卷三历下

转终分：十四万四千一百一十，秒六千六十六。

转终日：二十七日，余二千九百，秒六千六十六。

转中日：一十三日，余四千六十五，秒三千三十三。

朔差日：一，余五千一百四，秒三千九百三十四。

象策：七日，余二千一分，二十二秒半。

秒母：一万。

上弦：九十一度，三十一分，四十二秒。

望：一百八十二度，六十二分，八十四秒。

下弦：二百七十三度，九十四分，二十六秒。

月平行度：十三度，三十六分，八十七秒半。

分、秒母：一百。

七日：初数，四千六百四十八。末数，五百八十二。

十四日：初数，四千六十五。末数，一千一百六十五。

二十一日：初数，三千四百八十三。末数，一千七百四十七。

二十八日：初数，二千九百一。末数，二千三百二十九。

求经朔弦望入转

将天正朔积分，用转终分及秒去除，余数不满的，用法数除之，得日数，不足的为余秒，这就是天正十一月经朔入转日及余秒。用象策累加，去除和命名如前，就得到弦、望经日加时入转日及余秒。直接求次朔入转。（用朔差加上。）

转定分及积度朓棵率

（表略）

求朔弦望入转朓棵定数

设置入转小余，用其日算外，损益率相乘，用法数除之，所得结果，用损益积作为定数。其中四七日下的余数，如果在初数以下，用初率相乘，除以初数，用损益朓棵积作为定数。如果在初数以上，减去初数，余数乘末率，除以末数，即为朓棵定数。

求朔弦望定日

设置经朔、弦、望小余，朓减朒加，再加入气入转朓棵定数，满与不足，进退大余，从甲子算外，各得定朔、弦、望日辰及余。定朔前干名与后干名相同的，当月大；不同的，当月小。月内没有中气的为闰月。看定朔小余：秋分后，在日法四分之三以上的，进一日。春分后，定朔日出分与春分日出分相减得的余数，用三约分，用来减四分之三，定朔小余达到这个数以上的，也进一日。如果有交食，亏初在日入前的，不进。

定弦、望小余在日出分以下的，退一日。望如果有交食，亏初在日出前的，小余虽在日出后，也退。如果是十七日望，再看定朔小余在四分之三以下的数，（春分后用减定之数。）与定望小余在日出分以上的数相比较；朔少望多的，望不退，而朔仍进。望少朔多的，朔不进，而望仍退。（日月运行，有盈有缩，迟疾加减之数，或有四大三小；如果依常理，应当观察其时早晚，随所近而进退，使其不超过三大二小。）

求定朔弦望中积

设置定朔、弦、望大小余与经朔、弦、望大小余相减的余数，用来加减经朔、弦、望入气日余，（经朔、弦、望少则加，多则减。）即为定朔、弦、望入气。用加其气中积，即为定朔、弦、望中积。（其余数用法数退除为分秒。）

求定朔弦望加时日度

设置定朔、弦、望约余，用所入气日损益率乘，（盈缩损益。）以万约分，用来损益其下盈缩积，然后盈加缩减定朔弦望中积；再用冬至加时日躔黄道宿度加上，依宿次去除，即得定朔、弦、望加时日所在度及分秒。又设置定朔、弦、望约余，副置。用乘其日盈缩之损益率，以万约分，应益者盈加缩减，应损者盈减缩加其副，满百为分，分满百为度，用加其日夜半日度，命名，各得其日加时日躔黄道宿次。（如果先在历注定每日夜半日度，即为妙也。）

求定朔弦望加时月度

凡是合朔加时日月同度，其定朔加时黄道日度，即为定朔加时黄道月度。弦、望各用弦、望度加定弦、望加时黄道日度，依宿次去除，即得定朔、弦、望加时黄道月度及分秒。

求夜半午中入转

设置经朔入转，用经朔小余减之，为经朔夜半入转。又经朔小余与半法相减的余数，用来加减经朔加时入转，（经朔少，如半法则加；多，如半法则减。）为经朔午中入转。如果定朔大余有进退的，也加减转入，否则因经为定。每月累加一日，满终日及余秒去除命名如前，各得每日夜半、午中入转。（求夜半，由定朔夜半入转累加。求午中，由定朔午中入转累加。求加时入转者，如求加时入气术。）

求加时及夜半月度

设置其日入转算外转定分，用定朔、弦、望小余乘之，用法数除之，为加时转分。（分满百为度。）减定朔、弦、望加时月度，为夜半月度。用所得转定分累加，即得每日夜半月度。（或从朔至弦、望，或至后朔，皆可累加。但近则差少，远则差多。设置所求前后夜半相距月度为行度，计算其相距入转积度，与行度相减，余数用相距日数除为日差，行度多用日差加每日转定分，行度少用日差减每日转定分，然后用之可中。或欲速求，用此数，欲究其故，宜用后术。）

