卷五历一

在政治清明的时代制定历法，从黄帝、尧、舜到夏商周三代的圣王，没有不重视的，这方面的记载详尽地保存在典籍中。虽然距离上古已经久远，具体方法已不详细，但推究其根本，不过是随时观测验证，使之符合天象而已。汉代刘歆创作《三统历》，开始设立积年日法，作为推算的标准。后世沿用这一方法，经过唐代到宋代，更改历元、修改方法的有几十家，难道是他们故意要互相违背吗？是因为天象的运行有不齐的变化，而历法是固定的法则，所以时间久了不能不产生偏差，既然有偏差就不能不修改。

元朝初年沿用金朝的《大明历》，庚辰年，太祖西征，五月十五日，月食没有应验；二月初一、五月初一，微弱的月亮出现在西南方。中书令耶律楚材认为《大明历》滞后于天象，于是减少节气的分数，减少周天的秒数，去掉交终的比率，调整月行转度的余数，测定日月运行的先后，调和五行的出没，来纠正《大明历》的失误。并且用中元庚午年，国家军队南伐，天下大致平定，推算出上元庚午年天正十一月壬戌朔，子正冬至，日月合璧，五星联珠，同会于虚宿六度，以应和太祖受命的符瑞。又因为西域、中原地区相距遥远，创立了里差来增减时间，虽然东西相距万里，也不再出现差错。于是将其命名为《西征庚午元历》，上表进献，但最终没有颁布使用。

至元四年，西域人札马鲁丁撰进《万年历》，世祖稍微颁布使用。至元十三年，平定宋朝，于是下诏命令前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都水少监郭守敬改创新历。许衡等人认为金朝虽然修改过历法，但只是在宋朝《纪元历》的基础上稍加增益，实际上并未进行天文观测，于是与南北方的日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等人参考历代历法，又观测日月星辰运行变化的状况，参考辨别异同，斟酌选取中间数值，作为历法的基础。至元十七年冬至，历法完成，下诏赐名为《授时历》。至元十八年，颁行天下。至元二十年，下诏命太子谕德李谦撰写《历议》，阐发新历顺应天象、符合实际的精微之处，考证前代人为附会的失误，确实可以流传永久，从古到今，推算验证的精密，没有超过这部历法的。现在许衡、王恂、郭守敬等人所撰写的《历经》以及李谦的《历议》仍然存在，都可以考据，因此全部收录于本篇。只有《万年历》不再流传，而《庚午元历》虽然没有颁布使用，但其书仍在，因此附在后面，使后来的人有所考证。写作《历志》。

授时历议上

验气

天道的运行，如同环状没有端点，制定历法的人必须在阳气消减、阴气增长的临界点，作为建立历法的起点。阴阳消长的关键，从哪里观察呢？只有通过观测日影的进退，那么这种关键就无法隐藏了。观测的方法，不过是树立圭表测量日影，来推究节气到来的开始。智者创造，能者阐述，前代各家的方法已经大体完备，如果能够精思密索，用心理解领会，那么在前人著述之外，未必不能有所增益。

旧的方法选择平坦的地面，设置水准绳墨，在其中树立圭表，来测量正午的日影。但圭表较短，在尺寸之下所分的分、秒、太、半、少等数值，不容易分辨。圭表长，则分寸稍长，但不方便的是，日影虚淡，难以得到真实的日影。前人想要从虚淡的日影中考求真实，有的设置望筒，有的放置小表，有的用木料制作圆规，都是取表端日光下射到圭面的方法。现在用铜制作圭表，高三十六尺，顶端夹着两条龙，举着一根横梁，下到圭面，共四十尺，这是八尺之表的五倍。圭表上刻有尺寸，过去一寸，现在伸展为五寸，厘毫的差异容易分辨。另外创制了景符，来获取真实的日影。它的制作方法是用铜片，宽二寸，长度比宽度多二寸，中间穿一个孔，如同针眼大小，用方形的底座作为支撑，一端设置机轴，使其可以开合，支撑起一端，使其呈倾斜状态，北高南低，在虚淡的日影中往来移动，孔洞透入日光，只有米粒大小，隐约可以看到横梁在其中。旧的方法用表端测量日影，得到的是太阳上边缘的影，现在用横梁来取影，实际得到的是太阳中心的影，不容许有毫末的误差。

