卷二百九十三畴人一

薛凤祚、杜知耕、龚士燕、王锡阐、潘柽樟、方中通、揭暄、梅文鼎（子以燕、孙瑴成、曾孙钫、弟文鼐、文鼏）、明安图（子新、陈际新、张肱）、刘湘煃、王元启、朱鸿、博启、许如兰。

历法推算的学问，从粗略逐渐变得精密。西方的新方法，在明朝后期开始传入中国，到清朝时中西方法荟萃，于是集大成。康熙皇帝天性聪明，研究历法算术，精妙地契合了其中的精微之处。一时间继承学问的人，纷纷向往归化，人才辈出，前后相继。二百年来，历法推算的学问，日益达到精深，不仅开辟了古代学问的荒芜，而且弥补了西方人的缺漏。嘉庆初年，阮元撰写《畴人传》，后来的学者一再续补，从唐宋以来，这个领域以此时最为兴盛。现在选取其中卓越成家的人记载于这篇传记中，那些政事、文学成就记载于《列传》及《儒林传》、《文苑传》的人；西方人在钦天监任职，处于卿贰之列，各自有传记的人：不再一一列举。

薛凤祚，字仪甫，淄川人。小时候学习算术，跟随魏文魁求学，主张旧方法。顺治年间，与法国人穆尼阁讨论算术，才开始改从西方学说，完全学习了他的方法，因此撰写了《算学会通正集》十二卷、《考验》二十八卷、《致用》十六卷。其中所说的“对数比例”，是西方算术中用假数求真数的简便方法；所说的“中法四线”，因为西方方法以六十分为一度，不便于十进制，改为遵从古法，以百分之一为度，所列的只有正弦、余弦、正切、余切，所以称为四线。他推算的各种书：如《太阳太阴诸行法原》、《木火土三星经行法原》、《交食法原》、《历年甲子》、《求岁实》、《五星高行》、《交食表》、《经星中星》、《西域回回术》、《西域表》、《今西法选要》、《今法表》，都是会通中西来建立方法。以顺治十二年乙未年天正冬至为起点，各种应数都从这时开始计算。以三百六十五日二十三刻三分五十七秒五微为岁实，黄道、赤道的交角有加减，恒星每年运行五十二秒，与《天步真原》的方法相同。梅文鼎说他（薛凤祚）的书在方法上很详细，但没有精辟的论述来引发其中的趣味，大概当时新法刚刚推行，中西文字辗转相通，所以词旨不能完全通畅。然而他贯通中西，终究不愧为一代历算家的首功。

薛凤祚确定的岁实秒数为五十七，与牛顿符合，与穆尼阁认为的四十五秒不同，可见他的学问并非墨守穆尼阁的方法。有人批评他严格遵守穆尼阁的成法，依照数字推衍，这不是确切的评论。

杜知耕，字端甫，号伯瞿，柘城举人。精心研究几何学，将利玛窦、徐光启翻译的《几何原本》重新加以删节，写成《几何论约》七卷，后面附有十条，是杜知耕自己所作。他说这些方法似乎是原书所没有的，但道理实际上包含在各个题目之中，并不是能在原书之外产生新义。称为“后附”，是为了区别于丁氏、利氏的增题。又广泛采取各家算学，参考西方人的说法，依照古代《九章算术》的条目，编写了《数学钥》六卷。他说数没有图就不能明白，图没有指说就不能明白，图中用甲乙等字做标记，是用来代替指说的，所以他的书对图解特别详细。梅文鼎称赞他的《图注九章》，很切中要害。

龚士燕，字武任，武进人。小时候聪明有文才，讲求性命义理之学，兼通算术，阐发蔡氏《律吕新书》，推演黄钟圆径、开方密率等方法，而对于元代太史郭守敬的《授时历》尤其得到其中的奥秘。比如求冬至时刻，往上推百年加一算，认为岁周三百六十五日二十四刻二十五分之内，满一百年消长一分。核对《春秋》记载的三十七次日食，大多符合。又如推算晦、朔、弦、望，将太阳的盈与太阴的迟相并，将太阴的疾与太阳的缩相并，称为“同名相从”；将太阳的盈与太阴的疾相减，将太阴的迟与太阳的缩相减，称为“异名相消”；于是得到盈缩迟疾转化为加减时刻的差值。用这些加减朔望的大余、小余，得到定朔、定弦、定望等时刻。至于盈、缩、迟、疾，郭守敬创立了平差、立差、定差三种差，道理隐晦、数字繁多，龚士燕能够审察其中的关键，画图来阐明它。

又如赤道变换为黄道的方法，他说在二至（夏至、冬至）以后的，用度率1.0865除赤道积度，变为黄道宿度；在二分（春分、秋分）以后的，用度率1.0865乘赤道积度，变为黄道宿度。所有这些《授时历》的方法，引申后更加明白。其余月亮离度、五星等算法，与回回历、西洋历各种算法，遇到疑难，没有不洞悉的。至于太阳、月亮的体径有大小，交食的限数有深浅，全部见到其中的奥秘。并且领悟了唐顺之的“弧容直阔”之法，用来推求月亮出入黄道，在内在外，不超过六度。从此一切七政、气朔、交食等项，按照方法推算，百无一失。

康熙六年，下诏招募天下懂得算术的人，于是龚士燕进入京城。当时钦天监用大统历推算七政，大多不合天象，奉命在观象台每天测验，而金星比推算差到十度。因此修改古法，于是根据康熙七年所测的日影长度来推测太阳的盈缩，又根据每天观测五星的运行度数，考察它们的迟疾。彼此推求加减，气应、闰应、转应、交应等各种应数，测验都符合天象。大概他的方法也源自郭守敬，太阳为气应，推算冬至日躔时使用；太阴周天为转应，朔望时使用；日月地球的运行，同在一条直线上，视点上为交应，推算日月食时使用；合并气盈、朔虚的奇零为闰应，推算闰月时使用；此外又有金、木、水、火、土同聚一宿为合应，推算五星时使用。

修改各种应数，取顺治元年甲申年为起点，以应世祖章皇帝（顺治）拥有中原的祥瑞，钦天监称为“改应法”。已经修改了气、闰、转、交等应数，又修改了迟疾限和求差等方法，又修改了冬至黄道日出分依照步中星内的方法。又盈缩迟疾没有积度，日食没有时差，都符合天象。台官交相上奏章保荐。康熙八年，历书完成，在武英殿奏对，被授予历科博士。当时有人推荐西方人南怀仁等到朝廷，等到他们实际测验的各种方法，既准确又快捷，于是决定采用西方方法，而古历终于没有推行。

康熙十年，因病回乡，著有《象纬考》一卷、《历言大略》一卷。他的《天体论》一卷以及《闇虚》、《中星》、《交食》、《定朔》、《五星》等论述都散失了。

王锡阐，字晓庵，吴江人。兼通中西学说，创立了自己的新方法，用来测算日食月食，不差毫秒。每当天气晴朗，就登上屋顶躺在鸱吻上观察星象，整夜不睡。著有《晓庵新法》六卷，序言说：“炎帝时的八节历，是历法的开始，但它的书没有流传下来。黄帝、虞、夏、殷、周、鲁七种历法，先儒认为是伪作。现在七种历法都还存在，大旨与汉历相似，但章、蔀、气、朔，没有看到真貌，是汉人假托无疑。《太初历》、《三统历》，方法虽然粗略，但创始的功劳不可磨灭。刘洪、姜岌，依次阐明，何承天、祖冲之专门致力于表、圭，更加精密。从此南、北朝的历象，大致都能好学深思，多有推论，都不是浅近所能及的。唐代的《大衍历》稍显精密，然而开元甲子年应当发生日食却没有发生，一行竟然用谀辞来为自己辩解，哪比得上根据误差来求取符合呢？”

又说：“明朝初年元统制作《大统历》，因袭郭守敬的遗法，增减不到百分之一，难道郭守敬的方法果真能超越前人吗？郭守敬治历，首先重视测日，我曾经取他的表景，反复计算，前后矛盾。他所创改的，大多不是精密之数。在当时已经有失测失推的过失，何况遗籍散失，法意无凭。加上年代久远，数字积累，偏离天象越来越远，怎么能因循不变呢？元统的技艺不如郭守敬，在朝的大臣又不如元统，最终使本朝的大典，沿袭错误和虚假。虽然有李德芳苦苦争辩，但李德芳不能推理，而死守陈言，无法取胜，实在可叹啊！”

