历第一

自《三统历》以后七十多家，到郭守敬的《授时历》，观测推算越来越精确，分析道理越来越细微，确立数据越来越简洁可靠，可以说超越了古代。然而日月星辰高远莫测，仅凭一个人的智力去穷尽它，想要事事吻合、永远没有差错，这是不可能做到的。明朝的《大统历》，实际上源自《授时历》，到成化以后，日月交食就常常不灵验了。

本朝宣城梅文鼎、婺源江永，都精通数理。他们指出《授时历》的疏漏错误共有几处：一是增减岁余、岁差。一年的小余，古代强而近代弱，一是由于太阳轮径差，一是由于最卑点移动。《授时历》在考定古代时，增加岁余而减少岁差；推算未来时，则增加岁差而减少岁余。这是没有找到根本原因，而用方法迁就它。看似精密实则疏漏，不足作为法则。一是岁实消长。天体运行有盈缩，进退是逐渐的，没有突然增加、突然减少的道理。《授时历》以百年消长一分，这样一来百年之内都没有误差，过一年就突然增减一分，又过百年就平均差一分，再过一年又突然增减一分，没有这样的推算方法。一是二十四气用恒气。当时高冲与冬至同度，最高与夏至同度，冬至为盈缩的起点，夏至为缩的起点，认为盈缩的常规如此。所以把两个冬至相距的日子，平均分为二十四气，认为符合天的平分数。假如五十多年后，高卑两点各自东移一度，那么平冬至与定冬至就不相合，到了极点时，平冬至与定冬至相差两天，还能把两个定冬至相距的日子，平均分为二十四气吗？而且它求冬至的方法，从丙子年立冬后。依每日测量日影取对冬至前后日差相同的为准，得到丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛巳冬至在己未日夜半后六刻。它求岁余的方法，从宋朝大明以来得到冬至时刻真数的有六个，用它们来相距，各得其时的合用岁余，考验四年相符不差，仍从大明壬寅年至今八百一十九年，每年合得三百六十五日二十四刻二十五分，减少大明历一十二秒，这二十五分为现在律历岁余合用的数目。用这两件事来考察，那么《授时历》当年所定的岁实，已有细微差错。考查史书，又多矛盾。一年的小余二十四刻二十五分，累积四年只得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半后八刻，那么辛巳冬至应在己未夜半后五刻，不应有六刻。如果以辛巳的六刻为正确，那么丁丑的冬至应在九刻，不应为八刻半。这四年既然都是实测所得，那么已经多半刻了。却说相符不差，为什么呢？又考大明五年十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分为辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年，用《授时历》岁实累积，共二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分，以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻，共二十九万九千一百三十三日九十二刻，多出三十三刻。却说从大明壬寅至今每年合得此数，为什么呢？又说减少大明历一十一秒。考大明历的纪法与周天一岁的小余二十四刻二十八分一十四秒。《授时历》减去三分一十四秒，不是一十一秒。又古代太阳的本轮、均轮半径之差，大于今日，所以加减均数也大。而冬至岁实应当更增加。至元辛巳年间高冲约与冬至同度，那么岁实尤其大，它的的小余刻下之分约有三十分。而《授时历》定为二十五分，难怪从丁丑到辛巳四年之间，就有每年刻度的误差，而郭守敬没有觉察。

所有这些几件事，都足以订正《授时历》的错误。现在撮取大概写在篇中，以备研究历法的人参考。

至于《授时历》用平方、立方求盈缩迟疾差，还是开方的旧方法，用天元一处理弧矢，从圆周长三直径一出发，也失于粗略。如果用弦矢求弧背，前后不均匀，象限以内差而多，象限以外差而少，这又是不能为前人隐讳的。

《历经》、《历议》，都是郭守敬所撰。世祖招李谦为《历议》，润色那本书而已，李谦不能作。札马鲁丁的《万年历》，其实就是明朝人所用的回回历，《明史》已详细记载，不再论述。