地中地区八尺表的日影，冬至长一丈三尺有余，夏至长一尺五寸。现在京城的长期表，冬至日影七丈九尺八寸有余，换算成八尺表则是一丈五尺九寸六分；夏至日影一丈一尺七寸有余，换算成八尺表则是二尺三寸四分。虽然日影长短所在的地点不同，但日影最长是冬至，日影最短是夏至，这是一样的。只是节气到来的时刻考求不易，因为冬至日气正，那么一年的节气就随之正了。刘宋的祖冲之曾经取冬至前后二十三四天间的日影，折中取平均值，定为冬至，并且用日差比对推算，推定时刻。宋朝皇祐年间，周琮则取立冬、立春两天的日影，认为距离冬至较远，日差较多，容易推算考定。《纪元历》以后的各历法，方法更加详细，大体没有超出祖冲之的方法。新历积日累月，实测正午日影，从远日到近日，取前后日影数量相近的，参考异同，起初并非偏取一两天的日影，而是以取数多的为准，实际比《大明历》减少了十九刻二十分。仍然用多年实测的正午日影日差分寸，确定二至时刻如下。

推算至元十四年丁丑岁冬至

当年十一月十四日己亥，日影长七丈九尺四寸八分五厘五毫；到二十一日丙午，日影长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，日影长七丈九尺四寸五分五厘。用己亥、丁未两天的日影相校，余三分五毫为晷差，进位两位；用丙午、丁未两天的日影相校，余八分六厘为法；相除，得三十五刻；用减去相距日八百刻，余七百六十五刻；折中取一半，加半日刻，共得四百三十二刻半；以百约简为日，得四日；余数以十二乘，以百约简为时，得三时，满五十又作一时，共得四时；余数以十二收为刻，得三刻；从起始日己亥算起，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。这是取冬至前后四天的日影。

十一月初九日甲午，日影七丈八尺六寸三分五厘五毫；到二十六日辛亥，日影七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，日影七丈八尺五寸五分。用甲午、壬子日影相减，再用辛亥、壬子日影相减，按照前法推算，也得癸卯日辰初三刻。到二十八日癸丑，日影七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑两天的日影与甲午日影，按照前法推算，也符合。这是取冬至前后八九天的日影。

十一月初一丙戌，日影七丈五尺九寸八分六厘五毫；初二丁亥，日影七丈六尺三寸七分七厘；到十二月初六庚申，日影七丈五尺八寸五分一厘。按照前法推算，也在辰初三刻。这是取冬至前后十七天的日影。

十月二十一日丙子，日影七丈九寸七分一厘；到十二月十六日庚午，日影七丈七寸六分；十七日辛未，日影七丈一寸五分六厘五毫。按照前法推算，也得辰初三刻。这是取冬至前后二十七天的日影。

六月初五日癸亥，日影一丈三尺八分；距十五年五月初一癸未，日影一丈三尺三分八厘五毫；初二甲申，日影一丈二尺九寸二分五毫。按照前法推算，也符合。这是取冬至前后一百六十天的日影。

推算十五年戊寅岁夏至

五月十九日辛丑，日影一丈一尺七分七厘五毫；距二十八日庚戌，日影一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，日影一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌两天的日影相减，余二厘五毫，进位两位为实；再用庚戌、辛亥日影相减，余二分五厘五毫为法；相除，得九刻，用减去相距日九百刻，余八百九十一刻；取一半，加半日刻，以百约简，得四日；余数以十二乘，以百约简，得十一时；余数以十二收为刻，得三刻；从起始日辛丑算起，得乙巳日亥正三刻为夏至。这是取夏至前后四天的日影。