又说：“万历末年，西方人利玛窦来到中国，精通历法推算。崇祯初年，命礼部大臣徐光启翻译他的书籍，有《历指》作为历法原理，《历表》作为历法数据，书籍一百多卷，几年完成，于是盛行于世。研究历法的人没有不尊奉为典范的。我认为西方历法很好，但说它测候精确详细可以，说它深知历法原理则不可以。遵循它的道理而求通达可以，安于它的错误而不辨明则不可以。暂且举其大概：二分是春分、秋分平气的中分点；二至是太阳运行轨道南北的中点。《大统历》用平气来授时，用盈缩来确定太阳运行的度数。西方人已用定气，就把分和正合为一，因而讥讽中国历法节气差到两天。中国历法岁差数值较强，盈缩过多，怎能没有误差？但两天的差异，是分和正的不同类别，并非不知道太阳运行有快慢而导致错误。《历指》直接因为违背自己而讥讽它，这是不知道历法原理的第一点。各家制作历法，必定有积年日法，多少随意，牵强附会。郭守敬去掉积年而从辛巳年起算，屏弃日法而断以万分，见识确实卓越。西方历法以二十四来命名一天的时刻，以六十来命名一时刻的分数，总共计算一日为1440分，这是又用了日法。至于刻法，是他们没有的。近来才开始每时四分，成为一天96刻。他们先求度而后定日，尚未觉得繁琐，但用于中国历法则行不通。于是拿着西法反而说中国历法的百刻不适用，为什么呢？况且日食时差法的96与日刻的96有什么关系？却援引作为依据，这是不知道历法原理的第二点。天体浑圆，本来没有度分可指，前人因一日太阳运行命名为一度，太阳运行有快慢，以平行来断定，数字本顺从天象，不可增减。西方人去掉周天五度有余，收敛为360度，不过是为了方便割圆，难道真是天道本来如此？而党同伐异，一定要说日度不对，怎知360度尚且不是天真正有这个度数呢？这是不知道历法原理的第三点。上古设置闰月，在年终处理，大概历法技术疏阔，按年设置闰月。中古历法日趋精密，开始按月设置闰月，而在积累的末尾置闰，所以举中气来定月，而没有中气的月就是闰月。《大统历》专用平气，置闰必定得到其月，新法改用定气，导致一个月有两中气的时候，一年有两个可闰的月，像辛丑年西历那样，不也错了吗？月没有平中气的，是积累余数的终结，没有定中气的，不是那个月。不能虚心深入考究，而以卤莽的习惯，夸耀支离的学问，所以归余之后，气还在晦日；季冬的中气，已进入仲冬；首春的中气，将归于腊月底。不得已而退朔一日来迎合众人期望，也可见其技穷了，这是不知道历法原理的第四点。天正太阳运行，本来从子半开始，后来因岁差，从丑到寅。至于合神的说法，是星命家的鄙陋之言，明白事理的人不说。西人自命历法宗师，何至反而被其迷惑，说天正太阳运行一定从丑初开始？况且十二次的命名，全部依据星象，如随节气递迁，虽子午不妨异地，难道玄枵、鸟咮也没有定位吗？这是不知道历法原理的第五点。

岁实消长，开始于《统天历》，郭守敬采用它，而不知道应当用的原因；元朝人去掉它，而不知道应当去掉的原因。西人知道用太阳运行最高点来求它，而不知道用两道远近来求它，得到一点而遗漏一点。这是应当辨明的第一点。岁差不齐，必定由于天运快慢，现在想归之于偶然的误差，难道以前各家都是胡作非为吗？黄道、白道距离不同，产生交行的进退；黄道、赤道距离不同，产生岁差的屈伸；道理是一样的。《历指》已经明白于月，为何遮蔽于日？这是应当辨明的第二点。太阳运行盈缩最高点，古今运转不同，以主观推测，必定有定数。不仅日月星应当相同，只是运行缓慢差别细微，非毕生岁月所能测度罢了。西人每每夸耀数千年传人不乏，为何也没有定论？这是应当辨明的第三点。日月距人有时远近，视直径因而有大小，则远近大小，应当成相似的比例。西法日则远近差多，而视直径差少；月则远近差少，而视直径差多。由数求理，难以通晓。这是应当辨明的第四点。日食变差，关键在于交分，日轨交分，与月高交分不同；月高交于本道，与交于黄道又不同。《历指》不详其理，《历表》不著其数，难道黄道一术就足以穷尽日食的变化吗？这是应当辨明的第五点。中限左右，日月视差，有时一东一西。交、广以南，日月视差，有时一南一北。这是视差方向不同与视差方向相同加减迥别，《历指》难道以为不是常遇，所以放置不讲？万一遇到，学者如何计算？这是应当辨明的第六点。日光射物，必有虚影，虚影是光径与实径所生。暗虚总是缩小，道理不出于此。西人不知道太阳有光径，仅用实径求暗虚。等到推算不符，又酌减直径以求偶然符合。这是应当辨明的第七点。月食定望，只有食甚为然，亏复四限，距望有差。日食稍离中限，食甚已非定朔。至于亏复，相距更远。西历却说交食必定在朔、望，不用朓朒次差。这是应当辨明的第八点。

又说：“俗话说：‘推算历法很难，辨明历法很容易。’是说星象森罗，得失无处隐藏。根据他们所说，也未曾自信没有差错。五星经度，有时失二十余分，躔离表验，有时失数分，交食遇到这种情况，失误应当以刻计算；凌犯遇到这种情况，失误应当以日计算了。所以立法不久，违错颇多，我对于历说已辨明一二。然而癸卯年七月望食应当全食而不全食，与那失食失推有何区别？况且译书之初，本来说取西历的材质，归入大统的型范，不料完全毁坏成法，而专用西法，像今天这样。我所以兼采中西，去掉它的疵病，参以己意，著《历法》六篇，会通若干事，改正若干事，表明若干事，增辑若干事，立法若干事。旧法虽错，而未立即废弃的，两存之；道理虽可知，而上下千年不得其数的，缺之；虽得其数，而远引古测，未经亲眼可信的，另外见于补遗，而正文仍沿袭其旧。为日一百几十有几，为文万有千言，不敢妄说窥其堂奥，或许可以作为初学的津梁。”

他的方法：度法百分，日法百刻，周天三百六十五度二十五分六十五秒五十九微三十二纤，内外准分三十九分九十一秒四十九微，次准九十一分六十八秒八十六微，黄道岁差一分四十三秒七十三微二十六纤。列宿经纬：角宿一十度七十三分七十九秒，南二度一分二十三秒；亢宿一十度八十二分二十四秒，北三度一分一秒；氐宿一十八度一十六分一十四秒，北四十三分九十六秒；房宿四度八十三分六十三秒，南五度四十六分一十九秒；心宿七度六十六分二秒，南三度九十七分三十八秒；尾宿一十五度八十二分七十八秒，南一十五度二十分九十秒；箕宿九度四十六分九十六秒，南六度五十九分四十九秒；南斗二十四度一十九分八十二秒，南三度八十八分九十三秒；牵牛七度七十九分五十五秒，北四度七十五分一十七秒；婺女一十一度八十二分二秒，北八度二十分五十九秒；虚宿一十度一十二分九十一秒，北八度八十二分七十秒；危宿二十度四十一分四秒，北一十度八十五分六十二秒；营室一十五度九十二分二十秒，北一十度七十一分七十一秒。

在此之前，晓菴新法未成，作《历说》六篇，《历策》一篇，其说精核，与《新法》互有详略。又概括中西步术，作《大统西历启蒙》。丁未年，因推步大统法作《丁未历稿》。辛酉年八月初一日食，以中西法及己法预定时刻分秒，到那日，与徐发等以五家法同测，己法唯独符合，作《推步交朔测小记》。又以治历首重割圆，作《圜解》。测天应当依据仪晷，造三晷，兼测日月星，因作《三辰晷志》。都能穷究术数的微奥，补西人所不及。与同时青州薛凤祚齐名，称“南王北薛”。历策有说：“每遇交会，必定以所步、所测课较疏密，疾病寒暑无间，变周、改应、增损、经纬、迟疾诸率，于此三十年所。”也可以想见作者实测的诣力了。

潘柽樟，字力田。与王锡阐同县友好。王锡阐曾在他家做客，讲论算法，常穷日夜。潘柽樟著《辛丑历辨》说：“从前尧命羲和，说以闰月定四时成岁，大概历法首重设置闰月。而《春秋传》说：‘先王的正时，履端于始，举正于中，归余于终。’所谓始，是取气朔齐同为历元；所谓中，是月以中气为定，无中气的就是闰；所谓终，是积累气盈、朔虚之数而闰生。自汉以来，历术虽屡变，没有能改变此法的。只有西域诸历则不然，其法有闰年、有闰日，而无闰月。大概中历主日，而西历主度，不可强同。如今行西历的人，却以太阳运行求定气、求闰月，不仅尽废中国之成法，而且自悖西域的本法了。所以十余年来，宫度已乱，气序也错。如戊子年的闰三月，而置在四月；庚寅年的闰十一月，而置在明年二月；癸巳年的闰七月，而置在六月；己亥年的闰正月，而置在三月。其错谬，何可胜言！然而非深于历法的人，不易指摘。至于辛丑年的闰月，其失误显然无法自解了。为什么呢？闰法论平气而不当论定气，若用平气，则该年小雪在十月晦，冬至在十一月朔，而闰在两月之间。所谓闰前之月中气在晦，闰后之月中气在朔。今用定气，则秋分居九月朔，所以预先在七月朔置闰，然后秋分仍在八月，而霜降、小雪各归其月。无奈大寒定气乃在十一月朔，而十二月又无中气，既不可再置一闰，则是同一无中气之月，而有闰或不闰。他们所说太阳不及交宫即置为闰的，为何独于此处而自背其法？大概孟秋非归余之终，所以天正不能履端于始，地正不能举正于中。如此，则四时不定，岁功不成，而闰法又有什么用？况且壬寅正月，定朔旧法在丙子丑初，即使彼法也在丙子子正，则辛丑季冬当为大尽，而明年正月中气复移于今岁之末。他们自己也觉得不安，故进岁朔于乙亥，而季冬为小尽之月，都是所谓欲盖弥彰。即辛丑年岁朔，以彼法推，当会于亥正，而今在戌正，差至六刻，其他抵触，更难枚举。噫！作法如此，而还自以为尽善，可乎？大概其说以日行盈缩为节气短长，每遇日行最盈，则一月可置一气，是古有气盈朔虚，而今更有气虚朔盈了。然而有时晦朔两节而中气介其间。如丙戌仲冬，离闰稍远，还可不论；唯独辛丑仲冬，冬至、大寒俱在晦朔，离闰最近，进退无据。苟且迁就，有不胜其弊的。夫闰法之主平气，已行数千年了，今一变其术，不久就穷，至于无可奈何，则又何必取纷更呢！”潘柽樟后来因犯法死。弟潘耒，也学历算，见《文苑传》。