蒙古最初没有历法。太祖十五年，驻跸撒马尔干城，回鹘人上奏五月十五月食。中书令耶律楚材用《大明历》推算，太阴应当亏二分，食甚在子正，但还没到一更天而月已经食。这年二月、五月朔日，微月出现在西南方。楚材认为旧历不灵验，于是另外造了《庚午元历》。根据《大明历》减周天七十三秒，岁差也减七十三秒。以中元庚午岁，国家军队南伐，天下大致平定，推算上元庚午岁天正十一月壬戌朔子正冬至，作为太祖受命的符瑞。又因为西域、中原相距万里，依照唐僧一行里差之说，进行增减。东西观测，不再有差错。于是上表于行在说：“汉、唐以来，经元创法不止百家，气候的早晚，朔望的快慢，二曜的盈衰，五星的起伏，疏密无定，先后不同。大概因为都邑各自不同，或者历年逐渐久远，不得不有偏差。唐历八次改易，宋历九次更改，金《大明历》百年才经过一次改历。这里离中原万里，用过去的历法推算现在，过去精密现在粗略，东方细微西方明显。今年二月、五月朔日，微月见于西南，比较于历法，全都超前。”自汉、唐以来历算的书籍完备了。都没有这种说法。这年正月、四月虽然都是小月，但也没有朔日见到月亮的。这时，太祖正用兵西域，其书最终没有颁行。

楚材曾经说，西域历关于五星比中国精密，又作《麻荅历》，现在不传。楚材父亲履在金末作《乙未元历》，楚材增益依据其文的书，改名为《庚午元历》。

到世祖至元四年，西域人札马鲁丁用回回法撰《万年历》，世祖稍微采用。其法为默特纳国王马哈麻所造历，元年起于西域阿剌必年，即隋开皇己未，不置闰月，以三百六十五日为一岁。一年十二宫，宫有闰日，共一百二十八年宫闰三十一日，以三百五十四日为一周，一周十二月，月有闰日，共三十年月闰十一日。历经一千九百四十一年，宫月日辰再次会合。这是它立法的大概。

十三年，世祖平定宋朝，下诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬，设立局所改治新历。此前，太保刘秉忠因为《大明历》辽、金承用岁久，逐渐落后于天象，建议修正它。不久秉忠去世，事情就搁置了。至此，世祖想用他的话，于是命王恂与郭守敬率领南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等，分别掌管观测、推算，因许衡能推明历理，让他参与。

郭守敬首先说：“历法的根本在于观测，而观测的器具没有比仪表更重要的。现在司天浑仪，是宋皇佑年间汴京所造，不与这里的天度相符，比较南北两极，大约差四度。表石年久，也已倾斜不可用。”于是全面考究其失误，并重新安置。接着又另外选择高爽干燥之地，用木材建造重棚，创制简仪、高表，用来相互比对。又认为天枢依附北极而运动，前人曾展管观望，未能精确，制作候极仪。极辰既已定位，天体于是端正，制作浑天象。天象虽形状相似，但无所适用，制作玲珑仪。用表测量天的正圆，不如用圆求圆，制作仰仪。古代有经纬网，结而不动，守敬则改动它，制作立运仪。太阳有中道，月亮有九行，守敬则统一它们，制作证理仪。表高影虚，形象不真实，制作景符。月亮虽有光，但观测其影则难，制作窥几。历法的验证，在于交食，制作日月食仪。天有赤道，用轮来对应它，两极高低，用标来指示它，制作星晷定时仪。以上共十三种。又制作正方案、九表、悬正仪、座正仪，共四种，为四方行测者所用。又制作仰规、覆矩图、异方、浑盖图、日出入永短图，共五种，与上述诸仪互相参考。

十六年，改局为太史院，以赞善王恂为太史令，郭守敬为同知太史院事，给印章，立官府。这年，上奏进献仪表式样，郭守敬在御前指陈道理，一一详尽。从早晨到日暮，皇上不疲倦。

