历第五

天道运行，如同圆环没有终点，制定历法的人必须观察阴气消退、阳气生长的交界，以此作为建立历法的起点。阴阳消长的契机，从哪里能看到呢？只有测量日影的进退，那么这契机就无处隐藏了。测量日影的方法，不过是竖立标杆测量影子，以探究节气到来的起始。智者创造，后人记述，前代各位历法家制定的方法已经相当完备。如果能精心思考、深入探索，使内心与道理相契合，那么在前人的创造记述之外，未必没有可以增益的地方。

旧法选择平坦的地面，设置水准和墨绳，在中间竖立标杆，用来测量正午的日影。但是标杆太短，在尺寸之下很难分辨分秒中大、半、少的细微数值。标杆长，那么分寸稍长，不方便的是影子虚淡，难以得到实在的影子。前人想要在虚淡的影子中寻求真实，有的设置望筒，有的设置小表，有的用木制圆规，都是取标杆顶端日光下射到圭面的方法。现在用铜做标杆，高三十六尺，顶端两端各有一条龙，举起一根横梁，从横梁下到圭面共四十尺，这是八尺标杆的五倍。圭表刻上尺寸，旧的一寸，现在扩大为五寸，厘毫的差别容易分辨。另外创制了景符，用来获取实在的影子。它的制作是用铜叶，宽二寸，长度比宽多加二寸，中间穿一个小孔，像针眼一样。用方框作为底座，一端设置机轴，让它能够开合，支撑其一端，使其势态斜倚，北高南低，在虚影中来回移动，小孔透过日光，只有米粒大小，隐约可以看到横梁在其中。旧法用标杆顶端测量日影，得到的是太阳上边缘的影子，现在用横梁来取，实际得到的是太阳中心的影子，不容有丝毫差错。

地中八尺标杆的日影，冬至时长一丈三尺有余，夏至时一尺五寸。现在京城的长标杆，冬至的日影七丈九尺八寸有余，折合八尺标杆则是一丈五尺九寸六分；夏至的日影一丈一尺七寸有余，折合八尺标杆则是二尺三寸四分。虽然日影长度所在地方不同，但日影最长为冬至，最短为夏至，这是相同的。只是节气到来的时刻推算求取不容易。因为冬至日的气正，那么一年的节气就随之正确了。刘宋的祖冲之曾经取冬至前后二十三四天的日影，折中取其中间值，定为冬至，并且用日差比率比较推求，推定时刻。宋代皇祐年间，周琮就取立冬、立春两天的日影，认为离冬至已经较远，日差较多，容易推算考察。《纪元》以后的各历法，方法更加详细，大致不超出祖冲之的方法。新历积年累月，实测正午日影，从远日到近日，取前后日期日影长度大致相等的，参考比较异同，起初不是偏取一两天日影，以取数据多者为定准，实际减去《大明历》十九刻二十分。仍然用多年实测的正午日影日差分寸，拟定二至时刻于后。

推算至元十四年丁丑岁冬至

该年十一月十四日己亥，日影长七丈九尺四寸八分五厘五毫。到二十一日丙午，日影长七丈九尺五寸四分一厘。二十二日丁未，日影长七丈九尺四寸五分五厘。用己亥、丁未两天的日影相较，多余三分五厘作为晷差，进位两位；用丙午、丁未两天的日影相较，多余八分六厘作为除数；除之，得三十五刻，用减相距日八百刻，剩余七百六十五刻；折取其中间值，加上半日刻，共得四百三十二刻半；以百约化成日，得四日；余数用十二乘，以百约化成时，得三时，满五十又作一时，共得四时；余数用十二收为刻，得三刻；从起始日己亥算起之外，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。这是取冬至前后四天的日影。

十一月初九日甲午，日影七丈八尺六寸三分五厘五毫。到二十六日辛亥，日影七丈八尺七寸九分三厘五毫。二十七日壬子，日影七丈八尺五寸五分。用甲午、壬子日影相减，再用辛亥、壬子日影相减，按照前法求之，也得到癸卯日辰初三刻。到二十八日癸丑，日影七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑两天的日影与甲午日影，按照前法求之，也符合。这是取冬至前后八九天的日影。

十一月丙戌朔，日影七丈五尺九寸八分六厘五毫。二日丁亥，日影七丈六尺三寸七分七厘。到十二月初六日庚申，日影七丈五尺八寸五分一厘。按照前法求之，也在辰初三刻。这是取冬至前后十七天的日影。

十一月二十一日丙午，日影七丈九寸七分一厘。到十二月十六日庚午，日影七丈七寸六分。十七日辛未，日影七丈一寸五分六厘五毫。按照前法求之，也得到辰初三刻。这是取冬至前后二十七天的日影。

六月初五日癸亥，日影一丈三尺八分。距十五年五月癸未朔，日影一丈三尺三分八厘五毫。初二日甲申，日影一丈二尺九寸二分五毫。按照前法求之，也符合。这是取冬至前后一百六十天的日影。

推算十五年戊寅岁夏至

五月十九日辛丑，日影一丈一尺七寸七分七厘五毫。距二十八日庚戌日影，一丈一尺七寸八分。二十九日辛亥日影，一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌两天的日影相减，多余二厘五毫，进位两位作为被除数。再用庚戌、辛亥日影相减，多余二分五厘五毫作为除数。除之，得九刻，用减相距日九百刻，剩余八百九十一刻。取其一半。加上半日刻，以百约，得四日。余数用十二乘，以百约，得十一时，余数用十二收为刻，得三刻。从起始日辛丑算起之外，得乙巳日亥正三刻夏至。这是取夏至前后四天的日影。

