技艺第十八

计算体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马等形状，物体的形态已经完备，唯独没有间隙堆积这一方法。古代算法：凡是计算方形物体的体积，有立方体，指的是六个面都是正方形的物体。其算法是边长自乘两次得到体积。有堑堵，形状像土墙，两头逐渐变窄，两端齐平。算法是合并上底和下底的宽度，取平均值作为宽度，再乘以垂直高度；以垂直高度作为股，以上底宽度减去下底宽度，余数的一半作为勾，通过勾股定理求出弦，作为斜高。有刍童，形状像倒扣的斗，四面都逐渐变窄。算法是：上底长度加倍后加上下底长度，乘以上底宽度；下底长度加倍后加上上底长度，乘以下底宽度；将这两个结果相加，乘以高度，再除以六。所谓间隙堆积，是指堆积物之间有间隙，比如堆积的棋子、层叠的土坛以及酒店堆积的酒坛等。虽然形状像倒扣的斗，四面都逐渐变窄，但因为存在缺口和空隙，如果用刍童法计算，常常会得出偏少的数值。我思考后得到一种方法：用刍童法算出一个数值作为上位；下位则另外列出：下底宽度减去上底宽度，余数乘以高度，除以六，然后并入上位。假设有堆积的酒坛：最上面一行纵横各两个酒坛，最下面一行各十二个酒坛，行与行依次排列。先从上往下，两行依次排列，直到十二行，共十一行。用刍童法计算：上底长度加倍得四，加上下底长度得十六，乘以上底宽度，得三十二；又下底长度加倍得二十四，加上上底长度得二十六，乘以下底宽度，得三百一十二；将两个结果相加得三百四十四，乘以高度得三千七百八十四。再列出下底宽度十二，减去上底宽度，余十，乘以高度得一百一十，并入上位得三千八百九十四；除以六得六百四十九，这就是酒坛的数量。刍童法求得的是实心方体的体积，隙积法求得的是包含缺角和不完整部分的体积，实际上是多出的部分。丈量田亩的方法，方形、圆形、弯曲、直线都已完备，唯独没有会圆之术。凡是圆形田地，既然能分割，就必须能使它重新拼合为圆形。古代方法只有用中分圆的方法来分割，其误差有时达到三倍。我另外创立了分割和拼合的方法：设定一块圆形田地，取直径的一半作为弦，再用半径减去被割掉的部分，余数作为股；各自平方，用弦的平方减去股的平方，余数开平方得到勾，加倍后就是被割部分的直径。将被割部分的数值自乘后加倍，再除以圆径，所得结果加上直径，就是被割部分的弧长。再次分割也按此方法，减去已经割去的弧长，就得到第二次分割的弧长。假设有圆形田地，直径十步，要割去两步。以半径五步为弦，自乘得二十五；半径减去所割两步，余三步为股，自乘得九；用弦的平方减去股的平方，余十六，开平方得四步为勾，加倍得到被割部分的直径八步。被割部分的数值两步自乘得四，加倍得八，退一位作四尺，除以圆径。现在圆径是十，已是满数，无法再除。只用四尺加入直径，得到被割部分的弧长，一共得圆径八步四尺。再次分割也按此方法。如果圆径二十步求弧长，就要折半，这就是所谓除以圆径。这两种方法都是极其精微的算法，是古书中没有记载的，我随意记录在这里。

建造房屋的方法，称为《木经》，有人说是喻皓所著。房屋分为三部分（去声）：从梁以上为上分，地面以上为中分，台阶为下分。凡是梁长多少，就配以相应的屋脊高度多少，以此作为椽子的标准。例如梁长八尺，配屋脊三尺五寸，这是厅堂的规则，这称为上分。柱子若干尺，就配以相应的台基若干尺，以此作为椽子的标准。例如柱子高一丈一尺，台基就高四尺五寸之类。以至于斗拱、椽子、屋桷，都有固定法则，这称为中分。台阶有陡、平、缓三种等级，宫中以御辇为标准：凡是自下而上登坡，前竿垂到手臂尽头，后竿举到手臂尽头，称为陡道；抬辇的十二人：前面两人叫前竿，接着两人叫前絛，再往后两人叫前胁；后面一人叫后胁，再往后叫后絛，最后一人叫后竿。辇前有一名队长，叫传倡；后面一人叫报赛。前竿与肘平齐，后竿与肩平齐，称为缓道；前竿垂手，后竿与肩平齐，称为平道；这称为下分。那本书共三卷。近年来土木工程更加精细完善，旧《木经》大多不再使用，还没有人重新编写这样的书，这也是优秀工匠的一项事业。

