是假借字，本于《汉书·平帝纪》及《管子·乘马篇》，还杂见于唐以前的《孙子》、《五曹》、《张丘建》诸算经，钧石的“石”，《说文》本作“柘”，《玉鉴》作“硕”，“硕”“石”古虽互通，但假“硕”为“石”，仅见于《毛诗·甫田疏》引《汉书·食货志》，而算书罕见，又《玉鉴》中“田”的“”，虽见于李籍《九章音义》，为字书所无，此书相同，这是三证。《玉鉴》虽亦三卷，但门数为二十四，问数为二百八十八，比此书多四门二十九问，然而以四字分类，其体裁相同。且如商功、修筑、方程、正负之类，则又两书互见，这是四证。《玉鉴》如意混和第一问，根据数据知一秤为十五斤，恰好与此书的斤秤起率相合，这是五证。《玉鉴》锁套吞容第九问，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问，有小平小长，皆向无其术。此书卷首明乘除段，即载有“平除长为小长，长除平为小平”的例题。其田亩形段第十五问，又载有方五斜七八角田求积通术，这是六证。其他如《玉鉴》或问歌彖第四问，与此书盈不足术第七问；又《玉鉴》果垛叠藏第十四问，与此书堆积还原第十四问；又《玉鉴》方程正负第四问，与此书方程正负第五问，题目都大致相同，这是七证。可知系朱氏原书失而复出，并将其算法一则，也附列在内，间有讹误，悉仍其旧，但各标识于误字旁，另记刊误于卷末。

又曾用乾隆年间明氏捷法校得八线对数表，一度十三分二十秒正切第五字“0”误作“一”；又六度四十一分十秒正切第五字“0”误作“六”；又十二度五十分正弦第六字“七”误作“五”；又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误作“0”；又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误作“四”。可见西人所能，中人也能够做到。

又因会通《四元玉鉴》如像招数一门，更取明氏捷法，用天元法驾驭，知道密率也可以招差，其弧与弦矢互求的方法，与授时历中的垛积招差一一符合。且因祖氏的缀术失传，其方法仅见于秦九韶的书，即大衍中的连环求等递减递加，也与明氏捷法相近。于是融会诸家法意，撰《缀术辑补》二卷。

又甄录古今算学家，仍用阮元体例作列传，采集前传未收者，得补遗十二人，附见五人，续补二十人，附见七人，共四十四人，次于前传四十六卷之后。

汇集所校所著之书总名《观我生室汇》十二种。如《四元玉鉴细草》二十四卷、《释例》二卷、《校正算学启蒙》三卷、《校正割圜密率捷法》四卷、《续畴人传》六卷，都另有单行本。

此外已刻者还有七种，曰《句股容三事拾遗》三卷，附例一卷，本于绘亭监副博启法补其遗，取内容方边圆径垂线互相求，全用天元法驾驭。曰《三角和较算例》一卷，取斜平三角形中两边夹一角术融入天元法，用和较推演成式。曰《演元九式》一卷，概括《玉鉴》中进退消长诸例，借无数之数，用正负开方式代入。曰《台锥积演》一卷，以《玉鉴》茭草、果垛二门可补少广之缺，故取台锥形段引申之。曰《周无专鼎铭考》一卷，用四分周术辅以三统汉术，推得宣王十六年九月既望甲戌，与铭辞正合。曰《弧矢算术补》一卷，因元和李四香原术未备，增补二十七术，合成四十术。曰《推算日食增广新术》一卷，推广正升、斜升、横升之算法，以求太阴随地随时之明魄方向分秒，复推其术，以求交食限内之方向，及所经历之诸边分。

其余如《春秋朔闰异同考》、《缀术辑补交食图说举隅》、《句股截积和较算例》、《淮南天文训存疑》、《博能丛话》，共若干卷，未有刻本。其同县友人中有易之瀚者，也以算术闻名。

易之瀚，字浩川。知道罗士琳有《四元玉鉴补草》，因而向他请教，撰《四元释例》一卷。共开方例二十九则，天元例十一则，四元例十三则。

顾观光，字尚之，金山人。太学生，三次考试不中，便无意科举，继承家业行医。同乡钱氏多藏书，常借读之。博通经、传、史、子、百家，尤其深究天文历算，探根究底，能找出其中道理，并指出其不尽然之处。时常寻找漏洞，搜集补充其未备之处。例如根据《周髀》中“笠以写天，青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”等语，而领悟到篇中周径里数都是为绘图而设。天本浑圆，用视法变为平圆，则不得不以北极为中心，而内外衡依次环绕它，都是借象，而非真的用平圆测天。