求晨昏月度

设置其日晨分，乘其日算外转定分，用法数除之，为晨转分。用减定分，余为昏转分。又用朔、弦、望定小余乘转定分，用法数除之，为加时分。用减晨、昏转分，为前；不足，则覆减之，为后。乃前加后减加时月度，即晨昏月所在宿度及分秒。

求朔弦望晨昏定程

各用其朔昏定月，减上弦昏定月，余为朔后昏定程。以上弦昏定月，减望昏定，余为上弦后昏定程。以望晨定月，减下弦晨定月，余为望后晨定程。以下弦晨定月，减后朔晨定月，余为下弦后晨定程。

求每日转定度

累计每程相距日下转积度，与晨昏定程相减，余数用相距日数除之，为日差，（定程多则加，定程少则减。）用来加减每日转定分，为转定度。由朔、弦、望晨昏月，每日累加，满宿次去除，为每日晨昏月度及分秒。（凡注历：朔日以后注昏月，望后一日注晨月。）古历有九道月度，其数虽繁，亦难削去，具其术如后。

求平交日辰

设置交终日及余秒，用其月经朔加时入交泛日及余秒减之，为平交入其月经朔加时后日及余秒。用加其月经朔大小余，其大余从甲子算外，即平交日辰及余秒。（求次交者，用交终日及余秒加，大余满纪法去除，命名如前，即次平交日辰及余秒。）

求平交入转朓棵定数

设置平交小余，加其日夜半入转余，用乘其日损益率，用法数除之，所得，用损益其下朓朒积，为定数。

求正交日辰

设置平交小余，用平交入转朓棵定数，朓减朒加，满与不足，进退日辰，即正交日辰及余秒。与定朔日辰相距，即所在月日。

求经朔加时中积

各用其月经朔加入气日及余，加其气中积余，其日命名为度，其余数用法数退除为分秒，即其经朔加时中积度及分秒。

求正交加时黄道月度

设置平交入经朔加时后算及余秒，用法数通日，内余，进二位，如三万九千一百二十一度为度，不满退除为分秒，用加其月经朔加时中积，然后以冬至加时黄道日度加而命名，即其得其月正交加时月离黄道宿度及分秒。如求次交者，用交终度及秒加而命名，即得所求。

求黄道宿积度

设置正交时黄道宿全度，用正交加时月离黄道宿度及分秒减之，余为距后度及分秒，用黄道宿度累加，即各得正交后黄道宿积度及分秒。

求黄道宿积度入初末限

设置黄道宿积度及分秒，满交象度及分秒去除，如在半交象以下，为初限；以上者，用减交象度及分秒，余为入末限。（入交积度交象度并在交会术中。）

求月行九道宿度

凡是月行所交：冬入阴历，夏入阳历，月行青道。（冬至夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东。立冬立夏后，青道半交在立春之宿，当黄道东南。至所冲之宿亦如之。）冬入阳历，夏入阴历，月行白道。（冬至夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西。立冬立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北。至所冲之宿亦如之。）春入阳历，秋入阴历，月行朱道。（春分秋分后，朱道半交在夏至之宿，当黄道南。立春立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南。至所冲之宿亦如之。）春入阴历，秋入阳历，月行黑道。（春分秋分后，黑道半交在冬至之宿当黄道北。立春立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北。至所冲之宿亦如之。）四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行有九道。各用所入初末限度及分秒，减一百一度，余用所入初末限度及分乘之，半而退位为分，分满百为度，命名为月道与黄道泛差。凡是日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行正交，入夏至后宿度内为同名，入冬至后宿度内为异名。其在同名者，设置月行与黄道泛差，九因八约之，为定差，半交后，正交前，用差减；正交后，半交前，用差加。（此加减出入六度，正，如黄赤道相交同名之差，若较之渐异，则随交所在，迁变不同也。）仍用正交度距秋分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差。前加者为减，减者为加。其中异名者，设置月行与黄道泛差，七因八约之，为定差。半交后，用差加；正交后，半交前，用差减。（此加减出入六度，异，如黄道赤道相交异名之差，较之渐同，则随交所迁变不常。）仍用正交度距春分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差。前加者为减，减者为加。各加减黄道宿积度，为九道宿积度。以前宿九道积度减之，为其宿九道度及分。（其分就近约为太半少。论春夏秋冬以四时日所在宿度为正。）

求正交加时月离九道宿度

当正交时黄道日度与分数减去一百零一度，余数乘以正交度与分数，再除以二并退一位作为分数，分数满一百则为一度，称为月道与黄道的泛差。如果两者符号相同，则将月行与黄道的泛差乘以九分之八，作为定差，并加上；再用正交度与秋分相距的度数乘以定差，除以象限（九十度），所得结果作为月道与赤道的定差，并减去。如果两者符号相反，则将月行与黄道的泛差乘以七分之八，作为定差，并减去；再用正交度与春分相距的度数乘以定差，除以象限，所得结果作为月道与赤道的定差，并加上。将正交时黄道月度与分数加上或减去这两个差值，即得到正交时月亮在九道上的宿度与分数。