十四年十二月十五日己巳，日影七丈一尺三寸四分三厘。距十五年十一月初二日辛巳，日影七丈七寸五分九厘五毫。初三日壬午，日影七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午日影相减，用辛巳、壬午日影相减，除之，也符合。这是用冬至前而夏至后一百五十六天的日影。

十四年十二月十二日丙寅，日影七丈二尺九寸七分二厘五毫。十三日丁卯，日影七丈二尺四寸五分四厘五毫。十四日戊辰，日影七丈一尺九寸九厘。距十五年十一月初四日癸未，日影七丈一尺九寸五分七厘五毫。初五日甲申，日影七丈二尺五寸五厘。初六日乙酉，日影七丈三尺三分三厘五毫。前后互相取用，所得时刻都符合。这是取夏至前后一百五十八九天的日影。

十四年十二月初七日辛酉，日影七丈五尺四寸一分七厘。初八日壬戌，日影七丈四尺九寸五分九厘五毫。初九日癸亥，日影七丈四尺四寸八分六厘。距十五年十一月初九日戊子，日影七丈四尺五寸二分五毫。初十日己丑，日影七丈五尺三厘五毫。十一日庚寅，日影七丈五尺四寸四分九厘五毫。用壬戌、己丑日影相减作为被除数，用辛酉、壬戌日影相减作为除数，除之。或者用壬戌、癸亥日影相减，或者用戊子、己丑日影相减，如果用己丑、庚寅日影相减，按照前法求之，都符合。这是取夏至前后一百六十三四天的日影。

推算十五年戊寅岁冬至

该年十一月十九日戊戌，日影七丈八尺三寸一分八厘五毫。距闰十一月初九日戊午。日影七丈八尺二寸六分三厘五毫。初十日己未，日影七丈八尺八分二厘五毫，用戊戌、戊午两天的日影相减，多余四分五厘作为晷差，进位两位，用戊午、己未日影相减，多余二寸八分一厘作为除数，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，取其一半，加上半日刻，以百约，得十日；余数用十二乘，以百约为时，满五十又进一时，共得七时；余数用十二收为刻，从起始日己亥算起之外，得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。这是取冬至前后十天的日影。

十一月十二日辛卯，日影七丈五尺八寸八分一厘五毫。十三日壬辰，日影七丈六尺三寸一厘五毫。闰十一月十五日甲子，日影七丈六尺三寸六分六厘五毫。十六日乙丑，日影七丈五尺九寸五分三厘。十七日丙寅，日影七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子日影相减作为被除数，用辛卯、壬辰日影相减作为除数，除之，也得到戊申日未初三刻。或者用甲子、乙丑日影相减，推算之，也符合。如果用辛卯、乙丑日影相减作为被除数，用乙丑、丙寅日影相减，除之，结果相同。这是取冬至前后十六七天的日影。

十一月初八日丁亥，日影七丈四尺三分七厘五毫。闰十一月二十日己巳，日影七丈四尺一寸二分。二十一日庚午，日影七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳日影相减作为被除数，用己巳、庚午日影相减，除之，也相同。这是取冬至前后二十一天的日影。

六月二十六日戊寅，日影一丈四尺四寸五分二厘五毫。二十七日己卯，日影一丈四尺六寸三分八厘。到十六年四月初二日戊寅，日影一丈四尺四寸八分一厘。用两个戊寅日影相减，用后戊寅、己卯日影相减，推算之，也相同。这是取冬至前后一百五十天的日影。

五月二十八日庚戌，日影一丈一尺七寸八分。到十六年四月二十九日乙巳，日影一丈一尺八寸六分三厘。三十日丙午，日影一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午日影相减，用乙巳、丙午日影相减，推算之，也相同。这是取冬至前后一百七十八天的日影。

推算十六年己卯岁夏至

四月十九日乙未，日影一丈二尺三寸六分九厘五毫。二十日丙申，日影一丈二尺二寸九分三厘五毫。到五月十九日乙丑，日影一丈二尺二寸六分四厘。用丙申、乙丑日影相减，多余二分九厘五毫作为晷差，进位两位；用乙未、丙申日影相减，得七分六厘作为除数，除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，取其一半，加上半日刻，以百约，得十五日；余数用十二乘，以百约，得二时，余数用十二收之，得二刻；从起始日丙申算起之外，得辛亥日寅正二刻为夏至。这是取夏至前后十五天的日影。

三月二十一日戊辰，日影一丈六尺三寸九分五毫。六月十六日壬辰，日影一丈六尺九分九厘五毫。十七日癸巳，日影一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳日影相减，用壬辰、癸巳日影相减，按照前法推算之，也符合。这是取夏至前后四十二天的日影。

三月初二日己酉，日影二丈一尺三寸五厘。到七月初七日壬子，日影二丈一尺一寸九分五厘五毫。初八日癸丑，日影二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子日影相减，用壬子、癸丑日影相减，如前法推算之，也符合。这是取夏至前后六十一二天的日影。

三月初一日戊申，日影二丈一尺六寸一分一厘。到七月初八日癸丑，日影二丈一尺四寸八分六厘五毫。初九日甲寅，日影二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑日影相减，用癸丑、甲寅日影相减，按照前法推算之，也相同。这是取夏至前后六十二三天的日影。