开元占经中鲁历的积年计算与实际情况不符，于是采用演积术推算其上元庚子到开元二年的年积，发现开元占经少了三千六百年。又用占经中的颛顼历年积核对史记秦始皇本纪，知道这种历法虽然以立春为起点，但以小雪与朔日相距的日子作为判断标准。原来秦代以十月为岁首，闰月放在年终，所以小雪必定在十月，前人都没有提到这一点。李尚之用何承天的调日法考校古代历法的日法、朔余强弱不合的有十六家，认为没能做到推算精微。于是另立方法，用日法、朔余辗转相减，得到强弱的数值。只要日法在百万以上都可以求出，只是朔余超过强率的无法计算。授时术用平定立三差求太阳盈缩，梅氏的详细解说没有说明原因。读到明志才知道就是三色方程的方法。说凡是两数升降有差，彼此递减，必定得到一个齐同的数。引申开来就是诸乘差，那么八线、对数、小轮、椭圆等方法都可以贯通。读开元占经所载瞿昙悉达的九执术，知道回回历、西洋历法都源于此。其中所谓的高月就是月孛，月藏就是月引数，日藏就是日引数，只是名称不同，也像回历称岁实为宫日数、朔策为月分日数一样。

他论述婺源江氏的冬至权度，推算刘宋大明五年十一月乙酉冬至前用壬戌、丁未两天的日影求太阳实际经度，然后求两心差，却专用壬戌。现在用丁未求得两心差，恰好与江氏古大今小的说法相反。大概是因为偏取一端，根源在于高冲运行太快。西洋历法用实朔距纬求食甚两心实际相距，方法繁琐且得数不精确。改为用前后两个设时求食甚实引直接得到两心实际相距，不必再借助实朔，比原本的方法更简单且精密。

西洋人割圆，只知道内接各等边的一半是正弦，不知道外切各等边的一半是正切。于是依据六宗、三要、二简等方法，另立求外切各等边的正切法，以补充其缺漏。杜德美求圆周的方法，用圆内接六边形起算，巧妙但降位稍慢，说内接十边形的一边，就是理分中末线的大分，距离圆周较近。而且十边形的边与圆周同数，不过递进一位，而大分与全分相减即得小分，那么连比例各率可以用较数取得。计算尤其简易，可用弧度计算，不用弧背真数。但还担心难以记忆，仍不免要借助表格，于是又合并两种方法使用，那么方法更简单，而弧线、直线相互求取的道理才完备。钱塘项氏的割圆捷术，只有弦矢求余线的方法，他认为可以通用于割、切二线，于是补充了该法。西洋人求对数，用正数多次开方，对数多次折半，方法繁重。李氏探源用尖锥揭示其原理，虽快捷但布算仍繁琐。而且所得的都是前后两数的差，可以造表但不能直接求出。戴氏简法和西洋数学启蒙又有新方法，但没有穷尽原理。于是变通求二至九的八对数，任意设数，立六种方法处理，得数都吻合。又立还原四种方法，并推演为和较相求八种方法，是历来讲对数的人所没有的。又认为对数的用处，最方便的是八线，但西洋人没有说明其立表的根源，于是冥思苦想，仍用诸乘方差，迎刃而解，尤其晚年造诣精微。其他凡是近代新译的西洋方法，如代数、微分、各种重学，都有所纠正，类似这样。

所著《算賸初、续编》共二卷。《九数存古》依照九章分为九卷，并把堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圆、弧矢等方法附在后面，都采集古书而分门别类。《九数外录》则概括四种方法为对数、割圆、八线、平三角、弧三角、各等面体、圆锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学，共十篇。《六历通考》则依据占经所记黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁的年积加以考证。《九执历解》、《回回历解》都就原法疏通证明。《推步简法》、《新历推步简法》、《五星简法》则就原法改角度为百分，省去迂回归于简易，总之对于学问实事求是，没有门户异同之见，所以分析道理很精辟，而谈算学最为突出。他的友人韩应陛，也因表彰算书而显名。