**求定朔望加时月所在度**

将定朔时太阳在黄道上的宿次（合朔时月亮潜藏在太阳下方，与太阳同度，这就是加时月亮的位置），各用弦、望的度数及分秒，加上对应的弦、望加时月亮在黄道上的宿度，满一个宿次则去掉，按此方法，各得到定朔、弦、望加时月亮在黄道上的宿度与分秒。

**求定朔弦望加时九道月度**

各用朔、弦、望加时月亮在黄道上的宿度与分秒，加上前一宿正交后的黄道积度，作为定朔、弦、望加时正交后的黄道积度。再按前述方法求九道积度，减去前一宿的九道积度，余数即为定朔、弦、望加时月亮在九道上的宿度与分秒。（如果是合朔加时且非正交，则太阳在黄道，月亮在九道，所入宿度虽有多少不同，但考察两极，如同符合绳墨。所以说：月亮潜藏在太阳下方，与太阳同度，即为加时九道月度。求晨昏夜半月的度数，都依照前法。）

**步交会第六**

交终分：十四万二千三百一十九，秒九千三百六十八。

交终日：二十七日，余一千一百九分，秒九千三百六十八。

交中日：十三日，余三千一百六十九，秒九千六百八十四。

交朔日：二日，余一千六百六十五，秒六百三十二。

交望日：十四日，余四千二，秒五千。

秒母：一万。

交终：三百六十三度七十九分三十六秒。

交中：一百八十一度八十九分六十八秒。

交象：九十度九十四分八十四秒。

半交象：四十五度四十七分四十二秒。

日食既前限：二千四百。定法：二百四十八。

日食既后限：三千一百。定法：三百二十。

月食限：五千一百。

月食既限：一千七百。定法：三百四十。

分秒母：一百。

**求朔望入交**

将天正朔积分除以交终分，余数除以日法（一日之分数），得到日数，不满的为余数，即天正十一月经朔加时的入交泛日与余秒。加上交朔日，得下一朔。加上交望日，得次望。再加一次交望，也得次朔。各为朔、望的入交泛日与余秒。

**求定朔每日夜半入交**

各将入交泛日与余秒减去经朔、望的小余，即得定朔、望夜半的入交泛日与余秒。若定朔、望有进退，则相应调整交日，否则以经朔为准。大月加二日，小月加一日，余数都加四千一百二十秒六百三十二，即得次朔夜半的入交。逐日累加，满交终日及余秒则去掉，即得每日夜半的入交泛日与余秒。

**求定朔望加时入交**

将经朔、望加时的入交泛日与余秒，加上或减去入气、入转的朓朒定数（朓减朒加），即得定朔加时的入交泛日与余秒。

**求定朔望加时入交积度及阴阳历**

将定朔、望加时的入交泛日乘以日法，加上余数，进位两位，除以三万九千一百二十一，得度数，不满的退位为分秒，即定朔、望加时月亮入交的积度。再以定朔、望加时的入转迟疾度（迟减疾加），得月亮入交的定积度。若在交中（一百八十一度多）以下，则为阳历积度；以上，去掉交中，余数为阴历积度。（每日夜半，同样方法求。）

**求月去黄道度**

看月亮入阴阳历的积度与分数，若在交象（九十度多）以下，为少象；以上，则从交中减去，余数为老象。将所入老少象的度数放在上面，交象度数放在下面，相减后相乘，再乘以二并退位为分，分满百为度，用此减去所入老少象的度数及分，余数再与交中相减后相乘，乘以八，除以一百一十得分数，分满百为度，即得月亮到黄道的距离。

**求朔望加时入交常日及定日**

朔望入交泛日，加上或减去入气的朓朒定数（朓减朒加），得入交常日。再将入转的朓朒定数乘以十，除以一百二十七，所得结果朓减朒加于入交常日，得入交定日及余秒。

**求入交阴阳历前后分**

看入交定日，若在交中以下，为阳历；以上，去掉交中，为阴历。若在一日上下（以日法乘以日为分），为交后分。若在十三日上下，则从交中减去，为交前分。

**求日月食其定余**

将朔、望的入气、入转朓朒定数，同号相加，异号相减，乘以一千三百三十七，再除以定朔、望加时入转算外转定分，所得结果，以朓减朒加于经朔、望的小余，得泛余。

日食：看泛余如在半法以下，为中前分；半法以上，减去半法，为中后分。将中前后分与半法相减后相乘，再乘以二，除以一万约为分数，称为时差。中前分：用时差减泛余得定余，再减半法，余数为午前分。中后分：用时差加泛余得定余，减去半法，为午后分。

月食：看泛余在日入后、夜半前者，如小于日法的四分之三，则减去半法，为酉前分；若大于四分之三，则从日法减去泛余，余数为酉后分。又看泛余在夜半后、日出前者，如小于日法的四分之一，为卯前分；大于四分之一，则从半法减去泛余，余数为卯后分。将卯酉前后分各自相乘，再乘以四，退位，除以一万约为分数，加于泛余，得定余。各将定余用发敛加时法求得，即得日月食发生的时辰。