十四年十二月十五日己巳，日影七丈一尺三寸四分三厘；距十五年十一月初二辛巳，日影七丈七寸五分九厘五毫；初三壬午，日影七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午日影相减，用辛巳、壬午日影相减后去除，也符合。这是用夏至前后一百五十六天的日影。

十四年十二月十二日丙寅，日影七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，日影七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，日影七丈一尺九寸九厘；距十五年十一月初四癸未，日影七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五甲申，日影七丈二尺五寸五厘；初六乙酉，日影七丈三尺三分三厘五毫。前后互取，所得时刻都符合。这是取夏至前后一百五十八九天的日影。

十四年十二月初七日辛酉，日影七丈五尺四寸一分七厘；初八壬戌，日影七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九癸亥，日影七丈四尺四寸八分六厘；距十五年十一月初九戊子，日影七丈四尺五寸二分五毫；初十己丑，日影七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，日影七丈五尺四寸四分九厘五毫。用壬戌、己丑日影相减为实，用辛酉、壬戌日影相减为法，相除；或者用壬戌、癸亥日影相减，或用戊子、己丑日影相减，或用己丑、庚寅日影相减，按照前法推算，都符合。这是取夏至前后一百六十三四天的日影。

推算十五年戊寅岁冬至

当年十一月十九日戊戌，日影七丈八尺三寸一分八厘五毫；距闰十一月初九戊午，日影七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十己未，日影七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午两天的日影相减，余四分五厘为晷差，进位两位，用戊午、己未日影相减，余二寸八分一厘为法，相除，得一十六刻，加相距日二千刻，取一半，加半日刻，以百约简，得十日；余数以十二乘，以百约简为时，满五十又进一时，共得七时；余数以十二收为刻；从起始日己亥算起，得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。这是取冬至前后十天的日影。

十一月十二日辛卯，日影七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，日影七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，日影七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，日影七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，日影七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子日影相减为实，用辛卯、壬辰日影相减为法，相除，也得戊申日未初三刻。或者用甲子、乙丑日影相减，推算，也符合。如果用辛卯、乙丑日影相减为实，用乙丑、丙寅日影相减后去除，结果相同。这是取冬至前后十六七天的日影。

十一月初八丁亥，日影七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，日影七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，日影七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳日影相减为实，用己巳、庚午日影相减后去除，也相同。这是取冬至前后二十一天的日影。

六月二十六日戊寅，日影一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，日影一丈四尺六寸三分八厘；到十六年四月二日戊寅，日影一丈四尺四寸八分一厘。用两个戊寅日影相减，用后一个戊寅、己卯日影相减，推算，也相同。这是取冬至前后一百五十天的日影。

五月二十八日庚戌，日影长一丈一尺七寸八分；到十六年四月二十九日乙巳，日影长一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，日影长一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌和丙午的日影相减，再用乙巳和丙午的日影相减，推算结果也相同。这是取冬至前后一百七十八天的日影。

推算十六年己卯岁夏至

四月十九日乙未，日影长一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，日影长一丈二尺二寸九分三厘五毫；到五月十九日乙丑，日影长一丈二尺二寸六分四厘。用丙申和乙丑的日影相减，余二分九厘五毫作为晷差，进位两位；用乙未和丙申的日影相减，得七分六厘作为除数；相除，得三十八刻；加上相距日数二千九百刻，取一半，再加半日刻，除以一百，得十五日；余数乘以十二，再除以一百，得二时；余数用十二收之，得二刻；从起始日丙申算起，得辛亥日寅正二刻为夏至。这是取夏至前后十五天的日影。

三月二十一日戊辰，日影长一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，日影长一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，日影长一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰和癸巳的日影相减，再用壬辰和癸巳的日影相减，按前法推算，也相合。这是取夏至前后四十二天的日影。

三月初二日己酉，日影长二丈一尺三寸五厘；到七月初七日壬子，日影长二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，日影长二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉和壬子的日影相减，再用壬子和癸丑的日影相减，如前法推算，也相合。这是取夏至前后六十一二天的日影。