韩应陛，字对虞，娄县人。道光二十四年举人，官内阁中书舍人。少年喜欢读周、秦诸子，文章古质朴简深奥，不是时俗所崇尚。后来跟从同乡姚椿游学，得到望溪、惜抱相传的古文义法。西洋人所创的点、线、面、体之学，是《几何原本》，共十五卷，明朝万历年间利玛窦只译了前六卷。咸丰初年，英国人伟烈亚力续译后九卷，海宁李壬叔写录传播。应陛反复审订，交付刻版，亚力认为泰西旧本也比不上。其他如新译的重、气、声、光等学，应陛推究到极致，往往西洋人也未达到。

左潜，字壬叔，大学士左宗棠的侄子。补县学生。对于诗、古文辞无不深造，尤其精通算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒，士林惋惜。所学从大衍、天元及借根方、比例等各种新法，无不贯通。并能自出己意，变其形式，勘其错误，制作图解，往往超过前人。曾增订徐有壬的《割圆缀术》，完成后，忽然悟出通分捷法，分解分母、分子为极小数，根相同的去掉，凡是多项通分，顷刻完成。于是演算数草，成《通分捷法》一帙。

所撰《缀术补草》四卷，自序说：“自从泰西杜德美创立割圆九术，用屡乘屡除通方圆之率，我朝明氏、董氏各为之解说，而杜氏书的意义推阐无遗。但八线互求，尚无通法，不足以尽一圆的变化，并非明氏、董氏智力不够，而是不能因法立以尽其变化。他们能穷尽杜氏之义，是借助借根方；不能推广杜氏之法，也受限于借根方。因为借根方就是天元一的变化方法，终究不如元术的巧变莫测。此书祖述杜氏、宗奉明氏，又旁参董氏之法，八线相求，各立一式，因式立法，因法入算。以前不能立算的，现在都能用法驾驭，即使有不能立法布算的，但其式存在，就能济法之穷；而度圆诸线，一以贯之。推究立式的缘由，所谓比例术，就是明氏定半径为一率，所有为二率或三率的方法。所谓还原术，就是明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背的方法。所谓借径术，就是明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数，求千分全弧通弦率数等方法。所谓商除法，又是还原术的变法。所以缀术胎于明氏，而又足以尽明氏的变化。明氏未立式的，是因为用借根方取两等数，其分母、分子杂糅繁重，既不可通，其多号、少号辗转互变，又不可约。试取明氏书用缀术处理，其递降各率，顷刻可求。那么此书，真能因法立法，别树一帜于明、董之后吗？书是徐君青先生所作，吴君子登完成，但详细于式而简略于草。敬考其立法之原，不可骤得，学者困难，我因此于暇日为补草四卷，缀数语于卷首。”

又撰《缀术释明》二卷，湘乡曾纪鸿作序，大略说：“《易·系辞》说：‘极其数遂定天下之象。’那么综合天下难定的象归于有定，没有比数更重要的了。古代圣神，制器尚象，利物前民，对于数理必有穷究精微、范围后世者，但年代久远，逐渐失传。近三百年，泰西还能推阐古法，而中国才智之士，有的反而沿袭旧辙。孔子说：‘天子失官，学在四夷。’正是今日数学的写照。中国旧有弧矢算术，但没有标角度八线表，那么即使有用其理入算的，却没有表可查。于是每求一数，必百倍其功，而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表，核查其立法得数之原，甚为繁难，而成表之后，一劳永逸。大到无外，小到极微，莫不用此表测量，其用广大可想。但得表之后，虽无事于再求，而任举一数，无从核对讹误。若仍用旧术，则非数月不能得一数，这就是明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术的可贵之处。向来求八线，例用六宗、三要、二简各法，若任举一弧，必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法，则只要有弧径，八线都可求。董方立解杜术，先取其线极微者，令与弧线合，而后用连比例推至极大。又考诸率数与尖锥理相合，故用尖锥释弧矢，而弧矢的数理得以显明。明静菴解杜术，先取四分弧与十分弧的通弦直线极大者，用连比例推至千分、万分弧通弦的极微者，考其乘除的率数，与杜术乘除的原理合，故用缀术释弧矢，而弧矢的数理也出。董、明二家，都是弧矢的不祧之宗，无需轩轾。近百年中继起者，如戴、徐、李三家所著书，虽自出心裁，但都奉董、明为师。吾友左君壬叟，于数学尤孜孜不倦，遇有疑难，必穷力追索，务必洞澈其奥窔。曾说方圆之理，乃天地自然之数，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以为自得新法也可。曾释君青徐氏《缀术》，又释戴鄂士《求表捷术》，兹又释明静菴《弧矢捷术》，而一贯以天元寄分之式，于圆率一道三致意焉，可谓勤矣。谁料天厄良才，壬叟竟于甲戌秋不永年而逝，凡在同人，无不叹惜！何况我与他为两世神交，怎不怆切！”

