历第三

授时历经上

推算节气朔望第一

以至元十八年（辛巳年）作为历元。向上考察古代，向下验证未来，都以距离历元的时间为计算基础。每年的长短有增减，每过一百年增减一分。各项应数等数值，根据实际观测推算，不固定使用一个历元。

日周：一万分。

岁实：三百六十五万二千四百二十五分。

通余：五万二千四百二十五分。

朔实：二十九万五千三百零五分九十三秒。

通闰：十万八千七百五十三分八十四秒。

岁周：三百六十五日二千四百二十五分。

朔策：二十九日五千三百零五分九十三秒。

气策：十五日二千一百八十四分三十七秒半。

望策：十四日七千六百五十二分九十六秒半。

弦策：七日三千八百二十六分四十八秒少。

气应：五十五万零六百分。

闰应：二十万一千八百五十分。

按《授时历》的闰应、转应、交应三项数值，后来有改定的数字。闰应，二十万一千八百五十分，明代《大统历法通轨》作二十万二千五十分，实际增加了二百分；这表明当时的经朔提前了两刻。转应，一十三万一千九百四分，《通轨》作一十三万二百零五分，实际减少了一千六百九十九分，这表明入转推迟了将近十七刻。交应，二十六万一百八十七分八十六秒，《通轨》作二十六万三百八十八分，实际增加了二百分一十四秒，这表明正交提前了两刻多。梅文鼎认为《通轨》所述的是《授时历》后续定下的数值，而《历经》中保存的是尚未定稿的初始版本，这个说法是对的。

没限：七千八百一十五分六十二秒半。

气盈：二千一百八十四分三十七秒半。

朔虚：四千六百九十四分七秒。

旬周：六十万。

纪法：六十。

推算天正冬至

设定所求年份距离历元的时间，用岁实相乘（向上推算古代，每百年增加一分；向下推算未来，每百年减少一分），得到中积。加上气应，得到通积。满旬周则减去；剩余部分用日周相除得日数，不够除的为零分。所得日数从甲子日起算，即得天正冬至的日辰和分数。如果向上推算古代，则用中积减去气应，满旬周则减去；剩余部分用旬周减去。其余与上述相同。

求次气

设置天正冬至的日分，用气策逐次累加，所得日数满纪法则减去，日名从甲子外起算，即得各次气的日辰及分秒。

推算天正经朔

设置中积，加上闰应，得到闰积。满朔实则减去，剩余为闰余；用闰余减去通积，得到朔积。满旬周则减去，剩余部分用日周相除得日数，不够除的为零分，即得天正经朔的日及分秒。向上推算古代，用中积减去闰应，满朔实则减去，剩余部分用朔实减去，得到闰余。用日周相除得日数，不够除的为零分，再用其减去冬至日及分；不够减则加纪法再减，日名从甲子外起算。

