卷十三律历下

开皇二十年，袁充上奏说白天变长日影缩短，高祖于是将历法事务交给皇太子，命他重新详细研究并记录日长的征兆。皇太子征召天下精通历算的人士，全部集中在东宫。刘焯因为太子新立，又增补修订了自己的著作，命名为《皇极历》，驳斥纠正张胄玄的不足。太子非常赞赏他，但未能进行检验考验。刘焯担任太学博士，自恃学问精深广博，立志要解除张胄玄的官职，对自己的职位不满意，又称病辞官回乡。到了仁寿四年，刘焯向皇太子指出张胄玄的错误：

第一，张胄玄所进献的现行历法，日食月食、星辰运行的度数和隐现，虽然并非尽善尽美，但大体上还算正确，他官至五品，确实无愧。但他是依靠他人成就此事，并非自己的实际成果，基于此加以讨论，矛盾错误非常多。

第二，张胄玄的弦望晦朔，既违背古法又疏漏不全，节气闰月，违背天象又错失时令。时间不从夜半开始，清晨之前另算作后一天。太阳运行没有弄清快慢，月亮运行随意定为两种，月亮的运行度数，总是遗漏增减，交会的时候，凭空臆造气差。七曜的运行，不遵循其轨道，月亮和星辰的度数，运行没有出入，应该对应黄道却对应赤道，应该靠近却更远，亏食不符合标准，阴阳没有法则。星象不协调，珠璧不合，盈缩失去规律，运行度数违背顺序。距离北极的晷影漏刻，应该有却没有，食分的先后，更加繁琐细碎。测量如今不准确，考察古代不通，立术的疏漏，不可胜数。现在逐事纠驳，共五百三十六条。

第三，张胄玄在开皇五年，与李文琮在张宾历法施行之后，本州贡举时，就携带所造的历法准备进献。他的历法在乡间流传，散抄很多，现在所施行的，与刘焯以前的历法没有差异。张胄玄先前准备进献时，年纪将近六十，并非仓促急忙才开始，为什么到京城不久，就变得与刘焯历法相同，与旧历相差悬殊？刘焯在前制作，张胄玄在后进献，放弃自己的而顺从别人，异同暗中吻合。而且刘孝孙因袭刘焯，张胄玄后来依附刘孝孙，历术的文章，又都是刘孝孙所作，那么原本是偷窃，事情十分清楚。恐怕张胄玄推托回避，所以依据前历进行驳斥，共七十五条，连同前历本一起呈上。

第四，张胄玄任史官，自己上奏关于亏食的情况，前后所上奏的，大多与历法相违，现在计算其错误有十三件事。又先前与太史令刘晖等校对疏密五十四件事，说五十三条是新的。预计后来所做的历法应该比旧历精密，而用现行算法推算，却比原本更疏漏。现在纠举揭发，连同以前的，共四十四条。

第五，张胄玄对于历法，并不精通。然而刘孝孙当初制作时，都有意图，观测天象推算步伐，事情必定有出处，不是空文，徒然凭主观臆断。

第六，刘焯在开皇三年，奉命修造历法，回顾记录，自认为精密深微，秦汉以来，没有什么可退让的。探寻圣人的事迹，领悟前哲的心思，观测七曜的运行，得到日月的度数，校正诸气朔，完成一部历象，会通古今，符合经典传注，考核于各种事物，确实而有征验。张胄玄所违背的，刘焯的历法都符合，张胄玄所缺少的，现在都有，总括始终，认为是完备的。

于是上奏说：“自从木铎之声沉寂，遗言化为灰烬，众生流离，华夏沸腾，曲技如云浮，畴官如雨绝，历法纪年废坏，已经千百年了。刘焯以庸陋卑鄙之才，谬蒙甄别提拔，专精于艺业，沉迷玩味数象，自勉于群儒之下，希望能看到圣人的心意。开皇初年，奉命修撰，生性不随和，功业未能完成，仍被张胄玄窃取作为自己的方法，未能尽善尽美，与时节多有差失，尸位素餐扰乱日期，实在玷污了皇朝的谋划。请求征召张胄玄对答，检验其长短。”

刘焯又撰写了历家同异，名为《稽极》。大业元年，著作郎王邵、诸葛颍两人，因入宫陪侍宴会，说刘焯擅长历法，推算精确详审，引证明确。炀帝说：“早就知道了。”于是将他的书下发给张胄玄参校。张胄玄驳难说：“刘焯历法有岁率、月率，而设立定朔，每月有三大、三小。按岁率、月率，是平朔的章岁、章月。用平朔的率来求定朔，遇到三小的，还是以减三五十为十四；遇到三大的，增加三五十为十六。比较其原理实际，并非十五的正数。所以张衡及何承天最初有这个想法，但为难的人用数字来校对比率，比率都自行失败，所以未能成功。现在刘焯制定定朔，就必须除去其平率，然后才可以。”互相驳难，是非无法决断，刘焯又辞官回乡。

大业四年，炀帝驾临汾阳宫，太史上奏说：“日食不灵验。”炀帝召见刘焯，想施行他的历法。袁充正得宠于炀帝，在张胄玄身边，共同排挤刘焯的历法，又恰逢刘焯去世，历法最终未能施行。术士都称赞其精妙，所以收录其术。甲子元，距大隋仁寿四年甲子积一百万八千八百四十算。

岁率，六百七十六。

月率，八千三百六十一。

朔日法，一千二百四十二。

朔实，三万六千六百七十七。

旬周，六十。

朔辰，一百零三半。

日干元，五十二。

日限，十一。

盈泛，十六。

亏总，十七。

推算经朔的方法：

设置入元距所求年份，用月率乘之，除以岁率，得到积月，余数为闰衰。用朔实乘积月，除以朔日法，得到积日，余数为朔余。用旬周除去积日，余数为日，就是所求年天正经朔日及余数。