三月戊申朔，日影长二丈一尺六寸一分一厘；到七月初八日癸丑，日影长二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，日影长二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申和癸丑的日影相减，再用癸丑和甲寅的日影相减，按前法推算，也相同。这是取夏至前后六十二三天的日影。

二月十八日乙未，日影长二丈六尺三分四厘五毫；到七月二十一日丙寅，日影长二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，日影长二丈六尺二寸五分九厘。用乙未和丙寅的日影相减，再用丙寅和丁卯的日影相减，如前法推算，也相同。这是取夏至前后七十五六天的日影。

二月三日庚辰，日影长三丈二尺一寸九分五厘五毫；到八月初五日庚辰，日影长三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，日影长三丈二尺二分六厘五毫。用前一个庚辰与辛巳的日影相减，再用后一个庚辰与辛巳的日影相减，如前推算，也相同。这是取夏至前后九十天的日影。

正月十九日丁卯，日影长三丈八尺五寸一厘五毫；到八月十八日癸巳，日影长三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，日影长三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯和甲午的日影相减，再用癸巳和甲午的日影相校，如前推算，也相同。这是取夏至前后一百三四天的日影。

推算十六年己卯岁冬至

十月二十四日戊戌，日影长七丈六尺七寸四分；到十一月二十五日己巳，日影长七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，日影长七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌和己巳的日影相减，余一寸六分为晷差，进位两位；用己巳和庚午的日影相减，余四寸三分七厘五毫作为除数；相除，得三十六刻；以相减的相距日数三千一百刻，余三千零六十四刻；取一半，加五十刻，除以一百，得一十五日；余数乘以十二，除以一百得时，满五十，又进一时，共得十时；余数用十二收之为刻，得二刻；从起始日戊戌算起，得癸丑日戌初二刻为冬至。这是取冬至前后十五六天的日影。

十月十八日壬辰，日影长七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，日影长七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，日影长七丈五尺二分五厘；到十一月二十八日壬申，日影长七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，日影长七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，日影长七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，日影长七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午和癸酉的日影相减，癸巳和甲午的日影相减，如前推算，也相同。若用壬申和癸酉的日影相减作为除数，推算也相同。这是取冬至前后十八九天的日影。

如果用癸巳与甲戌的日影相减，再用壬辰和癸巳的日影相减，推算；或者用癸巳和甲午的日影相减，推算；或者用甲戌和癸酉的日影相减，推算；或者用甲戌和乙亥的日影相减，推算；或者用壬辰和乙亥的日影相减，再用壬辰和癸巳的日影相减，推算，结果都相同。这是取冬至前后二十天的日影。

十月十六日庚寅，日影长七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，日影长七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，日影长七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅和丁丑的日影相减，再用丙子和丁丑的日影相减，推算也相同。这是取冬至前后二十三天的日影。

十月十四日戊子，日影长七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，日影长七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，日影长七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑和戊寅的日影相减，再用戊子和己丑的日影相减，推算；或者用己丑和庚寅相减，推算也相同。这是取冬至前后二十四天的日影。

十月初七日辛巳，日影长六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，日影长六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，日影长六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，日影长六丈八尺一寸四分五厘。用壬午和乙酉的日影相减，再用辛巳和壬午相减，推算；壬午和癸未的日影相减，推算也相同。这是取冬至前后三十一二天的日影。

十月乙亥朔，日影长六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，日影长六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，日影长六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥和壬辰的日影相减，再用辛卯和壬辰的日影相减，推算也相同。这是取冬至前后三十八天的日影。

九月二十二日丙寅，日影长五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，日影长五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，日影长五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅和辛丑的日影相减，再用辛丑和壬寅的日影相减，推算也相同。这是取冬至前后四十七八天的日影。

九月二十日甲子，日影长五丈六尺四寸九分二厘五毫；到十二月二十九日壬寅，日影长五丈六尺九寸一分五厘；到十七年正月癸卯朔，日影长五丈六尺二寸五分。用甲子和癸卯相减，壬寅和癸卯的日影相减，推算也相同。这是取冬至前后五十天的日影。