求弦望及次朔

设置天正经朔的日及分秒，用弦策逐次累加，所得日数满纪法则减去，即得各弦望及次朔的日及分秒。

推算没日

设置含有“没”的气的分秒，如果数值在没限以上，则属于有“没”之气。用十五乘以它，再减去气策，剩余部分除以气盈，得日数，加上恒气日，即定为没日。

推算灭日

设置含有“灭”的朔的分秒，如果数值在朔虚分以下，则属于有“灭”之朔。用三十乘以它，除以朔虚，得日数，加上经朔日，即定为灭日。步发敛第二

土王策：三日四百三十六分八十七秒半。

月闰：九千零六十二分八十二秒。

辰法：一万。

半辰法：五千。

刻法：一千二百。

推算五行用事

各以四个立节的节气作为春木、夏火、秋金、冬水开始用事的日期。用土王策减去四季的中气，即得各季土开始用事的日期。

气候正月

立春，正月节。

东风解冻，蛰虫始振，鱼陟负冰。

雨水，正月中。

獭祭鱼，候雁北，草木萌动。二月

惊蛰，二月节。

桃始华，仓庚鸣，鹰化为鸠。

春分，二月中。

玄鸟至，雷乃发声，始电。三月

清明，三月节。

桐始华，田鼠化为鴽，虹始见。

谷雨，三月中。

萍始生，鸣鸠拂其羽，戴胜降于桑。四月

立夏，四月节。

蝼蝈鸣，蚯蚓出，王瓜生。

小满，四月中

苦菜秀，靡草死，麦秋至。五月

芒种，五月节。

螳螂生，贝鸟始鸣，反舌无声。

夏至，五月中。

鹿角解，蜩始鸣，半夏生。六月

小暑，六月节。

温风至，蟋蟀居壁，鹰始挚。

大暑，六月中。

腐草为萤，土润溽暑，大雨时行。七月

立秋，七月节。

凉风至，白露降，寒蝉鸣。

处暑，七月中。

鹰乃祭鸟，天地始肃，禾乃登。八月

白露，八月节。

鸿雁来，立鸟归，群鸟养羞。

秋分，八月中。

雷始收声，蛰虫坏户，水始涸。九月

寒露，九月节。

鸿雁来宾，雀入大水为蛤，菊有黄华。

霜降，九月中。

豺乃祭兽，草木黄落，蛰虫咸俯。十月

立冬，十月节。

水始冰，地始冻，雉入大水为蜃。

小雪，十月中。

虹藏不见，天气上升，地气下降，闭塞而成冬。十一月

大雪，十一月节。

鹖旦鸟不鸣，虎始交，荔挺出。

冬至，十一月中。

蚯蚓结，麋角解，水泉动。十二月

小寒，十二月节。

雁北乡，鹊始巢，雉句雅。

大寒，十二月中。

鸡乳，征鸟厉疾，水泽腹坚。

推算中气距离经朔

设置天正闰余，用日周相除得日数，即得冬至距离经朔的日数。用月闰逐次累加，即得各中气距离经朔的日数。满朔策则减去，于是全面设置闰月，等待确定朔日无中气时再行裁断。

推算发敛加时

设置所求的分秒，用十二乘以它，除以辰法，得到辰数。剩余部分用刻法收整为刻数。从子正起算，即得所在的辰刻。如果满半辰法，则算作一辰，从子初起算。

步日躔第三

周天分：三百六十五万二千五百七十五分。

周天：三百六十五度二十五分七十五秒。

半周天：一百八十二度六十二分八十七秒半。

象限：九十一度三十一分四十三秒太。

岁差：一分五十秒。

周应：三百一十五万一千七十五分。

半岁周：一百八十二日六千二百一十二分半。

盈初缩末限：八十八日九千零九十二分少。

缩初盈末限：九十三日七千一百二十分少。

推算天正经朔弦望进入盈缩历

设置半岁周，减去闰余日及分，即得天正经朔进入盈缩历的数值。冬至后为盈，夏至后为缩。用弦策逐次累加，即得各弦望及次朔进入盈缩历的日及分秒。满半岁周则减去，即转换盈缩。

求盈缩差

观测进入的限值：若为盈，在盈初缩末限以下为初限，以上则用半岁周减去，余数为末限；若为缩，在缩初盈末限以下为初限，以上则用半岁周减去，余数为末限。对于盈初缩末限，设置立差三十一，乘以初末限，加上平差二万四千六百，再乘以初末限，减去定差五百一十三万三千二百，余数再乘以初末限，满一亿为度，不满则退为分秒。对于缩初盈末限，设置立差二十七，乘以初末限，加上平差二万二千一百，再乘以初末限，减去定差四百八十七万零六百，余数再乘以初末限，满一亿为度，不满则退为分秒，即得所求的盈缩差。

另一种方法：设置进入限值的分数，乘以该日的盈缩分，除以一万得分数，加上其下的盈缩积，除以一万得度数，不足为分秒，也可得到所求的盈缩差。

赤道宿度

角宿：十二度一十分。

亢宿：九度二十分。

氐宿：十六度三十分。

房宿：五度六十分。

心宿：六度五十分。

尾宿：十九度一十分。

箕宿：十四度。

右方东方七宿，共七十九度二十分。

斗宿：二十五度二十分。

牛宿：七度二十分。

女宿：十一度三十五分。

虚宿：八度九十五分太。

危宿：十五度四十分。

室宿：十七度一十分。

壁宿：八度六十分。

右方北方七宿，共九十三度八十分太。

奎宿：十六度六十分。

娄宿：十一度八十分。

胃宿：十五度六分。

昴宿：十一度三十分。

毕宿：十七度四十分。

觜宿：初度五分。

参宿：十一度一十分。

右方西方七宿，共八十三度八十五分。

井宿：三十三度三十分。

鬼宿：二度二十分。

柳宿：十三度三十分。

星宿：六度三十分。

张宿：十七度二十五分。

翼宿：十八度七十五分。

轸宿：十七度三十分。

右方南方七宿，共一百零八度四十分。

右方赤道宿次，是根据新制浑仪测定，作为常数，比对天象较为精确。如果考察古代，则采用当时的宿度为准。

推算冬至赤道日度

设置中积，加上周应得到通积，满周天分则减去（向上推算古代，每百年减少一分；向下推算未来，每百年增加一分）。剩余部分用日周相除得度数；不够除则退为分秒。从赤道虚宿六度外起算，直至不满一宿为止。即得天正冬至加时太阳在赤道宿度的度数及分秒。向上推算古代，用中积减去周应，满周天则减去，剩余部分用周天减去，余数用日周相除得度数；其余与上述相同。如果当时有宿度，则依据当时的宿度起算。

