卷十四历三

演算纪元上元阏逢困敦之年，距离现今开元十二年甲子年，累积年数为九千六百六十六万一千七百四十算。

大衍步中朔第一

大衍通法：三千零四十。

策实：一百一十一万零三百四十三。

揲法：八万九千七百七十三。

灭法：九万一千三百。

策余：一万五千九百四十三。

用差：一万七千一百二十四。

挂限：八万七千零一十八。

三元之策：十五；余数，六百六十四；秒，七。

四象之策：二十九；余数，一千六百一十三。

中盈分：一千三百二十八；秒，十四。

爻数：六十。

象统：二十四。

推算天正中气时，用策实乘以从纪元到所求年份的累积算数，称为中积分。满大衍通法得到一，即为积日。不满的部分为小余。用爻数去除积日，不满一爻的日数称为大余。从甲子开始计算，得到所求年份天正中气冬至的日数和小余。

求取下一节气，根据天正中气的大小余，加上三元之策及其余秒。如果秒满象统，则并入小余。小余满大衍通法，则并入大余。大余满爻数，则去掉。按前述方法命名，即得到下一节气的恒日日数及余秒。凡是比率相因相加的情况，下有余秒，都按类别归并。满其法数，则依次进位，加到上位。日数满爻数，则去掉。

推算天正合朔，用揲法去除中积分。剩余的部分，称为归余之卦。用这个余数减积积分，余数即为朔积分。然后除以大衍通法，得到日数。不满的为小余。日数满爻数，则去掉。不满的为大余。从甲子开始计算，即得到所求年份天正合朔的经日日数和小余。

求取下一次朔日以及弦望，根据天正经朔的大小余，加上四象之策及其余数。按同样方法计算，即得到下一次朔日的经日日数及余数。再从经朔加上一象的日数七及余数一千一百六十三少，得到上弦。加倍得到望。三倍得到下弦。四倍称为一揲，又得到后月的朔日。凡是四分之一称为少，二分之一称为半，四分之三称为太，全部称为全。相加满前一位数，则去掉，向上一位进位。综合中朔的盈虚分，逐步增加归余之卦，每月有闰衰。凡是归余之卦达到五万六千七百六十以上，当年有闰月。根据闰衰考察，满卦限以上，则该月应设置闰月。有时有进退，都以定朔没有中气来裁定。

推算没日，将含有没的气的恒气小余，乘以象统，内含秒分，三倍五倍之，再用策实减去。余数满策余，得到日数。不满的为没余。从起点开始计算。凡是恒气小余不满大衍通法，且如中盈分的一半以下，则为含有没的气。

推算灭日，将含有灭的朔的经朔小余，减去大衍通法。余数加倍再乘以三五，然后用灭法减去。余数满朔虚分，得到日数。不满的为灭余。从经朔初日开始计算，即得到合朔后的灭日。凡是经朔小余不满朔虚分的，为含有灭的朔。

大衍步发敛术第二

天中之策：五；余数，二百二十二；秒，三十一。秒法：七十二。

地中之策：十八；余数，一百六十五；秒，八十六。秒法：一百二十。

贞晦之策：三；余数，一百三十二；秒，一百零三。秒法：同前。

辰法：七百六十。

刻法：三百零四。

推算七十二候，各根据中节的大小余命名，即为初候的日数。用天中之策及其余秒相加，按同样方法计算，即为次候的日数。再加，得到末候的日数。凡是推算节气变化，都用恒气。

推算六十卦，各根据中气的大小余命名，为公卦用事的日数。用地中之策及其余秒依次相加，按同样方法计算，各为次卦用事的日数。如果用贞晦之策加于诸侯卦，则得到十二节初的外卦用事日数。

推算五行用事，各根据四立的大小余命名，即春季木、夏季火、秋季金、冬季水开始用事的日数。用贞晦之策及其余秒，减去四季中气的大小余，即为该月土开始用事的日数。凡是进行加减而有秒时，如果分母不相等，应当让分母互乘分子。然后进行加减。分母相乘作为法数。

推算节气变化到朔日的距离，各放置该月的闰衰，用大衍通法约之，得到日数。不满的为余数，即为该月中气离开经朔的日算及余秒。求卦候时，各用天地之策及其余秒依次加减，中气之前用减，中气之后用加。得到离开经朔的日算及余秒。

推算节气变化加时，各放置其小余，用六爻乘之，除以辰法，得到半辰的数。不满的部分，乘以五，用三刻法除，得到刻数。仍不满的，约分为分。这个分满刻法即为刻，如果令满象积为刻，则放置不满的数，乘以十，除以十九，得到分。从子半开始计算，各为其加时所在的时辰刻及分。

大衍步日躔术第三

乾实：一百一十一万零三百七十九太。周天度：三百六十五。虚分七百七十九太。

岁差：三十六太。

求每日先后定数，根据所入气及后气的盈缩分，加倍再乘以六爻，综合两气的辰数除之，得到末率。又列出两气的盈缩分，各加倍乘以六爻，各除以辰数，用少的减多的，余数为气差。加减末率，冬至后以气差加，春分后以气差减。得到初率。加倍气差，再乘以六爻，又综合两气辰数除之，得到日差。取其半，用以加减初末率，各为定率。用日差依次加减气初定率，冬至后以差减，春分后以差加。得到每日盈缩分。然后逐步累积，根据所入气的日数加减气下的先后数，各得其日的定数。冬至后为阳复，在盈时加，在缩时减。夏至后为阴复，在缩时加，在盈时减。距离四正前一气，在阴阳变革之际，不能合并，都以前末为初率。用气差在冬至前加，春分前减，得到末率。其余按前率，各得所求。其朓朒也按此方法求，各得每日定数。其分不满全数，分母每气不同，应当退法除之，用百为分母，半以上进位取一，以下舍弃。下面求轨漏，余分不满准此。

推算二十四气定日，冬夏至都在天地之中，没有盈缩。其余各用气下的先后数，先减后加恒气小余。满或不足，则进退其日。从甲子开始计算，各为其定日及余秒。凡是推算日月行度及轨漏交蚀，都根据定气。如果注历则根据恒气。