**求日月食甚日行积度**

将定朔、望的食甚大小余与经朔、望的大小余相减，所得余数用来加减经朔、望的入气日小余（经朔、望日少则加，多则减），即得食甚入气。再加上该气的中积，得食甚中积。又将食甚入气小余乘以该气的日损益率（盈缩的损益），除以日法，用来增减该日的盈缩积；盈加缩减食甚中积，即得食甚的日行积度及分。

**求气差**

将日食甚的日行积度及分，满中限（一百八十二度多）则去掉，余数在象限（九十度）以下为初限；以上则减中限，为末限。将初末限各自相乘，进位两位，除以四百七十八，所得结果用一千七百四十四减去，余数为气差恒数。用午前后分乘以该数，再除以半昼分，所得结果从恒数中减去，得定数。（若不够减，则反过来减，得定数。应加者减，应减者加。）春分后，阳历减，阴历加；秋分后，阳历加，阴历减。（春分前、秋分后各二日二千一百分为定气，在此范围内加减。）

**求刻差**

将日食甚的日行积度及分，满中限则去掉，余数与中限相减后相乘，进位两位，除以四百七十八，所得为刻差恒数。用午前后分乘以该数，除以日法的四分之一，得定数。（若大于恒数，则加倍恒数，用所得数减去恒数得定数，按此加减。）冬至后，午前阳加阴减，午后阳减阴加。夏至后，午前阳减阴加，午后阳加阴减。

**求日食去前后定分**

将气差、刻差两个定数，同号相加，异号相减，得食差。按此加减去交前后分，得去交前后定分。看前后定分：若在阳历，则没有日食；若在阴历，则有日食。若交前阴历不够减，则反减（反减食差），得交后阳历；交后阴历不够减，反减，得交前阳历，则无日食；交前阳历不够减，反减，得交后阴历；交后阳历不够减，反减，得交前阴历，则日食发生。

**求日食分**

看去交前后定分，若在二千四百以下，为既前分，除以二百四十八得大分。若在二千四百以上，则从五千五百中减去（不够减则无日食），得既后分，除以三百二十得大分。余数退位为秒，即得日食的分数和秒数。

**求月食分**

看去交前后分（不用气差、刻差）。若在一千七百以下，为食既。以上，则从五千一百中减去（不够减则无月食），余数除以三百四十得大分，余数退位为秒，即月食的分数和秒数。去交分在既限（一千七百）以下，则从既限中减去，再除以三百四十，得既内大分。

**求日食定用分**

将日食的大分与三十分相减后相乘，再乘以二千四百五十，除以定朔入转算外转定分，所得为定用分。用定余减去定用分，得初亏分；加上定余，得复圆分。各用发敛加时法求得，即得日食三个时刻（初亏、食甚、复圆）的时辰。

**求月食定用分**

将月食的大分与三十分相减后相乘，再乘以二千一百，除以定望入转算外转定分，所得为定用分。加减定余，得初亏、复圆分。各用发敛加时法求得，即得月食三个时刻的时辰。

月食食既的，将既内大分与十五相减后相乘，再乘以四千二百，除以定望入转算外转定分，得既内分。用定用分减去既内分，得既外分。将月食余减去定用分，得初亏；加上既外分，得食既；再加上既内分，得食甚（即定余分）；再加既内分，得生光；再加既外分，得复圆。各用发敛加时法求得，即得月食五个时刻的时辰。

**求月食入更点**

将食甚所入日的晨分加倍，除以五得更法；再将更法除以五得点法。将月食初亏、食既、食甚、生光、复圆各分，若在昏分以上则减昏分，在晨分以下则加晨分。若不满更法，则为初更；不满点法，则为一点。按此依次求得，即得各所在的更点数。

**求日食所起**

若食在既前，初亏起于西南，食甚在正南，复圆在东南；若食在既后，初亏起于西北，食甚在正北，复圆在东北。若食分在八分以上，则都起于正西，复于正东。（这里以正午地点而论。）

**求月食所起**

若月在阳历：初亏起于东北，食甚在正北，复圆在西北。若月在阴历：初亏起于东南，食甚在正南，复圆在西南。若食分在八分以上，都起于正东，复于正西。（这里也以正午地点而论。）

**求日食出入带食所见分数**

各用食甚的小余与日出入分相减，余数为带食差，乘以所食的分，除以定用分（月食食既的，用既内分减带食差，余数乘所食分，再除以既外分；若不够减，则为带食既出入），再减所食分，即得日月出入时带食所见的分。（若食甚在白天，清晨为渐进，黄昏为已退；食甚在夜间，清晨为已退，黄昏为渐进。）