求上下弦、望：加经朔日七、余四百七十五小，就是上弦经日及余数。再加得到望、下弦及后月朔。如果直接求望，加日十四、余九百五十半；下弦加日二十二、余一百八十三大；后月朔加日二十九，余六百五十九。每月加闰衰二十，就是各月的闰衰。

凡是月建子为天正，建丑为地正，建寅为人正。即以人正为正月，统求所起，本于天正。如果建岁历从正月开始，气、候、月、星，所值节度，虽然有前后，也都随之。其前地正为十二月，天正为十一月，各气度都属往年。其日之初，也从星起，晨前多少，都归于昨日。如果气在夜半之后，量影以后日为正。凡是因加而得的，各用其余数减去法数，剩下的为全余。如果所因的余数满全余以上，都增加全一而加，减去其全余；即因余少于全余的，不增加全而加，都得到所求。分度也是如此。凡日不全为余，积累而成余的称为秒；度不全为分，积累而成分的称为篾；其中有不成秒的称为麽，不成篾的称为幺。其分、余、秒、篾，都是一为小，二为半，三为大，四为全，加满全的从一。其中三分者，一为少，二为太。如果相加，秒篾满法，从分余。分余满法从日度一，日度有所满，则从去之。而日用日辰来命名，满旬周则也除去；命名有连分、余、秒、篾的，也随全而从去。其日度虽满，而分秒不满的，不可从去，仍依本数。如果相减，秒篾不足，减分余一，加法则减之；分余不足减的，加所从去或前日度乃减之。即其名称有总，而日度全及分余共有的，须相加除，应当都连全及分余共加除之。如果需要相乘，有分余的，分母必须通全内子，乘完后报除。或者分余相并，分母不同的，子相乘而并之。分母相乘为法，其并，满法从一为全，这就是齐同。既除为分余而有不成，如果例有秒篾，用法乘而又用法除，得到秒篾数。已经为秒篾及正有分余，而所不成不再需要的，须过半从一，无半舍弃。如果分余其分母不等，须变通，用彼所法之分母乘此分余，而此分母除之，得到彼所需要的子。所有秒篾的，也用法乘，不满此分母，又除而得到其数。麽幺也是如此。其所除去而有不尽全，则称为不尽，也称为不如。其不成全，全才为不满分、余、秒、篾，再称为不成。凡以数相减，而有小及半、太须相加减，同于分余法的，都以其分母三四除其气度日法，以半及太、大本率二三乘之，少、小即须因所除之数随其分余而加减。秋分后春分前为盈泛，春分后秋分前为亏总，须取其数。泛总为名，指用其时，春分为主，亏日分后，盈日分前。凡所不见，都仿此。

气日法，四万六千六百四十四。

岁数，一千七百零三万六千四百六十六半。

度准，三百三十八。

约率，九。

气辰，三千八百八十七。

余通，八百九十七。

秒法，四十八。

麽法，五。

推算气的方法：

用半闰衰乘朔实，又用度准乘朔余，加上，除以约率，所得满气日法为去经朔日，不满为气余。以去经朔日，就是天正月冬至恒日定余，再加夜数之半者，减日一，满者因前，都是定日。用日甲子算外，就是定冬至日。其余如果半气辰一千九百四十三半以下的，为气加于子半后；超过以上，先加此数，除以气辰，命以辰算外，就是气所在辰。十二辰外，为子初以后余。又用十二乘辰余：

四为小太，也称为少；五为半步；六为半；

七为半太；八为大少，也称为太；九为太；

十为大太；十一为穷辰少。

其又不成法的，半以上为进，以下为退。退以配前为强，进以配后为弱。即初不成一而有退的，称为沾辰；初成十一而有进的，称为穷辰。未旦其名有重者，则于间可以加之，命辰通用其余，辨日分辰而判诸日。因别也都准此。因冬至有减日的，还加之。每加日十五、余一万一百九十二、秒三十七，就是各次气恒日及余。诸月齐其闰衰，如求冬至法，也就是其月中气恒日去经朔数。其求后月节气恒日，如同次节求前节者减之。

推算每日迟速数的方法：

见求所在气陟降率，并后气率半之，用日限乘而用泛总除，得到气末率。又用日限乘二率相减之残，用泛总除，得到总差。其总差也用日限乘而用泛总除，得到别差。率前少的，用总差减末率，得到初率，乃用别差加；前多的，即用总差加末率，都是气初日陟降数。用别差前多的日减，前少的日加初数，得到每日数。所历推定气日随算其数，陟加、降减其迟速，为各迟速数。其后气无同率及有数同的，都因前末，以末数为初率，加总差为末率，及差渐加初率，为每日数，通计其秒，调和而驾驭之。

求月朔弦望应平会日所入迟速：各置其经余为辰，用入气辰减之，乃用日限乘日，日内辰为入限，用以乘其气前多之末率，前少之初率，除以日限，得到总率。其前多的，入限减泛总之残，乘总差，除以泛总，得到入差，并于总差，入限乘，倍日限除，加以总率；前少的，入限自乘再乘别差，日限自乘，倍而除，也加总率，都是总数。乃用陟加、降减其气迟速数为定，即速加、迟减其经余，各其月平会日所入迟速定日及余。

求每日所入先后：各置其气躔衰与衰总，都用余通乘之，然后躔衰如陟降率；衰总如迟速数，也如求迟速法，即得每所入先后及定数。

求定气：每天所进入的先后数就是气余，所经过的日期都用先加后减的方法，随日计算，通准其剩余，满一个恆气，就是二至后一个气的数值。用这个数值加在二气上，按方法分别其日并命名。再算其次，每次相加命名，各自得到该定气的日数和余数。也用其先后已通的数据，先减后加其恆气，就是下一个气的定日和余数。也通过分别其日，用甲子命名，各自得到所求。