郭守敬上奏：唐一行开元年间令天下测量日影，书中可见的有十三处。现在疆域比唐朝更大，如果不远赴四方观测，日月交食的分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰离天的高低不同；可先南北立表，取直测量日影。皇上许可其奏。于是设监候官十四员，分道相继而出。

首先测得：南海：北极出地十五度。夏至日影在表南长一尺一寸六分，昼五十四刻，夜四十六刻。衡岳：北极出地二十五度。夏至日在表端无影，昼五十六刻，夜四十四刻。岳台：北极出地三十五度，夏至影长一尺四寸八分，昼六十刻，夜四十刻。和林：北极出地四十五度，夏至影长三尺二寸四分，昼六十四刻，夜三十六刻。铁勒：北极出地五十五度，夏至影长五尺一分，昼七十刻，夜三十刻。北海：北极出地六十五度，二至影长六尺七寸八分，昼八十二刻，夜十八刻。接着又测得：上都：北极出地四十三度少。大都：北极出地四十二度强，夏至晷影长一丈二尺三寸六分，昼六十二刻，夜三十二刻。益部：北极出地三十七度少。登州：北极出地三十八度少。高丽：北极出地三十八度少。西京：北极出地四十度少。太原：北极出地三十八度少。安西府：北极出地三十四度半强。兴元：北极出地三十三度半强。成都：北极出地三十一度半强。西凉州：北极出地四十度强。东平：北极出地三十五度太强。大名：北极出地三十六度。南京：北极出地三十四度太强。阳城：北极出地三十四度太。扬州：北极出地三十三度。鄂州：北极出地三十一度半。吉州：北极出地二十六度半。雷州：北极出地二十度太。琼州：北极出地十九度太。

十七年，新历完成。郭守敬上奏说：

我们听说帝王的事业，没有比历法更重要的。从黄帝用圭表测日影、推算历法，帝尧用闰月来确定四季、形成一年，舜用璇玑玉衡来观测日月五星的运行。到了夏商周三代，历法没有固定的方法，周秦之间，闰月的余数错乱。西汉制定了《三统历》，一百三十年后才确定是非。东汉制定了《四分历》，七十多年后仪礼制度才完备。又过了一百二十一年，刘洪制定了《乾象历》，才悟出月亮运行有快慢。又过了一百八十年，姜岌制定了《三纪甲子历》，才悟出用月食冲来检查太阳所在宿度。又过了五十七年，何承天制定了《元嘉历》，才悟出用朔望和上下弦来确定大余和小余。又过了六十五年，祖冲之制定了《大明历》，才悟出太阳有岁差的数值，北极星偏离不动处一度多。又过了五十二年，张子信才悟出日月交食的道路有内外，五星有迟、疾、留、逆。又过了三十三年，刘焯制定了《皇极历》，才悟出太阳运行有盈缩。又过了三十五年，傅仁均制定了《戊寅元历》，较多地采用旧仪，开始使用定朔。又过了四十六年，李淳风制定了《麟德历》，因为古历的章、蔀、元、首分度不齐，才开始用总法，采用进朔来避免晦日清晨月亮出现。又过了六十三年，僧一行制定了《大衍历》，才开始认为朔有四大三小，确定了九服交食的差异。又过了九十四年，徐昂制定了《宣明历》，才悟出日食有气差、刻差、时差三种差异。又过了二百三十六年，姚舜辅制定了《纪元历》，才悟出食甚的泛余差数。以上总计一千一百八十二年，经历了七十次改历，其中创新方法的共有十三家。