**求日月食甚宿次**

设置日月食甚时的日行积度（望日则再加半周天）。用天正冬至加时的黄道日度，加上这个积度，再依照黄道宿次减去，就得到各日月食甚时的宿度和分数。

步五星第七

木星

周期数：二百零八万六千一百四十二，五十四秒。

历法周期：二千二百六十五万零五百零七。

历法度数法：六万二千零一十四。

回归年日数：三百九十八日，八十八分。

黄道度数：三百六十五度，二十四分，八十二秒。

黄道中点：一百八十二度，六十二分，四十一秒。

黄道策数：一十五度，二十一分，八十七秒。

伏见度数：一十三度。

（以下表格略）

火星

周期数：四百零七万九千零四十一，秒九十七。

历法周期：三百五十九万二千七百五十八，秒三十二。

历法度数法：九千八百三十六点五。

回归年日数：七百七十九日，九十三分，一十六秒。

黄道度数：三百六十五度，二十四分，七十六秒。

黄道中点：一百八十二度，六十二分，三十八秒。

黄道策数：一十五度，二十一分，八十六秒。

伏见度数：一十九度。

（以下表格略）

土星

周期数：一百九十七万七千四百一十二，秒四十六。

历法周期：五千六百二十二万三千二百一十九。

历法度数法：一十五万三千九百二十八。

回归年日数：三百七十八日，九分，三秒。

黄道度数：三百六十五度，二十五分，六十六秒。

黄道中点：一百八十二度，六十二分，八十三秒。

黄道策数：一十五度，二十一分，九十秒。

伏见度数：一十七度。

（以下表格略）

金星

周期数：三百零五万三千八百零四，秒二十三。

历法周期：一百九十万零二百四十，秒一十一。

历法度数法：五千二百三十。

回归年日数：五百八十三日，九十分，一十四秒。

合日数：二百九十一日，九十五分，七秒。

黄道度数：三百六十五度，二十四分，六十八秒。

黄道中点：一百八十二度，六十二分，三十四秒。

黄道策数：一十五度，二十一分，八十六秒。

伏见度数：一十度半。

（以下表格略）

水星

周期数：六十万六千零三十一，秒八十四。

历法周期：一百九十一万零二百四十二，秒三十五。

历法度数法：五千二百三十。

回归年日数：一百一十五日，八十七分，六十秒。

合日数：五十七日，九十三分，八十秒。

黄道度数：三百六十五度，二十四分，七十一秒。

黄道中点：一百八十二度，六十二分，三十五秒半。

黄道策数：一十五度，二十一分，八十六秒。

晨伏夕见度数：一十四度。

夕伏晨见度数：一十九度。

（以下表格略）

求五星天正冬至后的平合及诸段的中积、中星

将通积分，各用该星球的周期数去除。余数就是前合分。再用周期数减去这个余数，剩下的就是后合分。除以日法得到整数，不够除的退位为分秒，这就是该星球天正冬至后的平合中积、中星。（把中积称作日，叫中积；把中星称作度，叫中星。）用段日累加中积，就得到各段的中积。用平度累加中星，经过退减，就得到各段的中星。

求五星平合及各段的入历

将前面的通积分，各加上该星球的后合分，用历法周期去除，余数各用该星球的历法度数法除为度数，不够退为分秒，就是该星球平合的入历度数及分秒。用各段的限度依次累加，就得到各段的入历。

求五星平合及各段的盈缩差

各设置该星球该段的入历度数及分秒，如果在历中以下，为在盈；以上，则减去历中，余数为在缩。用该星球的历策数去除得到策数，不够为入策度及分，从策数算外，用该策数下的损益率乘，再除以历策数得到分，用其损益该策数下的盈缩积度，就是该星球该段的盈缩定差。

求五星平合及各段的定积

各设置该星球该段的中积，用其盈缩定差盈加缩减。就是该段的定积日及分。加上天正冬至的大余及约分，满纪法六十去掉，余数就是定日及加时分秒。不满则从甲子算外，就得到日辰。

求五星及各段所在日月

各设置该段的定积日及分，加上天闰日及分，满朔策及约分除得月数，余数为入月以来日数及分。该月数从天正十一月算外，就得到该段入经朔的日数及分，用日辰相距得到所在定朔的月日。

求五星平合及各段加时的定星

各设置中星，用盈缩定差盈加缩减（金星加倍，水星乘三倍，然后再加减），就是五星各段的定星。加上天正冬至加时的黄道日度，依宿次命名，就是该星球该段加时所在的宿度及分秒。

求五星各段初日晨前夜半的定星

各用该段的初行率，乘该段定积日下的加时分，除以一百，再顺减退加该日加时的定星，就是该段初日晨前夜半的定星所在宿度。

求各段的日率、度率

各用该段的日辰与后段的日辰相减为日率。用该段的夜半宿次与后段的夜半宿次相减，余数为夜率。

求各段的平行分

各设置该段的度率及分秒，用其段日率除，就是该段的平行度及分秒。

求各段的总差、日差

用本段前后的平行分相减，余数为该段的泛差。（假令求木星次疾差，就用顺疾、顺迟的平行分相减，余数为次疾泛差。其他都仿照此例。）加倍并退位为增减差，加减该段的平行分，为初末日行分。（前多后少，加为初，减为末。前少后多，减为初，加为末。）加倍增减差为总差，用日率减一除，为日差。