方中通，字位伯，桐城人。他汇集各家学说，撰写了《数度衍》二十四卷，附录一卷。书中说：“《九章算术》都源于勾股，环绕矩尺形成圆，合并矩尺形成方，以方形之数为根本。由方生出圆，是勾股所产生；少广，是方和圆所产生。方田、商功，都源于少广。一方一圆，其间不齐，开始出现差分，而均输针对差分的数目，盈朒借助差分求均。另外差分、均输所产生，而用方程补救其穷尽。度量衡源于黄钟，粟布由此产生，黄钟出于方圆。”又说：“古代方法用竹径一寸、长六分，二百七十一根成六觚为一握，后世有珠算而古法失传。西洋的笔算、筹算，都出自九九乘法。尺算就是比例规，出自三角。乘法没有比筹算更好的，除法没有比笔算更好的，加减没有比珠算更好的，比例没有比尺算更好的。”他的珠算归法，三一三十一、四一二十二之类，“十”字都写作“馀”字。他的尺算用三尺交加，取数只用平分一线。当时广昌揭暄也精通算术，与中通辩论太阳的大小，得出光肥影瘦的原因，以及古今岁差的不同，必须测算消长来统一。一昼夜人有一万三千五百息，每息宗动天运行十万里有余。另记录为一本书，叫《揭方问答》。

揭暄，字子宣，广昌人。著有《璇玑遗述》七卷，又名《写天新语》。论述日月东行如同槽中滚丸，而月质不变。又说七政的小轮，都出于自然，如同盘水旋转而周围，因运行快而形成旋涡，于是出现留逆。对于五星西行、日月盈缩，都多方设喻，说得近理。康熙己巳年，将草稿寄给梅文鼎，文鼎抄录其中精妙语句为一卷，称赞他“深明西术，而又别有领悟，其言论多古今所未发”。去世时年过八十。

梅文鼎，字定九，号勿庵，宣城人。儿时侍奉父亲梅士昌及塾师罗王宾仰观星象，就了然于星宿位置运行的大意。二十七岁时，师从竹冠道士倪观湖，学习麻孟旋所藏的台官交食法，与弟弟文鼐、文鼏共同研习。逐渐阐明其立法的原因，补充其遗漏，著有《历学骈枝》二卷，后增为四卷，倪观湖对此表示肯定。

遇到难读的书，一定要弄懂其学说，往往废寝忘食。残破的书籍散乱的帖子，亲手抄录汇集，一字异同，不敢疏忽放过。天文学家子弟及西域官员，都屈尊造访，有问的，也详细告知毫不隐瞒，期望与世人共同明白。所著历算之书共八十多种。

读《元史·授时历经》，赞叹其方法的精妙，作《元史历经补注》二卷。又因授时历集古法大成，于是参校古代术数七十多家，著《古今历法通考》七十余卷。授时历用六种方法考古代今冬至，取鲁献公冬至证统天术的疏漏，然而依其本来方法推算，与授时历所得正相同，作《春秋以来冬至考》一卷。《元史》西征庚午元术，西征指太祖庚辰年；庚午元，是上元起算的端点。历志误写太祖庚辰为太宗，不知太宗无庚辰年。又误写上元为庚子，则在积年上不合。考证并纠正它，作《庚午元算考》一卷。授时历不是各种古术所能比拟，郭守敬所著的《历草》，是《历经》立法的根本，拈出其含义的精微之处，为《郭太史历草补注》二卷。立成传写有讹误，不得其说，不敢妄用，作《大统立成注》二卷。授时术对于日躔盈缩、月离迟疾，都用垛积招差来立算，而《九章》诸书无此术，从未有人能说明其原因，作《平立定三差详说》一卷，这是阐明古法的。唐代九执术是西法的开端，其后有《婆罗门十一曜经》及《都聿利斯经》，都是九执的同类。元代则有札马鲁丁西域万年术，明代则有马沙亦黑、马哈麻的回回术、《西域天文书》，天顺时具琳所刻《天文实用》，就是依据此书，作《回回历补注》三卷，《西域天文书补注》二卷，《三十杂星考》一卷。表影产生于日轨的高低，日轨又因里差而变动，作《四省表景立成》一卷。《周髀》所言里差的方法，就是西人学说所从出，作《周髀算经补注》一卷。浑盖的仪器，最便于行测，作《浑盖通测宪图说订补》一卷。西洋以太阳行黄道三十度为一月，作《西国日月考》一卷。西术中有细草，如同授时历有通轨，以《历指》的大意概括并注释，作《七政细草补注》三卷。新法有《交食蒙求》、《七政蒙引》二书，都已失传，作《交食蒙求订补》二卷、《附说》二卷。监正杨光先不得已的日食图，把金环食与食甚分为二图，而各有时间，其错误不小，作《交食作图法订误》一卷。新法用黄道求赤道交食，细草用《仪象志》表，不如弧三角的贴切，作《求赤道宿度法》一卷。认为中西两家之法，求交食起复方位，都用东西南北来说。然而东西南北只有日月行到午规而又靠近天顶，则四方各正其位。否则，黄道有斜正的不同，而从亏到复，经历时刻，辗转迁移，弧度之势，顷刻改变方向。且北极有高低，而随处所见必定都不同，势难用于测验。如今另立新法，不用东西南北的称号，只依据人所见日月的圆体，分为八向，以正对天顶处为上，对地平处为下，上下连成直线，作十字横线，命之为左、为右，这是四个正向；称为上左、上右、下左、下右，则是四个角向。于是用来确定受蚀所在，则抬眼可见，作《交食管见》一卷。太阳有日差，如同月离交食有加减时，因表说含糊有误，作《日差原理》一卷。火星最难算，到地谷才精密，解释其立法的根本，作《火纬图法》一卷。订正《火纬表记》，因而涉及七政，作《七政前均简法》一卷。《天问略》取纬不精确，而列表依从它有误，作《黄赤距纬图辨》一卷。新法帝星、句陈经纬刻本互异，作《帝星句陈经纬考异》一卷。观测帝星、句陈二星为定夜时的一种简单方法，作《星轨真度》一卷。以上都是用来阐明新法算书，或纠正其错误，或补充其缺失。

康熙己未年，明史开局，历志由钱塘吴任臣分修，经过嘉禾徐善、北平刘献廷、毗陵杨文言，各有增定，最后交给黄宗羲，又交给文鼎，摘出其错误五十多处，用算草、通轨补充，作《明史历志拟稿》一卷。虽是为大统历而作，实际是用来阐明授时历的奥妙，补充元史的缺略。其总目共三：叫法原、立成、推步。而法原的细目有七：叫勾股测望、弧天割圆、黄赤道差、黄赤道内外度、白道交周、日月五星平立定三差、里差刻漏。立成的细目共四：叫太阳盈缩、太阴迟疾、昼夜刻、五星盈缩。推步的细目共六：叫气朔、日躔、月离、中星、交食、五星。

又作《历志赘言》一卷，大意说：“明代用大统历，实际就是授时历，应该详述元史缺载的事，来补充其未完备。又回回历沿用了三百年，按法应该完整记载。又郑世子历学已经进呈，应该详述。其他如袁黄的《历法新书》，唐顺之、周学述的《会通回历》，用庚午元历的体例来比照，都可以附录。西洋历如今正在施行，但崇祯朝徐、李诸公测验改宪的功绩，不可埋没，也应该完整记载缘起。”

己巳年，到京师，在邸第拜谒李光地，对他说：“历法到本朝已经大备，但经生家还像望洋兴叹，是因为没有痛快淋漓的论述来引发兴趣。应该略微模仿元朝赵友钦《革象新书》的体例，作简要之书，使人人都能得入门户，那么从事的人多，这门学问差不多将大显。”于是作《历学疑问》三卷。