从此又过了一百七十四年，钦敬我大元朝统一天下，开创疆域，专门命令我们改治新历。我们使用新造的简仪、高表，依据实测到的真实数据来考正的事情共有七件：第一是冬至。从丙子年立冬后，根据每天测到的日影长度，逐日比对，冬至前后日影差相同的作为标准，得到丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又确定了丁丑年夏至，在庚子日夜半后七十刻。又确定了戊寅年冬至，在癸卯日夜半后三十三刻；己卯年冬至，在戊申日夜半后五十七刻半；庚辰年冬至，在癸丑日夜半后八十一刻半。各比大明历减少十八刻，远近与阳气符合，前后对应准确。第二是岁余。自刘宋《大明历》以来，共有六次测景验气得到冬至时刻的真数，用来计算距度，各自得到当时应使用的岁余。现在检验了四年，相符没有差错。仍从宋大明壬寅年到今天共八百一十年，每年应得三百六十五日二十四刻二十五分。其中的二十五分就是现在历法岁余应使用的数值。第三是日躔。用至元丁丑年四月癸酉望月食既来推求太阳所在宿度，得到冬至日太阳在赤道箕宿十度，黄道箕宿九度有余。仍凭每天测到的太阳躔度，或者凭星测月，或者凭月测日，或者直接凭星度测日，建立算法推算。从丁丑年正月开始，到己卯年十二月，共三年，得到一百三十四件事，都躔在箕宿，与月食相符。第四是月离。从丁丑年以来到现在，凭每天测得的逐时太阴行度推算变化，从黄道求入转极疾和平行处，前后共十三转。共计五十一件事，其中除去不准确的，有三十件事。得到大明历的入转后天，又因考验交食加大明历三十刻，与天道符合。第五是入交。从丁丑年五月以来，凭每天测到的太阴去极度数，比照黄道去极度，得到月道交于黄道，共得八件事。仍依日食法度推求，都有食分得到入时时刻，与大明历相差不大。第六是二十八宿距度。自汉代初历以来，距度不同，互有增减。大明历则在度下余分附以太半、少半，都是私意牵强凑合，未曾实测其数值，现在新仪都细刻周天度分，每度为三十六分，用距线代替管窥宿度余分，都依据实测，不以私意牵强凑合。第七是日出日落昼夜刻。大明历的日出日落昼夜刻，都根据汴京为标准，其刻数与大都不同。现在改用本方北极出地高低、黄道出入内外度，建立算法推求每日日出日落昼夜刻，得到夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻；冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻；永远作为定式。

所创方法共五件事：第一是太阳盈缩。用四正定气立为升降限，建立招差法求得每日行分初末极差积度，比古代更精密。第二是月行迟疾。古历都用二十八限，现在以万分日之八百二十分为一限，共分为三百三十六限，依垛叠招差法，求得转分进退，其迟疾度数逐时不用，这是前所未有的。第三是黄赤道差。旧法用一百一度相减相乘。现在依算术勾股、弧矢、方圆、斜直所包括的，求得度率积差差率，与天道实际吻合。第四是黄赤道内外度。根据多年实测内外极度二十三度九十分，用圆容方直矢接勾股为法求每日去极度，与所测相符。第五是白道交周。旧法从黄道变推白道，以斜求斜。现在用立浑比量，得到白道与赤道正交，距春秋二分黄赤道正交一十四度六十六分，拟作为方法。推算逐月每交二十八宿度分，在道理上已穷尽。

诏书赐名为授时历。至元十八年，向天下颁布新历。

至元十九年，郭守敬因为推步的公式和立成的数据都没有定稿，于是撰著《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷，上表进呈。至元二十年，又诏令太子谕德李谦就郭守敬的《历议稿》重新加以修订，以阐发新历顺天求合的道理。

大德三年八月初一，时加巳时，按照新历日食二分有余，到那时却没有发生日食，台官都害怕。保章正齐履谦说：“应该日食却日食没有发生，古代就有过。何况时间接近中午，阳气盛阴气微，应该日食而不食。”于是考察唐开元以来应当食而没食的共十件事上报。大德六年六月初一，时加戌时，按照新历日食五十七秒，众人因为交食既浅，且接近地平线，想隐瞒不报。齐履谦说：“我所掌管的是常数。其日食与否，则取决于天。”独自将情况上报。到那时，果然日食。大概高远难穷尽的事情，必须积累时间多次验证，才能看出端倪。《授时历》推算日食的方法，比之前的十三家最精密了，然而尚且不能没有几刻的误差。所以元朝一代，日食有四十五次，推算日食却没有食的一次，日食而推算失误的一次，夜食而误作昼食的一次。齐履谦说：食与否取决于天，这仍然是拘泥于前人应当食而不食、不应当食而食的谬说，荒谬极了。