推算平朔四象，根据定气相距，放置朔弦望经日大小余，用所入定气的大小余及秒分减之，各为其所入定气的日算及余秒。如果大余少不够减，加爻数，然后减之。其弦望小余有少半太，应当用爻乘之，然后用气秒分减，退一加象统。小余不够减，则退一日算，加大衍通法。

求朔弦望经日入朓朒，各放置其所入定气的日算及余秒。减日算一，各用日差乘并取其半，用以加减其气初定率，前少则加，前多则减。再乘以其所入定气的日算及余秒。凡是除法，先以分母通全数，内含分子，然后相乘，分母相乘作为除数。如果忽微之数繁多而不太需要比较，过半则收为全，不满半法则舍弃。所得用以损益朓朒积，各为其日所入朓朒定数。如果不是朔望而有交会，用十二乘所入日算。三倍其小余，除以辰法后并入。再乘损益率，除以定气辰数。所得用以损益朓朒积，各为定数。

赤道宿度

右方北方七宿九十八度虚分七百七十九太

右方西方七宿八十一度

右方南方七宿一百一十二度

右方东方七宿七十五度

以上都是赤道度数。其中毕、觜、参及舆鬼四宿的度数，与古代不同，现在都依据天象用仪器测定，作为常数。贯穿天中，仪器极点所依凭，用来推求黄道。推算黄道，依据冬至岁差所在，每距离冬至前后各五度为一个限。初数为十二，每限减一，经过九限，数终于四。在二立之际，一度少强，依平。然后距离春分前、秋分后，初限从四开始，每限增一，经过九限，终于十二，而黄道交复。计算春分后、秋分前，也以五度为限，初数十二，经过九限，数终于四。在二立之际，一度少强，依平。然后距离夏至前后，初限从四开始，经过九限，终于十二。都依次截取，用数乘限度，除以一百二十，得到度数。不满的，除以十二得到分。如果用十除，则为大分。十二为分母，用太半少及强弱命名。称为黄赤道差数。二至前后，各九限，用差减去赤道度，得到黄道度。二分前后，各九限，用差加上赤道度，得到黄道度。如果从黄道度反推赤道，二至前后各加，二分前后须减。

黄道宿度

右方北方九十七度六虚之差十九太

右方西方八十二度半

右方南方一百一十度半

右方东方七十五度少

以上都是黄道度数。其步日月行与五星出入，遵循此。求取这些宿度，都有余分。前后累积成少、半、太，准为全度。如果上考古时下验将来，应当依据岁差。每移动一度，各按术计算，使得当时的宿度及分，然后可以步日月五星，知道它们的犯守。

推算日度，用乾实去除中积分。不尽的，满大衍通法为度。不满的，为度余。从赤道虚九开始，除去分。不满宿算外，即所求年份天正冬至加时太阳所在度及余。用三元之策依次相加，按前述宿次命名，各得气初日加时赤道宿度。

求黄道日度，用度余减去大衍通法。余数用冬至日躔之宿的距度所入限乘之，为距前分。放置距度下的黄赤道差，用大衍通法乘之，减去距前分。余数满一百二十除，为定差。不满的，用象统乘之。再除，为秒分。然后用定差及秒减去赤道宿度。余数，按前述方法命名，即天正冬至加时所在黄道宿度及余。

求次定气，放置岁差，用限数乘之，满一百二十除，为秒分。不尽为小分。用加于三元之策的秒分，依次截取，用黄道宿次去掉，各得定气加时日躔所在宿及余。

求定气初日夜半日所在度，各放置其气定小余，副之，用其日盈缩分乘之，满大衍通法得一，盈加缩减其副，再用其减其日时度余，按前述命名，各为其日夜半日躔行在。求次日，各根据定气初日夜半度，依次加一策，再用其日盈缩分，盈加缩减度余，按宿次命名，即半日所在度及余。

大衍步月离术第四

转终分：六百七十万一千二百七十九。

转终日：二十七；余数，一千六百八十五；秒，七十九。

转法：七十六。

转秒法：八十。

推算天正经朔入转，用转终分去除朔积分，不尽的，用秒法乘，满转终分又去掉，余数如秒法得一而入转分。不尽的为秒。入转分满大衍通法，为日。不满为余。从日算外命名，即所求年份天正经朔加时入转日及余秒。

求次朔入转，根据天正所入转差日一、转余二千九百六十七、秒分一，满转终日余秒则去掉。按同样方法计算，即次日经朔加时所入。考察上下弦望，如同求经朔四象之术，依次变相加，如果用经朔望小余减之，各其日夜半所入转日及余秒。

求朔望的入朓入朒定数：分别根据朔望所入的日数，取其损益值的一半作为通率。再将两个率相减得到率差。如果前一个率较大，就用入余减去大衍通法，余数乘以率差，结果满大衍通法得一，再加到率差上，然后取一半。如果前一个率较小，就用一半的入余乘以率差，同样用大衍通法去除，得到加时转率。再取一半，用来增减加时所入的数值，余数即为转余。这个转余，如果应当增加，就减去转率；如果应当减少，就加上转率。然后都乘以率差，满大衍通法得一，加到通率上。再用转率乘这个结果，用大衍通法约简，得到定率。然后用定率增减朓朒的累积值，得到定数。如果之后没有相同的率，就沿用前率，应当增加的以通率为初数，减去一半的率差。对于通率，其增减入余、进退日数的情况，分为两天，按照余数的初末用法推算，所得结果都用来增减转率。这个方法原本出自《皇极历》，用来探究算术的微细变化。如果不是朔望有交食的情况，直接用入余乘以损益值，除以大衍通法，再用以增减朓朒得到定数，各得所求。

七日初：二千七百零一，约简为大分八。末：三百三十九，约简为大分一。

十四日初：二千三百六十三，约简为大分七。末：六百七十七，约简为大分二。

二十一日初：二千零二十四，约简为大分六。末：一千零一十六，约简为大分三。

二十八日初：一千六百八十六，约简为大分五。末：一千三百五十四，约简为大分四。

以上用四象约简转终日及其余数，均得到六日二千七百零一分。从整数量取约简为大分，这就是八分。用减法得到末数。然后四象依次变化相加，各得到所对应日的初末数。观察入转余，如果小于初数，就按前率进行增减损益；如果大于初数，就反过来，按照后率处理。