曾纪鸿，字栗诚，大学士曾国藩幼子。恩赏举人。早卒。纪鸿少年好学，与兄纪泽并精算术，尤其精通西人代数术。锐思勇进，创立新法，同辈多心折。认为大衍求一术也可以用代数推求，依题演算，道理相通，撰《对数详解》五卷，始明代数之理，为不知代数者开先路。中间言对数之理，末言对数之用，明作书本意。其对常对、讷对，辨析分明。先求得各真数的讷对，再以对数根乘之，即为常对数。级数朗然，有条不紊，虽初学循序渐进，无不可相说以解。

夏鸾翔，字紫笙，钱塘人。因捐献军饷经议叙，获任詹事府主簿。他是项梅侣的入室弟子。钻研各种曲线算法，透彻理解圆产生于方的原理。融会贯通各种方法，推演穷尽变化，撰写《洞方术图解》二卷，自序大略说：“自从杜氏术出现，求弦矢有了捷径。但还需要乘除运算，计算终究不易，我想寻找一种能省略乘除的方法，却一直没得到。丁巳年夏天，客居京城，仔细思考连比例术，其实就是尖堆底。尖堆底的比例，与各乘方的比例相等。用它求连比例术，必须合并各乘方积一并求解。如果不知道各乘方积逐次差值的原理，方积怎能一并求解？况且一并求方积而想用加减代替乘除，又必须得到各差自然数才行，实在极难。后来忽然领悟：方积的逐次增加，是加上差值。差值的逐次产生，源于三角堆。差值加差值形成积，也是差值加差值形成差。而且各乘方积的数目与各乘尖堆的数目，数目不同但道理相同。三角堆产生于三角形，所以屡次增乘，都增加三角形；方积产生于正方形，所以累次增乘，都增加正方形。三角堆的差数，增加一根就增加一个差；方积的差数，增加一乘就增加一个差，道理正好相同。逐次相减，差值必定有尽头，正因为有尽头，才可以计算。相连的各弦矢之所以越相减差值越均匀，正是这个道理。各差值的原理，都起源于天元一，而产生于根差。逐次加一根，各乘方的根差都是一。一乘的数不变，所以可以省略乘法。如果增加根差，不再是单一，那么乘法就不能省略。弦矢弧背的差值，或是一秒，或是十秒，就用一秒、十秒的弧线当作根差，按照根差逐次求解，就能全部得到各乘方的差值。用差值加差值，就能全部得到所求弦矢各数，难道不快捷吗！于是推演成求弦矢的方法，让制表的人能用加减代替乘除。并详细阐明立术的道理，等待精通术数的人采择。”

又撰写《致曲术》一卷，包括圆、椭圆、抛物线、双曲线、摆线、对数曲线、螺线，共七类。每类都自创新法，参差并列，方法严密道理精深。又著《致曲图解》一卷，说天是大圆，天赋予万物，没有不圆的。圆虽是一个名称，形状却有万类。沿圆一周，曲线就产生了。西方人根据线产生的次数分为各类：一次式是直线；二次式有圆、椭圆、抛物线、双曲线四种；三次式有八十种；四次式有五千多种；五次以上，几乎难以计数了。现在只取二次式四种，追溯其本源，并附解说各乘方。抛物线形状虽然千差万别，道理其实一贯。各种曲线形式都具备于圆锥体，圆锥是二次曲线的母体。椭圆利于聚光，抛物线利于远射，双曲线利于发散，其道理都出自圆。如果能融会贯通，那么制造器物仿效天象，仰观俯察，用途无穷。现在逐一解释它们，其条目是：各种曲线起始于一点终止于一点第一，各式的中心第二，准线第三，规线第四，横直二径第五，兑径也叫相属二径第六，两心差第七，法线切线第八，斜规线也叫曲率径第九，纵横线式第十，各式互为比例第十一，八线第十二。