泰定年间，齐履谦任太史院使，因为《授时历》施行了五十年不曾推考，于是每天测量日影以及晨昏五星宿度，从至治三年冬至、泰定二年夏至天道加时真数，各比现行历书减少二刻，撰著《二至晷景考》二卷。《授时》虽然有经串，但经用来著定法，串用来纪成数；寻求其方法的所以然、数据的来源，则简略而不详细；于是作《经串演说》八卷，以阐发其内含。

当时鄱阳人赵友钦推演《授时》的道理，著《革象新书》五卷，号称新历之学。

其中《历法改革篇》说：“历法从古到今，有六十多种了。汉太初历粗略可取，但还疏略不精密。唐代一行作大衍历，当时认为精密了，从今天来看，仍然很疏略。大概时间短则误差少不易察觉，时间长则累积的误差渐多，不容不改，关键是要随时测验，以求真实数据。”

其中《日道岁差篇》说：“统天历认为周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周岁三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，但又认为周岁渐渐不同，上古岁策多，后世岁策少，这样则上古岁差少，后世岁差多。用当今历法反过来推测，建立减加岁策的方法，上考往古，百年加一秒，下验将来，百年减一秒。”

其中《黄道损益篇》说：“二至之日，黄道平其度，敛狭每度约得十分之九。二分，斜行赤道的交点。现今的授时历推算得冬至日躔在箕宿。由此知道寅申度数最少，己亥度数最多，其余则多少稍近。”

其中《积年日法篇》说：“前代造历的人，逆求往古的上元，求其积年总会，因此必须立日法。然而有所谓的截元术，只将推步定数为顺算逆考，不求其齐。当今授时历采用旧术的截元之术，凡积年日法都不采用。”

其中《日月盈缩篇》说：“月亮运行十三度余十九分之七，然而有时提前，有时推后，有差到四五度的，后汉刘洪开始考究，知道月亮有盈缩。隋朝的刘焯开始察觉太阳也有盈缩，最多的时候在春秋二分，平均差两度有余。李淳风有推步月孛的方法，说六十二日行七度，六十二年七周天。所谓孛，是彗星的一种，光芒偏斜的叫做彗，光芒四出如浑圆的叫做孛。然而孛以月为名，是因为孛所在之处，月亮运行最慢，月亮在孛星对冲处则运行最快。孛星不常见，只以月亮运行最慢处来测量。”

其中《月有九道篇》说：“月亮出入黄道内外，远离黄道处六度二分。月道与黄道相交处在二交的开始，名叫罗睺，交之中，名叫计都。从交初到交中，月在黄道外，名叫阳限。从交中到交出，月在黄道内，名叫阴限。所谓九行，应当画图来比较。四张图各有两条黄道，像一个圆环，都在环的南边定为夏至。环北定为冬至，环西定为春分，环东定为秋分。将一张图画为青道，与黄道交于南北，南交为罗，北交为计。青道一边进入黄道西之东，是内青道；一边出现在黄道东之东，是外青道。又将一张图画白道，也与黄道交于南北，南交为计，北交为罗。白道一边进入黄道东之西，是内白道；一边出现在黄道西之西，是外白道。又将一张图画朱道，与黄道交于东西，东交为计，西交为罗。朱道一边进入黄道之南，是内朱道，一边出现在黄道南之南，是外朱道。又将一张图画黑道，也与黄道交于东西，东交为罗，西交为计。黑道一边进入黄道南之北，是内黑道；一边出现在黄道北之北，是外黑道。这虽然是画了四张图，但四张图中的八道只是一道。本来是八道却叫九行，是因为北道之行，交于黄道，所以道以九来说。八道经常变化，不能放在浑仪上，也不能画在星图上。所能具备的只有黄、赤二道。为了区别于黄道，所以涂成赤色。赤道附近的八道都相交远近。朱道只有十八度远，黑道到三十度远，青白二道约二十四度远。”