李光地扈从皇上南巡，驻跸德州，有旨取所刻书籍回奏，光地匆忙来不及携带，于是把所刻的《历学疑问》恭敬呈上。奉旨：“朕留心历算多年，此事朕能判断其是非，将书留下阅览再发还。”两天后，召见光地，皇上说：“昨天所呈的书很细心，而且议论也公平，此人用力很深，朕带回宫中仔细看阅。”光地于是请求皇上亲自御笔，批驳改定，皇上答应了。

第二年癸未春，皇上再次南巡，在行在发回原书，面谕光地：“朕已经细细看过。”中间圈点涂抹以及签贴批语，都是皇上亲笔。光地又请问此书缺点错误所在，皇上说：“没有缺点错误，只是算法不完整。”因为这本书本来未完成，所以圣谕提到。

不久，圣祖西巡，询问隐居的人士，光地把关中李颙、河南张沐以及文鼎三人回答。皇上也早就知道李颙和文鼎，乙酉二月，南巡狩猎，光地以巡抚身份扈从，皇上问：“宣城处士梅文鼎在哪里？”光地回答“还在臣的官署。”皇上说：“朕回去时，你与他一同前来，朕将当面接见。”四月十九日，光地与文鼎在河边伏迎，第二天早晨，一起在御舟中召对，从容询问，直到过了时辰，如此三天。皇上对光地说：“历象算法，朕最留心，这门学问现在鲜有人知，像文鼎，真是仅见。此人也是雅士，可惜老了！”连日赐御书扇幅，颁赐珍馔。临告辞，特赐“绩学参微”四大字。过了一年，又命其孙梅瑴成入内廷学习。

五十三年，瑴成奉上谕：“你祖父留心律历多年，可将《律吕正义》寄一部去，让他看，或许有错处，指出来很好。古代帝王有‘都俞吁咈’四字，后来于是只有‘都俞’，就是朋友之间，也不喜欢别人规劝，这都是私意。你们必须竭力克服，则学问长进。可将此意写给你祖父知道。”恩宠是自古以来所没有的。

文鼎图注各省及蒙古各地南北东西的差，为一卷书，名《分天度里》。地球既然是圆的，那么所说的二百五十里为一度，纬度是这样，如果经度离赤道远，则里数逐渐变狭。所以只有路正东西行，自有一定算法；路如果斜行，则其法不可用作为立法。如果两地各有北极高度，又有相距的经度，而没有相距的里数，这是有两边一角，而求其余一边，就可以知道斜距的里数。如果先有斜距的里数而求经度，这是三边求角，也可以知道相距的经度。其法都用斜弧三角形立算，可与月食求经度的方法互相参证，而且简易准确。

文鼎对于测算的图与器，一看就得到要领，古六合、三辰、四游之仪，用意匠约简为小制作，都符合。又自制月道仪，揆日测高诸器，都出自新意。曾经登观象台，浏览新制六仪，以及元郭守敬简仪、明初浑球，指点其中的优缺点，都像平时熟悉。其书有《测器考》二卷，又《自鸣钟说》一卷，《壶漏考》一卷，《日晷备考》一卷，《赤道提晷》一卷，《勿庵揆日器》一卷，《加时日轨高度表》一卷，《揆日测说》一卷，《璇玑尺解》一卷，《测量定时简法》一卷，《勿庵测望仪式》一卷，《勿庵仰观仪式》一卷，《月道仪式》一卷。

他的学说认为：“月球轨道出入于黄道，就像黄道出入于赤道一样。从古至今，没有人制造过这种仪器。现在依据浑盖北密南疏的度数，以黄极为中心，而月球轨道一半在内、一半在外，那么月球纬度大小的原理，以及正交、中交、交前、交后的方法，就可以清楚地显示出来。仪器用铜制成，大致像浑盖，上盘是月球轨道，也像浑盖天盘上的黄道圈；下盘是黄道经纬度，分宫分度，都以黄极为圆心，边缘以黄纬九十五度少半为界限。出黄道南五度少半，是月球轨道所到达的地方。”

礼部郎中李焕斗曾向梅文鼎请教历法，文鼎写了《答李祠部问历》一卷。沧州老儒刘介锡一同客居天津，也来问历法，文鼎写了《答刘文学问天象》一卷。又说自己生平对于难读的书，常常亲手抄录并放在箱子里，等待明白的人来询问，其中关于历学的尤其多，写了《思问编》一卷。纬度用来测量太阳高度，因而知道北极的应用非常广泛，古人用二至二分，现在则可以每天测量，应朋友之问，写了《七十二候太阳纬度》一卷。潘天成跟从文鼎学习历法，但苦于计算，文鼎写了《写历步历法》一卷传授给他。还有《授时步交食式》一卷，是文鼎的弟弟梅文鼏的稿子。《步五星式》六卷，是文鼎和他的二弟梅文鼐共同完成的。

文鼎每得到一本书，都为其校正错误和缺漏，指出得失，又著有《古历列星距度考》一卷，从残破的版本中，寻找到普天星宿的入宿去极度分，中间缺少两颗星，又根据福建林侗的抄本补充完整，并断定这是授时历的方法。万历年间利玛窦进入中国，开始提倡几何学，用点、线、面、体作为测量工具，制造仪器、绘制图形，相当精密。学者们过于推崇，没有深入考察，就轻视古代方法认为不值得一看；而固守旧法的人，又斥责西学为异端学说：两家的说法，于是形成了隔阂。文鼎汇集各家书籍并加以解说，使用筹算、尺算、笔算，逐渐改变为我所用。像三角、比例等，原本不是中法所能涵盖的，特别加以阐明。古法中的方程，也不是西法所有，就专门著论，以阐明古人的精妙之意不可埋没。又写了《九数存古》，来概述其要点。总编为《中西算学通例》一卷。

其余分为九种：第一种，《勿庵筹算》七卷。第二种，《笔算》五卷。都是把横式改为竖式，以方便中文书写。第三种，《度算》一卷，原本没有算例，他弟弟文鼏补充了，并参考了嘉禾陈荩谟的尺算用法。还有矩算，用一把尺和一块方板，则是文鼎创制的。第四种，《比例数解》四卷。解释穆尼阁所翻译的对数。第五种，《三角法举要》五卷。其目录有五：测量名义、算例、内容外切、或问、测量。第六种，《方程论》六卷，安溪李鼎徵在泉州刊刻。第七种，《几何摘要》三卷，就《几何原本》删繁补遗。第八种，《句股测量》二卷，就《周髀算经》、《海岛算经》等术，摘录要点以保存古意。第九种，《九九数存古》十卷，九数就是九章隶首的方法，仅存的是九章的目录罢了。后来的作者，没有能超出其范围的。