求朔望定日及余数：用入气、入转的朓朒定数，同名的相加，异名的相减。然后用朓减、朒加四象经小余。如果满或不足，就进位或退位大余。用甲子干支名称计算在外，各得定日及小余。如果干支名称与后一个朔相同，则月大；不同则月小；没有中气的月份为闰月。凡是说夜半的，都从晨前子正之中开始。如果注历观测弦望的定小余不满晨初余数的，就退一天。对于望日，小余虽满这个数，但如果有交食，亏缺开始于晨初之前的，也这样处理。另外，月亮运行九道有快慢，则出现三大二小。根据太阳运行盈缩，逐次增减，则可能出现四大三小，这是理数自然如此。如果屈从常规，应当观察加时的早晚，随其接近而进退，使其不超过三小。其中正月朔日，如果有交食且加时正好出现，就斟酌前后一两个月，来确定大小，使亏缺在晦日或初二。

推定朔弦望夜半时太阳所在度数：各自根据定气次日，用其当值的日度及余数来命名。如果要与五星相加减，就用四除度余。然后列出朔弦望的小余，作为副值，用它乘以当日的盈缩分，除以大衍通法，盈加缩减副值，再加到当日夜半的度余上，按前述方法命名，各得当日加时时太阳所躔的宿次。

推月亮九道度数：凡是合朔所交，冬季在阴历，夏季在阳历，月亮行青道。冬至、夏至后，青道的一半交点落在春分宿位，与黄道东侧相交。立冬、夏至后，青道的一半交点落在立春宿位，与黄道东南相交。到对冲的宿位也这样。冬季在阳历，夏季在阴历，月亮行白道。冬至、夏至后，白道的一半交点落在秋分宿位，与黄道西侧相交。立春、立秋后，白道的一半交点落在立冬宿位，与黄道西北相交。到对冲的宿位也这样。春季在阳历，秋季在阴历，月亮行朱道。春分、秋分后，朱道的一半交点落在夏至宿位，与黄道南侧相交。立春、立秋后，朱道的一半交点落在立夏宿位，与黄道西南相交。到对冲的宿位也这样。春季在阴历，秋季在阳历，月亮行黑道。春分、秋分后，黑道的一半交点落在冬至宿位，与黄道北侧相交。立春、立秋后，黑道的一半交点落在立冬宿位，与黄道东北相交。到对冲的宿位也这样。四季分为八节，到阴阳开始交合时，都与黄道相会合，所以月亮有九行。各观察月亮所交入的七十二候，距离交点初度黄道每五度为一限。交初和交中相同。也是初数十二，每限减一，数终于四，则一度多，按平率处理。再从四开始，每限增一，终于十二，到达半交，离开黄道六度。又从十二开始，每限减一，数终于四，也是一度多，按平率处理。再从四开始，每限增一，终于十二，再次与太阳轨道相会。分别累计这些数，乘以限度，除以二百四十，得到度数。不满的，除以二十四，得到分。如果用二十除，则得大分。以十二为分母，用半太及强弱来命名。这些是月亮运行与黄道的差数。距离半交前后各九限，用差数来减；距离正交前后各九限，用差数来加。这些加减是出入六度，仅与黄道相交的数值。如果与赤道相交，则随节气变迁而不恒定。计算从冬至到夏至以来的候数，乘以黄道所差，除以十八，得到月亮运行与赤道的差数。凡是太阳以赤道内为阴，赤道外为阳；月亮以黄道内为阴，黄道外为阳。所以月亮运行宿度进入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，都是同名；如果进入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，都是异名。在同名的情况下，差数应加的就加，应减的就减；在异名的情况下，差数应加的就减，应减的就加。都用这些来增减黄道度，得到九道定数。

推月亮九道平交入气：分别用各月的恒中气，减去经朔的日算及余秒，加上该月经朔加时入交泛日及余秒，再用它减去交终日及余秒，余数就是平交入该月恒中气的日算及余秒。如果满三元之策及余秒则去掉，余数就是平交入后月恒节气的日算及余秒。求下一次交食，用交终日及余秒加上。满三元之策及余秒，去掉。不满的，就是平交入该气的日算及余秒。各用该气初的先后数，先加后减入余。如果满或不足，进退日算，就得到平交入定气的日算及余秒。

求平交入气朓朒定数：放置所入定气的日算，加倍六爻乘它，将小余乘以三，用辰法除后加上，再乘以该气的损益率，除以定气的辰数，得到的结果用来增减该气的朓朒累积值，得到定数。

求平交入转朓朒定数：放置所入定气的余数，加上该日夜半的入转余，乘以该日的损益率，满大衍通法得一，得到的结果用来增减该日的朓朒累积值，再用交率乘它，除以交数，得到定数。

求正交入气：放置平交入气及入转的朓朒定数，同名的相加，异名的相减。然后用朓减、朒加平交入气的余数，如果满或不足，进退日算，就得到正交入定气的日算及余数。

求正交加时黄道宿度：放置正交入定气的余数，作为副值，乘以该日的盈缩分，满大衍通法得一，得到的结果用盈加缩减副值，再加到该日夜半的日度上，就得到正交加时所在的黄道度及余数。

求正交加时月亮所在九道宿度：用正交加时的度余，减去大衍通法。余数乘以正交宿距度所入的限数，得到距前分。放置距度下的月道与黄道差，乘以大衍通法，减去距前分，余数除以二百四十，得到定差。不满的，退一位为秒。用定差及秒加到黄道度上，余数，再计算从冬至到夏至以来的候数，乘以定差，除以十八，得到的结果按名称同异来加减，如果满或不足，进退其度，按前述方法命名，就得到正交加时月亮所在的九道宿度及余数。

推定朔弦望加时月亮所在度数：分别放置该日加时的太阳所在，变换为九道，依次相加。凡是合朔加时月亮潜行在太阳下方，与太阳同度，这称为离象。凡是放置朔弦望加时的黄道日度，减去正交加时所在的黄道宿度，余数加上正交的九道宿度，从正交宿度之外开始命名，就得到朔弦望加时所对应的九道宿度。其中合朔加时如果不是正交，则太阳在黄道，月亮在九道，各自进入宿度，虽然多少不同，考察它们离北极的距离，若与准绳相符，所以说月亮潜行在太阳下方，与太阳同度。

