历第四

授时历经下步中星第五

大都的北极，高出地面四十又四分之一度以上。

冬至时，离北极一百一十五度二十一分七十三秒。

夏至时，离北极六十七度四十一分一十三秒。

冬至的白天、夏至的夜晚，长度为三千八百一十五分九十二秒。

夏至的白天、冬至的夜晚，长度为六千一百八十四分八秒。

黄昏和黎明的时间间隔，为二百五十分。

黄道出入赤道内外的去极度数以及半昼夜分，用来求每日黄道出入赤道内外的去极度数。

将所求日晨前夜半的黄道积度，如果满半年周，则减去，如果积度在象限以下，这是初限。如果在象限以上，再减去半年周，余数为入末限。如果满积度，则减去，余数用该段的内外差相乘，除以一百，所得结果，用内外度减去，即为出入赤道内外度。内部减去、外部加上象限，就是所求的去极度数及分秒。

求每日半昼夜以及日出日入晨昏分。

将所求日入初末限，如果满积度，则减去，余数用昼夜差相乘，除以一百，所得结果，加上或减去该段的半昼夜分，就是所求日的半昼夜分。前多后少则减，前少后多则加。以半夜分作为日出分，用日周减去日出分，余数为日入分，用昏明分减去日出分，余数为晨分。加上日入分，就是昏分。

求昼夜刻以及日出日入辰刻。

将半夜分加倍，除以一百，就是夜刻。用一百刻减去夜刻，余数为昼刻。用日出日入分按发敛法推算，即可得所求的辰刻。

求更点率。

将晨分加倍，除以五，就是更率，再将更率除以五，就是点率。

求更点所在的辰刻。

将所求的更点数，用更点率相乘，加上当日的昏分，按发敛法推算，即可得所求的辰刻。

求距中度以及更差度。

将半日周用当日的晨分减去，余数为距中分。用三百六十六度二十五分七十五秒乘以距中分，再除以日周，所得结果就是距中度。用一百八十三度十二分八十七秒半减去距中度，再乘以二，除以五，就是更差度及分。

求昏明五更的中星。

将距中度用当日午中的赤道日度加上并命名，就是昏中星所对应的宿次，命名为初更中星。用更差度依次累加，满赤道宿次则减去，得到各更以及拂晓中星的宿度及分秒。其他地区所在地方的昼夜刻分以及中星等数值，都根据当地北极出地度数推算。以上各数值，与晷漏推算的结果相符。

求各地所在的漏刻。

在各地用仪器测试，或者用水漏，来测定当地冬至或夏至的夜刻，与五十刻相比较，余数为至差刻。将所求日黄道距离赤道内外的度数及分，用至差刻相乘，向前移动一位，除以二百三十九，所得结果，内部减去、外部加上五十刻，就是所求的夜刻，用一百刻减去夜刻，余数为昼刻。其日出日入辰刻、更点率等，按照方法推算。

步交会第六

交终分，二十七万二千一百二十二分二十四秒。

交终，二十七日二千一百二十二分二十四秒。

交中，十三日六千六十一分一十二秒。

交差，二日三千一百八十三分六十九秒。

交望，十四日七千六百五十二分九十六秒半。

交应，二十六万一百八十七分八十六秒。

交终，三百六十三度七十九分三十四秒。

交中，一百八十一度八十九分六十七秒。

正文，三百五十七度六十四分。

中交，一百八十八度五分。

日食阳历限，六度。定法，六十。

阴历限，八度。定法，八十。

月食限，十三度五分。定法，八十七。

推算天正经朔入交。

将中积加上交应，再减去闰余，如果满交终分，则减去，余数用日周相除得到日数，不足的为分秒，这就是天正经朔入交的泛日及分秒。向上推溯时，中积内加上所求闰余，减去交应，如果满交终，则减去，余数用交终减去，其余同上。

求次朔望入交。

将天正经朔入交泛日及分秒，用交望依次累加，如果满交终日，则减去，即为次朔望入交泛日及分秒。

求定朔望及每日夜半入交。

各将入交泛日及分秒，减去经朔望的小余，即为定朔望夜半入交。如果定日有增减，也这样做。否则沿用经朔望为定，大月加二日，小月加一日，其余都加七千八百七十七分七十六秒，就是次朔夜半入交。依次累加一日，如果满交终日，则减去，得到每日夜半入交泛日及分秒。