二月十八日乙未，日影二丈六尺三分四厘五毫。到七月二十一日丙寅，日影二丈五尺八寸九分九厘。二十二日丁卯，日影二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅日影相减，用丙寅、丁卯日影相减，如前法推算之。也相同。这是取夏至前后七十五六天的日影。

二月三日庚辰，日影长度三丈二尺一寸九分五厘五毫。到八月初五日庚辰，日影长度三丈一尺五寸九分六厘五毫。初六日辛巳，日影长度三丈二尺二分六厘五毫。用之前的庚辰与辛巳日影相减，再用之后的庚辰、辛巳日影相减，按照前面的推算方法，结果相同。这是取冬至前后各九十天的日影。

正月十九日丁卯，日影长度三丈八尺五寸一厘五毫。到八月十八日癸巳，日影长度三丈七尺八寸二分三厘。十九日甲午，日影长度三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午日影相减，再用癸巳、甲午日影比较，按照前面的推算方法，结果相同。这是取冬至前后一百三四天的日影。

推算十六年己卯岁冬至

十月二十四日戊戌，日影长度七丈六尺七寸四分。到十一月二十五日己巳，日影长度七丈六尺五寸八分。二十六日庚午，日影长度七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳日影相减，余下一寸六分为晷差，进位两位；用己巳、庚午日影相减，余下四寸三分七厘五毫为法；相除，得到三十六刻；用相减的相距日数三千一百刻，减去后余下三千六十四刻；取其一半，加五十刻，除以一百，得到一十五日；余数乘以十二，除以一百，得时，满五十则再进一时，共得十时；余数用十二收为刻，得二刻；从起始日戊戌算起，得到癸丑日戌初一刻冬至。这是取冬至前后十五六天的日影。

十月十八日壬辰，日影长度七丈四尺五分二厘五毫。十九日癸巳，日影长度七丈四尺五寸四分五度。二十日甲午，日影长度七丈五尺二分五厘。到十一月二十八日壬申，日影长度七丈五尺三寸二分。二十九日癸酉，日影长度七丈四尺八寸五分二厘五毫。十二月甲戌朔，日影长度七丈四尺三寸六分五厘。初二日乙亥，日影长度七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉日影相减，癸巳、甲午日影相减，按照前面的推算方法，结果相同。如果用壬申、癸酉日影相减为法，推算也相同。这是取冬至前后十八九天的日影。

如果用癸巳与甲戌日影相减，用壬辰、癸巳日影相减，推算；或用癸巳、甲午日影相减，推算；或用甲戌、癸酉日影相减，推算；或用甲戌、乙亥日影相减，推算；或用壬辰、乙亥日影相减，用壬辰、癸巳日影相减，推算，结果都相同。这是取冬至前后二十天的日影。

十月十六日庚寅，日影长度七丈三尺一分五厘。十二月初三日丙子，日影长度七丈三尺三寸二分。初四日丁丑，日影长度七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑日影相减，用丙子、丁丑日影相减，推算，结果相同。这是取冬至前后二十三天的日影。

十月十四日戊子，日影长度七丈一尺九寸二分二厘五毫。十五日己丑，日影长度七丈二尺四寸六分九厘。十二月初五日戊寅，日影长度七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅日影相减，用戊子、己丑日影相减，推算，或用己丑、庚寅相减，推算，结果相同。这是取冬至前后二十四天的日影。

十月初七日辛巳，日影长度六丈七尺七寸四分五厘。初八日壬午，日影长度六丈八尺三寸七分二厘五毫。初九日癸未，日影长度六丈八尺九寸七分七厘五毫。十二月十二日乙酉，日影长度六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉日影相减，用辛巳、壬午相减，推算，壬午、癸未日影相减，推算，结果相同。这是取冬至前后三十一二天的日影。

十月乙亥朔，日影长度六丈三尺八寸七分。十二月十八日辛卯，日影长度六丈四尺二寸九分七厘五毫。十九日壬辰，日影长度六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰日影相减，用辛卯、壬辰日影相减，推算，结果相同。这是取冬至前后三十八天的日影。

九月二十二日丙寅，日影长度五丈七尺八寸二分五厘。十二月二十八日辛丑，日影长度五丈七尺五寸八分。二十九日壬寅，日影长度五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑日影相减，用辛丑、壬寅日影相减，推算，结果相同。这是取冬至前后四十七八天的日影。

九月二十日甲子，日影长度五丈六尺四寸九分二厘五毫。到十二月二十九日壬寅，日影长度五丈六尺九寸一分五厘。到十七年正月癸卯朔，日影长度五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相减。壬寅、癸卯日影相减，推算，结果相同。这是取冬至前后五十天的日影。

以上根据多年观测推算到的冬夏二至时刻为准，确定至元十八年辛巳岁前的冬至，应当在己未日半夜后六刻，即丑初一刻。

岁余岁差

周天的度数，一年的日数，都是三百六十五。整数之外，还有零头，大致都是四分之一。从今年冬至到明年冬至，经历三百六十五日，太阳运行一周，每四周，经历一千四百六十日，就多出一天。折成四份，就是四分之一。然而天体的分度常有盈余，一年的分度常不足，其数值不能完全相等，只是所差极小，前人起初没有察觉。到汉末刘洪，开始察觉冬至时刻比实际晚，认为岁周余分太强，于是作《乾象历》，减少岁余分二千五百为二千四百六十二。到晋代虞喜，宋代何承天、祖冲之，认为岁应有差，因而创立岁差之法。其方法是减少岁余，增加天周，使岁余逐渐变弱，天周逐渐变强，强弱相减，从而得到太阳运行每年后退的差数。岁余、天周，二者实际上相互为用，岁差由此确立，太阳运行由此求得，一旦增减不当，怎能与天相符呢？