以上用多年推测到的冬夏二至时刻为准，拟定至元十八年辛巳岁前冬至，应当在己未日半夜后六刻，即丑初一刻。

岁余和岁差

周天的度数，周岁的天数，都是三百六十五。整策之外，还有奇零部分，大致都是四分之一。从今年冬至到明年冬至，经历三百六十五天，而太阳运行一周，总共四周，经历一千四百六十天，就会余出一日，将其分为四份，就是四分之一。然而天体的分度常有盈余，岁时的分度常不足，其数值不能完全一致，只是所差极微，前人最初没有察觉。到汉末刘洪，才开始觉察到冬至后天，认为岁周余分太强，于是作《乾象历》，减少岁余分二千五百为二千四百六十二。到晋代虞喜，宋代何承天、祖冲之，认为每年应当有差，因而创立岁差之法。其方法是减少岁余，增加天周，使岁余逐渐变弱，天周逐渐变强，强弱相减，因而得到太阳运行每年后退的差数。岁余和天周，二者实际上相互为用，岁差由此而建立，太阳运行由此而获得，一旦损益不当，怎能与天相合呢？

现在从刘宋大明壬寅年以来，总共测影验气得到冬至时刻真数有六次，取相距的积日时刻，用相距的年数来除，各得当时所用的岁余。再从大明壬寅到至元戊寅的积日时刻，用相距的年数来除，得每年三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减去一十一秒，定为现在所用的岁余。余七十五秒，用来增加所谓的四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。余分强弱相减，余一分五十秒，用全度来除，得六十六年有余，太阳后退一度，用六十六年除全度，恰好得一分五十秒，定为岁差。

再用《尧典》中的中星来考证，那时冬至日在女、虚交界。再考证之前史书，汉元和二年，冬至日在斗二十一度；晋太元九年，退到斗十七度；宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗十二度；隋开皇十八年，仍在斗十二度；唐开元十二年，在斗九度半；现在退到箕十度。取它们距现在的年数、距现在的度数来比较，多的七十余年，少的不少于五十年，就相差一度。宋庆元年间，改《统天历》，取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年，折中取其中，得六十七年，作为太阳后退一度之差。用于现在，考于天道，实际上很接近。

然而古今历法，合于现在的必定不能通于古代，严密于古代的必定不能验于现在。现在《授时历》，用它来考古，就增加岁余而减少岁差；用它来推未来，就增加岁差而减少岁余；上推春秋以来的冬至，往往都相合；下求将来，可以永久而无弊；不仅限于严密于现在。仍用《大衍》等六种历法，考证春秋以来冬至的疏密，共四十九件事，列出如下。