求土王：距离四立各四气之外所进入的先后加减，满二十二日、余八千一百五十四、秒十、麽二。除去所满的日数外，就是土开始王的日子。

求侯日：定气就是初候日。用三除恆气，各为平候日。余数也用所进入的先后数为气余，所经过的日期都用先加后减，随计其日，通准其余，每满其平，就加在气日上并命名，即得到次候日。也计算其次，每次相加命名，又得到末候和次气日。

将夜半的漏刻加倍，得到夜刻。用百刻减去夜刻，余下的就是昼刻。每次减去昼刻五，加在夜刻上，就是其昼为日见、夜为不见的刻数。刻分以百为分母。

求日出入辰刻：用十二除百刻，得到辰刻数，作为法。将不见刻的一半加半个辰刻，作为日出实，再加日出见刻，作为日入实。用法除一，从子算起外，就是所在的辰，不满法的部分，就是刻和分。

求辰前余数：用气、朔日法乘夜半刻，除以一百，就是其余数。

求每日刻差：每气以十五日为标准，全刻二百二十五作为法。其二至各在分的前后，而数因相加减，间隔都是六气；各尽于四立，为三气。至与前日为一，于是每日增加太；又各二气，每日增加少；其最后一气，每日增加少之小，而最后六日，不加而裁减。二望至前后一气的末日，终于十少；二气初日，稍增为十二半，终于二十太；三气初日，二十一，终于三十少；四立初日，三十一，终于三十五太；五气也少增，初日三十六太，终四十一少；末气初日，四十一少，终于四十二。每气前后累积计算其数，又用一百八十乘作为实，各用泛总乘法除，得到其刻差。随之加减夜刻并取其半，各得到入气的夜定刻。其分后十五日外，累积计算到全日，就副置它，用一百八十乘，用亏总除，作为所因之数。用这个数减上位，余下的就是所加。不全日的，随辰率计算。

求晨去中星：加周度一，各用昏去中星减去，余下的就是晨去度。

求每日度差：按日因增加裁减，累积计算所得，用一百四十三乘，用四百除一，又用一百八十乘，用泛总除，作为度差数。满转法为度，随日加减，各自得到所求。分后的气间，也求准外与前求刻，至前加减，都根据日数逆算求得。也可根据至的前后方向其刻，冬减夏加，而度冬加夏减。若在至前，用入气减气间，余下的，因后气而反，用余下的日数累算乘除所定，从后气而逆以加减，都得其数。这只是粗略校核其总数，详细则保存在《稽极》中。

转终日，二十七；余，千二百五十五。

终法，二千二百六十三。

终实，六万二千三百五十六。

终全余，千八。

转法，五十二。

篾法，八百九十七。

闰限，六百七十六。

推入转术：用终实去除积日，余数用终法乘而又去除，若不够终实，满终法得一日，不满为余，就是该年天正经朔夜半入转日及余。

求次日：加一日，每日满转终就去掉，其二十八日的加全余作为夜半入初日余。

求弦望：都因朔加其经日，各自得到夜半所入日余。

求次月：加大月二日，小月一日，都及全余，也是其夜半所入。

求经辰所入朔弦望：经余从转变，不成秒，加其夜半所入，都是其辰入日及余。因朔辰所入，每加日七、余八百六十五、秒千一百六十大，秒满日法成余，也得到上弦。望、下弦、次朔经辰所入直接求的，加望日十四、余千七百三十一、秒千七十九半，下弦日二十二、余三百三十四、秒九百九十八小，次朔日一、余二千二百八、秒九百一十七。也朔望各增日一，减其全余，望五百三十一、秒百六十二半，朔五十四、秒三百二十五。

求月平应会日所入：用月朔弦望会日所入的迟速定数，也从转变成余，于是速加、迟减其经辰所入余，就是各平会所入日余。

推朔弦望定日术：

各用月平会所入之日加减限，限和后限并起来取半，作为通率；又二限相减，作为限衰。前多的，用入余减终法，余乘限衰，终法除一，并到限衰中并取半；前少的，半入余乘限衰，也终法除一，减限衰。都加通率，用入余乘，日法除一，所得为平会加减限数。其限数又另外从转余变为变余，朓减、朒加本入余。限前多的，朓用减与未减，朒用加与未加，都减终法，并取半，用乘限衰；前少的，也朓朒各并二入余，取半，用乘限衰；都终法除一，加于通率，用变余乘，日法除一。所得用朓减、朒加限数，加减朓朒积而定朓朒。于是朓减、朒加其平会日所入余，满或不足进退，就是朔弦望定日及余。不满晨前数的，借减日算，命甲子算外，各其日。不减与减，朔日立算与后月同。若都没有立算，月大，其定朔算后加所借减算。闰衰限满闰限，定朔无中气的为闰，满之前后，在分前若近春分后、秋分前，而有时月有二中气的，都酌情设置其朔，不必依定。其后无同限的，也因前多而用通率数为半衰并减，二前少，就是通率。其加减变余进退日的，分为一日，随余初末按法求，所得都用加减限数。凡分余秒篾，事情非因旧制，文中不标明分母的，都以十为法。若法当求数，用相加减，而更不过通远，率少数微的，则不须算。其入七日余二千一十一，十四日余千七百五十九，二十一日余千五百七，二十八日始终余以下为初数，各减终法以上为末数。其初末数都加减相反，其要各为九分，初则七日八分，十四日七分，二十一日六分，二十八日五分；末则七日一分，十四日二分，二十一日三分，二十八日四分。虽然初稍弱而末微强，余差只一，理势兼举，都今有转差，各随其数。若恒算所求，七日与二十一日得初衰数，而末初加隐而不显，且数与平行正等。也初末有数而恒算所无，其十四日、二十八日既初末数存，而虚衰也显，其数当去，恒法不见。