现今从刘宋大明壬寅年以来，共测得冬至时刻的精确数据六次，取相距的积日时刻，用相距的年数除之，各自得到当时所用的岁余。再从大明壬寅年到至元戊寅年的积日时刻，用相距的年数除之，得每岁三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减少十一秒，定为现今所用的岁余。余七十五秒，用来增加所谓的四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。余分强弱相减，余一分五十秒，用全度除之，得六十六年有余，太阳退行一度。以六十六年除全度，正好得到一分五十秒，定为岁差。

再用《尧典》中的中星来考证，当时冬至日在女宿和虚宿交界处。再考察前代史书，汉元和二年，冬至日在斗宿二十一度；晋太元九年，退到斗宿十七度；宋元嘉十年，在斗宿十四度末；梁大同十年，在斗宿十二度；隋开皇十八年，仍在斗宿十二度；唐开元十二年，在斗宿九度半；现今退到箕宿十度。取它们距现在的年数和距现在的度数进行比较，多的七十多年，少的不少于五十年，就相差一度。宋庆元年间，改《统天历》，取《大衍历》岁差率八十二年及开元年间所差五十五年，折中取六十七年，作为太阳退行一度之差。用到今天，对照天道，确实接近。

但古今历法，合于今天的，必定不能通于古代；精确于古代的，必定不能验证于今天。现今的《授时历》，用之以考古，就增加岁余，减少岁差；用以推未来，就增加岁差，减少岁余；往上推算春秋以来的冬至，往往都符合；往下推求未来，可以长久而无弊病；不仅仅是精确于今天而已。仍用《大衍》等六种历法，检验春秋以来冬至的疏密，共四十九件事，分别列在后面：

冬至时刻

《大衍》《宣明》《纪元》《统天》《大明》《授时》

献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至：丙辰二十二 乙卯八十八 丁巳三十三 乙卯二 丁巳三十五 甲寅九十九

僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至：辛亥九十四 辛亥六十六 壬子七十四 辛亥二十七 壬子八十九 辛亥十四

昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至：己丑四十五 己丑二十 庚寅二十五 戊子九十二 庚寅二十九 戊子八十三

宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰影长：戊辰三十五 戊辰三十二 戊辰三十九 戊辰五十一 戊辰四十一 戊辰四十七

元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌影长：癸酉五十九 癸酉五十七 癸酉六十三 癸酉七十五 癸酉六十五 癸酉七十一

元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申影长：甲申八 甲申六 甲申十二 甲申二十四 甲申十四 甲申十九

元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑影长：己丑三十三 己丑三十 己丑三十七 己丑四十八 己丑三十七 己丑四十四

元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午影长：甲午五十七 甲午五十五 甲午六十一 甲午七十二 甲午六十三 甲午六十八

元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥影长：己亥八十二 己亥七十九 己亥八十五 己亥九十七 己亥八十七 己亥九十三

元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳影长：乙巳六 乙巳四 乙巳十 乙巳二十一 乙巳一十一 乙巳一十七

大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至：甲申七十 甲申六十八 甲申七十二 甲申八十九 甲申七十四 甲申七十九

陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅影长：庚寅十二 庚寅十三 庚寅五 庚寅二十四 庚寅八 庚寅十七

光大二年戊子岁，十一月乙巳影长：乙巳八十 乙巳八十六 乙巳七十九 乙巳九十七 乙巳八十一 乙巳九十

太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯影长：丙寅八十三 丙寅七十八 丙寅七十七 丙寅九十五 丙寅九十八 丙寅八十七

太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑影长：丁丑三十二 丁丑三十三 丁丑二十五 丁丑四十三 丁丑二十七 丁丑三十六

太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰影长：癸巳四 癸巳六 壬辰九十九 癸巳十六 癸巳空 癸巳八

太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌影长：戊戌三十 戊戌三十 戊戌二十三 戊戌四十 戊戌二十四 戊戌三十三

隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳影长：己巳七十七 己巳七十八 己巳六十九 己巳八十六 己巳七十一 己巳八十六

开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥影长：乙亥一 乙亥二 甲戌九十二 乙亥十一 甲戌五十五 乙亥一十

开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰影长：庚辰二十五 庚辰二十六 庚辰十八 庚辰三十四 庚辰十九 庚辰三十四

开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉影长：乙酉五十 乙酉五十 乙酉四十二 乙酉五十九 乙酉四十四 乙酉五十九

开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午影长：丙午四十八 丙午四十九 丙午四十三 丙午五十七 丙午四十一 丙午五十六

开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至：壬戌二十一 壬戌二十二 壬戌十二 壬戌二十 壬戌十四 壬戌二十九

唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉影长：甲申四十三 甲申四十五 甲申三十一 甲申五十 甲申三十二 甲申四十四