此外有书十七种作为续编：第一种，《少广拾遗》一卷。古代有一乘方到九乘方相生的图，但不知道具体用法。后来有人增加到十乘，只有四乘方和十乘方不能借用其他方法，因此推演到十二乘方，有条不紊。第二种，《方田通法》一卷，算家有捷田二十三法，扩充到一百二十四法。第三种，《几何补编》四卷。《几何原本》六卷，只到测面为止，七卷以后没有翻译出来，摘取《测量全义》中量体的各种率，实际考察其作法的根源，以补充原书的未完备之处。而原书关于二十等面体的说法，一向怀疑有错误，现在得到了实际数值。又原本中的理分中末线，只有求作的方法，而不知道用法。现在依法求得十二等面和二十等面的体积，因而得到各体中棱线和聚心对角各线的比例。又两种体互相容纳以及两种体与立方、立圆等体互相容纳的各种比例，都以理分中末线为法，才知道这条线不是徒然设置的。第四种，《西镜录订註》一卷。第五种，《权度通几》一卷。重学是西学的一种，记载在《比例规解》中的多有错误，现在用南勋卿《仪象志》互相订补，其数值才正确。第六种，《奇器补註》二卷。关中王公徵的《奇器图说》所记述的引重转木等装置，都对民生日用有裨益，而且本于西人的重学，以阐明其意。曾根据书史所传，如汉代杜诗制作水排以便民，以及王氏《农书》中各种水器之类，所见所记，如刘继庄《诗集》中记载的筒车灌田法，稍加辑录，以补充其遗漏，而图与说不相应的则加以改正，用西文标识的则换成中文。第七种，《正弦简法补》一卷。《大测》等书，讲述制作八线表的方法已经很详细了，薛凤祚的书中有用矢线求度法，为此作图以阐明其意。因而得到两种方法，在六宗、三要之外，而且使用更加快捷。两种方法，一是正弦平方加倍再退位得到倍弧的矢，一是正矢进位折半得到半弧正弦的平方。第八种，《弧三角举要》五卷。历书都是三角法，内分两支：一是平三角，一是弧三角。凡是历法所测量的，都是弧度，弧线与直线不能成比例，则剖析浑圆的体，而在各弧线中得到相应的直线。就是在没有勾股中找出勾股，这是最奇特而准确的方法。弧三角的用法虽多，但最显著明了的是黄赤交变一图。反复推论，清楚如列眉，熟悉这一端，其余就不难推及了。《测量全义》第七、第八、第九卷专门阐明此理，但举例不全，而且多有错误。那些散见于各种历指中的，仅存有用数，无从得知其端倪。《天学会通》中的圈线三角法，作图草率，往往不与方法相应。一概以正弧三角为纲，仍用浑仪来解释它。正弧三角的道理，全部归结为勾股。参酌其变化，斜弧三角的道理，也归结为勾股了。其目录：弧三角体式、正弧勾股、求余角法、弧角比例、垂线、次形、垂弧捷法、八线相当。第九种，《环中黍尺》五卷。《举要》中关于弧度的方法已经很详细，但还有简妙的应用应当知道。《测量全义》原有斜弧两矢较的示例，所立的图只是斜望的形状，而没有实际度数可言。现在一律以平仪正形为主，凡是可以用算的，就可以用器量。浑仪的真象，呈现于纸片上，而经纬清楚，没有丝毫隐藏假借。至于加减代乘除的用法，历书只举其名而不详其说，疑惑了几十年，而后得到其条理，就是初数、次数、甲数、乙数等各种方法。其目录：总论、先数后数、平仪论、三极通几、初数次数、加减法、甲数乙数、加减捷法、加减又法、加减通法。第十种，《巉堵测量》二卷。古法斜剖立方，成为两个巉堵形，巉堵再剖分为二，成为立三角，立三角是量体所必需的，但此义都未阐明。现在用浑仪黄赤道的割切二线成立三角形，立三角本来是实形，现在诸线相遇成虚形，与实形相等，而四面都是勾股，西法与古法相通了。又在余弧取赤道及大距弧的割切线，成勾股方锥形，也是四面都是勾股，即弧度可以互求，也不谈角，古法与西法相通了。两者都可以用硬纸做成仪器来演示，那么八线互为比例的道理，就清楚如掌纹。而郭守敬的圆容方直矢接勾股之法，不须多言就能理解。其目录：总论、立三角摘要、浑员内容立三角、句股锥、句股方锥、方巉堵容员巉堵、员容方直仪简法、郭太史本法、角即弧解。第十一种，《用句股解几何原本之根》一卷。《几何》不谈勾股，但其道理不能超出勾股。所以其中最难通的，用勾股来解释就明白了。只有理分中末线似乎与勾股不同源，现在用心于立法之初，仍不外乎勾股，更加相信古勾股的含义包罗无遗。徐光启翻译《大测表》，命名为《割圜句股八线表》，他是知道这点的。第十二种，《几何增解数则》。其目录有四：以方斜较求斜方、切线角与员内角交互相应、量无法四边形捷法、取平行线简法。并针对几何各题而增补，不纳入补编，附在前条共为一卷。第十三种，《仰观覆矩》二卷。一卷查地平经度为太阳出入方位，一卷查赤道经度为太阳出入时刻，并依据里差，用弧三角直接计算，与历书方法略有不同。第十四种，《方员幂积》二卷。历书中的周径率达到二十位，但实际计算时，仍用古率十一与十四的比例，难道不是因为在乘除之际难以使用多位数字吗？现在用表格列出，取数特别容易，于是为之简化，则径与周的比例就是方、圆二幂的比例，也就是立方、立圆的比例，非常简便直接。第十五种，《丽泽珠玑》一卷。朋友之间的益言，选取其中与算学有关的。第十六种，《算器考》一卷。第十七种，《数学星槎》一卷。

文鼎的《历学疑问》，曾呈送皇帝阅览，后又引申其说，作《历学疑问补》二卷，都平正通达，可作为推算家的准则。

文鼎治学非常勤奋，刘辉祖与他同住一馆，告诉桐城方苞说：“我每次睡醒，听到漏鼓敲四五下，梅先生还点灯夜读，这才知道我是在虚度时光。”在京城时，裕亲王以礼相待，延请至王府，称梅先生而不直呼其名。李文贞公命儿子李钟伦跟他学习，其弟李鼎徵及子侄都执弟子之礼。宿迁徐用锡，晋江陈万策，景州魏廷珍，河间王之锐，交河王兰生，都以能参与校对为荣。家中藏书很多，多年游历，手抄杂书不下数万卷。辛丑年去世，享年八十九岁。皇帝听说后，特命当地官员办理丧事，士人们认为很荣耀。

他的儿子梅以燕，字正谋。康熙癸酉年考中举人。对算学颇有领悟，著有《法与加减同理，而取径特殊》，能从《恒星历指》中提出问题，文鼎所说的“能帮助我的思考”。早逝。

梅瑴成，字玉汝，是梅以燕的儿子。文鼎怀疑日差既然有两个根源，就应该列出两个表，梅瑴成认为：“定朔时既然有高卑盈缩的加减，再在这里用，岂不是重复吗？”文鼎因他的说法，才悟出交食不是有缺欠，比作童乌九岁就能与《太玄》相比。康熙乙未年考中进士，改任编修，参与编纂国史。梅瑴成在蒙养斋学习，因此数学日益进步。御制《数理精蕴》、《历象考成》等书，他都参与编纂。所著有《增删算法统宗》十一卷，《赤水遗珍》一卷，《操缦卮言》一卷。

明代的数学家，不懂得天元术。梅瑴成认为天元一就是西方算法中的借根方，他的说法是：“曾经读《授时历草》中求弦矢的方法，先立天元一作为矢，而元朝学士李冶所著的《测圆海镜》，也用了天元一来计算。传抄过程中有鲁鱼之误，算式错乱，很不容易阅读。明朝的唐荆川、顾箬溪两位先生互相推崇，自称得到了其中的精髓。荆川的说法是：‘艺士著书，往往以保密为神奇，所谓天元一之类，如积求之之类，完全不知道它说的是什么。’而箬溪却说：‘仔细考究《测圆海镜》，比如求城径，就以二百四十为天元，半径就以一百二十为天元，既然知道了数值，何必还要计算呢？似乎不必立天元也可以。’两位先生的话如此，我对顾说很不以为然，但无法辩驳。后来我在内廷供职，蒙圣祖仁皇帝教授借根方法，并且指示说：‘西方人把这本书称为阿尔热八达，翻译过来就是“东来法”。’我恭敬地接受并研读，这个方法神妙，确实是算法的指南，但私下怀疑天元一之术与它很相似。再取《授时历草》来看，才豁然开朗，大概是名称不同而实质相同，不仅仅是相似而已。元朝时学士著书，台官治历，无非都是这个东西。但历时久远失传了，幸好远方之人仰慕教化，又得到了旧物。‘东来’的名称，他们尚且不忘记来源，而明朝人却视若累赘想要抛弃它。唉！像唐、顾两位先生那样好学深思的人，尚且不能理解它的意思，而那些浅见寡闻的人，又有什么值得说的呢？”

明史馆开设，梅瑴成参与修撰《天文志》《历志》，呈给总裁的信中说：“一，《历志》一半是先父的草稿，但多次经过改窜，不再是原本，其中错误很多。凡是有增删改正的地方，都逐条签出。一，《天文志》不宜并入《历志》，打算仍然另外编撰。因为历法是用来敬授天时、设置闰月以成岁功的，其方法曲折繁重，道理精微，论述深长。而且明朝二百七十多年间沿革不是一件事，造历的不是一家，都需要写入志书。即使尽力删削，卷帙仍然繁重。如果加入《天文志》的内容，恐怕冗杂不符合史法。自从司马迁把《历书》和《天官书》分为两书，历代沿袭，似乎不可改变。一，《天文志》的体例记载天体、星座、次舍、仪器、分野等事，《辽史》说天象千古不变，历代记载天文的志书近乎多余，这种说法似是而非。因为天象虽然没有古今的差异，但古今谈论天象的人，则有疏密的区别。况且恒星距离北极、交宫的中星、晨昏的隐现，年年都有差异，怎么能说千古不变呢？现在打算选取天文学家精妙的说法著录在篇中；那些不足信的说法，打算删去。”