又曾创立快捷方法开各乘方，无论益积、翻积，统一为一法，都成坦途，可以直接求平方根数十位，写成《少广縋凿》一卷。

鸾翔于同治三年去世。他从方积的差值领悟求弦矢的方法，渐渐超过西方人，然而微分所舍弃的常数，就像方积的方与隅。所求的变数，就像两廉逐次增加的差值。他的方法应用于曲线，无所不通，但鸾翔仍需逐类创立方法，这一点不能不让西方人独步。然而西方开方法，从三次式以上，都是枝枝节节去做，不如中国方法的一贯。鸾翔又在中国方法之外独创快捷方法，不是西方人能望其项背的。

邹伯奇，字特夫，是南海的秀才。聪敏绝世，深入思考声音、文字、度数的本源。尤其精通天文历算，能荟萃中西学说并融会贯通，静极生明，多有神妙见解。曾作《春秋经传日月考》，说：“前人考订春秋的人很多，大多根据经、传的日月来求解，未能精确。现在用时宪历法上推二百四十二年的朔闰及食限，然后用经、传所记，核对其是否符合，才知道有经误、传误和历法错误的区别。”又说：“《尚书》中记载克殷的年月，郑玄根据《乾凿度》，认为进入戊午蔀四十二年克殷，下至春秋，共三百四十八年。刘歆《三统历》认为是积四百年，近代的钱塘人李锐都主张此说。现在用时宪历法上推，并用岁星验证，才知道郑玄对而刘歆错。”他解释孟子“由周而来，七百有馀岁”一句，说阎百诗《孟子生卒年月考》根据《大事记》和《通鉴纲目》，认为孟子辞官归乡在周赧王元年丁未，逆数至武王得天下，岁在己卯，应当有八百零九年。然而周共和以上的年数，司马迁已不能记载，可考的只有鲁世家，这是刘歆历谱所依据的。但将刘歆历谱与《史记》比对，刘歆在炀公、献公等年分上多有增加，共计五十二年。如果减去他所增加的，那么刘歆所说的八百零九年，实际只有七百五十七年罢了。

又说向来注经的人，对算学不完全精通，所以解释三礼制度多有疏失，因此作《深衣考》，以订正江永的错误。作《戈戟考》，以指出程瑶田的疏漏。用《文选·景福殿赋》中“阳马承阿”考证古代宫室阿栋的形制。用体积论述樐氏为量，用重心论述悬磬的形状，都绘图立说，援引详细明确。

又曾说群经注疏引用算术未能简明扼要，甄鸾《五经算术》已多疏漏简略，王伯厚《六经天文篇》广泛引用传注，也没有辨证。于是根据经义中有关天文、算术，为先儒所未发现，或发现而未阐明的，随时记录，写成《学计一得》二卷。

天象方面著有《甲寅恒星表》、《赤道星图》、《黄道星图》各一卷，自序大略说：“甲寅年春，制作浑球，以考证经史中恒星出没和历代岁差的缘故。但制器必须先绘图，绘图必须先立表，这就是恒星表所作的原因。《史记》、《汉书》、《晋书》、《隋书》等志，对恒星只讲部位，到唐宋才开始略有去极度数，大概旧传新图，多根据《步天歌》意想而作，与天象不符。本朝康熙初年，南怀仁作《灵台仪象志》，然后黄道、赤道的经度、纬度各列为表。乾隆九年，增修《仪象考成》，补正缺误。道光甲辰年，再加考测，作《仪象考成续编》，入表正座一千四百四十九星，外增一千七百九十一星，确实详明完备。如今已过十年，岁差逐渐变化，所以再根据现时推测立表，希望绘图制器能密合天行。”

又说：“绘图比推算天象更难，天文可坐着推算，地理必须亲身经历。近人不知古法，所以疏漏差错失实。因此考求地理沿革，作历代地图，以补充史书地理志的缺漏。”