贞观二十三年己酉年，十一月辛亥日测日影最长：庚戌六十五、庚戌六十八、庚戌五十二、庚戌七十二、庚戌五十四、庚戌六十六。

龙朔二年壬戌年，十一月四日己未到戊午测日影最长：戊午八十三、戊午八十六、戊午六十九、戊午八十五、戊午七十一、戊午八十二。

仪凤元年丙子年，十一月壬申日测日影最长：壬申二十五、壬申二十八、壬申十二、壬申二十八、壬申二十、壬申二十二。

永淳元年壬午年，十一月癸卯日测日影最长：癸卯七十二、癸卯七十五、癸卯五十七、癸卯七十六、癸卯五十八、癸卯六十八。

开元十年壬戌年，十一月癸酉日测日影最长：癸酉四十九、癸酉五十四、癸酉三十一、癸酉五十、癸酉三十二、癸酉四十六。

开元十一年癸亥年，十一月戊寅日测日影最长：戊寅七十四、戊寅七十八、戊寅五十五、戊寅七十四、戊寅五十六、戊寅七十。

开元十二年甲子年，十一月癸未日冬至：癸未九十八、甲申三、癸未八十、癸未九十九、癸未八十一、癸未九十五。

宋景德四年丁未年，十一月戊辰日冬至：戊辰十五、戊辰二十六、丁卯七十四、丁卯八十二、丁卯七十四、丁卯八十。

皇祐二年庚寅年，十一月三十日癸丑日测日影最长：癸丑六十五、癸丑七十九、癸丑二十二、癸丑二十五、癸丑二十二、癸丑二十三。

元丰六年癸亥年，十一月丙午日测日影最长：丙午七十三、丙午八十五、丙午二十六、丙午二十六、丙午二十七、丙午二十六。

元丰七年甲子年，十一月辛亥日测日影最长：辛亥九十七、壬子一十、辛亥五十、辛亥五十一、辛亥五十、辛亥五十一。

元祐三年戊辰年，十一月壬申日测日影最长：壬申九十四、癸酉八、壬申四十八、壬申四十八、壬申四十八、壬申四十八。

元祐四年己巳年，十一月丁丑日测日影最长：戊寅十九、戊寅三十二、丁丑七十二、丁丑七十二、丁丑七十二、丁丑七十二。

元祐五年庚午年，十一月壬午日冬至：癸未四十四、癸未五十六、壬午九十六、壬午九十七、壬午九十六、壬午九十六。

元祐七年壬申年，十一月癸巳日冬至：癸巳九十二、甲午五、癸巳四十五、癸巳四十五、癸巳四十五、癸巳四十五。

元符元年戊寅年，十一月甲子日冬至：乙丑三十九、乙丑五十二、甲子九十一、甲子九十一、甲子九十一、甲子九十一。

崇宁三年甲申年，十一月丙申日冬至：丙申八十六、丙申九十九、丙申三十七、丙申三十六、丙申三十七、丙申三十七。

绍熙二年辛亥年，十一月壬申日冬至：癸酉十二、癸酉二十七、壬申五十七、壬申四十七、壬申五十七、壬申四十六。

庆元三年丁巳年，十一月癸卯日冬至：甲辰五十九、甲辰七十四、甲辰三、癸卯九十二、甲辰三、癸卯九十二。

嘉泰三年癸亥年，十一月甲戌日冬至：丙子五、丙子二十一、乙亥四十九、乙亥三十七、乙亥四十九、乙亥三十七。

嘉定五年壬申年，十一月壬戌日冬至：癸亥二十五、癸亥四十一、壬戌六十九、壬戌五十六、壬戌六十八、壬戌五十六。

绍定三年庚寅年，十一月丙申日冬至：丁酉六十五、丁酉八十三、丁酉七、丙申六十三、丁酉七、丙申九十二。

淳祐十年庚戌年，十一月辛巳日冬至：壬午九十四、壬午七十一、辛巳九十六、辛巳九十六、辛巳九十四、辛巳七十八。

本朝至元十七年庚辰年，十一月己未日半夜后六刻冬至：己未八十、庚申五、己未二十五、己未四、己未二十四、己未六。

以上从春秋献公以来，共两千一百六十多年，用《大衍历》《宣明历》《纪元历》《统天历》《大明历》《授时历》六种历法推算冬至，共四十九件事。《大衍历》符合的有三十二件，不符合的有十七件；《宣明历》符合的有二十六件，不符合的有二十三件；《纪元历》符合的有三十五件，不符合的有十四件；《统天历》符合的有三十八件，不符合的有十一件；《大明历》符合的有三十四件，不符合的有十五件；《授时历》符合的有三十九件，不符合的有十件。