用一象的度数九十一、余九百五十四、秒二十二半作为上弦，对应兑象。加倍后与太阳对冲，得到望，对应坎象。三倍得到下弦，对应震象。分别加上所对应的九道宿度，秒满象统则进位到余，余满大衍通法则进位到度。按前述方法命名，各得该日加时月亮所在度数及余秒。综合五位成数四十，用来约简度余，得到分。不尽的部分，作为小分。

推定朔夜半入转：固定观察经朔夜半所入的转数，如果定朔的大余有进退，也相应加减转日，否则沿用经朔作为定数。直接求下一次定朔夜半入转，用前一定朔夜半所入，大月加转差日二，小月加日一，转余都是一千三百五十四秒一分。按前述方法去除，即得下月定朔夜半所入。

求次日：逐日加一，按前述方法去除和命名，各得该日夜半所入的转日及余秒。

求每日月亮转定度：分别用夜半入转余，乘以列衰，除以大衍通法，得到的结果按进加退减该日的转分，得到月亮每所转定分，满转法为度。

求朔弦望定日前夜半月所在度：各取一半列衰，减去转分。对于退的情况，用定余乘以衰，除以大衍通法，加衰后取一半；对于进的情况，用一半定余乘以衰，除以大衍通法，都加到所减的数上。然后用定余乘它，满大衍通法得一，用来减加时的月度及分。按夜半标准这样求转分并加上，也可得到加时月度。如果不是朔望有交食，直接用定小余乘以所入日的转交分，除以大衍通法，再减该日时的月度，也可得到所求。

求次日夜半月度：各用该日的转定分加上，分满转法则进位为度，按前述方法命名，即得次日夜半的月亮所在度及分。

推月亮晨昏度：分别用所入转定分乘以该日的夜漏，再除以二百倍百刻，得到晨分。用转定分减去晨分，余数为昏分。分满转法，进位为度。再加到夜半度上，望前用昏加，望后用晨加。各得该日晨昏月亮所在度及分。

大衍步轨漏第五

爻统：一千五百二十。

象积：四百八十。

辰刻：八；刻分：一百六十。

昏明刻：各二；刻分：二百四十。

求每日消息定衰：分别放置该气的消息衰，根据定气日数，每日用陟降率（陟减降加）计算其分，满百则进位为衰，不满为分。各得每日消息定衰及分。其中距离春分、秋分前后各一气之外，陟降不等，各按每三日为一限，损益如下。

雨水初日：降七十八。初限每日损十二，次限每日损八，次限每日损三，次限每日损二，末限每日损一。

清明初日：陟一。初限每日益一，次限每日益二，次限每日益三，次限每日益八，末限每日益十九。

处暑初日：降九十九。初限每日损十九，次限每日损八，次限每日损三，次限每日损二，末限每日损一。

寒露初日：陟一。初限每日益一，次限每日益二，次限每日益三，次限每日益八，末限每日益十二。

求以上四气：放置初日的陟降率，每日按限次损益，各得每日率。然后依次用陟减降加该气初日的消息衰分，也得每日定衰及分。

在推求太阳正下方日影长度时，太阳正下方处，正午没有日影。从太阳正北方向一度开始，初始数值为一千三百七十九。从此开始有差值，每度增加一，直到二十五度。接着每度增加二，直到四十度。接着每度增加六，直到四十四度，增加六十八。每度增加二，直到五十五度。接着每度增加十九，直到六十度，每度增加一百六十。接着每度增加三十三，直到六十五度。接着每度增加三十六，直到七十度。接着每度增加三十九，直到七十二度，增加二百六十。接着每度增加四百四十，接着每度增加一千零六十，接着每度增加一千八百六十，接着每度增加二千八百四十，接着每度增加四千，接着每度增加五千三百四十，这些就是每度的差值。于是累加这些差值，依次加上初始数值，满一百为一分，满十分为一寸，这样就得到每度的日影差值。还有每度日影差值对应的数值。

求阳城日晷每日正午常数值：分别设置各节气的气数与北极的距离数值，用北极到太阳正下方点的度数五十六，以及盈分八十二减半，得到太阳正北方向的度数及其分数。分别用这些数值对应的消减或增长定数以及太阳正北方向所对应的度数的日影差值，满一百为一分，满十分为一寸，这样就得到每日的日影差值。于是依次用消减或增长来减去或加上该节气初始的日影数值，得到每日正午日影的常数值。

求每日正午日影定数：分别设置该日所在节气的气数定小数，用爻统减去它，余数称为中后分。设置前后分，用该日的日影差值相乘，再除以大衍通法，得到变差。于是用变差来加减该日正午日影常数值，冬至之后，中前用减，中后用加；夏至之后，中前用加，中后用减。冬至那天只减不加，夏至那天只加不减。这样得到每日正午日影定数。

求每日夜半漏刻定数：设置消减或增长定数，满象积为刻，不满为分。依次用消减或增长来减去或加上该节气初始的夜半漏刻值，得到每日夜半漏刻定数。

求晨初余数：设置夜半定漏的整刻数，乘以九千一百二十，再用十九乘以刻分数并入，除以三百，所得为晨初余数，余下的为小分。

求每日昼夜漏刻以及太阳出没所在的时辰刻数：将夜半漏刻数加倍，得到夜刻数。用一百刻减去夜刻，余数为昼刻数。减去昼刻五刻加到夜刻上，昼刻即为可见刻数，夜刻即为不可见刻数。将不可见刻数的一半加上半个时辰刻数，从子初刻开始算起，得到日出时辰刻数。用可见刻数加上，同样推算，得到日入时辰刻数。设置夜刻数除以五，得到每更的差值刻数，再除以五，得到每筹的差值刻数。用昏刻加上日入时辰刻数，得到甲夜初刻。再用更筹差值加上，得到下一更下一筹的数值。依次累加，满时辰刻数则除去，按前述方法推算，得到五夜更筹所对应的时辰及其分数。其中的夜半定漏，也称为晨初夜刻。