求四正赤道日度

设置天正冬至加时赤道日度，逐次累加象限，满赤道宿次则减去，即得各春、夏、秋、冬正日所在宿度及分秒。

求四正赤道宿积度

设置四正赤道宿的全度，减去四正赤道日度及分，余数为距离后一宿的度数。用赤道宿度逐次累加，即得各四正后赤道宿积度及分。

黄赤道率

推算黄道宿度

设置四正后赤道宿积度，减去其赤道积度，余数乘以黄道率，除以赤道率。所得结果加上黄道积度，即为二十八宿的黄道积度。减去前宿的黄道积度，得到该宿的黄道度及分。其秒数就近化为分。

黄道宿度

角宿：十二度八十七分。

亢宿：九度五十九分。

氐宿：十六度四十分。

房宿：五度四十八分。

心宿：六度二十七分。

尾宿：十七度九十五分。

箕宿：九度五十九分。

右方东方七宿，共七十八度一十二分。

斗宿：二十三度四十七分。

牛宿：六度九十分。

女宿：十一度一十二分。

虚宿：九分空太。

危宿：十五度九十五分。

室宿：十八度三十二分。

壁宿：九度三十四分。

右方北方七宿，共七十四度一十分太。

奎宿：十七度八十七分。

娄宿：十二度三十六分。

胃宿：十五度八十一分。

昴宿：十一度零八分。

毕宿：十五度六十分。

觜宿：初度零五分。

参宿：十度二十八分。

右方西方七宿，共八十三度九十五分。

井宿：三十一度零三分。

鬼宿：二度一十一分。

柳宿：十三度。

星宿：六度三十一分。

张宿：十七度七十九分。

翼宿：二十度零九分。

轸宿：十八度七十五分。

右方南方七宿，共一百零九度八分。

右方黄道宿度，依据现今历法所载的赤道，按照冬至岁差所在位置计算确定，用以推算星象。如果上下考察验证，根据岁差每移动一度，按方法推算变换，即可得到当时的宿度。

推算冬至时的黄道日度

将天正冬至时的赤道日度，减去其赤道积度，余数乘以黄道率，再除以赤道率。所得结果加上黄道积度，即为所求年份天正冬至时的黄道日度及分秒。

推算四正时的黄道日度

将所求年份冬至时的日月黄赤道差，与次年的黄赤道差相减，余数除以四，所得结果加上象限，即为四正定象度。将冬至时的黄道日度，依次加上四正定象度，满黄道宿次则减去，即可得到各四正定气时的黄道宿度及分秒。

推算四正晨前夜半日度

将四正恒气日及分秒（冬夏二至是盈缩的端点，以恒气为宿），以盈缩差作为日分，盈减缩加，即为四正定气日及分。将日下分乘以当日行度，再除以日周。所得结果减去四正时的黄道日度，即可得到各四正定气晨前夜半的日度及分秒。

推算四正后每日晨前夜半的黄道日度

以四正定气日到后一正定气日的相距日数，以四正定气晨前夜半日度到后一正定气晨前夜半日度的相距度数，累计相距日的行定度。与相距度数相减，余数除以相距日数，即为日差。相距度数多则加，少则减。将加减后的结果用于调整四正每日行度率，得到每日行定度。依次累加四正晨前夜半的黄道日度，满宿次则减去，即可得到每日晨前夜半的黄道日度及分秒。

推算每日午中的黄道日度

将当日行定度的一半，加上当日晨前夜半的黄道日度，得到午中的黄道日度及分秒。

推算每日午中的黄道积度

以二至时的黄道日度到所求日午中黄道日度的距离，即为二至后的黄道积度及分秒。

推算每日午中的赤道日度

将所求日午中的黄道积度，满象限则减去，余数为分后。减去黄道积度，乘以赤道率，再除以黄道率。所得结果加上赤道积度及所减去的象限，即为所求的赤道积度及分秒。以二至时的赤道日度加上并命名，即可得到每日午中的赤道日度及分秒。