现在按：献公十五年戊寅年正月甲寅日初一冬至，《授时历》是甲寅日，《统天历》得到乙卯日，晚了一天；到僖公五年丙寅年正月辛亥日初一冬至，《授时历》和《统天历》都得到辛亥日，与天象符合；往下到昭公二十年己卯年正月己丑日初一冬至，《授时历》和《统天历》都得到戊子日，都提前一天。如果勉强改变方法去附和它，那么献公、僖公的就不符合了。可知《春秋》所记载的昭公冬至，是太阳运行速度失常的验证。这是第一点。《大衍历》考订古代冬至，认为刘宋元嘉十三年丙子年十一月甲戌日冬至，《大衍历》和《皇极历》《麟德历》三种历法都得到癸酉日，各提前一天，是太阳运行速度失常，不是三种历法的误差。现在用《授时历》考订，也是癸酉日。这是第二点。大明五年辛丑年十一月乙酉日冬至，各种历法都得到甲申日，大概是太阳运行速度的误差。这是第三点。陈太建四年壬辰年十一月丁卯日测日影最长，《大衍历》和《授时历》都得到丙寅日，是提前一天；太建九年丁酉年十一月壬辰日测日影最长，《大衍历》和《授时历》都得到癸巳日，是晚了一天；一个提前，一个推后，如果符合于壬辰年，就不符于丁酉年；符合于丁酉年，就不符于壬辰年，这也是太阳运行速度失常的验证。这是第五点。隋开皇十一年辛亥年十一月丙午日测日影最长，《大衍历》《统天历》《授时历》都得到丙午日，与天象符合；到开皇十四年甲寅年十一月辛酉日冬至，而《大衍历》《统天历》《授时历》都得到壬戌日。如果符合于辛亥年，就不符于甲寅年；符合于甲寅年，就不符于辛亥年。那个开皇十四年甲寅年冬至，也是太阳运行速度失常。这是第六点。唐贞观十八年甲辰年十一月乙酉日测日影最长，各种历法得到甲申日；贞观二十三年己酉年十一月辛亥日测日影最长，各种历法都得到庚戌日。《大衍历议》用永淳、开元年间的冬至推算，知道前两个冬至是史官根据当时历法记载的，不是测影所得，所以不符合。现在用《授时历》考订也是这样。这是第八点。从前宋以来，测影验证节气的一共十七件事，其中景德丁未年戊辰日冬至，《统天历》和《授时历》都得到丁卯日，是提前一天；嘉泰癸亥年甲戌日冬至，《统天历》和《授时历》都得到乙亥日，是晚了一天；一个提前，一个推后，如果勉强改变数字去附和景德年，那么其他十六件事大多晚于实际；附和嘉泰年，那么其他十六件事大多早于实际。这也是太阳运行速度失常的验证。这是第十点。

前面十件事中《授时历》有不符合的，按这个道理推论，并不是不符合，大抵是归类相同就知道其中正确，辨别差异就知道其中的变化。现在在冬至中略去那些太阳运行速度失常以及史官根据当时历法记载的共十件事，那么《授时历》的三十九件事都正确。《统天历》和现在历法不符合的只有献公那一件事；《大衍历》推算献公冬至晚了两天；《大明历》晚了三天；《授时历》与天象符合。往下推算到至元庚辰年的冬至，《大衍历》晚了八十一刻，《大明历》晚了十九刻，《统天历》早了一刻，《授时历》与天象符合。用前代各种历法比较，《授时历》最为精密，差不多千年的冬至，可以坐在家里推算出来。按：《授时历议》相信僧人一行太阳运行速度失常的说法，最被后人非议。其中列举的十次验证：宋景德丁未年戊辰日、嘉泰癸亥年甲戌日两次冬至，都是史官的错误。唐贞观甲辰年乙酉日、己酉年辛亥日两次冬至，不是推算术数的错误，就是史官的错误。隋开皇甲寅年辛酉日冬至、陈丁酉年壬辰日冬至，都是推算术数的错误。宋大明辛丑年乙酉日冬至，祖冲之详细记录了测影，推算出冬至在乙酉日夜半后三十三刻七分，当时推算稍微晚了一点；而《大衍历》以下直到《授时历》则都提前了。宋元嘉丙子年甲戌日冬至，推算该年平冬至在第十日十五小时三十三分五十六秒，甲戌日申初二刻四分，如果加上时间差，不会超过十五时，那么定冬至也在甲戌日；《授时历》推算提前一天，癸酉日，和《大衍历》以下相同，不能与天象精密符合。鲁昭公己卯年己丑日冬至，该年上距僖公五年丙寅一百三十三年，平冬至在第二十八日十五小时十一分二十六秒，壬辰日申初刻十一分，大约计算加上均匀变速和小轮，不过辛卯日卯辰之间，不能减少到己丑日。由此知道《春秋》时推算天象通常提前两三天。《授时历》则又提前于己丑日，误差很大了。僖公丙寅年辛亥日冬至，按至元辛巳年前四年丁丑年高冲与冬至在同度，上距僖公五年丙戌一千九百三十一年，大约四百运行七度，那么这时高冲在冬至前一宫三度四十八分，按现在的方法应当加均一度八分，变时一日三小时三十六分，减去平冬至仍是甲寅日卯时，再大约计算这时的小轮，并径加大其加均，或许能到一度二三十分之间，变时一日十余小时以减去平冬至，那么定冬至也只能到癸丑日亥子之间，不能减少到辛亥日。那么这时所推算的冬至提前了两三天。献公戊寅年甲寅日冬至，是刘歆用四分历逆推的，不是有实测，不足以作为依据。郭守敬在十件事中，把八件事作为太阳运行速度失常，这说法确实有些虚妄。也许是出于李谦等人的增益，也未可知。

古今历法比较疏密

《授时历》与古历比较，疏密自然可见。能上合于数百年前，就能下行于永久，这是前人确定的说法。古代称擅长治历的人，如宋代的何承天，隋代的刘焯，唐代的傅仁均、僧人一行等人，最为杰出。现在用他们的历法和至元庚辰年冬至的气应比较，没有不差错的；而用新历上推古代，没有不符合的，那么其疏密程度就可以知道了。