求每日黄道与北极距离定数：设置消减或增长定数，满一百为度，不满为分，依次用消减或增长来减去或加上该节气初始的距离北极度数，得到每日距离北极定数。

求每日距中度定数：设置消减或增长定数，乘以一万二千三百八十六，除以一万六千二百七十七，得到每日度差。差满一百为度，不满为分。依次用增长加上、消减减去该节气初始的距中度，得到每日距中度定数。将距中度加倍，再用周天度数减去，除以五，得到每更度差。

求每日黄昏、黎明以及每更中星宿所在位置：设置该日的赤道宿度，加上距中度，按前述方法推算宿次，得到该日黄昏中星所对应的宿度。用每更差度加上，按前述方法推算，得到乙夜初刻中星所对应的宿度及其分数。

求九服（各地）所在每一节气初日的正午日影常数值：设置节气与北极距离的数值，两者相减，得到各节气的消长定数。通过实地测量当地冬至、夏至的日影长短，只需测量至日即可，不必一定是冬至。在太阳正北方向的度数及其分数的日影数值中，比较选取长短相同的，即为当地的太阳正北方向度数及其分数。各节气用消减定数来加减，冬至后的每个节气用减，夏至后的每个节气用加。得到每个节气太阳正北方向度数及其分数。再根据各节气所对应的度数的日影长短，即为当地每个定气初日的正午日影常数值。如果测量日影时出现表南的情况，也根据日影尺寸长短，与太阳正北方向每度日影数值相同的，取其所对应的度数，用太阳正北方向度数减去，取反，得到太阳正南方向度数，然后用消长定数来加减。

求九服（各地）所在昼夜漏刻：冬至和夏至时，分别在当地用水漏测量，确定当地的昼夜刻数。将两者相减，得到冬夏至的差刻数。取一半，用来加减二至的昼夜刻数（加夏至、减冬至），得到春秋分定日的昼夜刻数。再设置每气消长定数，乘以当地的二至差刻数，除以二至距离极点的差度四十七分八十，所得结果根据分日前后加减二分初日的昼夜漏刻：春分前、秋分后，加夜减昼；春分后、秋分前，加昼减夜。得到当地定气初日的昼夜漏刻数。求次日时，设置每日的消长定数，同样乘以差刻数，除以差度，所得结果用消减或增长来加减该节气初日的漏刻数，得到所求。求距中度以及黄昏、黎明中星和日出入所在，都依照阳城的方法计算，仍用差度来换算，即可得到。

另一种方法：设置当地春秋分定日的正午日影常数值，与阳城每日日影数值比较取相同者，根据该日的夜半漏刻，即为当地定春秋分初日的夜半漏刻。求其余节气的定日，每次用消长定数，根据分日前后来加减刻分（春分前加，分后减；秋分前减，分后加）。满象积为刻，不满为分，得到当地定气初日的夜半定漏。求次日用消长定数按阳城方法求取，即可得到。这种方法探究原理，大体上合理。但高山和平川，观测太阳不等。比较其日影，长短相同；考察其日漏，多少悬殊。用这些参校，前一种方法更为精确。

大衍步交会术第六

交终：八亿二千七百二十五万一千三百二十二。

交中：四万一千三百六十二；秒，五千六百六十一。

终日：二十七；余，六百四十五；秒，一千三百二十二。

中日：十三；余，一千八百四十二；秒，五千六百六十一。

朔差日：二；余，九百六十七；秒，八千六百七十八。

望差日：一；余，四百八十三；秒，九千三百三十九。

望数日：十四；余，二千三百二十六；秒，五十。

交限日：十二；余，一千三百五十八；秒，六千三百二十二。

交率：三百四十三。

交数：四千三百六十九。

辰法：七百六十。

秒分法：一万。

推求天正经朔入交：用交终减去朔积分，余数乘以秒分法。如果超过交终，再减去。余数除以秒法，得到入交分。余下的为秒。入交分满大衍通法，为日；不满，为余。从日算外开始，即为所求年份天正经朔加时入交泛日及余秒。

求次朔入交：根据天正所入，加上朔差日及余秒，如果满终日及余秒，则减去。按前述方法计算，即得次月经朔加时所入。

求望：加上望数日及余秒，减去并推算如前，即得所求。如果用经朔望的小余减去，得到各自夜半所入交泛日及余秒。

求定朔夜半入交：常看经朔望夜半所入，定朔望的大余。如果有进退，也加减交日。否则，用经朔望为定，各得所求。求次定朔夜半入交：根据前定朔夜半所入，大月加交差日二，小月加日一，余皆二千三百九十四、秒八千六百七十八。求次日：累加一百，按前述方法计算，得到各自夜半所入交泛日及余秒。

求朔望入交常日：分别用该日入气的朓朒定数，朓减朒加其入交泛，余数满大衍通法进位为日，即为入交常及余秒。

求朔望入交定日：分别设置该日入转的朓朒定数，乘以交率，除以交数。所得用朓减朒加入交常，余数如前，即为入交定日及余秒。

求月交入阴阳历：常看朔望入交定日及余秒，如果小于或等于中日及余秒，为月入阳历；如果大于，则减去中日及余秒，余数为月入阴历。

求四象六爻每度加减分及月去黄道定数：用该爻的加减率与后爻的加减率相减，得到前差。再用后爻率与次后爻率相减，得到后差。前后差相减，得到中差。设置所在爻和后爻的加减率，取中差的一半加到此率上，再取半，除以十五，得到爻末率，同时也作为后爻的初率。每次用本爻初末率相减，得到爻差。除以十五，得到度差。取一半，用来加减初率（少象减，老象加），得到定初率。每次累加减度差（少象用差减，老象用差加），得到每度加减定分。然后累积这些分，满一百二十为度，得到每度月去黄道度数及分。对于四象，初爻没有初率，上爻没有末率，都将本爻加减率加倍，除以十五。所得分别用初末率减去，两者互为对方的率。其余按术计算，各得所求。

求朔望夜半月行入阴阳度数：分别设置该日夜半入转日及余秒，用该日夜半入交定日及余秒减去。如果秒母不等，应循率相通，然后相减。如果不够减，则加转终日及一余秒，再减。余数为定交初日夜半入转日及余秒。然后用定交初日夜半入余与该日夜半入余，分别乘以各自日的转定分，除以大衍通法。所得满转法为度，不满为分。分别加上各日的转积度及分，然后相减，余数即为该日夜半月行入阴阳度数及分。求次日，只需用该日的转定分加上，满转法为度，即得。