又有《时宪志用图论》说：“有客人问梅子说：‘史书是用来记录事实的，沿袭而不创制。听说你在编修《时宪志》时用了图，这本来是二十一史所没有的，而你创制了它，难怪管事的人认为不合体例想要去掉它。而你固执己见，还喋喋不休地上言，难道不记得韩昌黎的自讼吗？我私下为你感到危险！’梅子说：‘我听说史学的道理贵在诚信正直，我本来不想做史官，总裁说《时宪志》《天文志》非专家不能办理，不认为我鄙陋而委任给我。我既然无法推辞，不得不尽我的职责。现在客人说旧史没有图而怀疑我的创制，我私下认为史书记事，只看它是否可信罢了，沿袭还是创制是不必计较的。后世史书比前代增加的东西很多了，《汉书》的十志，已经不同于《史记》的八书，而后汉的《皇后本纪》，与《魏书》的《释老志》，《唐书》的《公主传》，《宋史》的《道学传》，都是前代史书所没有的，又何必怀疑国史用图是创制呢？而且客人没有读过《明史》吗？《明史》在割圆弧矢、月道距差等图，详细记载在《历志》中，为什么《明史》不怀疑是创制，却怀疑我呢？’客人说：‘后世史书比前代增加的，一定不是没有原因，像《明史》用图，也有说法吗？’梅子说：‘有疑问的按疑问传，可信的按可信传，这是《春秋》的法则，作史的人谁能改变它？古代治历的有几十家，大都不外乎增减日法，增加天周，减少岁余，以求合于一时罢了。就是太初历起数于钟律，大衍历托始于蓍策，也都是牵强附会，并没有能深入探索天体运行的道理，而发明其所以然的道理。本来没有图，史官从哪里取来记载？到元朝郭太史修《授时历》，不用积年日法，全凭实测，用勾股割圆以求弦矢，于是有割圆诸图记载在《历草》中。作《元史》时，不知道采集采纳，是宋、王诸公的疏忽。明朝的《大统历》，实际上就是《授时历》。本朝纂修《明史》诸公，认为道理非图不能明了，于是采录《历草》入志，他们的见识极高。再经过圣君贤相鉴定，不认为不合体例而去掉它，使精义流传无穷，确实足以开阔万古作史者的心胸。至于《时宪历》立法之妙，义蕴之深，全部体现在图中，更不可去掉。如果一定要去掉图才算合体，难道认为《明史》不合体例，而本朝的制度不足效法吗？而且客人也知道《时宪历》的图是从哪里来的吗？我圣祖仁皇帝怜悯绝学的失传，留心探索四十多年，看透了底蕴，才亲自教授儒臣，作图立说，以阐明千古不传的秘密，就是御制的《历象考成》。我亲自承受圣训，实际参与汇编之列。那些前辈纂修《明史》，尚且不忍埋没古人的善举，创例以流传。而我作为承学之臣，恭敬地记述御制，却恐怕违背管事者的意思，迁就迎合，以致圣学不能彰显，贻误后学，还能算是信史吗？不诚信的史书，人人可以敷衍塞责，何用我越俎代庖？我喋喋不休，不是沽名钓誉，是不得已。既然这样，那么韩子的自讼，也是说那些话是可以停止的罢了。假使韩子果然一味取悦以求幸免，那么谏臣之论、佛骨之表，又为什么这样侃侃而谈呢？’客人唯唯而退。”

又有《仪象论》说：“齐七政、授民时，仪象与算术并重。因为如果没有算术，就无法预先推算节气以方便民用；没有仪象，就无法观测现在的运行度数，以检验推算的疏密，作为修改的依据。《虞书》中的‘璇玑玉衡’，是仪象的起源，它的制造方法失传了。汉人创造浑天仪，就是玑衡的遗制，唐、宋都仿造它。到元朝才有简仪、仰仪、窥几、景符等仪器，比古代更加详备。明朝在齐化门南靠城修筑观象台，仿元制制作了浑仪、简仪、天体三仪，放在台上，台下有晷影堂、圭表、壶漏，清朝初年沿袭下来。康熙八年，命令制造新仪，十一年完成，安置在台上，那些旧仪器移藏到别的屋子。五十四年，西方人纪理安想炫耀他的才能而灭弃古法，又奏请制造象限仪，于是将所遗留下的旧器当作废铜，仅存明代仿元制的浑仪、简仪、天体三仪而已。所制的象限仪完成后，也放在台上。按《明史》说：‘嘉靖年间修相风杆及简、浑二仪，立四大表以测晷影，而立运仪、正方案、悬晷、偏晷，都具备于观象台，一概以元法为准则。’我在康熙五十二三年间，充任蒙养斋汇编官，屡次到观象台测验。看到台下所遗留的旧仪器很多，而元制简仪、仰仪等器，都有王珣、郭守敬监造的姓名。虽然不无残缺，但看到它们的遗制，想到创造时的苦心，不觉肃然起敬。乾隆年间，监臣受西方人的愚弄，屡次想废除台下的剩余仪器作废铜送制造局，依赖廷臣奏请存留，礼部奉旨查检，才知道仅存三仪，大概是纪理安烧剩的残余。西方人想凭借技术来推行他们的宗教，所以想尽灭古法，使后世无所考证，他们更加得以居奇，其心叵测。而监臣没有见识，不想在千百中保存一二，反而助纣为虐，为什么？乾隆九年冬，有旨将三仪移置到紫微殿前，古人的法物，大概可以永久保存了。”

又论勾股说：“勾股的和与较互相求，讲算学的人没有不留心的，方法可以说是详细完备了，但还没有人以勾股积与勾弦和较为问题的。元朝学士李冶著《测圆海镜》，用余勾、余股计算，神明变化，几乎如五花八门，也没有涉及这一点。难道都没有考虑到吗？还是有方法而遗漏了？《统宗》少广章内，虽然有勾股积及勾弦较两题，但只是偶然合于勾三股四的数，不是通用方法。从前我在蒙养斋待罪，汇编《数理精蕴》，想立法以补其缺。先用平方辗转推求，都不能解决，思考了很多天，然后得到用带纵立方求勾股二法。”

梅瑴成去世时，八十三岁，谥号文穆。

梅钫，字导和，是梅瑴成的第四个儿子。梅瑴成编纂《丛书辑要》六十多卷，图都是梅钫所绘。删订《统宗图》，十分之七八出自他手。二十六岁时去世。

梅文鼐，字和仲，是梅文鼎的堂弟。开始学历时，没有《五星通轨》，无从入手计算。与哥哥梅文鼎取《元史》历经，用三差法布列为五星盈缩立成，然后计算，共同完成《步五星式》六卷。早逝。

梅文鼏，字尔素，是梅文鼎最小的弟弟。著有《中西经星同异考》一卷。以三垣二十八宿的星名，按照《步天歌》次序，罗列其名，而以中国、西方有无多少分别注于其下，后面记载古歌和西歌。古歌就是《步天歌》，西歌是利玛窦所撰的《经天该》。其中南极诸星，则根据汤若望算书及南怀仁《仪象志》，进行考证并补写歌诀，附在末尾。他的凡例大致说：“齐七政，不先确定恒星，则无从着手。所以说‘七政如乘传车，恒星是它的地志；七政如下棋，恒星是它的棋盘。’说‘恒’，是认为它终古不变；说‘经’，是认为它不同于纬星的南北运行，‘经’也有‘恒’的含义。这部书专门以中、西两家所传的星歌星名，考究它们的多少异同，所以叫《经星同异考》。星官之书，从黄帝开始，重黎、羲和，记载天文的，纷繁不一。汉张衡说：‘中外之官常明的有一百二十四个，可命名的有三百二十个，星有两千五百颗，微星的数目大概有一万一千五百二十颗。’到三国时，太史令陈卓开始列出甘德、石申、巫咸三家所著的星，总共二百八十三官，一千四百八十四星。自唐以来，用仪器考测，到宋代两朝志，才能说出某星离极若干度，入某星若干度，说法比较详细。这是中国研究星学的。西方儒者的星学远有渊源，根据他们书中所译，周赧王丙寅年古地末一次测量，汉永和戊寅年多禄某一次测量，明嘉靖乙酉年尼谷老一次测量，万历乙酉年第谷一次测量，崇祯戊辰年汤若望一次测量。本朝康熙壬子年，南怀仁著《仪象志》，又依岁差改定黄经及赤经。现在依据南公的志表，考其大小，分为六等。一等大星十六颗，二等星六十八颗，三等星二百零八颗，四等星五百一十二颗，五等星三百四十二颗，六等星七百三十二颗，总计一千八百七十八颗。那些微茫小星，则不能以数计。这是泰西之学。”

梅文鼏又有累年算稿，梅文鼎为他录存，名叫《授时步交食式》一卷。又有《几何类求新法》，算书中《比例规解》本来没有算例，梅文鼎作《度算》，用了梅文鼏所补充的，并参以陈荩谟的尺算用法。