又亲手摹绘《皇舆全图》，自序大略说：“地图按天度画方格，最为妥当不易。地球经纬相交都是正角，但世传的地图，到边地竟成斜方形，大失绘图原理，其弊病在于把纬度当作直线。以前曾作小总图，依浑盖仪，用半度切线，以显示迹象。但州县不备，且内密外疏，与实数不符，所以再作此图。其图纬度无伸缩，而经度逐渐变窄，相互之间都是半径与余弦的比例。横九幅，纵十一幅，合成地球滂沱四颓的形状，欲使所绘之图与地相像。

又改变西方人的旧法，作《地球正变两面全图》，其序大略说：“地形浑圆，上应天度，经纬都是圆线。作图者将浑圆绘在平面上，须用方法调节，才不失其形状相似。但视法有三种：其一在圆外视圆，方法用正弦，则经圈为椭圆，纬圈为直线，其形状中间宽两边窄，作简平仪用。其一在圆心视圆，方法用正切，则经圈为直线，纬圈为弧线，其形状中间弯曲两边狭窄，内密外疏，作日晷用。这两种，线无定式，量算繁难。且经纬相交，不成正角。其边际要么过窄，要么过长，用以画地球，既昧于方圆斜正的本形，又失去长宽实数，所以不取。其一在圆周视圆，方法用半切线，经纬圈都是平圆，虽也内密外疏，但各自能相互成比例，西方人以此作浑盖仪，最为理精法密。现在以此为基础作地球图，分正背两面。正面以京师为中线，其背面之中，即为京师对冲之处，尊崇首都。旁分二十四向，审察中国与各国彼此之势，确定方位准望。经纬都以十度为一格，设定比例率。”

于是推演其方法，著《测量备要》四卷，分“备物致用”、“按度考数”二题。“备物致用”其四目：一为丈量器，包括插标、线架、指南尺、曲尺、丈竹、竹筹、皮活尺、蕃纸簿、铅笔；二为测望仪，包括指南分率尺、立望表、三脚架、矩尺、地平经仪、平水准、纪限仪、回光环、折照玻璃屋、千里镜、象限仪、秒分时辰标、行海时辰标、析分大日晷、风雨针、寒暑针；三为检覈书，包括志书、地图、星表、星图、度算版、对数尺、八线表、八线对数表、十进对数表、现年行海通书、清蒙气差表、太阳纬度表、日晷时差表、句陈四游表、大星经纬表、对数较表、对数较差表；四为画图具，包括大小幅纸、砚、墨、朱、颜色料、笔、五色铅笔、笔壳、指南分率矩尺、长短界尺、平行尺、分微尺、机翦、交连比例规、玻璃片、橡皮。

“按度考数”其四目：一为明数，包括尺度考、亩法、里法、方向法、经纬里数；二为步量，包括量田计积、步地远近、记方向曲折、认山形、准望所见；三为测算，包括测量方向远近法、测地纬度法、论平阳大海地平界角、测地经度法、经纬方向里数互求法；四为布图，包括正纸幅、定分率、缩展、识别设色。

又因修改对数表的根而寻求析小术，是开极多乘方法，可直接求自然对数，即讷对数，用十进对数根乘之即得十进对数，著《乘方捷术》三卷。

又创制对数尺，因西方人对数表而变通其用法，画数于两尺，相并而伸缩之，使原有两数相对，而现在有数即对所求数。一为形制，二为界画，三为致用，四为诸善，五为图式，作《记》一卷。

又曾撰写《格术补》一卷，同乡陈澧为它作序，大致说："《格术补》这本书，是古代算学家有格术，失传已久，而我的朋友邹徵君特夫补充了它。'格术'这个名称，见于《梦溪笔谈》，其中说：'阳燧照物，靠近它就正立，渐渐远离就看不清，超过这个距离就倒立，这是因为中间有障碍的缘故。如同人摇橹，橹桩成为障碍，本末相互阻隔，算学家称之为格术。'又说：'阳燧面凹，对着太阳照，光线向内聚集，离镜一二寸，聚成一点，碰到东西就会起火。'《梦溪笔谈》的说法，都是格术的根本。宋代以前大概有推演成算书的人，后世失传，就没有人知道这种技术了。徵君得到《梦溪笔谈》的说法，观察太阳光的景象，推求数理，穷尽微妙，知道西方人制镜的方法都出自这里。于是写了一卷书，来补充古代算学家的技术。大概古代所说的阳燧，是铸金做成镜子，西洋铁镜就是阳燧，玻璃做镜子，也是同样道理。所以推究阳燧的原理，可以贯通它们。有了这本书，古代算学家失传的方法重新明白，可以知道西方人制造器具的方法，实际上是古代算学家本来就有的，这是当代的奇书。至于古代算学失传，像这样的应该还有不少，我又因此而感慨不已了！"