求朔望夜半月行入四象度数：设置该日夜半入阴阳度数及分，除以一象的度数九十。如果用小数象除，则需先除去差度一、度分一百零六、大分十三、小分十四，然后再用次象除。所得按少阳、老阳、少阴、老阴为次序，从少阳算外开始，即得该日夜半所入象度数及分。先以三十乘阴阳度分，除以十九，得到度分。再乘除，得到小分。然后用象度及分去除。

求朔望夜半月行入六爻度数：设置该日夜半所入象度数及分，除以一爻的度数十五。所得从该象初爻算外开始，即得该日夜半所入爻度数及分。月行进入少象初爻之内，都接近黄道度。当朔望时会有亏蚀。求入蚀限：如果入交定日及余秒小于或等于望差，大于或等于交限，则入蚀限。望入蚀限则月食；朔入蚀限，月在阴历则日食。入限时，如果小于或等于望差，为交后；如果大于或等于交限，则用中日及余减去，为交前。设置交前后定日及余秒，通分，得到去交前后定分。设置去交定分，乘以十一，除以二千六百四十三，得到去交度数。余数用大衍通法乘，再除为余。大致上去交十三度以上，虽入蚀限，但交数微小，光影相接，或许不见亏蚀。

求月食分：如果去交定分在七百七十九以下，都食既。以上时，用交定分减去望差，余数除以一百八十三。如果末位小于一半，为半弱；大于一半，为半强。以十五为限，得到月食的大分。

求月食所起方位：月在阴历，初起东南，食甚在正南，复圆在西南。月在阳历，初起东北，食甚在正北，复圆在西北。如果食分在十二分以上，都起于正东，复于正西。这些都以南方正午为准来论述，如果食在其他方位，则根据所在方位，参照此准则确定食起和复圆的方向。

计算月食所用刻数：将月食的食分数值，五以下的，加三；十以下的，加四；十以上的，加五。如果去交定分在五百二十以下，再加一半；二百六十以下，再加一半。各自作为泛用刻率。

计算每日差积定数：用所入气数加上后气的增损差，加倍用六爻乘，综合两气的辰数除之，得到气末率。再列出两气的增损差，都加倍用六爻乘，各自除以辰数。用少的减多的，余数为气差。用气差加减末率，冬至后用减，夏至后用加，得到初率。加倍气差，也加倍用六爻乘，再综合两气的辰数除之，得到日差。将日差减半，用以加减初率和末率，各自得到定率。用日差依次加减气初的定率，冬至后加，夏至后减，得到每日的增损差。然后依次累积，随所入气日数加减气下的差积，得到各日的定数。其中冬至和夏至前的一气，后面都没有相同的差数，不能合并，各自用前一气的末率作为初率。用气差在冬至前减，夏至前加，得到末率。其余按照算法，各自求得所需结果。

阴历：

蚀差：一千二百七十五。

蚀限：二千五百二十四。

或限：三千六百五十九。

阳历：

蚀限：一百三十五。

或限：九百七十四。

计算蚀差及诸限定数：各自设置其差和限，用食朔所入气日下的差积，阴历减去，阳历加上，各自得到蚀定差和蚀定限。

计算阴历阳历的蚀或蚀：如果阴历的去交定分大于或等于蚀定差，为阴历食。如果不满，虽然是在阴历，都作为阳历食处理。如果去交定分小于或等于蚀定限，则食可见。如果小于或等于或限，则食可能见或不见。

计算日食食分：阴历食时，设置去交定分，减去蚀定差，剩余在一百四以下的，都是食既。在一百四以上的，减去一百四，剩下的用一百四十三约分。如果进入或限的，用一百五十二约分。一半以下为半弱，一半以上为半强。用十五减去，余数为日食的食分。如果是同阳历食的，只要去交定分小于蚀定差六十以下的，都是食既。在六十以上的，设置去交定分，加上阳历的蚀定限，用九十约分。阳历食时，直接设置去交定分，也用九十约分。如果进入或限的，用一百四十三约分。一半以下为半弱，一半以上为半强，以十五为上限，也得到日食的食分。

计算日食起始方位：月在阴历，初起西北，食甚在正北，复圆在东北。月在阳历，初起西南，食甚在正南，复圆在东南。如果食分在十二分以上，都起于正西，复圆于正东。这是根据南方正午的位置来说的。

计算日食用刻：设置所食的食分，都加二。如果阴历的去交定分大于蚀定差七十以上，再加三十五；七十以下，再加一半。如果同阳历的去交定分小于蚀定差二十以下，再加一半；四十以下，再加半个少。各自作为泛月刻半率。

计算日月食甚所在的时辰：设置去交定分，用交率乘，再用二十乘交数除，所得为差。如果月亮轨道与黄道同名，用差加朔望的定小余；异名，用差减朔望的定小余。设置余数为定余。按照求发敛加时的方法代入，即得食甚所在的时辰刻分。对望日来说，食甚时月亮正对着太阳。

计算亏初和复末：设置日月食的泛用刻率，作为副数，用其乘以当日的入转损益率，除以大衍通法。所得的结果，如果是朒，按照其损益；如果是朓，损加益减副数，得到定用刻数。将定用刻数减半，用来减食甚辰刻，得到亏初；加食甚辰刻，得到复末。对于月食求更筹的方法：设置月食的定用刻数，用当日的每更差刻除，得到更数；余数用每筹差刻除，得到筹数。综合得到定用更筹。然后累计从日入到食甚辰刻，用昏刻加日入辰刻减去，余数用更筹差刻除。所得结果命名从初更筹开始，即得到食甚筹。用定用更筹的一半减去，得到亏初；加上，得到复末。按照天竺僧人俱摩罗所传的断日食法，如果食朔日太阳行度在郁车宫，一定发生日食。其他断法如果不得日食，根据太阳所在的宫，如果有火星在前后三宫之内并且伏在太阳下方，都不发生日食。如果五星都出现，并且水星出现，又水星在阴历，以及三颗以上的星同聚一宿，也不发生日食。凡是星与太阳不同宫或不同宿，则容易判断；如果同宿则难判断。还有其他断法，道理繁琐，只略述大概，不再详细说明。天竺所说的十二宫，就是中国的十二次。所谓郁车宫，就是中国的降娄之次。十二次的宿度，首尾详细记载在“历仪分野”卷中。