求前后伏迟退段的增减差

前伏：设置后段初日行分，加其日差的一半，为末日行分。后伏：设置前段末日行分，加其日差的一半，为初日行分。减去伏段的平行分，余数为增减差。前迟：设置前段末日行分，加倍其日差再减，为初日行分。后迟：设置后段初日行分，加倍其日差再减，为末日行分。用迟段的平行分减，余数为增减差。（前后靠近留的迟段。）

木、火、土三星退行：将平行分乘以六，退一位，为增减差。

金星前后伏退：将平行分乘以三，减半并退位，为增减差。前退：设置后段初日行分，用其日差减，为末日行分。后退：设置前段末日行分，用其日差减，为初日行分。用本段平行分减，余数为增减差。

水星：将平行分的一半作为增减差。都用增减差加减平行分，为初末日行分。（前多后少，加初减末；前少后多，减初加末。）又加倍增减差为总差，用日率减一除，为日差。

求每日晨前夜半的星行宿次

各设置该段初日行分，用日差依次损益（后少则损，后多则益）为每日行度及分秒。顺加退减，满宿次去掉，就得到每日晨前夜半的星行宿次。（看前段末日、后段初日行分相比较的数字，不超过一两天差为佳。如果多出日差数倍，或颠倒不伦，应当类会前后增减差略微损益，使其有伦，然后用。或前后平行都多都少，则平注。或总差的秒，不满一分，也平注。如果有不伦而平注得伦的，也平注。）

求五星平合及见伏的入气

设置定积，用气策及约分除，为气数，不满为入气日及分秒，从天正冬至算外，就是所求的平合及伏见入气日及分秒。

求五星平合及见伏的行差

各用该段初日的星行分与其太阳行分相减，余数为行差。如果金星在退行、水星在退合，则相加为行差。如水星夕伏晨见，直接以太阳行分为行差。

求五星定合见伏的泛积

木、火、土三星：各用平合晨疾夕伏的定积，即为定合、定见、定伏的泛积。金、水二星：设置其段的盈缩差（水星加倍），各用行差除，为日，不够退为分秒。如果在平合夕见晨伏，则盈减缩加；如果在退合夕伏晨见，则盈加缩减。都用此加减定积，为定合、定见、定伏的泛积。

求五星定合的定积、定星

木、火、土三星：各用平合的行差除其日的太阳盈缩差，为距合差日。用太阳盈缩差减，为距合差度。日在盈历，用差日差度减。在缩，加。加减该星的定合泛积，为定合的定积、定星。

金、水二星顺合、退合：各用平合、退合的行差除其日的太阳盈缩差，为距合差日。顺加退减太阳盈缩差，为距合差度。顺在盈历，用差日差度加；在缩，减。退在盈历，用差日减，差度加；在缩，用差日加，差度减。都用此加减该星的定合及再定合泛积，为定合、再定合的定积、定星。用冬至大余及约分，加定积，满纪法去掉，命名，就得到定合的日辰。用冬至加时的黄道日度，加定星，满宿次去掉，就得到定合所在的宿次。（其顺退所在盈缩，是太阳的盈缩。）

求木、水、土三星定见、定伏的定积日

各设置该星的定见、定伏泛积，晨加夕减象限日及分秒（半中限为象限），如果在中限以下，自相乘；以上，则减去岁周日及分秒，余数也自相乘，除以七十五，所得，用该星的伏见度乘，十五除，为差。该差用其段行差除，为日，不够退为分秒。见加伏减泛积为定积。加上之前的命名，就得到日辰。

求金、水二星定见、定伏的定积日

各用伏见日的行差，除其日的太阳盈缩差，为日。如果晨伏夕见，日在盈历，加；在缩，减。如果夕伏晨见，日在盈历，减；在缩，加。加减该星的泛积为常积。看常积，如果在中限以下，为冬至后；以上，去掉，余为夏至后。其二至后，如果在象限以下，自相乘；以上，减去中限，也自相乘，各用法除，为分（冬至后晨、夏至后夕，以十八为法。冬至后夕、夏至后晨，以七十五为法）。用伏见度乘，十五除，为差。差满行差再除，为日，不够退为分秒。加减常积为定积（冬至后晨见夕伏，加；夕见晨伏，减。夏至后晨见夕伏，减；夕见晨伏，加）。加上之前的命名，就得到定见、定伏的日辰。