求朔弦望之辰所加：

定余半朔辰五十一大以下，为加子过；以上，加此数，乃朔辰而一，也命以子，十二算外，又加子初。以后其求入辰强弱，如气。

求入辰法度：

度法，四万六千六百四十四。

周数，千七百三万七千七十六。

周分，万二千一十六。

转，十三。

篾，三百五十五。

周差，六百九半。

在日称为余通，在度称为篾法，也气为日法、为度法，随事名称不同，其数本同。女末接虚，称为周分。变周从转，称为转。晨昏所距日在黄道中，准度赤道计算。

斗二十六 牛八 女十二 虚十 危十七 室十六 壁九

北方玄武七宿，九十八度。

奎十六 娄十二 胃十四 昴十一 毕十六 觜二 参九

西方白虎七宿，八十度。

井三十三 鬼四 柳十五 星七 张十八 翼十八 轸十七

南方朱雀七宿，百一十二度。

角十二 亢九 氐十五 房五 心五 尾十八 箕十一

东方苍龙七宿，七十五度。

以上都是赤道度，其数常定，环绕天中，仪极所准。

推黄道术：

准冬至所在为赤道度，后在赤道四度为限。初数九十七，每限增一，以终百七。其三度少弱，平。于是初限百九，也每限增一，终百一十九，春分所在。因百一十九每限损一，又终百九。也三度少弱，平。于是初限百七，每限损一，终九十七，夏至所在。又加冬至后法，得秋分、冬至所在数。各用数乘其限度，百八除一，累加总结，就是各黄道度。度有分的，前后辈列，宿有前却，度也依体，数逐差迁，道不常定，准今为度，见步天行，岁久差多，随术而变。

斗二十四 牛七 女十一半 虚十 危十七 室十七 壁十

北方九十六度半。

奎十七 娄十三 胃十五 昴十一 毕十五半 觜二 参九

西方八十二度半。

井三十 鬼四 柳十四半 星七 张十七 翼十九 轸十八

南方一百九度半。

角十三 亢十 氐十六 房五 心五 尾十七 箕十半

东方七十六度半。

以上都是黄道度，步日所行。月与五星出入，遵循此。

推月道所行度术：

准交定前后所在度取半，也于赤道四度为限，初十一，每限损一，以终于一。其三度强，平。于是初限数一，每限增一，也终十一，为交所在。即因十一，每限损一，以终于一。也三度强，平。又初限数一，每限增一，终于十一，复至交半，返前表里。仍因十一增损，如道得后交及交半数。各累积其数，百八十除一，就是道所行每与黄道差数。其月在表，半后交前，损减增加；交后半前，损加增减于黄道。其月在里，各反过来，即得月道所行度。其限未尽四度，用所直行数乘入度，四除一。若月在黄道度，增损于黄道的表里，不正当于其极，可每日准去黄道度，增损于黄道，而计算去赤道的远近，准上黄道之率以求，遁伏相消，朓朒互补，则可知道。积交差多，随交为正。其五星先候，在月表里出入之渐，又用黄仪格正，准求其限。若不可推明的，依黄道命度。

推日度术：

置入元距所求年岁数乘之，为积实，用周数去掉，余下的，满度法得积度，不满为分。用冬至余减分；命积度用黄道起于虚一宿次除去，不满宿算外，即所求年天正冬至夜半日所在度及分。

求年天正定朔度：

用定朔日到冬至日每天所入的先后余数作为分，以日作为度，加上分后再减去冬至的度数，就是天正定朔夜半时太阳所在的度分。也减去朔日乘以衰总已经通约的部分，用之前定气除之，再像上面那样求出差值，加上并减去朔日，然后减去度数，也就是天正定朔日太阳所在的度。都以日为度，余为分。其中所入先后和衰总用于增减的，都是分前增、分后减其平日的度数。

求次日：

每天所入的先后分增减度数，加在定朔度数上，得到夜半的度数。

求弦望：

减去定朔每日所入的分，累加并增减减去定朔日，然后加上定朔度数，也得到其夜半的度数。

求次月：

历算大月三十天，小月二十九天，每天所入的先后分增减其月，加在前一个朔日的度数上，就是各夜半所在的位置，直到虚宿去掉周天的分。

求朔、弦、望辰时所加：

各用度准乘以定余，除以约率，得到平分。又用定余乘其日所入的先后分，除以日法，然后增减其平分，加在其夜半度数上，就是各辰时所加的度数。其分都用篾法约简，得到转分，不足整篾的就不成篾。凡是朔日辰时所加的，都是合朔时日月同度。

推算月亮与太阳同度的法则：

各用朔平会加减限数加减朓朒，得到平会朓朒。用来加减定朔，乘以度准，除以约率，再加减定朔辰时所加的日度，就是平会辰时太阳所在。又用平会余数乘以度准，除以约率，减去其辰时所在，得到平会夜半太阳所在。然后用四百六十四半乘以平会余数，也用周差乘，除以朔实，加在前面，再减去夜半太阳所在，就是月亮平会夜半所在。用三十七半乘以平会余数，增加所减的数，再加减一半，得到月亮平会辰时的平行度。用五百零二乘朓棵，也用周差乘，除以朔实，加在前面，朓减、朒加其平行度，就是月亮定朔辰时所在度，与太阳相同。如果直接用平会朓朒所得的分加减平会辰时所在，也得到相同的度数。

求月亮弦望定辰度：

各放置其弦望辰时所加的日度及分，加上上弦度九十一，转分十六，篾三百一十三；望度一百八十二，转分三十二，篾六百二十六；下弦度二百七十三，转分四十九，篾四十二，都到虚宿，去掉转周后求出。