计算九服所在蚀差：先测量所在地方的冬至、夏至和春分定日中晷的表影长度，与阳城每日中晷的常数比较，取相同的，各自用其日的蚀差，即得到所在地方的冬至、夏至和春秋分定日蚀差。

计算九服所在每气蚀差：用夏至差减去春分差，用春分差减去冬至差，各自得到率。将两个率相加除以二，再除以六，得到夏率。两个率相减，再除以六，得到差。设置总差，除以六，得到气。将气差减半，加夏率，再用总差减去，得到冬率。冬率就是冬至的率。每次用气差加上各气，得到每气的定率。然后顺着这个率，用冬至蚀差减去，得到每气初日的蚀差。求每日蚀差，按照阳城的方法，如果是在太阳之北的地区，应当计算其所在位置，都反过来计算，即可得到。

大衍步五星术第七

岁星

终率：一百二十一万二千三百七十九；秒，十八。

终日：三百九十八；余，二千六百五十九；秒，六。

变差算：空；余，三十四；秒，十四。

象算：九十一；余，二百三十八；秒，五十七十二。

爻算：十五；余，一百六十六；秒，四十六十二。

镇星

终率：一百一十四万九千三百九十九；秒，九十八。

终日：三百七十八；余，二百七十九；秒，九十八。

变差算：空；余，二十二；秒，九十二。

象算：九十二；余，二百三十七；秒，八十七。

爻算：十五；余，一百六十六；秒，三十一。

太白

终率：一百七十七万五千三十；秒，十二。

终日：五百八十三；余，二千七百一十一；秒，十二。

中合日：二百九十一；余，二千八百七十五；秒，六。

变差算：空；余，三十；秒，五十三。

象算：九十二；余，二百三十八；秒，三十四五十四。

爻算：十五；余，一百六十六；秒，三十九九。

辰星

终率：三十五万二千二百七十九；秒，七十二。

终日：一百一十五；余，二千六百七十九；秒，七十二。

中合日：五十七；余，二千八百五十九；秒，八十六。

变差算：空；余，一百三十六；秒，七十八六十。

象算：九十一；余，二百四十四；秒，九十八六十。

爻算：十五；余，一百六十七；秒，三十九七十四。

辰法：七百六十。

秒法：一百。

微分法：九十六。

推求五星平合：设置中积分，用天正冬至小余减去，各自用其星的终率除去，除不尽的，反过来用终率减去，满大衍通法为日，不满为余，即所求年天正冬至夜半后星平合的日算及余秒。

求平合入爻象历：设置积年，各自用其星的变差乘，满乾实除去，除不尽的，用大衍通法约分为日，不尽为余秒。用它减去其星冬至夜半后平合的日算及余秒，即平合入历的算数及余秒。各自用四约分其余，同辰法。

求平合入四象：设置历算数及秒，用一象的算及余秒除，所得结果，按照入爻象的次序，从少阳算起，即平合所入的象算数及余秒。

求平合入六爻：设置所入象的算数及余秒，用一爻的算及余秒除，所得结果，从其象的初爻算起，即平合所入的爻算数及余秒。

求四象六爻每算损益及进退定数：用所入爻与后爻的损益率相减，得到前差；再用后爻与次后爻的损益率相减，得到后差；前后差相减，得到中差。设置所入爻和其后爻的损益率，加上中差的一半，乘以九，除以二百七十四，得到爻末率，作为后爻的初率。都依据前爻的末率，作为后爻的初率。初率和末率相减，得到爻差。加倍爻差，乘以九，除以二百七十四，得到算差。将算差减半，加减初率和末率，各自得到定率。用算差依次加减爻初的定率，少象用差减，老象用差加，得到每损益率。依次累积其率，随所入的爻，加减其下的进退数，即得到各算的定数。其中四象的初爻没有初率，上爻没有末率，都设置本爻的损益，乘以四再乘以九，除以二百七十四，各自用初率和末率减去，都互相得到其率。其余按照算法，各自求得所需。

求平合入进退定数：各自设置其星平合所入爻的算差，减半，用其减去所入算的损益率。如果是损，用所入余乘限差，除以辰法，加上差再减半；如果是益，用所入余的一半乘差，也除以辰法。加上所减的率，再用所入余乘，除以辰法，所得结果用来加减其算下的进退数，各自得到平合所入的进退定数。这个方法精密，计算稍繁琐。如果从简省求，也可以设置所入算的余数，乘其下的损益率，除以辰法，所得结果用来加减其算下的进退数，各自得到定数。

求常合：设置平合所入的进退定数，金星则加倍。各自用合下的乘数乘，除数除，所得结果满辰法为日，不满为余，用进加退减平合的日算及余秒，先四约平合的余数，然后用进加退减。即得到冬至夜半后的常合日算及余。

求定合：设置常合日先后定数，除以四，所得结果满辰法为日，不满为余。然后用先减后加常合的算及余，即得到冬至夜半后的定合日算及余。

求定合度：设置其日的盈缩分，除以四，用定合的余乘，满辰法除，所得结果用盈加缩减其定余，再加其日夜半的日度余，先四约夜半日度余再加。满辰法进一度。按照之前的方法命名算外，即得到定合加时的度及余。

求定合月日：设置冬至夜半后定合的日算及余秒，加上天正冬至的大小余，减去天正经朔的大小余。冬至和朔的小余都四约后再用加减。如果冬至大余小于经朔大余，则加爻数，然后再用经朔大小余减。其余数满四象的策及余，除，得到月数，除不尽的，为入朔的日算及余。月数从天正起，日算从经朔算起，算外即得到定合所在的月日。如果定朔的大余有进退，进则减退则加一日，即为在其月日的定余。

求定合入爻：设置常合及定合应加减的定数，同名相加，异名相消。然后用它加减平合入爻的算余，如果不够，进退其算，即得到定合入爻的算数及余。

求变行初日入爻：设置定合入爻的算数及余，用合后伏下的变行度常率加，满爻率除去，爻次的命名如前，即得到次变初日入爻的算数及余。再求下次变行入爻，只需用其下的行度常率加，除去和命名如上节。