《地域远近篇》说：“古代竖立八尺高的圭表，用来检验四季的日影。中原地区夏至时，日影在圭表北面一尺六寸；冬至时，日影在圭表北面一丈三尺。向南到交州、广州，向北到铁勒等地检验，结果都各不相同。圭表高八尺，似乎太短了。至元年间以来，圭表长四丈，确实是万古不变的定制。所谓土圭，自古以来就有。但是地上的天空有早晚之分，太阳离人近时，日影移动一定很快；太阳离人远时，日影移动一定很慢。世间的土圭只是均匀划分刻度罢了，怎能避免中午侵占了己时和未时，而使早晚的时刻都出现误差？中原地区的误差已经如此，如果用在八方偏远之地检验，土圭不可靠的情况就更加明显。然而偏东的地方，早晨日影移动快，而傍晚日影移动慢，正午日影先到；偏西的地方，早晨日影移动慢，而傍晚日影移动快，正午日影后到；偏北的地方，刻度少，而日影移动慢；偏南的地方，刻度多，而日影移动快。如果南边越远，日影指向南方，而子午线颠倒，那就更加错乱了。”

《日月薄食篇》说：“太阳是圆的，体积大；月亮是圆的，体积小。太阳运行的轨道圆周也大，月亮运行的轨道圆周也小。太阳轨道离天较近，月亮轨道离天较远。太阳、月亮的体积以及它们运行的轨道，虽然有大小差别，但是月亮离人近，太阳离人远。所以月亮的体积因为近看而可以比得上太阳轨道的大小，日食、月食应当用天体经纬度来推算。经度相同而纬度不同，只叫合朔。经度相同、纬度也相同的合朔，就有食发生。人看太阳的形体，看到被月亮的黑色形体遮蔽，所以称为日食。但是太阳形体并没有损失，所谓‘食’，只是勉强命名罢了。太阳和月亮相对运行，如果望日不在二交（黄白交点）前后，就不会发生月食。望日在二交前后，就一定会发生月食。或者全食或者不全食，应当根据距离交点的远近推算。太阳和月亮的圆直径相差一倍。太阳直径一度，月亮直径只有太阳直径的一半，但由于近看，也相当于一度。这就像省秤出于复秤，斤两虽然相同，实际上却有轻重的差别。太阳的圆直径比月亮大一倍，那么暗虚的圆直径也比月亮大一倍。月亮既然相当于一度，那么暗虚就有二度宽。月食的分数只以距离交点的远近而论，没有四季的加减。各地所见到的食分相同。日食就不是这样，旧历书说：假使在中国发生日全食，在太阳正下方所见亏缺才一半，在化外之地反过来看，则是交会而不发生食。为什么这样说呢？太阳和月亮就像大小两个球，共同悬挂在一条绳子上。太阳在上，月亮在下，相距稍远，人在下面正对着看，黑球遮尽红球，好比日全食。如果从旁边看，就有远近的差别，那么食分就有多有少。”