定朔夜半入转：

经朔夜半所入的数值，如果定朔日有增减，也以一日加减之，否则就沿用经朔作为定值。

其根据定朔求次日、弦望、次月夜半的方法，与经月法相同。

推算月亮转日定分的法则：

用夜半入转余数乘以逡差，除以终法，得到见差。用息加、消减其日的逡分，得到月亮每日所行的逡定分。

求次日：

各用逡定分加在转分上，满转法进为度，都是其夜半。因日转若各加定日，都得到朔、弦、望夜半月所在定度。如果就辰时加之以求夜半，各用半逡差减去逡分，消减的，用定余乘以差，除以终法，并差后折半；增加的，用半定余乘以差，除以终法。都加在所减的数上，再用定余乘之，除以日法，各减去辰时所加度，也得到其夜半度。因夜半也如此求逡分，再加起来，也得到辰时所加度。各转可初以逡分及差为篾，而求其次，都做完后，才除为转分。因经朔夜半求定辰度时，用定辰减去经朔夜半，求出其增减数，再用此数求逡定分，加减其夜半，也各得定辰度。

求月亮晨昏度：

如前气与所求每日夜漏之半，用逡定分乘之，除以一百，得到晨分；减去逡定分，得到昏分。除为转度，望前用昏分，望后用晨分，加在夜半定度上，得到所在位置。

求晨昏中星：

各用度数加在夜半定度上，就是中星度。其朔、弦、望，用百刻乘以定余，除以日法得到一刻，就是各定辰接近入刻数。都减去其夜半漏，剩余为晨，初刻不满的属于昨日。

复月：五千四百五十八。

交月：二千七百二十九。

交率：四百六十五。

交数：五千九百二十三。

交法：七百三十五万六千三百六十六。

会法：五十七万七千五百三十。

交复日：二十七。余：二百六十三。秒：三千四百三十五。

交日：十三。余：七百五十二。秒：四千六百七十九。

交限：日：十二。余：五百五十五。秒：四百七十三半。

望差：日：一。余：一百九十七。秒：四千二百零五半。

朔差：日：二。余：三百九十五。秒：二千四百八十八。

会限：一百五十八。余：六百七十六。秒：五十半。

会日：一百七十三。余：三百八十四。秒：二百八十三。

推算月亮运行入交表里的法则：

设置入元积月，用复月去掉它，剩余。用交率乘再去掉，如果不够复月，满交月去掉，得到在里数；不满的得到在表数，就是所求年天正经入交表里数。

求次月：

用交率加它，满交月去掉，前表者变为在里，前里者变为在表。

推算月亮入交日的法则：

用朔实乘表里数，得到交实；满交法为日，不满的用交数除，得到余数，不足整秒，命日算外，就是其经朔月平入交日余。

求望：用望差加它，满交日去掉，则月在表里与朔相同；不满的与朔相反。其月食，先交与当月朔，后交与月朔表里相同。

求次月：用朔差加月朔所入，满交日去掉，表里与前月相反；不满的，与前月相同。

求经朔望入交常日：

用月入气朔望平会日迟速定数，速加、迟减其平入交日余，得到经交常日及余。

求定朔望入交定日：

用交率乘定朓朒，除以交数，所得用朓减、朒加常日余，就是定朔望所入定日及余。其去交如望差以下、交限以上的，月食，月在里者日食。

推算太阳入会日的法则：

会用除法将交实除以会法得到日，不满的，用交率作为余数，不足整秒，命日算外，就是经朔日入平会日及余。

求望：加望日及余，次月加经朔，其表里都准照入交的方法。

求入会常日：用交数乘月入气朔望所平会日迟速定数，除以交率，用速加、迟减其入平会日余，就是所入常日余。也用定朓朒，而朓减、朒加其常日余，就是日定朔望所入会日及余。都满会日去掉，其朔望去会，如望以下、会限以上的，也月食；月亮日道表在日道里的则日食。

求月亮定朔望入交定日夜半：

用交率乘定余，除以交数，再减定朔望所入定日余，就是其夜半所定入。

求次日：

用每日迟速数，分前增、分后损定朔所入定日余，加在其日上，各得到所入定日及余。

求次月：

加定朔，大月二日，小月一日，都余九百七十八，秒二千四百八十八。各用一月迟速数，分前增、分后损其所加，得到定值。其入七日，余九百九十七，秒二千三百三十九半以下的，进；其入此以上，至全余二百四十四，秒三千五百八十三半的，退。其入十四日，如交余及秒以下的，退；其入此以上，至全余四百八十九，秒一千二百四十四的，进而复。其要分为五分，初则七日四分，十四日三分；末则七日后一分，十四日后二分，虽初强末弱，衰率有检。

求月亮入交去日道：都同其数，用交余作为秒积，用后衰并去交衰，折半，得到通数。进则秒积减衰法，用乘衰，除以交法，并衰后折半；退的，半秒积乘衰，除以交法；都加通数，秒积乘，除以交法，所得用进退衰积，除以十为度，不满的求其强弱，就是月亮离日道的距离。月亮朔望入交，如限以上，减交日，剩余为去后交数；如望差以下即为去先交数。有全日同为余，各用朔辰除，得到去交辰。其月在日道里，太阳应当食而有不食的情况；月亮在日道表，太阳不应食而也有食的情况。

推算应食不食的法则：

朔日在夏至前后十天内，去交十二辰少；二十天内，十二辰半；一个月内，十二辰大；闰四月、六月，十三辰以上，加南方三辰。若朔在夏至二十天内，去交十三辰，加辰申半以南四辰；闰四月、六月，也加四辰；谷雨后、处暑前，加三辰；清明后、白露前，加巳半以西、未半以东二辰；春分后秋分前，加午一辰。都去交十三辰半以上的，有的不食。