求变行初日入进退定数：分别设置其变行初日入爻算数及余数，按照平合求进退的方法代入，即得到变行初日所入的进退定数。设置进退定数，分别用其下的乘数相乘，再用除数相除，所得结果各为进退变率。

求变行日度率：设置其本进退变率与后变率，如果同名，则相互抵消得到差值。在进前少、退前多的情况下，各以差值相加；在进前多、退前少的情况下，各以差值相减。如果异名，则相互合并。前退后进，各以合并值相加；前进后退，各以合并值相减。逆行度率则相反。都根据差值及合并值，对日度中率进行加减，各得到日度变率。其中水星疾行，直接根据差值及合并值对度中率进行加减，得到变率。其日直接以中率为变率，不需要加减。

求变行日度定率：以定合日与后变初日的先后定数，同名则相互抵消得差值，异名则相互合并。除以四，所得结果满辰法为一度。于是用盈余加、缩减的方法对合后伏度的变率及合前伏日的变率进行调整。金水二星夕合日度，加减法则相反。其二留日的变率，如果与中率有差值，则以所差之数为度，各自加减本迟度的变率。（意思是：用多于中率的数相加，少于中率的数相减。以下加减均以此为准。）退行度变率，如果与中率有差值，则加倍所差之数，各自加减本疾度的变率。木星和土星没有迟疾，则直接加减前后顺行度的变率。水星疾行度的变率，如果与中率有差值，则以所差之数为日，各自加减留日变率。留日变率如果太少不够减，则侵减迟日变率。各项加减变率完成后，都成为日度定率。日定率如果有分数，则前后搭配。搭配：少分配多分，满整数为一日，剩余分数继续搭配。各变率不需加减的，都依变率为定率。

求定合后夜半星所在度：设置其星定合余数，以辰法减去，余数用其星初日行分相乘，除以辰法，再加到定合加时度余上，满辰法为一度。按之前的规则命算之外，即得到定合后夜半星所在宿及余数。从此以后，各自按照其星，计算每日行度所到之处，都从夜半开始。依次求次日夜半星行至：各以其星一日所行度分，顺行相加，逆行相减。其行有小分的，各满其法进为一行分。行分满辰法，进为一度。合的前后，伏星不标注度，留星则沿用前度，退星则按减法。顺行出虚宿，去掉六虚之差；退行入虚宿，先加上此差。先设置六虚之差，除以四，然后用于加减。完成后，都用转法约行分得到度分，各得每日所至。三星的行度日定率，有时加有时减，速度变化，每日逐渐差异，难以预定，现在暂且依据日度中率考量设置。定率既有盈缩，差值也应随之增减，应先检核各变定率与中率相近者，用其差值，求初末之日行分为主。其余变以此类推，加减其差值，各求初末行分。循环比较，使交接处参合，衰减递相循环。金水二星都以平行为主，前后各变也以此方法求。合前伏虽有日度定率，但如果到合时与后算不吻合，都以后算为准。五星初见伏的度数，距日不等，各以日度与星度相比较。木星距日十四度，金星十一度，火星、土星、水星各十七度，都可见；各减一度都隐伏。木火土三星前顺之初、后顺之末，以及金水二星的疾行、留、退之初末，都是见伏的初日，注历中根据实际情况确定。金水及日月等度，都舍弃其分数。

求每日差：设置所差分为实数，以所差日为除数。实数除以除数，所得为行分，余数为小分。这就是每日差所对应的行分及小分。如果差值是整数，则不用此方法。

求平行度及分：设置度定率，以辰法相乘，有分数则并入，除以日定率，得到平行分。余数为小分。其行分满辰法为一度，就是一日所行度及分。

求差行初末日行度及分：设置日定率减一，用差分相乘。除以二，得到差率，用于加减平行分。速度加快的，以差率减平为初日，加平为末日。速度减慢的，以差率加平为初日，减平为末日。加减完成后，即得初末日所行度及分。如果差值不完整而与日数相合，则先设置日定率减一，用所差分相乘，作为实数。加倍所差日作为除数。实数除以除数，得到行分。余数作为小分，然后用作差率。

求差行次日行度及分：设置初日行分，速度减慢的，以每日差相减；速度加快的，以每日差相加，即得次日行度及分。每日差和初日行分都有小分，分母不同时，应使其相同。然后进行加减，依次求次日，均按此法得到所求。

直接求差行余日行度及分：设置所求日减一，用每日差相乘，再加减初日行分（速度减慢则减，加快则加）。满辰法为一度，不满为行分，即所求日行度及分。

求差行，先定日数，直接求积度及分：设置所求日减一，然后乘以每日差，再除以二，所得结果，用于加减初日行分（速度减慢则减，加快则加）。再以所求日相乘，除以辰法，得到积度。余数为行分。即从初日至所求日的积度及分。

求差行，先定度数，直接求日数：设置所求行度，以辰法相乘，有分数则并入。乘以八，除以每日差，得到积。加倍初日行分，再加减每日差（速度减慢则加，加快则减）。再除以每日差，得到率。然后自乘，用积加减（速度减慢则减积，加快则加积）。开平方根。所得结果，再用率加减（速度减慢则加率，加快则减率）。然后除以二，即所求日数。开平方的方法：设置被开方数为实数，在实数下借一算，称为下法。步进，超一位，设置商于上方，副商于下法之上，称为方法。用上商除实数，完成后，加倍方法并折一，下法再折，然后设置后商于下法之上，称为隅法。副隅并与方法合并，用后商除实数，完成后，隅从方法折下继续除，如前法开方。除完后，按上述方法求得结果。

求星行黄道南北：各视其星变行入阴阳爻而定。前变入阳爻为黄道北，入阴爻为黄道南；后变入阳爻为黄道南，入阴爻为黄道北。金水二星，以爻变为前变，各计算其变行，从起初日入爻之算，到老象上爻末算之数，若不满变行度常率，则设置该数，用变行日定率相乘，除以变行度常率，得到日数。其入变日数，在此日数以下的，星在黄道南北按本所入阴阳爻为准。超过此日数之外的，黄道南北则反过来。