求定朔望加时入交。

将经朔望入交泛日及分秒，用定朔望的加减差进行加减，就是定朔望加时入交日及分秒。

求交常交定度。

将经朔望入交泛日及分秒，用月平行度相乘，为交常度。用盈缩差，盈加缩减，为交定度。

求日月食甚定分。

日食：视定朔分在半天周以下，减去半天周，为中前。在以上，减去半天周，为中后。与半天周相减后相乘，退两位，除以九十六，为时差。中前用减，中后用加，都加减定朔分，为食甚定分。用中前后分各加上时差，为距午定分。

月食：视定望分在日周四分之一以下，为卯前。在以上，再减去半天周，为卯后。在四分之三以下，减去半天周，为酉前。在以上，再减去日周，为酉后。用卯酉前后分自乘，退两位，除以四百七十八，为时差。子前用减，子后用加，都加减定望分，为食甚定分。各自按发敛法推算，就是食甚的辰刻。

求日月食甚入盈缩历及日行定度。

将经朔望入盈缩历日及分，用食甚日及定分相加，再用经朔望日及分减去，即为食甚入盈缩历。按日躔术求盈缩差，盈加缩减，为食甚入盈缩历定度。

求南北差。

视日食甚入盈缩历定度，在象限以下，为初限。在以上用半年周减去，为末限。将初末限度自相乘，除以一千八百七十，得到度数，不足的退除为分秒。用四度四十六分减去，余数为南北泛差。用距午定分相乘，再除以半昼分，所得结果用来减泛差，为定差。如果泛差不够减，则反过来减，为定差。应加则减，应减则加。在盈初缩末时，交前阴历减，阳历加，交后阴历加，阳历减。在缩初盈末时，交前阴历加，阳历减，交后阴历减，阳历加。

求东西差。

视日食甚入盈缩历定度，与半年周相减后相乘，除以一千八百七十，得到度数，不足的退除为分秒，为东西泛差。用距午定分相乘，再除以日周四分之一，为定差。如果在泛差以上，则加倍泛差后减去，余数为定差，按其加减。在盈中前者，交前阴历减，阳历加。交后阴历加，阳历减。中后者，交前阴历加，阳历减。交后阴历减，阳历加。在缩中前者，交前阴历加，阳历减。交后阴历减，阳历加。中后者，交前阴历减，阳历加。交后阴历加，阳历减。

求日食正交中交限度。

将正交、中交度，用南北东西差进行加减，为正交、中交限度及分秒。

求日食入阴阳历去交前后度。

视交定度，在中交限以下，用中交限减去，为阳历交前度。在以上，减去中交限，为阴历交后度。在正交限以下，用正交限减去，为阴历交前度。在以上，减去正交限，为阳历交后度。

求月食入阴阳历去交前后度。

视交定度，在交中度以下，为阳历。在以上，用交中减去，为阴历。视入阴阳历，在后准十五度半以下，为交后度。前准一百六十六度三十九分六十八秒以上，再用交中减去，余数为交前度及分。

求日食分秒。

视去交前后度，各自减去阴阳历的食限，如果不够减则没有日食。余数按定法相除，各自为日食的分秒。

求月食分秒。

视去交前后度，不用南北东西差。用食限减去，如果不够减则没有月食。余数按定法相除，为月食的分秒。

求日食定用及三限辰刻。

将日食分秒与二十分相减后相乘，开平方，所得结果用五千七百四十相乘，再除以入定限行度，为定用分。用食甚定分减去定用分，为初亏。加上食甚定分，为复圆。按发敛法推算，为日食三限的辰刻。

求月食定用及三限五限辰刻。

将月食分秒与三十分相减后相乘，开平方，所得结果用五千七百四十相乘，再加上入定限行度，除以一，为定用分。用食甚定分减去定用分，为初亏。加上食甚定分，为复圆。按发敛法推算，即为月食三限的辰刻。如果月食是食既，将既内分与十分相减后相乘，开平方，所得结果用五千七百四十相乘，再除以入定限行度，为既内分。用定用分减去既内分，为既外分。用定用分减去食甚定分，为初亏。加上既外分，为食既。再加上既内分，为食甚。再加既内分，为生光。再加既外分，为复圆。按发敛法推算，即为月食五限的辰刻。