推算不应食而食的法则：

朔在夏至前后一个月内，去交二辰；四十六天内，一辰半，加二辰；又一个月内，也一辰半，加三辰及加四辰，与四十六天内加三辰；谷雨后、处暑前，加巳少后、未太前；清明后、白露前，加二辰；春分后、秋分前，加一辰。都去交半辰以下的，都得食。

推算月食多少的法则：

望在分后，用去夏至气数乘三；其分前，又用去分气数加倍再加分后的；都又用十加去交辰数加倍合并，减去其去交余数，得到不食定余。然后用这个数减去望差，剩余除以九十六，不足的求其强弱，也像气辰法，以十五为限，命之，就是各月食多少。

推算日食多少的法则：

月亮在内时，朔在夏至前后二气内，加南二辰，增加去交余数一辰太；加三辰，增加一辰少；加四辰，增加太。三气内，加二辰，增加一辰；加三辰，增加太；加四辰，增加少。四气内，加二辰，增加太；加三辰及五气内，加二辰，增加少。自此以外的所加辰，立夏后、立秋前，依本其气内加四辰，五气内加三辰，六气内加二辰。六气内加二辰的，也依平。自此以外所加的北面各辰，各依其去立夏、立秋、清明、白露的数，随其依平辰，辰北每辰用其数三分减去交余；雨水后、霜降前，又用去掉分日数的一半，加二分去二立之日，然后减去交余；其在冬至前后，再用去霜降、雨水日数除以三，加霜降雨水当气所得之数；而减去交余，都得到定不食余。用这个数减去望差，然后如月食法。月亮在外时，其去交辰数，如果太阳气所系的限，只有一个而无等次的，加所去辰一，就是食数。如果限有等次，加别系相同的，随所去交辰数而返其衰，以少为多，以多为少，也加其一，作为食数。都以十五为限，然后用这个数来命名，就是各太阳所食多少。

凡是日食，月亮运行在黄道上，被太阳遮蔽，大体上如同重叠的玉璧，逐渐减亏时则出现偏差，在内侧时食分较多，在外侧时没有亏损。虽然外侧完整但月亮位置较低，内侧有亏损但位置更高，交食浅则相隔遥远；交食深则相互接触而不停留。因为遥远而遮蔽较多，所观测的地点又有偏差，所发生食的时刻也不同。月亮位于外道，此地不见亏损，而月外之人反而认为发生食。交食的分值相等，同在南方，冬季亏损较多，夏季亏损较少。假如冬夏相同，早晚又有差异。位于南方的辰位则高度较高，位于东西两侧则向下视有正斜之分。道理不能一概而论，依据标准率数如果实在却违反。古史所详细记载，事情有纷繁交错，现在所以推求其梗概，求学者知道其主旨。如果地点不在阳城，都随地方而逐渐不同。然而月食是因为月亮运行在虚道，被暗气所冲击，太阳有暗气，天有虚道，正对黄道常与太阳相对，如同镜子置于下方，月魄光辉显现阴暗，名叫暗虚，遮蔽月亮则发生月食，所以说“当月月食，当星星亡”。虽然夜半时分，子午相对，正好被大地隔开，虚道即亏缺。既然月亮借日光，当午时更加明亮，此时也被大地隔开，不妨碍承受光明。诚然因为天光神妙，感应玄通，正当夜半，何害于亏缺。月亮行经虚道，内外都发生食。太阳与月亮，形体质料相同，势能相等，比较其食分，月亮全食为多，或许形状有差异，略微增加亏缺的数字，虽疏漏但纲要能举。

推算日食所在辰位的方法：

设置定余，倍乘日限，减去它，月亮在内侧，三乘朔辰作为除数，除之，所得以艮、巽、坤、乾为次序。命艮算外，不满除数的以半数除数减去，无可减的为前，所减之余为后，前则依照余数，后者减去除数，各自为其比率。于是以十加上去交辰，除以三，乘以比率，除以十四，得到差数。其朔所在节气在二分前后一个节气内，即为定差。接近冬至，以距离寒露、惊蛰，接近夏至，以距离清明、白露的气数，加倍而后三除去交辰，增加之。接近冬至，艮、巽则加，坤、乾则减；接近夏至，艮、巽则减，坤、乾则加，其差数为定差。于是艮以坤加，巽以乾减定余。月亮在外侧，直接三除去交辰，乘以比率，除以十四，也为定差。艮、坤以减，巽、乾以加定余，都为食余。如同求节气入辰法，即日食所在辰位及大小。其求辰刻，以辰克乘辰余，除以朔辰，得到刻及分。如果食在早晚，以朔所入气日的日出日落刻，校核食所在，知道食是否可见及多少所在辰位，为正见。

推算月食所在辰位的方法：

三日减阻望定余的一半。设置望所入气日，不见刻，乘以朔日法，除以一百，所得如果食余与之相等或以下，又以此所得减朔日法，其残余食余与之相等或以上，为食正见数。其食余也除以朔辰，如同求加辰所在。又如前求刻校核，月在冲辰发生月食，日月食既有开始结束的早晚，有时也变化反常进退，都在正见前后十二刻半内观测。

推算日月食开始结束辰位的方法：

按照其食分以十五分为基准，全食以下各为衰。十四分以上，以一为衰，直至五分。每因前衰每降一分，积衰增加二，加于前，直至三分。每积增加四。二分每增加四，二分增加六，一分增加十九，都累加计算为各衰。以三百为基准，各衰减之，各以其剩余乘朔日法，都除以基准，所得为食衰数。其比率全食，即以朔日法为衰数，以衰数加减食余，其减者为开始，加者为结束，数字也如气法。