同治三年，郭嵩焘特地写奏疏推荐他，他坚决以生病为由推辞。曾国藩任两江总督时，想在上海机器局旁边设立书院，延请伯奇用数学教授学生，也没有去成。八年五月，去世，享年五十一岁。

李善兰，字壬叔，海宁人。秀才。跟随陈奂学习经学，对于算术特别喜欢，钻研很深。十岁就通晓《九章算术》，后来得到《测圆海镜》《句股割圜记》，学问更加精进。他怀疑割圆法不是自然的方法，精心思考得到其中的道理。曾说道理有一贯性，技艺也是如此。《测圆海镜》每题都有法和草，法是本题的方法；草是用天元一曲折地求得本题的方法，是造法的方法，方法的源头。算术大到日月运行交食，小到米盐琐碎，方法极其繁杂，用天元一来推演，没有不能得到方法的。所以天元一，是算学中的一贯之道。同时代精于算学的如钱塘戴煦、南汇张文虎、乌程徐有壬、汪曰桢、归安张福僖，都和他友好。咸丰初年，客居上海，结识英国人伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人。伟烈亚力精通天文算学，通晓汉语。善兰因为欧几里得《几何原本》十三卷、续二卷，明代翻译得到六卷，于是和伟烈亚力共同翻译后九卷。西方学者精通几何的很少，其中第十卷尤其玄奥，不容易理解，错误脱漏很多，善兰在笔录时，就根据自己理解加以补充修正。翻译完成，伟烈亚力感叹说："西方他日想得到善本，应当到中国来寻求！"

伟烈亚力又说美国天算名家罗密士曾经把代数、微分、积分合为一书，分款设题，清晰明白，善兰又和他共同翻译，书名为《代微积拾级》十八卷。代数改变了天元、四元，另成为新方法；微分、积分两种技术，又借径于代数，实在是中土从未有过的奇秘。善兰按照原书体例自然剖析，得力于《海镜》的地方很多。

粤匪攻陷吴、越时，善兰在曾国藩军中任职。同治七年，由巡抚郭嵩焘推荐，被征召进入同文馆，担任算学总教习、总理衙门章京，授户部郎中、三品卿衔。他用《海镜》教导同文馆学生，并用代数来推演，融合中西方法为一法，成就了很多学生。光绪十年，在任上去世，年近七十。

善兰聪明强记超过常人，他在算术方面，能抓住最简单的道理，驾驭最繁杂的数目，所以推演起来没有不能通达的数目，深究起来没有不能穷尽的道理。他所著的《则古昔斋算学》，详细记载在《艺文志》。世人认为梅文鼎领悟借根法出自天元，善兰能变四元而为代数，大概是梅文鼎之后的又一人。

华衡芳，字若汀，金匮人。擅长文章，精通算术，著有《行素轩算学》流行于世。其中《笔谈》一书，尤其凝聚了他毕生精力。共十二卷，第一卷论加减乘除的道理；第二卷论通分的道理；第三卷论十分数；第四卷论开方的道理；第五卷论看题、驭题的方法，以说明加减乘除、通分、开方的运用；第六卷论天元及天元开方；第七卷论方程的技术，已经包含了四元的意思，末尾专门论四元；第八卷论代数符号及等式；第九卷论代数中助变之数及虚代的方法；第十卷论微分；第十一卷论积分，分十六条来阐明；第十二卷：第一论各种算学不外乎加减乘除，第二论一切算稿应该写在纸上，第三论算学中可以著书的事情，第四论学算与著书并非两件事，第五论翻译算学书籍，第六论《畴人传》应当再续。总计从加减乘除、通分到微分、积分，由浅入深，技术本来繁杂困难，而用简易的宗旨来概括；道理本来艰深，用浅显的词语来表达。