求月食入更点。

将食甚所入日的晨分加倍，除以五，为更法。再将更法除以五，为点法。然后放置初末诸分，在昏分以上，减去昏分，在晨分以下，加上晨分，用更法相除，为更数。不足的用点法收拢，为点数。其更点数，从初更初点之外算起，各得所入的更点。

求日食所起。

食在阳历，初起西南，食甚在正南，复圆在东南。食在阴历，初起西北，食甚在正北，复圆在东北。食八分以上，初起正西，复圆在正东。这是根据午地而言。

求月食所起。

食在阳历，初起东北，食甚在正北，复圆在西北。食在阴历，初起东南，食甚在正南，复圆在西南。食八分以上，初起正东，复圆在正西。这也是根据午地而言。

求日月出入带食所见分数。

视日月出入分，在初亏以上、食甚以下，为带食。各自用食甚分与日月出入分相减，余数为带食差。用所食之分相乘，除以定用分，如果是月食，则用既内分减去带食差，余数向前移动一位，除以既外分，所得结果用既分减去，即为月带食出入所见的分。如果不够减，则为带食既出入。用所食分减去，即为日月出入带食所见的分。其食甚在白天，早晨为渐进，黄昏为已退。其食甚在夜间，早晨为已退，黄昏为渐进。

求日月食甚宿次。

将日月食甚入盈缩历定度，在盈，则为定积。在缩，加上半年周，为定积。望则再加半天周度。用天正冬至加时的黄道日度加上并命名，各得日月食甚的宿次及分秒。

步五星第七

历度

三百六十五度二十五分七十五秒。

历中

一百八十二度六十二分八十七秒半。

历策

一十五度二十一分九十秒六十二微半。

木星

周率，三百九十八万八千八百分。

周日，三百九十八日八十八分。

历率，四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半。

度率，十一万八千五百八十二分。

合应，一百一十七万九千七百二十六分。

历应，一千八百九十九万九千四百八十一分。

盈缩立差，二百三十六加。

平差，二万五千九百一十二减。

定差，一千八十九万七千。

伏见，十三度。火星

周率，七百七十九万九千二百九十分。

周日，七百七十九日九十二分九十秒。

历率，六百八十六万九千五百八十分四十三秒。

度率，一万八千八百七分半。

合应，五十六万七千五百四十五分。

历应，五百四十七万二千九百三十八分。

盈初缩末立差，十千一百三十五减。

平差，八十三万一千一百八十九减。

定差，八千八百四十七万八千四百。

缩初盈末立差，八百五十一加。

平差，三万二百三十五负试。

定差，二千九百九十七万六千三百。

伏见，十九度。土星

周率，三百七十八万九百一十六分。

周日，三百七十八日九分一十六秒。

历率，一亿七百四十七万八千八百四十五分一十六秒。

度率，二十九万四千二百五十五分。

合应，一十七万五千六百四十三分。

历应，五千二百二十四万五百六十一分。

盈立差，二百八十三加。

平差，四万一千二十二减。

定差，一千五百一十四万六千一百。

缩立差，三百三十一加。

平差，一万五千一百二十六减。

定差，一千一百一万七千五百。

伏见，十八度。

金星

周率，五百八十三万九千二十六分。

周日，五百八十三日九十分二十六秒。

历率，三百六十五万二千五百七十五分。

度率，一万。

合应，五百七十一万六千三百三十分。

历应，一十一万九千六百三十九分。

盈缩立差，一百四十一加。

平差，三减。

定差，三百五十一万五千五百。

伏见，十度半。水星

周率，一百一十五万八千七百六十分。

周日，一百一十五日八十七分六十秒。

历率，三百六十五万二千五百七十五分。

度率，一万。

合应，七十万四百三十七分。

历应，二百五万五千一百六十一分。

盈缩立差，一百四十一加。

平差，二千一百六十五减。

定差，三百八十七万七千。

晨伏夕见，十六度半。

夕伏晨见，十九度。

推算天正冬至后五星平合及各段中积中星

将中积加上合应，用其星周率去除，余数为前合。再减去周率，余数为后合。用日周约分，得到该星天正冬至后平合的中积和中星。以日为单位称为中积，以度为单位称为中星。将段日累加在中积上，即得各段中积。将度累加在中星上，若为逆行则减去，即得各段中星。上考时，中积内减去合应，满周率去除，余数即为所求后合分数。