求入辰法及求刻：以加减食所刻等，得到开始结束早晚之辰，与校正见多少之数。史书记载亏复开始结束不同，现在以其全一辰为基准。

推算日月食所起方位的方法：

月亮在内侧时，其正南，则起于右上方，亏于左上方。若正东，月亮从太阳上方邪向北方而下。其在东南维前，向东望之，起初不正，横月高日低；于是月亮稍向西北，太阳渐向东南，过维后，向南望之，月亮更偏北，太阳略偏西南；以至于正午之后，也向南望之，月亮斜向西北，太阳又向东南。西南维后，向西而望，月亮在东北，太阳则在西南。正西，从太阳北侧下方斜亏，而后也不正，横月高日低。若食十二分以上，起于右亏于左。其正东，起于上方靠近亏于下方而向北，午前则渐从上方向下斜。维西，起于西北，亏于东南。维北，起于西南，亏于东北；午后则稍从下方向旁下。维东，起于西南，亏于东北。维南，起于西北，亏于东南。在东则以上为东，在西则以下为西。

月亮在外侧时，其正南，起于右下，亏于左上。在正东，月亮从太阳南侧斜下而映照。维北，则月亮稍偏东南，太阳返至西。维西南，太阳稍移东北，以至于正午，月亮南太阳北，过午之后，月亮稍偏东南，太阳更向西北。维北，月亮在西南，太阳又在东北。正西，月亮从太阳下方斜向南而上。都按照此体来确定起亏，随其所处，每次不同。其月食，都依照日亏起，每次随类相反，都与日食限同表里，而与太阳相反其逆顺，上下超过其分。

五星：

岁星为木星

荧惑为火星

镇星为土星

太白为金星

辰星为水星

木星周期数：一千八百六十万五千四百六十八。

伏半平：八十三万六千八百四十八。

复日：三百九十八；余数：四万一千一百五十六。

岁一：残日三十三；余数：二万九千七百四十九半。

见去日：十四度。

平见：在春分前，以四乘去立春日；小满前，又三乘去春分日，增加春分所乘者；白露后，也四乘去寒露日；小暑，加七日；小雪前，以八乘去寒露日；冬至后，以八乘去立春日，为减，小雪至冬至减七日。

见：初日行一万一千八百一十八分，日益迟七十分，一百一十日行十八度、分四万七百三十八而留。二十八日乃逆，日退六千四百三十六分，八十七日退十二度、分二百四。又留二十八日。初日行四千一百八十八分，日益疾七十分，百一十日也行十八度、分四万七百三十八而伏。

火星数：三千六百三十七万七千五百九十五。

伏半平：三百三十七万九千三百二十七半。

复日：七百七十九；余数：四万一千九百一十九。

岁再：残日四十九；余数：万九千一百六。

见去日：十六度。

平见：在雨水前，以十九乘去大寒日；清明前，又十八乘去雨水日，增加雨水所乘者；夏至后，以十六乘去处暑日；小满后，又十五日；寒露前，以十八乘去白露日；小雪前，又十七乘去寒露日，增加寒露所乘者；大雪后，二十九乘去大寒日，为减，小雪至大雪减二十五日。

见：初在冬至，则二百三十六日行百五十八度，以后日度随其日数增损各一；尽三十日，一日半损一；又八十六日，二日损一；复三十八日，同；又十五日，三日损一；复十二日，同；又三十九日，三日增一；又二十四日，二日增一；又五十八日，一日增一；复三十三日，同；又三十日，二日损一，还终至冬至，二百三十六日行百五十八度。其立春尽春分，夏至尽立夏，八日减一日；春分至立夏，减六日；立秋至秋分，减五度，各其初行日及度数。白露至寒露，初日行半度，四十日行二十度。以其残日及度，计充前数，皆差行，日益迟二十分，各尽其日度乃迟，初日行分二万二千六百六十九，日益迟一百一十分，六十一日行二十五度、分万五千四百九。初减度五者，于此初日加分三千八百二十三、篾十七；以迟日为母，尽其迟日行三十度，分同，而留十三日。

前减日分于二留，乃逆，日退分万二千五百二十六，六十三日退十六度、分四万二千八百三十四。又留十三日而行，初日万六千六十九，日益疾百一十分，六十一日行二十五度、分万五千四百九。立秋尽秋分，增行度五，加初日分同前，更疾。在冬至则二百一十三日行百三十五度；尽三十六日，一日损一；又二十日，二日损一；复二十四日，同；又五十四日，三日日增一；又十二日，二日增一；又四十二日，一日增一；又十四日，一日增一半；又十二日，增一；复四十五日，同；又一百六日，二日损一，亦终冬至二百一十三日，行百三十五度。

前增行度五者，于此亦减五度，为疾日及数。其立夏尽夏至初，日行半度，六十日行三十度。夏至尽立秋，亦初日行半度，四十日行二十度。其残亦计充如前，皆差行，日益疾二十分，各尽其日度而伏。

土星数：一千七百六十三万五千五百九十四。

伏半平：八十六万四千九百九十五。

复日：三百七十八；余数：四千一百六十二。

岁一：残日十二；余数：三万九千三百九十九半。

见去日：十六度半。

平见：在大暑前，以七乘去小满日；寒露后，九乘去小雪日，为加，大暑至寒露加八日。小寒前，以九乘去小雪日；雨水后，以四乘去小满日；立春后，又三乘去雨水日，增加雨水所乘者，为减，小寒至立春减八日。

见：日行分四千三百六十四，八十日行七度、分二万二千六百一十二而留三十九日乃逆，日退分二千八百二十，百三日退六度、分万五百九十六。又留三十九日，也行分日四千三百六十四，八十日行七度、分二万二千六百一十二而伏。

金星数：二千七百二十三万六千二百八。

晨伏半平：百九十五万七千一百四。

复日：五百八十三；余数：四万二千七百五十六。

岁一：残日二百一十八；余数：三万一千三百四十九半。

夕见伏：二百五十六日。

晨见伏：三百二十七日；余数与复同。

见去日：十一度。

夕平见：在立秋前，以六乘去芒种日；秋分后，以五乘去小雪日；小雪后，又四乘去大雪日，增加小雪所乘者，为加，立秋至秋分加七日。立春前，以五乘去大雪日；雨水前，又四乘去立春日，增加立春所乘者；清明后，以六乘去芒种日，为减，雨水至清明减七日。