其中水星，夕疾，在大暑气初日至立冬气九日三十五分以下，不见。晨留，在大寒气初日至立夏气九日三十五分以下，春不晨见，秋不夕见，这也是旧有的情况。

浑象

古代谈论天象的学说有三家：一是盖天说，二是宣夜说，三是浑天说。汉灵帝时，蔡邕在朔方上书，说"宣夜学说已没有师承传授"；《周髀算经》的术数虽然完整存在，但用以检验天象，大多不符合；只有浑天说接近实际，最能反映天象的真实情况，近代太史令候台上的铜仪就是依据浑天说制作的。它确立了八尺圆体，兼备天地的形状，用来校正黄道和赤道的内外位置，推算日月运行的度数，测算五颗行星运行的快慢，观察气候的变化推移，精微深妙，是百代都不能废弃的。然而传承年代久远，制造的人很多，测量观测互有得失，张衡制作的浑天仪称为《灵宪》，史书记载失传了。魏晋以来，官府虽然有仪器，却没有原本的著作，所以前代的史志也有缺漏。吴国的中常侍王蕃说："浑天仪是羲和时代遗留下来的仪器，称为机衡。"历代相传，沿革不一。宋朝太平兴国年间，蜀人张思训首先创制了一种样式，在宫中制造，一年后完成，下诏放置在文明殿东边的鼓楼下，称为"太平浑仪"。自从张思训死后，浑仪损坏，再也没有人知道它的制造方法了。景德年间，历官韩显符仿照刘曜时期孔挺、晁崇的方法，但过于简略。景祐年间，冬官正舒易简采用唐朝梁令瓒、僧人一行的办法，相当详细完备，但又失之于过于精密而难以使用。元祐年间，尚书右丞苏颂与昭文馆校理沈括奉命详细审定《浑仪法要》，于是上奏推荐吏部勾当官韩公廉精通《九章勾股法》，常用它来推算考究天象度数，与张衡、王蕃、僧一行、梁令瓒、张思训的法则相比较，大体上可以找到头绪。如果依据算术来考证天象仪器，也能成功，请求设立机构派遣官员制造。皇帝下诏同意他们的建议。又上奏任命郑州原武主簿王沇之，太史局官员周日严、于太古、张促宣，一同监督制造。制度完成后，下诏放置在集英殿，总称为浑天仪。韩公廉在制作浑仪时，先撰写了《九章勾股验测浑天书》一卷，收藏在宫中，如今失传了，所以世上没有人知道它的内容。

旧制的浑仪，模仿天圆地方，机关隐藏在内部，上面布置星宿的运行轨迹，其次具备日月五星的运行度数，用来观测寒暑进退，比如张衡的浑天仪、唐代开元年间的水运铜浑仪，就是这样的。时间久了就不准确，无法使用。韩公廉的制法是设置三层轮圈：第一层叫六合仪，纵向安放在地浑中，就是天经环，与地浑相连接，它的整体不动；第二层叫三辰仪，安放在六合仪内部；第三层叫四游仪，安放在三辰仪内部。在地浑下面竖立四根龙柱，又在六合仪下面安置鳌云。四根龙柱下面设置十字水趺，开凿沟道通水使仪器保持水平。另外在六合仪内设置天常单环，又在三辰仪内设置黄道和赤道两个单环，东西相交，随着天运转，用来验证星宿的运行。又制作四象环，依附在三辰仪上，与天运环相连接，黄道和赤道两环相交处设置两条纵贯的直距，安放在四游仪内。北边连接六合仪地浑的上面，用来确定北极出地的高度。南边连接六合仪地浑的下面，用来确定南极入地的高度。这是浑仪的大致形状。两条直距中间夹着一个望筒，在望筒的一半位置设置关轴，依附在直距上，使它可以上下运转，望筒始终指向太阳，太阳的实体常在望筒的孔窍中，天向西运行一周，太阳向东移动一度，用这个来观测四方星宿的度数，这些都是参考了李淳风、孔挺、韩显符、舒易简的制度。在三辰仪上设置天运环，用水力驱动。水力驱动的办法始于汉代张衡，完成于唐代梁令瓒和僧一行，在太平兴国年间由张思训恢复，韩公廉如今又改变并完善了它的制度，设置天运环，下面用天柱、关轴这类装置向上驱动浑仪，这是新的创制。

旧制的浑象，就是张衡所说的放置在密室中的那种，用来推算七曜的运行，度量历象的昼夜明暗，校正二十四节气，考核昼夜刻漏，这些没有超出浑象范围的。《隋书·天文志》称梁朝秘府中有宋元嘉年间制造的浑象，用木头做成，形状像圆球，整个球体分布二十八宿、三家星的星色、黄道、赤道、天河等，另外设置横环环绕在外面，上下各一半，用来象征地。开元年间，皇帝下诏命僧一行和梁令瓒重新制作铜浑象，做成圆天形状，上面布置星宿和周围天度数，注水激轮，让它自行转动，一天一夜天转一周，另外设置日月五星沿轨道运行，络在天球外面，让它们运行。每天天向西转一圈，太阳正好向东移动一度，月亮移动十三度多，共二十九转日月会合，三百六十五转太阳运行一圈。又设置木柜作为地平，让浑象一半在地上，一半在地下，又在地平前面立两个木偶人，设置钟鼓让木偶人自然撞击来报时辰刻数，命名为《水运浑天俯视图》。完成后，命放置在武成殿。