推算五星平合及各段入历

各将中积加上历应及所求后合分数，满历率去除。余数用度率除之为度，不足则退为分秒，即该星平合入历的度数及分秒。将各段限度累加，即得各段入历。上考时，中积内减去历应，满历率去除，余数再用历率减去，余数加上该年后合，其余同上。求盈朔差

将入历的度数及分秒，若小于历中则为盈。若大于历中则减去历中，余数为缩。看盈缩历，在九十一度三十一分四十三秒太以下为初限。以上则用历中减去，余数为末限。

火星的盈历在六十度八十七分六十二秒半以下为初限。以上则用历中减去，余数为末限。缩历在一百二十一度七十五分二十五秒以下为初限。以上则用历中减去，余数为末限。

将各星的立差乘以初末限，再加减平差，所得结果再乘以初末限，再加减定差。再乘以初末限，满一亿为度，不足退为分秒，即所求的盈缩差。另一方法：将盈缩历用历策除，得策数，余数为策余。用其下的损益率乘之，再用历策除，所得结果，益加损减其下的盈缩积，也得到所求的盈缩差。

求平合各段定积

各将该星该段的中积，用其盈缩差（盈加缩减），即得该段定积日及分秒。加上天正冬至日分，满纪法去除，余数从甲子算起，即得日辰。

求平合及各段所在月日

各将该段定积，加上天正闰日及分秒，满朔策除之为月数，余数为入月以来的日数及分秒。月数从天正十一月算起，即得该段入月经朔的日数及分秒。用日辰相距，即得所在定月日。

求平合及各段加时定星

各将该段中星，用盈缩差（盈加缩减），金星加倍，水星三倍，即得各段定星。用天正冬至加时黄道日度加上并命名，即得该星该段加时所在的宿度及分秒。

求各段初日晨前夜半定星

各将该段初日行率乘以该段加时分，用百约分，然后顺减退加该日加时定星，即得该段初日晨前夜半定星。如上加上并命名，即得所求。

求各段日率度率

各将该段日辰与后段日辰相减得日率，将该段夜半宿次与后段夜半宿次相减得度率。

求各段平行分

各将该段度率用该段日率除，即得该段平行度及分秒。

求各段增减差及日差

用本段前后平行分相减，得该段泛差。加倍并退位，得增减差。用此加减该段平行分，得初末日行分。前多后少时，加为初日，减为末日；前少后多时，减为初日，加为末日。加倍增减差得总差。用日率减一除之，得日差。

求前后伏迟退段增减差

前伏段：将后段初日行分加上其日差的一半，得末日行分。后伏段：将前段末日行分加上其日差的一半，得初日行分。减去伏段平行分，余为增减差。

前迟段：将前段末日行分加倍其日差后减去，得初日行分。后迟段：将后段初日行分加倍其日差后减去，得末日行分。用迟段平行分减去，余为增减差。前后靠近留的迟段。

木、火、土三星：退行时，将平行分乘六，退一位，得增减差。

金星：前后退伏段，将平行分乘三，半后退位，得增减差。

前退段：将后段初日行分减去其日差，得末日行分。后退段：将前段末日行分减去其日差，得初日行分。然后用本段平行分减去，余为增减差。

水星退行：将平行分减半，得增减差。都将增减差加减平行分，得初末日行分。前多后少时，加为初日，减为末日；前少后多时，减为初日，加为末日。再倍增减差得总差。用日率减一除之，得日差。