黄道十二次的宿度

危宿：十二度六十四分九十一秒。入娵訾之次，辰在亥。

奎宿：一度七十三分六十三秒。入降娄之次，辰在戌。

胃宿：三度七十四分五十六秒。入大梁之次，辰在酉。

毕宿：六度八十八分五秒。入实沈之次，辰在申。

井宿：八度三十四分九十四秒。入鹑首之次，辰在未。

柳宿：三度八十六分八十秒。入鹑火之次，辰在午。

张宿：十五度三十六分六秒。入鹑尾之次，辰在巳。

轸宿：十度七分九十七秒。入寿星之次，辰在辰。

氐宿：一度一十四分五十二秒。入大火之次，辰在卯。

尾宿：三度一分一十五秒。入析木之次，辰在寅。

斗宿：二度七十六分八十五秒。入星纪之次，辰在丑。

女宿：二度六分三十八秒。入玄枵之次，辰在子。

推算进入十二次的时刻

分别将进入次宿的度及分秒，减去当日晨前夜半的日度，余数乘以日周，作为实。以当日行定度为法，实除以法，所得结果按照发敛加时的方法推算，即可得到进入次宿的时刻。

第四部分：步月离

转终分：二十七万五千五百四十六分。

转终：二十七日五千五百四十六分。

转中：十三日七千七百七十三分。

初限：八十四。

中限：一百六十八。

周限：三百三十六。

月平行：十三度三十六分八十七秒半。

转差：一日九千七百五十九分九十三秒。

弦策：七日三千八百二十六分四十八秒少。

上弦：九十一度三十一分四十三秒太。

望：一百八十二度六十二分八十七秒半。

下弦：二百七十三度九十四分三十一秒少。

转应：一十三万一千九百四分。

推算天正经朔入转

将中积加上转应，减去闰余。满转终分则减去，余数以日周约分为日，不满为分，即为天正经朔入转日及分。向上推算时，中积内加上所求闰余，减去转应，满转终则减去，余数用转终减去，余数同上。

推算弦望及次朔入转

将天正经朔入转日及分，依次加上弦策，满转终则减去，即可得到弦望及次朔入转日及分秒。如果直接求次朔，则用转差相加。

推算经朔弦望入迟疾历

分别看入转日及分秒。在转中以下为疾历，以上则减去转中，为迟历。

迟疾转定及积度

推算迟疾差

将迟疾历日及分，乘以十二限二十分。在初限以下为初限，以上则用中限减去，余数为末限。将立差三百二十五乘以初末限，加上平差二万八千一百，再乘以初末限，用减去定差一千一百一十一万后的余数，再乘以初末限，满亿为度，不满退除为分秒，即为迟疾差。

另一种方法：将迟疾历日及分，减去迟疾历日率，余数乘以下列的损益分。除以八百二十，益加损减其下的迟疾度，也为所求的迟疾差。

推算朔弦望定日

将经朔弦望盈缩差与迟疾差，同名则相加，异名则相消（盈迟缩疾为同名，盈疾缩迟为异名）。乘以八百二十，除以所入迟疾限下的行度，即为加减差（盈迟为加，缩疾为减）。用此加减经朔弦望日及分，即得定朔弦望日及分。如果定弦望分在日出分以下，则退一日，其日命甲子算外，各得定朔弦望日辰。定朔干名与后朔干名相同，则该月大；不同，则该月小。内部没有中气的，为闰月。

推算定朔弦望加时的日月宿度

将经朔弦望入盈缩历日及分，用加减差加减，为定朔弦望入历。在盈则直接为中积，在缩则加上半岁周，为中积。以日命为度，用盈缩差（盈加缩减）调整，为加时定积度。加上冬至时的日躔黄道缩度并命名，各得定朔弦望加时的日度。凡合朔加时，日月同度，即为定朔加时的月度。其弦望各以弦望度加上定积，为定弦望月行定积度。按上述方法加上并命名，各得定弦望加时的黄道月度。

推算定朔弦望加时的赤道月度

分别将定朔弦望加时的黄道月行定积度，满象限则减去，减去其黄道积度，余数乘以赤道率，再除以黄道率，加上其下的赤道积度及所减去的象限，各为赤道加时定积度。加上冬至时的赤道日度并命名，各为定朔弦望加时的赤道月度及分秒。象限以下及半周减去，为至后；满象限以及三象减去，为分后。