《五纬距合篇》说：“古代只知道五大行星的距度，不知道有变数的加减。北齐张子信仰观天象多年，才知五大行星还有盈缩的变化，应当加减常数来求得它们每天的运行位置。之所以如此，是因为五大行星不沿着黄道，也不沿着月亮的九道。它们出入黄道内外，各自有自己的轨道。根据离太阳的远近而有快慢，就像走路时的疲劳程度，又有变数的加减。比如道路的直或斜曲。”《勾股测天篇》说：“古人测量日影，有千里一寸的误差，还不够精确。现在另外制定圭表的制度，并叙述元代已有的算法。在地中各去南北数百里，仍然不偏离东西方向，各立一根圭表，大约高四丈。在表顶下数寸处开一个方孔，外面宽而里面窄，中间薄如连接的两边，两旁像侧放的漏底碗，形状圆而孔方。用南北表影的数值相减，余数叫景差。两表之间的距离里数，分别乘南北表影，再分别除以景差即得。两表各自与太阳下地面相距的数值，水平距离分别加上表影，所得分别乘以表高，再分别除以表影即得。太阳顶端与太阳下地面的距离，用南北表影分别加上水平距离所得平方，叫勾幂。太阳高度自乘，叫股幂。两幂相加，叫弦幂。开平方，叫日远。就是南北表孔到太阳的斜距。”

《乾象周髀篇》说：“古人说圆直径一尺，周长三尺。后世研究并不是这样。圆周长一而周三，则还有余数；周长三而直径一，则不够。因为周长三直径一，是六边形的用法。有人说圆直径一尺，周长三尺一寸四分；有人说圆直径七尺，周长二十二尺；有人说圆直径一百一十三，周长三百五十五。直径一而周三一四，仍然是直径多周长少；直径七而周二十二，却是直径少周长多；直径一百一十三，周长三百五十五，最为精密。其研究方法：用两百眼的茶盘一个，每眼宽一寸，在方形图内画圆形图，直径十寸，圆内再画小方形图。小方形用算术展开成圆形，从四角的方形，添加成八角的曲边为第一次。第二次，则成为曲边十六。第三次，则成为曲边三十二。第四次则成为曲边六十四。每次多一交，曲边必加倍。到第十二次，则曲边为一万六千三百八十四。最初的小方形，逐渐增加逐渐展开，逐渐充满逐渐充实，角越多，而原来方形的边不再方，而变成圆形了。现在先用第一次来说：内方的弦长十寸，叫大弦，自乘得一百寸，叫大弦幂，内方的勾幂五十寸，叫第一次大勾幂。用第一次大勾幂减去大弦幂，余五十寸，叫大股幂，开方得七寸七厘一毫有奇，叫第一次大股。用第一次大股减去大弦，余二寸九分二厘八毫有奇，叫第一较，折半得一寸四分六厘四毫有奇，叫第一次小勾。这个小勾的数值，就是内方四边与圆周最远的地方。用第一次小勾自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，叫第一次小勾幂。用第一次大勾幂折半得二十五寸，再折半得十二寸五分，叫第一次小股幂，加上第一次小勾幂，得一十四寸六分四百四毫有奇，叫第一次小弦幂，开方得三寸八分二厘六毫有奇，叫第一次小弦，就是八曲之一。八乘第一次小弦，得三十寸六分一厘有奇，就是八曲的周长。这是用小数值来求，不如改为大数值，将大弦改为一千寸，然后依法而求。若求第二次，用第一次小弦幂，就叫第二次大勾幂。用第一次大股幂减去大弦幂，余为第二次大股幂。开方得第二次大股，用减去大弦余为第二较，折半叫第二次小勾。这个小勾的数值，就是八曲的边与圆周最远的地方。用第二次小勾自乘，叫第二次小勾幂。用第二次大勾幂两次折半，叫第二次小股幂。用第二次小股幂加上第二次小勾幂，叫第二次小弦幂，开方得第二次小弦，就是十六曲之一。用十六乘第二次小弦，就是十六曲的周长。第二次仿照第一次，若到第十二次，也依次相仿。取第十二次的小弦，用第十二次的曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，就是千寸直径的周长。用一百一十三乘之，果然得三百五十五。所以说这个方法精密。总之，方是数的开始，圆是数的终结。圆始于方，方终于圆。周髀之术，没有超出这个的。”

赵友钦阐明历法原理，对授时历尤其有深刻心得，将他的学问传授给龙游人朱晖。整个元代，不担任历法官而懂得历法的人，只有赵友钦一人而已。