求每日晨前夜半星行宿次

各将该段初日行分，用日差累加或累减（后少则减，后多则加），得每日行度及分秒。顺行则加，逆行则减，满宿次后去掉，即得每日晨前夜半星行宿次。

求五星平合见伏入盈缩历

将该星该段定积日及分秒，若满岁周日及分秒则去掉，余数在次年天正冬至后。若在半岁周以下，则为入盈历。满半岁周则去掉，为入缩历。各有初限以下为初限，以上则反减半岁周，余为末限。即得五星平合见伏入盈缩历日及分秒。

求五星平合见伏行差

各将该星该段初日星行分与该段初日太阳行分相减，余为行差。若金、水二星退行在退合时，将该段初日星行分加上该段初日太阳行分，为行差。水星夕伏晨见时，直接将该段初日太阳行分作为行差。

求五星定合定见定伏泛积

木、火、土三星：将平合晨见夕伏定积日直接作为定合伏见泛积日及分秒。

金、水二星：将该段盈缩差度及分秒（水星加倍）各用其段行差除，得日数，不足退为分秒。在平合夕见晨伏时，盈减缩加；在退合夕伏晨见时，盈加缩减。各用来加减定积，得定合伏见泛积日及分秒。

求五星定合定积定星

木、火、土三星：各用平合行差除其段初日太阳盈缩积，得距合差日，不足退为分秒，再用太阳盈缩积减去，得距合差度。各将该星定合泛积用距合差日（盈减缩加），得该星定合定积日及分秒。用距合差度（盈减缩加），得该星定合定星度及分秒。

金、水二星（顺合与退合）：各用平合退合行差除其日太阳盈缩积，得距合差日，不足退为分秒。顺加退减太阳盈缩积，得距合差度。顺合时，盈加缩减该星定合泛积，得该星定合定积日及分秒。退合时，用距合差日（盈加缩减）和距合差度（盈加缩减）该星退定合泛积，得该星退定合定积日及分秒。命名为退定合定星度及分秒。用天正冬至日及分秒加上该星定合积日及分秒，满旬周去掉，从甲子算起即得定合日辰及分秒。用天正冬至加时黄道日度及分秒加上该星定合定星度及分秒，满黄道宿次去掉，即得定合所在黄道宿度及分秒。直接求五星合伏定日：木、火、土三星，用夜半黄道日度减去其星夜半黄道宿次，余数在该日太阳行分以下，为该日伏合。金、水二星，用其星夜半黄道宿次减去夜半黄道日度，余数在该日金、水二星行分以下，为该日伏合。金、水二星伏退合时，看其日太阳夜半黄道宿次，未到金、水二星宿次，再看次日太阳行过金、水二星宿次，金、水二星退行过太阳宿次，为该日定合伏退定日。

求木火土三星定见伏定积日

各将该星定见定伏泛积日及分秒，晨加夕减九十一日三十一分六秒，若在半岁周以下则自乘，以上则反减岁周，余数也自乘，满七十五除之为分，满百为度，不足退为秒。用该星见伏度乘之，再除以十五。所得结果用其段行差除，得日数，不足退为分秒。见加伏减泛积，得该星定见伏定积日及分秒。如上加上并命名，即得定见定伏日辰及分秒。

求金水二星定见伏定积日

分别用伏见时的日行差，除以该段初日的太阳盈缩积，得到日数。如果不足一日，就退位计算为分秒；如果是傍晚出现、早晨隐没，则盈加缩减；如果是早晨出现、傍晚隐没，则盈减缩加；用这种方法加减该星定见定伏的泛积日以及分秒，得到常积。如果常积在半岁周以下，就是冬至后；如果在半岁周以上，就减去半岁周，余数为夏至后。各自在九十一日三十一分六秒以下，就自乘；如果在以上，就反过来减去半岁周，再自乘。冬至后的早晨、夏至后的傍晚，除以十八，得到分；冬至后的傍晚、夏至后的早晨，除以七十五，得到分；用该星见伏的度数乘以上述分，再除以十五；所得结果，除以行差，得到日数，不足一日退位为分秒，加减常积，得到定积。对于早晨出现、傍晚隐没的情况，冬至后加上，夏至后减去；对于傍晚出现、早晨隐没的情况，冬至后减去，夏至后加上；作为该星定见定伏的定积日以及分秒；加上命数如前，就得到定见定伏的日辰以及分秒。