宋文帝元嘉十九年壬午年十一月乙巳日十一刻冬至，距离本朝至元十七年庚辰年，计八百三十八年。该年十一月，气应在己未六刻冬至，《元嘉历》推算得到辛酉日，比《授时历》晚了两天；《授时历》上考元嘉壬午年冬至，得到乙巳日，与《元嘉历》符合。

隋大业三年丁卯年十一月庚午日五十二刻冬至，距离至元十七年庚辰年，计六百七十三年。《皇极历》推算得到庚申日冬至，比《授时历》晚了一天；《授时历》上考大业丁卯年冬至，得到庚午日，与《皇极历》符合。

唐武德元年戊寅年十一月戊辰日六十四刻冬至，距离至元十七年庚辰年，计六百六十二年。《戊寅历》推算得到庚申日冬至，比《授时历》晚了一天；《授时历》上考武德戊寅年，得到戊辰日冬至，与《戊寅历》符合。

开元十五年丁卯年十一月己亥日七十二刻冬至，距离至元十七年庚辰年，计五百五十三年。《大衍历》推算得到己未日冬至，比《授时历》晚了八十一刻；《授时历》上考开元丁卯年，得到己亥日冬至，与《大衍历》符合，提前了四刻。

长庆元年辛丑年十一月壬子日七十六刻冬至，距离至元十七年庚辰年，计四百五十九年。《宣明历》推算得到庚申日冬至，比《授时历》晚了一天；《授时历》上考长庆辛丑年，得到壬子日冬至，与《宣明历》符合。

宋朝太平兴国五年庚辰岁十一月丙午日六十三刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计三百年。用《乾元历》推算，得到庚申日冬至，比《授时历》晚一天；《授时历》向上推算太平兴国庚辰岁，得到丙午日冬至，与《乾元历》相符。

咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计二百八十年。用《仪天历》推算，得到庚申日冬至，比《授时历》晚一天；《授时历》向上推算咸平庚子岁，得到辛卯日冬至，与《仪天历》相符。

崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十一刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计一百七十五年。用《纪元历》推算，得到己未日冬至，比《授时历》晚十九刻；《授时历》向上推算崇宁乙酉岁，得到辛丑日冬至，与《纪元历》相符，但早了两刻。

金朝大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计一百零一年。用《大明历》推算，得到己未冬至，比《授时历》早一刻；《授时历》向上推算庆元戊午岁，得到己酉日冬至，与《统天历》相符。

周天列宿的度数

列宿分布在天空，共有二十八个星宿，总度数为三百六十五度有余。没有太阳的运行轨迹就无法校正这些度数，没有列宿就无法记录这些度数，周天的度数就是通过这两者来确定的。天体是浑圆的，在南北两极的中间，用赤道来划分，日月五星的运行，常常出入于此。天向左旋转，日月五星逆着向右运行，前人观测日月星辰的规律，就是指这个。然而列宿之间的相距度数，历代测量结果不同，如果不是有微小的移动，就是前人测量不够精密。古代用窥管观测，现在新制作了浑仪，用两根线来测量，所测得的度数分秒与前代不同，现在列举如下：

太阳的运行轨迹

太阳附着于天，其景象最为显著，一旦大明升起，所有列宿都隐没了。古人想要知道太阳运行轨迹所在，必须在黄昏、黎明和半夜时，用中星来考察其所距的星宿，进而考察其所对应的位置。然而黄昏、黎明和半夜的时刻不容易获得准确，时刻一旦有差错，那么所距和所对应的位置，就难免会有误差。晋代姜岌首先用月食时对冲的位置来检验，知道了太阳所在的位置。《纪元历》又用金星来标记其相距的远近，在黄昏后黎明前检验确定星度，因而得知太阳的运行轨迹。现在用至元丁丑年四月癸酉望日月全食，推求得到冬至时太阳运行到赤道箕宿十度，黄道九度有余。仍从该年正月至己卯年年底，三年之间，每日测量太阴所经过的星宿位置以及岁星、金星的距离度数，定验参考，共得到一百三十四件事例，都运行到箕宿，正好与月食对冲的位置相符。用金朝赵知微所修订的《大明历法》推算，冬至时太阳仍然运行到斗宿初度三十六分六十四秒，比新测量值实际相差七十六分六十四秒。

太阳运行速度的盈缩

日月的运行，有冬季和夏季的不同，是说日月的运行速度，冬季和夏季各不相同。人们只知道太阳每天运行一度，一年运行一周天，却不知道其盈缩增减，四季有所不同。北齐张子信长期观测交食加时，发现太阳运行有进入气候的差值，然而增减没有求得正确。赵道严又根据晷影长短，确定太阳运行进退，创造了盈缩法来求取亏食。到了刘焯创立躔度，与四季升降，虽然增减不同，后代都沿袭使用。

阴阳往来，逐渐积累而变化，冬至时太阳每天运行一度稍强，出赤道二十四度稍弱，从此太阳轨道逐渐北移，经过八十八天九十一分，在春分前三天，交于赤道，实际运行九十一度三十一分而正好平均。从此其盈度每日减少，又经过九十三天七十一分，到夏至那天，进入赤道内二十四度稍弱，实际运行九十一度三十一分，太阳每天运行一度稍弱，之前的盈分全部减少而无剩余。从此太阳轨道逐渐南移，经过九十三天七十一分，在秋分后三天，交于赤道，实际运行九十一度三十一分而再次平均。从此其缩度每日减少，经过八十八天九十一分，出赤道外二十四度稍弱，实际运行九十一度三十一分，再次到冬至，之前的缩分全部减少而无剩余。盈缩都有增减，开始是增加，末尾是减少。从冬至到春分，春分到夏至，太阳运行从北陆转向西，再转向南，对于盈来说是增加，增加到极点就减少，减少到无剩余而转为缩。从夏至到秋分，秋分到冬至，太阳运行从南陆转向东，再转向北，对于缩来说是增加，增加到极点就减少，减少到无剩余而转为盈。盈的开始和缩的末尾，都是八十八天九十一分而行一象；缩的开始和盈的末尾，都是九十三天七十一分而行一象；盈缩的最大差值，都是二度四十分。这是通过实际测量晷影而得到的，仍然用算术推求验证，与实际相符。