明安图，字静庵，蒙古正白旗人。担任钦天监监正。他曾跟随康熙皇帝学习数学，参与编纂《御定历象考成后编》和《御定仪象考成》。因为西方学者杜德美使用连比例来推导圆周率的精确值以及求正弦、正矢的方法，明安图知道其中的道理深奥，理解起来不容易，于是思考了三十多年，撰写了《割圜密率捷法》四卷。第一卷是“步法”，在杜德美的三种方法之外，补充创制了通过弧背求通弦、求矢的方法，仍然沿用杜氏原法，只是加上一个四除的步骤。又有通过弦、矢求弧背，以及通过通弦、矢求弧背，总共六种方法，加上杜氏的方法共成九种。其中通过弦求弧背的方法，以弦作为连比例的第二率，半径作为第一率，求得第二、四、六、八、十各率，用一、三、五、七、九这五个数各自相乘，作为累次乘数。用二、三、四、五、六、七、八、九依次相邻，两两相乘，作为累次除数，就以第二率为第一个得数。再设置第四率，用第一乘数乘它，用第一除数除它，得到第二个得数。又设置第六率，用第一、第二乘数乘它，用第一、第二除数除它，得到第三个得数。又设置第八率，用第一、第二、第三乘数乘它，用第一、第二、第三除数除它，得到第四个得数。这样累次计算，直到所得的数只有一位时为止，然后把这些得数相加，就是所求的弧背。通过矢求弧背的方法，将正矢加倍作为连比例的第三率，也以半径作为第一率，求得第五、七、九、十一各率。用一、二、三、四、五这五个数各自相乘，作为累次乘数，用三、四、五、六、七、八、九、十依次相邻，两两相乘，作为累次除数，就以第三率为第一个得数。再设置第五率，用第一乘数乘它，用第一除数除它，得到第二个得数。又设置第七率，用第一、第二乘数乘它，用第一、第二除数除它，得到第三个得数。又设置第九率，用第一、第二、第三乘数乘它，用第一、第二、第三除数除它，得到第四个得数。这样累次计算，直到所得的数只有一位时为止。然后开平方，就是所求的弧背。通过通弦求弧背，也都各加一个四除。通过矢求弧背，则第三率又多加一个四。因此又创制了求余弧的正弦、正矢，通过余弦、余矢求本弧，以及借弧与正、余弦互求等四种方法。第二卷是“用法”，用角度求八线，以及直线、弧线、三角形边角互求，共设七个题目。说明现在的方法之所以比古代精密，是因为使用了三角形。但三角形不用八线表就不能互求，只有用这种方法，用来建立八线表很容易，用来推算三角形，则不用表而得到的数相同。第三、四卷是“法解”，都阐明正弦、正矢与弧背互求的根源。其方法先用一分弧的通弦求二分弧的通弦之数，然后用一分、二分弧的通弦求三分、四分全弧的通弦之数，用一分、三分弧的通弦求五分全弧的通弦之数。又因为二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得万分。于是以半径为一率，一分弧的通弦为二率，各按相乘的率数，求得十、百、千、万各分弧的率数。通过比例得到由弧背求通弦，应减去四率的二十四分之一，加上六率的八十分之一，减去八率的一百六十八分之一，加上十率的二百八十八分之一，减去十二率的四百四十分之一，加上十四率的六百二十四分之一，减去十六率的八百四十分之一。各除以四，则二十四得六，是二三相乘的数；八十得二十，是四五相乘的数；一百六十八得四十二，是六七相乘的数；二百八十八得七十二，是八九相乘的数；四百四十得一百一十，是十与十一相乘的数；六百二十四得一百五十六，是十二与十三相乘的数；八百四十得二百一十，是十四与十五相乘的数。所以用二、三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，作为累次除数。又通过通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一万一千二十五分，十二率八十九万三千二十五分，十四率一亿八百五万六千二十五分，得到后率分数作为被除数。各依次降低二等，使二率降为四率，四率降为六率，得到前率分数作为除数。用除数除被除数，得到四率一分，是一自乘的数；六率九分，是三自乘的数；八率二十五分，是五自乘的数；十率四十九分，是七自乘的数；十二率八十一分，是九自乘的数；十四率一百二十一分，是十一自乘的数；十六率一百六十九分，是十三自乘的数；所以用一、三、五、七、九等数各自相乘作为累次乘数。接着用求通弦的方法，求得十、百、千、万各分弧的正矢率数，通过比例得到由弧背求正矢，应减去五率的十二分之一，加上七率的三十分之一，减去九率的五十六分之一，加上十一率的九十分之一，减去十三率的一百三十二分之一，加上十五率的一百八十二分之一，减去十七率的二百四十分之一；而十二是三四相乘的数，三十是五六相乘的数，五十六是七八相乘的数，九十是九与十相乘的数，一百三十二是十一与十二相乘的数，一百八十二是十三与十四相乘的数，二百四十是十五与十六相乘的数，所以用三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，作为累次除数。又通过正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一万四千四百分，十五率五十一万八千四百分，十七率二千五百四十万一千六百分，作为后率分数，各依次降低二等作为前率分数。像前面的通弦法一样，除得五率一分为一自乘的数，七率四分为二自乘的数，九率九分为三自乘的数，十一率十六分为四自乘的数，十三率二十五分为五自乘的数，十五率三十六分为六自乘的数，十七率四十九为七自乘的数，所以用一、二、三、四、五等数各自相乘，作为累次乘数。书没有完成明安图就去世了，他的儿子明新接着完成了它。

明新，字景臻，是明安图的小儿子。担任食俸生。明安图病重时，把他所著的《捷法》传授给明新，明新遵照父亲遗命，与门生陈际新、张肱共同续成了这本书。

陈际新，字舜五，是宛平的秀才。担任灵台郎，后任监正。他续写明安图的《割圜密率捷法》，寻着线索推究，并参考了明安图生前当面传授的言论。到了乾隆甲午年，才最终完成这部书。

刘湘煃，字允恭，江夏人。听说梅文鼎凭借历算闻名当世，于是变卖家产，走了千余里路，拜梅文鼎为师学习，深入思考并积累领悟，有很多创见和收获。梅文鼎得到他很高兴，说：“刘生好学精进，启发了我所不及之处！”他在给人写信中说：“金星、水星，历指中的说法没有说透彻，得到刘生的说法后，才知道这两颗星有岁轮的道理确实不可更改。”于是把自己所著的《历学疑问》托付给他讨论，刘湘煃为此撰写了《订补》三卷。又说历法从汉、唐以来，对五星的运行推算最不精确，所以它们的迟、留、伏、逆都归入占卜，到元朝郭守敬出现后，五星才开始有推算经度的方法，但纬度还不完备。西方的历法原本也没有纬度，直到第谷之后才有五星纬度，已经在郭守敬之后了。历书中有法原、法数，都是历法的总纲。法原是七政与交食的历指；法数是七政与交食经纬的表，所以历指实际上是造表的根本。现在的历书所载的金星、水星，按照历指的方法造表，却与实际步测的表不合，按照这个表来推算天象，却又吻合，说明虽然有表数，却还不知道立表的根源。”于是撰写了《五星法象》五卷，梅文鼎非常认同他的说法，摘取其中的要点编成《五星纪要》。

刘湘煃又打算为浑盖通宪天盘安星之用，用戊辰历元加岁差，使用弧三角法，撰写了《恒星经纬表根》一卷，以及《月离交均表根》、《黄白距度表根》各一卷，这些都是补充新法所遗漏的。他所著的还有《论日、月食算稿》各一卷，《各省北极出地图说》一卷，《答全椒吴荀淑历算十问书》一卷。

王元启，字宋贤，号惺斋，嘉兴人。乾隆辛未年进士，被任命为将乐县知县。他深入研究律历、勾股之学，已刊刻的著作是《惺斋杂著》。其中有《史记》、《汉书》正讹两种，纠正《史记》讹误的是《律书》、《历书》、《天官书》各一卷；纠正《汉书》讹误的是《律历志》上下两卷。未刊刻的是《历法记疑》、《句股衍》、《角度衍》、《九章杂论》。其中《句股衍》一书，因繁求简，最为精辟清晰。分为甲、乙、丙三集，甲集《术原》三卷，乙集《纲要》二卷，丙集《晰义》四卷。甲集第一卷通论术原，是为句股因积求边作准备。第二卷专论立方，并涉及平方法。第三卷专论和数开立方，以穷尽立方的各种数的变化。乙集两卷，是相求法一百二十三则的纲要。丙集四卷，就是相求法，逐则分析其含义，专为阐明立法的意图。

他的总序说：“句股弦相求法，参以和差，共得七十八则，求句股中的函数。又有幂积求容圆、容方、容纵方，以及依弦作底求容方，与句股求外方、外圆的数。又有积数与句股和差互求容方，与句股余数互求的方法。总计起来，共得二十九则。立表测量，得求高、求远、求深三则，重复用表也是这样。旧算书多简略，详细的又苦于错乱无序。我曾努力加以区分，使它们各按类别归并，先确定相求法一百十三则。甲申年仲秋，又重理前绪，逐一布算，比旧法快捷，而旧法也附录，以供参考。至于用中涵积与弦的和差互求而得句、股、弦的正数，旧法少见，如今也私下拟了一个方法，附在后面。又另外创制了截弦分两，以及补句求股、补股求句的方法，分为六则，使不成句股之形，也化为句股。并载入不成句股求中涵积二则，容方、容圆四则，外切圆径一则，圆内累求句股六则，共又一十九则。以此涵盖西方三角的算法，并具备割圆之用。使学者知道《周髀》一经，在算法上无所不包。后人不能触类旁通，以尽其变化，所以使得西方算法得以出现而争胜，其实西方算法也出自《周髀》，不能超出折句为股的范围。”

又有《略例引言》说：“算家句股一门，算法最繁多，不具体指定一个数作为布算的标准，难以凭空领会其含义。然而如广三修四见于经书的，只是它的正例，正例之外变例尤其多。一定要正变同时呈现，就会在一卷中彼此错出，使读者耳目频繁更换，反而增加烦乱。现在特标举略例，并把不成句股之形也附在它里面，以穷尽句股的变化，而涵盖三角之法。”