宋朝太史局原本没有浑象，太平兴国年间，张思训依照开元的方法，但上面以盖为紫微宫，旁边是周天度数，并使它东西转动，这是他的新意。

韩公廉于是增减《隋书·天文志》的记载来制作，上面列有二十八宿的周天度数，以及紫微垣中外官星，用来俯视七政的运行，把它们安放在六合仪的天经和地浑之内，同时用木柜装载。中间贯穿一根枢轴，南北两端伸出浑象之外，南长北短，地浑放在木柜表面，横向放置，用来象征地。天经与地浑相连接，纵向放置，一半在地上，一半隐在地下，用来象征天。枢轴北端贯穿天经上方的横杠中，末端与横杠平齐，伸出柜外约三十五度稍弱，用来象征北极出地。南端也贯穿天经伸出下方横杠外，进入柜内约三十五度稍弱，用来象征南极入地。在赤道位置设置牙距，共四百七十八个牙距来衔接天轮，随着机轮地毂正东西运转，黄昏和黎明时的中星都符合其度数，春分、秋分、夏至、冬至等节气也都验证准确而不差。

王蕃说："浑象的制法，大地应当在天球之内，但这样不便观察，所以反过来观察它的形状，大地作为外郭，与已经理解的道理没有不同，虽然形状不同却合乎道理，可以说是奇巧的。"如今地浑设置在浑象外面，大概是出自王蕃的制度。它的下面则是张思训的旧制，有枢轮、关轴，用水力驱动，让直神摇铃、扣钟、击鼓，在轮上安置十二时辰的司辰木像，每到时初、时正，就拿着牌循环出来，报告相应的刻数来确定昼夜长短。到冬天水凝结，运转不灵活，就用汞来代替。

如今韩公廉所制作的，共放在一个台架上，台架中有两层隔板，浑仪放在上面，浑象放在中间，用水力驱动运转，枢机轮轴隐藏在下面。内部设置昼夜时刻机轮五层：第一层叫天轮，用来拨动浑象的赤道牙距；第二层叫拨牙轮，上面安装牙距，随着天柱中轮转动，来驱动上下四轮；第三层叫时刻钟鼓轮，上面安装时初、时正百刻的拨牙，用来扣钟、击鼓、摇铃；第四层叫日时初正司辰轮，上面安装时初十二个司辰、时正十二个司辰；第五层叫报刻司辰轮，上面安装百刻司辰。以上五层轮子共同贯穿在一根轴上，上面用天束束缚，下面用铁杵臼支撑，前面用五层木阁遮蔽，比原来的制度稍微有所增加和变异。五层轮子的北边，又侧面设置枢轮，这个轮子用七十二根辐条做成三十六个洪，用三条轮辋束缚，夹持着盛水的三十六个壶。轮毂中横向贯穿一根铁枢轴，南北两端伸出轴作为地毂，用来驱动地轮。天柱中轮转动，机轮就驱动浑象，同时向上驱动浑天仪。又在枢轮左边设置天池、平水壶，平水壶接收天池的水，注入受水壶，用来驱动枢轮。受水壶的水落入退水壶。从退水壶下面的北边孔道引水进入升水下壶，用升水下轮将水运到升水上壶，上壶内的升水上轮和河车一同转动上下轮，将水运到天河，天河又流回天池，每昼夜周而复始。这就是韩公廉制造浑仪、浑象两种仪器而通用于三种功能，总称为浑天仪。

金朝占领汴京后，将这些仪器全都用车运到燕京，天轮、赤道牙距、拨轮、悬象、钟鼓、司辰、刻报、天池、水壶等器件时间久了都被丢弃毁坏，只有铜浑仪还放置在太史局的候台上。但是从汴京到燕京相距一千多里，地势高低不同，望筒中获取的极星有些偏差，需要向下移动四度才能观测到。明昌六年秋八月，风雨大作，雷电震击，龙从浑仪的鳌云水趺下面升起，台子忽然从中间裂开而倒塌，浑仪摔落到台下，随即命令有关部门修缮，重新放置在台上。贞祐年间南渡时，因为浑仪是熔铸而成的整体，不忍心毁坏拆解，但如果整体搬运又难以用车装载，于是只得丢弃而离去。

兴定年间，司天台官员因为台中不设置浑仪以及测候人数不足，向朝廷进言，应该铸造浑仪，多补充生员，希望能充分完成观测占候的实际工作。宣宗召见礼部尚书杨云翼询问，杨云翼回答说："国家向来铜禁很严，即使搜尽公私所有的铜，恐怕也不能供给。如今调度正急，财用不足，实在不可行。"后来，皇上又提到这事，于是只增加了测候人员数名，铸造浑仪的提议就此搁置。

当初，张行简任礼部尚书提点司天监时，曾制作莲花漏、星丸漏两种刻漏进献，章宗下令将两套莲花漏放置在宫中，星丸漏在皇帝出行巡视时使用。贞祐南渡，两种漏刻都迁到汴京，汴京沦陷后被毁坏废弃，无法知道它们的形制了。