冬至刻

《大衍》 《宣明》 《纪元》 《天》 《大明》 《授时》

献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。

丙辰（22） 乙卯（88） 丁巳（33） 乙卯（2） 丁巳（35） 甲寅（99）

僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。

辛亥（94） 辛亥（66） 壬子（74） 辛亥（27） 壬子（89） 辛亥（14）

昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。

己丑（45） 己丑（2） 庚寅（25） 戊子（92） 庚寅（29） 戊子（83）

宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。

戊辰（35） 戊辰（32） 戊辰（39） 戊辰（51） 戊辰（41） 戊辰（47）

元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。

癸酉（59） 癸酉（57） 癸酉（63） 癸酉（75） 癸酉（65） 癸酉（71）

元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。

甲申（8） 甲申（6） 甲申（12） 甲申（24） 甲申（14） 甲申（19）

元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。

己丑（33） 己丑（3） 己丑（37） 己丑（48） 己丑（37） 己丑（44）

元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。

甲午（57） 甲午（55） 甲午（61） 甲午（72） 甲午（63） 甲午（68）

元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥日影最长。

己亥（82） 己亥（79） 己亥（85） 己亥（97） 己亥（87） 己亥（93）

元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳日影最长。

乙巳（6） 乙巳（4） 乙巳（十） 乙巳（21） 乙巳（11） 乙巳（17）

大明五年辛丑岁，十一月乙酉日冬至。

甲申（7） 甲申（68） 甲申（73） 甲申（89） 甲申（74） 甲申（79）

陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅日影最长。

庚寅（12） 庚寅（13） 庚寅（5） 庚寅（24） 庚寅（8） 庚寅（17）

光大二年戊子岁，十一月乙巳日影最长。

乙巳（8） 乙巳（86） 乙巳（79） 乙巳（97） 乙巳（81） 乙巳（9）

太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯日影最长。

丙寅（83） 丙寅（78） 丙寅（77） 丙寅（95） 丙寅（98） 丙寅（87）

太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑日影最长。

丁丑（32） 丁丑（33） 丁丑（25） 丁丑（43） 丁丑（27） 丁丑（36）

太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰日影最长。

癸巳（4） 癸巳（6） 壬辰（99） 癸巳（16） 癸巳（空） 癸巳（8）

太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌日影最长。

戊戌（3） 戊戌（3） 戊戌（23） 戊戌（4） 戊戌（24） 戊戌（33）

隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳日影最长。

己巳（77） 己巳（78） 己巳（69） 己巳（86） 己巳（71） 己巳（86）

开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥日影最长。

乙亥（1） 乙亥（2） 甲戌（92） 乙亥（11） 甲戌（55） 乙亥（10）

开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰日影最长。

庚辰（25） 庚辰（26） 庚辰（18） 庚辰（34） 庚辰（19） 庚辰（34）

开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉日影最长。

乙酉（5） 乙酉（51） 乙酉（42） 乙酉（59） 乙酉（44） 乙酉（59）

开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午日影最长。

丙午（48） 丙午（49） 丙午（43） 丙午（57） 丙午（41） 丙午（56）

开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉初一早晨冬至。

壬戌（21） 壬戌（22） 壬戌（13） 壬戌（3） 壬戌（14） 壬戌（29）

唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉日影最长。

甲申（43） 甲申（45） 甲申（31） 甲申（5） 甲申（32） 甲申（44）

贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥日影最长。

庚戌（65） 庚戌（68） 庚戌（53） 庚戌（72） 庚戌（54） 庚戌（66）

龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未到戊午日影最长。

戊午（83） 戊午（86） 戊午（69） 戊午（88） 戊午（71） 戊午（82）

仪凤元年丙子岁，十一月壬申日影最长。

壬申（25） 壬申（28） 壬申（10） 壬申（28） 壬申（12） 壬申（22）

永淳元年壬午岁，十一月癸卯日影最长。

癸卯（72） 癸卯（75） 癸卯（57） 癸卯（76） 癸卯（58） 癸卯（68）

开元十年壬戌岁，十一月癸酉日影最长。