用雕版印刷书籍，唐朝人还没有广泛使用。自从冯道开始印刷五经，以后的典籍，都采用雕版印刷。庆历年间，有个平民毕昇，又发明了活字版。他的方法是：用胶泥刻字，薄得像铜钱边缘，每个字做一个印，用火烧使其坚硬。先设置一块铁板，上面用松脂、蜡和纸灰之类的东西覆盖。想要印刷时，就把一个铁框放在铁板上，然后密密地排列字印。排满一铁框就是一板，拿到火上烘烤，等药稍稍熔化，就用一块平板按压字面，字面就平整得像磨刀石。如果只印两三本，这种方法不算简便；如果印几十、几百、几千本，就极为迅速。通常准备两块铁板，一块在印刷，另一块已经在排字。这一块刚印完，第二块就已经准备好了。交替使用，瞬间就能完成。每个字都有几个印，像“之”、“也”等字，每个字有二十多个印，用来防备一板内重复出现。不用的时候就用纸贴上，按韵部分类，每个韵部贴一个标签，用木格存放。遇到生僻字平时没有准备的，就临时刻制，用草火烧制，瞬间就能做好。不用木头做字模的原因，是木头的纹理有疏有密，沾水后就会高低不平，而且和药粘在一起，取不下来。不如用胶泥烧制，用完后再次用火使药熔化，用手一拨，字印自己就掉下来，完全不会沾污。毕昇死后，他的字模被我的堂兄弟和侄子们得到，至今珍藏着。

淮南人卫朴精通历法，是像一行那样的人物。《春秋》记载了三十六次日食，各家历法通通验证，精确的也不过得到二十六、七次，只有一行得到二十九次；卫朴却得到三十五次日食，只有鲁庄公十八年的一次日食，古今推算都不符合日食规律，怀疑是以前的史书记载有误。从夏朝仲康五年癸巳岁，到熙宁六年癸丑岁，一共三千二百零一年，史书所记载的日食，共四百七十五次。各家历法验证，虽然各有得失，但卫朴得到的日食次数最多。卫朴能不用算筹，推算古今的日食月食，只是口算乘除，不差一算。凡是大的历法都是计算数字，让人在耳边读一遍，他就能默记背诵；对于旁通的历法，他还能纵横背诵。曾经让人抄写历书，抄完后，让人附在耳边读给他听，如果有算错一个数字的，读到那里，他就说：“这个字错了。”他精确到这种程度。大的乘除运算都不用看数位，运算算筹如同飞一般，人的眼睛都跟不上。有人故意移动他的一根算筹，他从上到下用手抚过一遍，到被移动的算筹处，就拨正然后离开。熙宁年间撰《奉元历》，因为没有观测记录簿，没能完全发挥他的技术。他自己说只得到六七成，但已经比其他历法精密。

钱氏占据两浙的时候，在杭州梵天寺建造一座木塔，刚建到两三层，钱俶登上塔，嫌塔摇晃。工匠说：“还没铺瓦，上面轻，所以这样。”等到铺上瓦，塔还是像原来一样晃动。工匠没办法，偷偷让妻子去见喻皓的妻子，送给她金钗，问塔晃动的原因。喻皓笑着说：“这容易。只要逐层铺完木板，就用钉子钉牢，就不会晃动了。”工匠按照他说的去做，塔就稳了。这是因为钉牢木板后，上下紧密约束，六个面互相连接像箱子一样。人踩在木板上，六个面相互支撑，自然不会晃动。人们都佩服他技术精湛。