又在同治十三年，与英国人傅兰雅共同翻译《代数术》二十五卷，衡芳作序说："代数的技术，其已知、未知的数，都用字来代替，而乘除加减各有记号，作为区别，可以按照题目的曲折来对应。等到层次已经清楚，阶段已经显现，就把所代的数代入，而所要求的数就出来了。所以可以节省算学的工夫，而心思也较为安逸，因为它可以不假思索就能得到。虽然如此，代数的技术确实简便，但请问精通此术的人，就能不觉得它繁琐吗？又不能。人的用心，日进不已，如果不至于昏聩迷乱，必定不肯最终停止。所以开始因繁琐而求简便，等到已经简便，必定更进一步，又遇到繁琐，即使迭代数十次，能避免吗？由此知道代数的用意，是为数学中钩深索隐之用，不是为浅近的算法而设的。至于米盐零杂的小事，而一概想用代数来施行，没有不被市侩所笑的。至于代数、天元的异同优劣，读这本书的人自然能了解，不用我多说。"

又与傅兰雅共同翻译《微积溯源》八卷，作序说："我认为古代的算法，只有加减而已。乘与除是因为加减不胜其繁，所以另外设立两种方法来使之简易。开方的方法，又是用来弥补除法的穷尽的。学算的人有了加减乘除开方五种方法，一切简易浅近的数，没有不能通达的。只是人的心思智虑日出不穷，往往以能做别人不能做的事为快，遇到有窒碍难通的地方，就想立法来弥补其穷尽，所以有减其所不可减，而正负之名不得不建立；除其所不受除，而寄母通分之法又不得不建立。代数中种种记号的方法，都是出于不得已而建立的。只是每立一法，必定能使繁杂的变为简易，困难的变为容易，迟缓的变为快速，而算学的境界，借此能更进一层。这样屡进不已，所立的方法，于是日益增多。微分、积分，又是因为乘除开方不胜其繁，而且有窒碍难通之处，所以更立这两种方法来弥补其穷尽，又使之简易而快速。试看圆径求圆周、真数求对数之事，即使没有微分、积分时，也未曾不能求，只是须要乘除开方数十百次，其困难有难以言喻的。不如用微积的方法，道理明白而计算快速。然而可以说加减乘除代数之外，更有两种方法，一种叫微分，一种叫积分。其中的积分好比微分的还原，如同开方是自乘的还原，除法是乘法的还原，减法是加法的还原。然而加与乘，其原没有不能还原的，而微分的原，有可以还原有不可以还原的，这如同算式中有不可还原的方而已，又有什么奇怪呢！如果一定要说加减乘除开方已经足够我们使用，何必再求更精妙的？这就好比舍弃车船的便利，而一定要负重远行。其用力多而成功少，不待智者也能分辨了。又代数术末卷中，载有求圆周率简捷法式，为欧拉所设。没有这个方法的时候，曾有算学家固灵用圆内接外切的多等边形，费极大工夫，算得三十六位的数。设直径为1，圆周为3.14159265358979323846264338327950288。他临死的时候，嘱咐家人把这数刻在墓碑上，大概是他平时得意的作品，怕它磨灭，所以想传之久远，也如同阿基米德的墓，刻有一个球形与圆柱形。"

又与傅氏共同翻译《三角数理》，这本书是英国人海麻士所撰。海麻士专门精通三角、八线之学，著书十二卷，都讲三角数理，就以此作为书名。首先阐明三角用比例的道理；其次论两角或多角诸比例数；其次论造八线比例表的方法；其次解平三角诸形；其次论诸角比例乘约变化之理，记载该国算学家棣弗美创例，附有专论对数术及诸三角形设题一百则，成书三卷，以引导学者；其次总说球上各圈及弧三角形的界限；其次解正弧斜弧三角形的方法；其次杂论求弧三角数种特设的表；最后用弧三角形设题二十七则结束。然而书中解说过于烦琐费解，仍然不能改变外角和较与垂弧、次形、总较等旧方法，所以自海氏之书出现，更觉得徐有壬《拾遗三术》难能可贵，超越西方人。

又与傅氏共同翻译《代数难题解法》十六卷。

他的弟弟世芳，字若溪。也通晓算术，著有《近代畴人著述记》。