又回答朋友询问勾股问题的书信说：“想要研究勾股，先要学会开平方，开平方有正方和纵方的区别。纵方是以长宽的和与差来开平方，其次就是求四率比例，有三率求四率的方法，有二率求三率的方法，还有一率求三率的方法。知道这些就可以明白求勾、股、弦各都没有零数的方法。以三率中的中率为主，加倍中率就是股，首末两率相减就是勾，相加就是弦。按照这个推演，得到勾股略例十多条，然后以勾、股、弦为正数，两数相加为和，相减为较。还有勾股三数相加减的和与较数，弦与和，和弦与较三数相加的和数；弦与较，较弦与和较三数相减的较数。三数相加减，现在称之为兼三和较。所有的正数和较数各有三个，兼三和较各有两个，一共十三个数。十三个数中，随便举出两个数，就可以求出勾股弦的全部数值。一共得到相求法九十四则，而容方、容圆、截股分两、立表测量单表、重表的方法，还不包括在内。其次就是求截弦分两的方法，这是把一个勾股形分成两个勾股形，就可以知道不成勾股形也可以分成两个勾股形。不成勾股形分成两个勾股形，就是西方算法中三角算的名称由来，现在统通用勾股来概括它。这个方法取大小两个勾股形，小股与大勾同数的合并成一个形，就是不成勾股之形。分开成两个，那么所谓的中垂线，就是小矩形的股，大矩形的勾。按照这个推演，又得到不成勾股略例二十多则。依此类推，又得到合形分两、削形求全两种方法。合形分两，则有正合形截偶分两、反合形截中分两、偏合形截边分两的方法。削形求全，则有削去正矩、偏矩的区别，偏矩中又有浅削、深削的分别。知道这些，勾股的学问就穷尽了。”元启曾经说：“我没有别的长处，只是好学深思，心中明白其中的意思罢了。”然而他的《勾股术》一书，几乎要超越梅文鼎，是算术中不可缺少的书籍。

朱鸿，字云陆，秀水人。嘉庆七年进士，改为翰林院庶吉士，散馆后授予编修。升任御史，历任给事中，外放出任督理湖南粮储道。精深研究算学。同郡的钱仪吉编纂《三国会要》，收集了乾象、景初两种历法，曾为它作注。乌程的陈杰当时是台官博士，阳湖的董祐诚也客居京城，都每天跟从他讲论数理，各自拿出自己的心得互相质询。过去没有椭圆求周的方法，朱鸿对董祐诚说，圆柱斜剖，就成为椭圆，可以用勾股形来求它。董祐诚既已阐发这个说法，又附上图解。朱鸿最初得到杜德美的割圆九术写本，拿给董祐诚看，创制图解三卷。完成后，又在李潢家得到密率捷法，那是蒙古监正明安图师徒继续推绎的著作，与传写本互有不同。朱鸿曾依照杜德美的方法计算，直径为一的，圆周为三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四，周长为十的，直径为三一八三零九八八六一八三七九零六七一五三七七六七五四六六九六三八九零五六六六一。徐有玉将它采入《务民义斋算学》中。道光十年以后，辞官仍住在京城，撰写了《考工记车制参解》。又评点程氏易畴的《考工创物小记》，多有纠正。

博启，字绘亭，满洲正白旗人。乾隆年间，担任钦天监监副。曾因勾股和较之术，前人论述极为详尽，唯独勾股形中所包含的方边长、圆径、垂线这三件事，尚欠缺而没有完备。于是用三事分配和较，创制了六十种方法。可惜他的书没有刊行，方法没有流传下来。现在所流传的，只有从方边和垂线求勾、股、弦的一个题目。方法是用平行线把容方幂剖成四个小勾股形，借垂线作为小勾股和，借方边作为小弦，求小勾和小股。以小股与垂线的比，等于方边与勾的比；以小勾与垂线的比，等于方边与弦的比。道光初年，方履亨担任监正，常拿这个题目来考学生。后来得到甘泉罗士琳大力表彰，博启的方法才重新显明于世。

罗士琳论述说：“过去听说监正方慎菴说监副博绘亭有这种方法，失传了。于是模仿监副遗留的方法，用平行线把半圆幂剖成四个小勾股形，以半圆半径减去垂线的余数，借为小勾股和，借半圆半径为小弦，求得小勾、小股。以小股比垂线，等于半圆半径比股；以小股比股，等于半圆半径比弦。又以半圆半径减去方边，得到较。用平行线把较幂剖成四个小勾股形，借半圆半径为小勾股和，借较为小弦，求得小勾、小股。以小股比半圆半径，等于方边比勾；以小勾比半圆半径，等于方边比股，以小股比股，等于较比弦。用来补充监副的遗漏。又用天元术推演得到三事和较六十题，更设立天、地两元作为广例二十五术，撰写了《勾股容三事拾遗》四卷。又尝试变通他的方法，用八线来驾驭，取方边用方斜率，得到容方中的斜线。以垂线为一率，半径为二率，斜线为三率，求得四率为正割。检八线表得到度数使用，与四十五度相加减，得到垂线所分的大小两弧，再以半径为一率，垂线为二率，小弧正割为三率，求得四率为勾。如以大弧正割为三率，求得四率为股，又如以大小两弧的两正切为三率，求得四率，为大小两弧的两分弦，相加得到弦余。另外两题仿照此法，得数相同，但尾数有奇零。因为八线表所列的数值只到单位为止，单位以下，舍弃了余分，所以不能像勾股和天元所得的那样密合。有人胡乱诋毁天元术不能驾驭三角和较，哪里知道天元创于宋、明之间，怎么能预知西方算法有三角而预先创立方法呢？关键在于学者善于会通而已。尝试设一个平三角形，有一个角且角在两边之间，有大边与对边和，有小边与对边和，求三条边和垂线，这是西方人常用方法不能解决的。如果设立天元一术，那么无论求哪条边或者和数或者较数，都一个平方就能得到。这样看来，天元与西方算法，其优劣可见了。”

许如兰，字芳谷，全椒人。乾隆三十年举人，大挑知县，分发到福建。因双亲年老改任江西，历任浮梁、新建等县事务。守丧期满后，赴福建，题补侯官，还未上任，恰逢瘴气发作，病逝。

如兰性情聪敏，所读的书都用心精妙，对于历算开始学习西方算法，通晓薛凤祚所翻译的《天步真原》、《天学会通》。当时同县山西宁武同知吴烺在刘湘煃那里学习梅文鼎的学问，如兰因而也学习梅氏的历算。又在乾隆四十年夏天，在京都拜见戴震，学习《勾股割圜记》。四十四年，在常州拜见董化星。戴震传授了《缉古算经》十书，而董化星则专攻薛氏之学。由此兼通中、西之学。

他曾对他的弟子胡早春说：“古人把勾股方程列在小学，儿童学习它，人人都能明白，现在则老学者也不能通晓其义。一是因为时俗崇尚八股文，视勾股为不急之务；二是因为习惯于风雅，不屑于持筹握算，效法历算家子弟的所为。唉，错了！”又说：“士大夫不精通弧矢之术，虽然识得天文，也无益处。历算家、算工不明象数之理，虽然能步算，也无益处。”著有《乾象拾遗》、《春晖楼集》等书，如今大多散佚。

其中存留下来的，有《书梅氏月建非专言斗柄论后》，大略说：“天气浑沦，无可识认，古人不得已，就以恒星为天来认识太阳运行。恒星积久就会差移，冬至太阳位置不在原宿，于是创立岁差之法。古代认为恒星不动，而黄道向西移动。如今观测全天星座都在运动，它们的经纬度数，不随赤道运转，而顺着黄道向东移动。所以说黄道不动，而恒星向东运行，与七政同一法则。”又说：“古人以中气数为岁，以朔数为年。上古时代气朔同日，所以月建起于节气，而不起于中气；太阳运行过宫，起于中气，而不起于节气。起于节气，所以说冬至在子之半；起于中气，所以说冬至太阳运行到星纪之次。然而一岁十二建，是天道经历十二辰，所以称为月建，这是万古不变的。北斗星柄所指的分位不真实，而且恒星东移，积久有差，辨别它确实是对的。但古人说：‘斗为帝车，斟酌元气而布之四方。’又说：‘招摇东指。’不过是说天道无迹可寻。可见顺应时令布化，斗柄有形象可征而已。拘泥于词句，就迷惑了。”他的岁差说大略说：“恒星一年向东运行五十多秒，又黄道、赤道二道斜交，并非平行，在向左旋转极速之中，微斜牵向右。太阳对于天体，就好像经纬对于太阳一样。太阳运行到黄道分至节气的界限，则春秋寒暑都随之而应。七政运行于各宫，遇到各宫的燥湿寒温风雨，则随恒星的特性而应。然而冬、夏二至，是黄道上的子、午之位。春、秋二分，是黄道上的卯、酉之位。只有在唐、虞时冬至太阳在虚宿中间，恒星之子中，正逢黄道之子中。此后渐渐差移，东周在女宿，汉在斗宿，如今在箕宿。黄道之子，不是恒星之子。以丑宫初度为冬至的，是因为周时冬至恒星已差至丑，周人就把恒星作为黄道的十二次，所以命名丑为星纪，是说众星以此为纪。其实丑是周时恒星的宿度，并不是恒星之子中。如今已不在丑，又移到寅宿十多度了。从如今的箕宿一度上溯到古代的虚宿五度，经历四千多年，已差至五十八度，这是恒星东行的明证。”其他著论不涉及历算的不予收录。