月亮运行的迟疾

古代历法说月亮平行速度为十三度十九分度之七。汉代耿寿昌认为日月运行到牵牛、东井时，太阳速度快，月亮运行十五度，到娄、角时，才恢复平行速度，这是赤道造成的。贾逵认为现在合朔、弦、望、月食加时所以不准确，是因为不知道月亮运行有迟疾。李梵、苏统都认为月亮运行应当有迟疾，不一定在牵牛、东井、娄、角之间，而是由运行轨道有远近出入所产生。刘洪作《乾象历》，精思二十多年，才领悟其中的道理，建立了差率，来包含进退增减的数字。后代作历法的人，都沿袭它。到了唐代一行，考证九道委蛇曲折的情况，得到了月亮运行快慢的道理。

前代学者说月亮和五星，都是接近太阳时速度快，远离太阳时速度慢。历法家立法，以入转一周的时间，分为迟疾二历，各立初末二限，初为增加，末为减少。在疾的初期和迟的末期，其运行速度通常超过平行速度；在迟的初期和疾的末期，通常达不到平行速度。自入转初日月亮运行十四度半稍强，从此逐渐减少，经过七天，正好达到平行速度，称为疾初限，其积累度数比平行多五度四十二分。从此其疾度每日减少，又经过七天，运行十二度稍强，之前的增加全部减少而无剩余，称为疾末限。从此又运行迟度，又经过七天，正好达到平行速度，称为迟初限，其积累度数比平行少五度四十二分。从此其迟度每日减少，运行速度逐渐增加，又经过七天，再次运行十四度半稍强，之前的增加也减少而无剩余，称为迟末限。入转一周，实际为二十七天五十五刻四十六分，迟疾的最大差值都是五度四十二分。旧历法每天为一限，都用二十八根。现在验证得知转分进退时各不相同，现在将一天分为十二，共三百三十六限，一半为半周限，四分之一为象限。白道交周。

在南北两极的中间，横贯天体来记录星宿度数的，是赤道。出入赤道，作为太阳运行轨道的，是黄道。所谓白道，与黄道交叉贯穿，是月亮运行所经过的轨道。古人根据方位立名，分为八行，与黄道合为九行，推究到底，其实是一样的。只是因为它随着交点迁移变动，不固定，所以勉强用方位和颜色来命名。

月道出入日道，两相交会，在朔时太阳被月亮遮挡，在望时月亮被太阳对冲，所以都有食。然而交会有远近，食分有深浅，都可以用数字推算。所谓交周，是指月道出入日道一周的时间。日道距离赤道的远近，为二十四度。月道出入日道，不超过六度，其距离赤道，远不超过三十度，近不低于十八度。出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象；月亮在黄道为正交，出黄道外六度为半交，再次在黄道为中交，入黄道内六度为半交，这就是四象。每象相隔七天，各行九十一度，四象周历，称为一交的终结，按日计算，得到二十七天二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九十三，共二百四十九交，退天一周有余，终而复始。正交在春分，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。正交在秋分，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。中交在春分，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋分，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。月道与赤道正交，距离春秋二分黄赤道证实交宿度。东西不超过十四度三分度之二。夏至在阴历内，冬至在阳历外，月道与赤道的差值较大；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月道与赤道的差值较小。因为白道两个交点，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直的紧密而狭窄，斜的稀疏而宽阔，其差值也因此不同。现在设立象限置法求取，差值大的不超过三度五十分，小的不低于一度三十分，这就是月道与赤道多少的差值。

昼夜刻

日出为白天，日入为黑夜，昼夜一周，共为一百刻。用十二辰来划分，每辰得八刻二分刻之一。不论南北，所在地方都相同。白天短则黑夜长，黑夜短则白天长，这是自然的道理。春秋二分，太阳在赤道出入，昼夜相等，各五十刻。从春分到夏至，太阳进入赤道内，距离北极逐渐近，黑夜短而白天长。从秋分到冬至，太阳出赤道外，距离北极逐渐远，白天短而黑夜长。以地中为标准，白天长不超过六十刻，短不超过四十刻。地中以南，夏至时太阳出入的位置较远，其白天长有不到六十刻的；冬至时太阳出入的位置较近，其白天短有不止四十刻的。地中以北，夏至时太阳出入的位置较近，其白天长有不止六十刻的；冬至时太阳出入的位置较远，其白天短有不到四十刻的。现在京师冬至日出在辰初二刻，日落在申正二刻，所以白天刻数为三十八，黑夜刻数为六十二。夏至日出在寅正二刻，日落在戌初二刻，所以白天刻数为六十二，黑夜刻数为三十八。因为地有南北，极有高下，日出日落有早晚，所以有所不同。现在《授时历》的昼夜刻数，一律以京师为准。