推算朔后平交入转迟疾历

将交终日及分，减去经朔交日及分，为朔后平交日。加上经朔入转，为朔后平交入转。在转中以下为疾历，以上则减去，为迟历。

推算正交日辰

将经朔加上朔后平交日，按迟疾历方法求得的迟疾差，迟加疾减，为正交日及分。其日命甲子算外，即为正交日辰。

推算正交加时的黄道月度

将朔后平交日乘以月平行度，为距后度。加上经朔中积，为冬至距正交定积度。加上冬至时的日躔黄道宿度并命名，为正交加时的月离黄道宿度及分秒。

推算正交在二至后的初末限

将冬至距正交积度及分，在半岁周以下为冬至后，以上则减去，为夏至后。二至后，在象限以下为初限，以上则减去半岁周，为末限。

推算定差距差定限度

将初末限度乘以十四度六十六分，除以象限，为定差。用十四度六十六分减去定差，余数为距差。将定差乘以二十四，再除以十四度六十六分。所得结果，交在冬至后则减，夏至后则加，均加减九十八度，为定限度及分秒。

推算四正赤道宿度

将冬至时的赤道度，命名为冬至正度。依次加上象限，分别得到春分、夏至、秋分正积度。分别用赤道宿次减去，为四正赤道宿度及分秒。

推算月离赤道正交宿度

用距差加减春秋二正的赤道宿度，为月离赤道正交宿度及分秒。冬至后，初限加、末限减（视春正）；夏至后，初限减、末限加（视秋正）。

推算正交后的赤道宿积度入初末限

分别将春秋二正赤道所对应的宿全度及分，减去月离赤道正交宿度及分，余数为正交后积度。依次加上赤道宿次，满象限则减去，为半交后；再减去，为中交后；再减去，为半交后。看各交积度在半象以下为初限，以上则用象限减去，余数为末限。

推算月离赤道正交后半交白道（旧名九道）出入赤道内外度及定差

将各交定差度及分，乘以二十五，再除以六十一。所得结果，看月离白道下交在冬至后宿度为减，夏至后宿度为加，均加减二十三度九十分，为月离赤道后半交白道出入赤道内外度及分。以周天六分之一（六十度八十七分六十二秒半）除之，为定差。月离赤道正交后为外，中交后为内。

推算月离出入赤道内外白道去极度

将每日月离赤道交后初末限，用象限减去，余数为白道积。用其积度减去，余数乘以其差率，所得结果除以一百，加在其下积差上，为每日积差。用周天六分之一减去，余数乘以定差，为每日月离赤道内外度。内减外加象限，为每日月离白道去极度及分秒。

推算每交月离白道积度及宿次

将定限度与初末限相减相乘，退位为分，为定差。正交、中交后为加，半交后为减。用此差加减正交后的赤道积度，为月离白道定积度。减去前宿白道定积度，各得月离白道宿次及分。

推算定朔弦望加时的月离白道宿度

分别以月离赤道正交宿度到所求定朔弦望加时的月离赤道宿度，为正交后积度。满象限则减去，为半交后；再减去，为中交后；再减去，为半交后。看交后积度在半象以下为初限，以上则用象限减去，为末限。将初、末限与定限度相减相乘，退位为分，分满百为度，为定差。正交、中交后为加，半交后为减。用此差加减月离赤道正交后积度，为定积度。加上正交宿度，用其当月离白道宿次减去，各得定朔弦望加时的月离白道度及分秒。

推算定朔望加时及夜半晨昏入转

将经朔弦望入转日及分，用定朔弦望加减差加减，为定朔弦望加时入转。减去定朔弦望日下分，为夜半入转。加上晨分，为晨转；加上昏分，为昏转。

推算夜半月度

设置定朔、弦、望日下的分数，用其进入转日的转定度来乘，除以一万得到加时转度，用它减去加时定积度，余数就是夜半定积度，按照之前的方法加上并命名，各自得到夜半月离宿度及分秒。

求晨昏月度。设置该日的晨昏分，用夜半进入转日的转定度来乘，除以一万得到晨昏转度。各自加上夜半定积度，得到晨昏定积度。加上并命名如前，各自得到晨昏月离宿度及分秒。累计相距日数的转定度，得到转积度，与定朔、弦、望的晨昏宿次前后相距度相减，余数用相减日数除，得到日差。距度多则加，距度少则减。用这个来加减每日转定度，用来累加定朔、弦、望的晨昏月度，加上并命名，就是每日晨昏月离白道宿次。朔日后用昏，望日后用晨，朔日和望日的晨昏都用。