晨平见，在小寒前，用六乘离冬至日的天数；立春前，又用五乘离小寒日的天数，增加小寒所乘的数值；芒种前，用六乘离夏至日的天数；立夏前，又用五乘离芒种日的天数，增加芒种所乘的数值，作为加数，立春到立夏加五天。小暑前，用六乘离夏至日的天数；立秋前，又用五乘离小暑日的天数；增加小暑所乘的数值；大雪后，用六乘离冬至日的天数；立冬后，又用五乘离大雪日的天数，增加大雪所乘的数值，作为减数，立秋到立冬减五天。

夕见，一百七十一天运行二百零六度。谷雨到小满、白露到寒露，都是十天加一度；小满到白露，加三度。于是十二天运行十二度。冬至后，每十二天减少一日和一度，雨水到夏至，每日和每度为七；夏至后每六天增加一。大暑到立秋，回到每日十二度和每度十二；到寒露，每日二十二度和每度二十二，之后每六天减少一。从大雪到冬至，又是每日十二度和每度十二而行进缓慢。每天加快五百二十分，初日行分二万三千七百九十一、篾三十五，以行日为分母，四十三天运行三十二度。

前面加的度数，这里按此减少。停留九天然后逆行，每天后退大半度，九天后退六度，然后傍晚隐没清晨出现。每天后退大半度，九天后退六度。再次停留，九天而行，每天减慢五百二十分，初日行分四万五千六百三十一、篾三十五，四十三天运行三十二度。芒种到小暑、大雪到立冬，每十五天减一度；小暑到立冬，减二度。又十二天运行十二度。冬至后，每十五天增加一日和一度。惊蛰到春分，每日和每度为十七，之后每十五天减少一，到夏至，回到每日和每度十二。之后每六天减少一，到白露，每日和每度都为零。霜降后，每五天增加一，到冬至，又是每日和每度十二。然后加快，一百七十一天运行二百零六度。前面减的度数，这里也加上，然后清晨隐没。

水星常数，五百四十万五千六。

晨伏半平，七十九万九十九。

复日，一百一十五；余数，四万九百四十六。

夕见伏，五十一天。

晨见伏，六十四天；余数与复日相同。

见离太阳，十七度。

傍晚应该出现，在立秋后小雪前的不出现；白露前立夏后的，有时会出现。

清晨应该出现，在立春后小满前的不出现；惊蛰前立冬后的，有时会出现。

夕见，每天运行一度太，十二天运行二十度。小暑到白露，运行度半，十二天运行十八度，于是八天运行八度。大暑后，每两天减少一度，到十六天，每日和每度都为零。然后变慢，每天运行半度，四天运行二度。更加变慢，每天运行少半度，三天运行一度。前面运行度半的，去掉这种更慢的情况。于是停留四天然后傍晚隐没清晨出现，停留四天，是每天运行少半度，三天运行一度。大寒到惊蛰，没有这种运行，更快，每天运行半度；四天运行二度；又八天运行八度。也是大寒后，每两天减少一度；到十六天，也是每日和每度都为零。更加加快，每天运行一度太，十二天运行二十度。起初没有慢的，这种运行度半，十二天运行十八度然后清晨隐没。

推算星体平见的方法：

各用伏半减积半实，然后用其数去除；余数返回减数，满气日法为日，不满为余数，即所求年天正冬至后平见日余。金星、水星满晨见伏日的，去掉它，晨平见。求平见月日：用冬至离定朔日、余数，加其后日及余数，满复日又去掉，起于天正月，按定大小朔除去，除不尽算外日，即星见所在。求后平见，因前见去掉其岁一、再，都用残日加上，也可以。其复日，金、水准用晨夕见伏日，加晨得夕，加夕得晨。

求常见日：用转法除所得加减的，为日；其不满的，用余通乘之，为余数；并日，都加减平见日、余数，即得常见日及余数。

求定见日：用其先后已通者，先减后加常见日，即得定见日余数。

求星见所在度：

置星定见、其日夜半所在宿度及分，用其日先后余数，分前加、分后减气日法，而乘定见余数，除以气日法所得加夜半度分，乃用星初见离日度数，晨减夕加，即星初见所在宿度及分。

求次日：

各加一日所行度及分。其有加快、减慢的，副置一日行分，各用其分疾增、迟损，乃加之。有篾的，满法从分，其分母有不等的，齐而进退之。留即因前，逆则依减入虚去分，逆出先加。皆用篾法除，为转分；其不尽者，仍谓之篾，各得每日所在知离日度。增以日所入先后分，定之。诸行星度求水其外内，准月行增损黄道而步之；不明者，依黄道而求所离日度。先后分亦分明前加后减。其金星、火星诸日度，计数增损定之者。其日少度多，用日减度之残者，与日多度少之度，皆用度法乘之，除以日数，所得为分。不满篾，以日数为母。日少者用分并减之一度，日多者直为度分，即皆一日平行分。其差行的，都减所行日数一，乃半其益疾、益迟分而乘之，益疾以减、益迟以加一日平行分，皆初日所行分。有计日加减，而日数不满未得成度者，用气日法若度法乘，见已所行日即日数除之，所得以增损其气日疾法，为日及度。其不成者，亦即为篾。其木星、火星、土星，晨有见而夕有伏；金星、水星即夕见还夕伏，晨见即晨伏。然火星之初行及后疾，距冬至日计日增损日度者，皆当先置从冬至日余数，累加于位上，以知其离冬至远近，乃用初见与后疾初日离冬至日数而增损定之，而后依其所直日度数行之也。