癸酉（49） 癸酉（54） 癸酉（31） 癸酉（5） 癸酉（32） 癸酉（46）

开元十一年癸亥岁，十一月戊寅日影最长。

戊寅（74） 戊寅（77） 戊寅（55） 戊寅（74） 戊寅（56） 戊寅（7）

开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。

癸未（98） 甲申（3） 癸未（8） 癸未（99） 癸未（81） 癸未（95）

宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日南至。

戊辰（15） 戊辰（26） 丁卯（74） 丁卯（82） 丁卯（74） 丁卯（8）

皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑日影最长。

癸丑（65） 癸丑（79） 癸丑（22） 癸丑（25） 癸丑（22） 癸丑（23）

元丰六年癸亥岁，十一月丙午日影最长。

丙午（73） 丙午（85） 丙午（26） 丙午（27） 丙午（26） 丙午（26）

元丰七年甲子岁，十一月辛亥日影最长。

辛亥（97） 壬子（10） 辛亥（5） 辛亥（51） 辛亥（5） 辛亥（51）

元祐三年戊辰岁，十一月壬申日影最长。

壬申（94） 癸酉（8） 壬申（48） 壬申（48） 壬申（48） 壬申（48）

元祐四年己巳岁，十一月丁丑日影最长。

戊寅（19） 戊寅（32） 丁丑（72） 丁丑（72） 丁丑（72） 丁丑（72）

元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。

癸未（44） 癸未（56） 壬午（96） 壬午（97） 壬午（96） 壬午（96）

元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。

癸巳（92） 甲午（5） 癸巳（45） 癸巳（45） 癸巳（45） 癸巳（45）

元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。

乙丑（39） 乙丑（52） 甲子（91） 甲子（91） 甲子（91） 甲子（91）

崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。

丙申（86） 丙申（99） 丙申（37） 丙申（36） 丙申（37） 丙申（37）

绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。

癸酉（12） 癸酉（27） 壬申（57） 壬申（47） 壬申（57） 壬申（46）

庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日南至。

甲辰（59） 甲辰（74） 甲辰（3） 癸卯（92） 甲辰（3） 癸卯（92）

嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日南至。

丙子（5） 丙子（21） 乙亥（49） 乙亥（37） 乙亥（49） 乙亥（37）

嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日南至。

癸亥（25） 癸亥（41） 壬戌（69） 壬戌（56） 壬戌（68） 壬戌（56）

绍定三年庚寅岁，十一月丙申日南至。

丁酉（65） 丁酉（83） 丁酉（7） 丙申（63） 丁酉（7） 丙申（92）

淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日南至。

壬午（94） 壬午（71） 辛巳（96） 辛巳（77） 辛巳（94） 辛巳（78）

本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。

己未（87） 庚申（5） 己未（25） 己未（4） 己未（24） 己未（6）

以上从春秋时期鲁献公以来，共二千一百六十多年，用《大衍历》、《宣明历》、《纪元历》、《统天历》、《大明历》、《授时历》六种历法推算冬至，共四十九件事。《大衍历》符合的有三十二件，不符合的有十七件；《宣明历》符合的有二十六件，不符合的有二十三件；《纪元历》符合的有三十五件，不符合的有十四件；《统天历》符合的有三十八件，不符合的有十一件；《大明历》符合的有三十四件，不符合的有十五件；《授时历》符合的有三十九件，不符合的有十件。

现在按：鲁献公十五年戊寅岁正月甲寅初一早晨冬至，《授时历》推得甲寅，《统天历》推得乙卯，晚了一天；到鲁僖公五年丙寅岁正月辛亥初一早晨冬至，《授时历》、《统天历》都推得辛亥，与天象相合；往下到鲁昭公二十年己卯岁正月己丑初一早晨冬至，《授时历》、《统天历》都推得戊子，都提前了一天，如果勉强改变方法去迎合，那么献公、僖公的冬至就不符合了。由此可知《春秋》所记载的昭公冬至，是太阳运行失常的验证。这是第一点。《大衍历》考证古代冬至，说刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，《大衍历》与《皇极历》、《麟德历》三种历法都推得癸酉，各提前一天，是太阳运行失常，不是三种历法的差错。现在用《授时历》考证，也得到癸酉。这是第二点。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，各种历法都得到甲申，大概也是太阳运行的偏差。这是第三点。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯日影最长，《大衍历》、《授时历》都得到丙寅，是提前了一天；太建九年丁酉岁十一月壬辰日影最长，《大衍历》、《授时历》都得到癸巳，是晚了一天；一次偏差在提前，一次偏差在延后，如果符合壬辰，就偏差于丁酉，符合丁酉，就偏差于壬辰，也是太阳运行失常的验证。这是第五点。开皇十一年辛亥岁十一月丙午日影最长，《大衍历》、《统天历》、《授时历》都得到丙午，与天象相合；到开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而《大衍历》、《统天历》、《授时历》都得到壬戌，如果符合辛亥，就偏差于甲寅，符合甲寅，就偏差于辛亥，那个开皇十四年甲寅岁的冬至，也是太阳运行失常。这是第六点。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉日影最长，各种历法得到甲申，贞观二十三年己酉岁十一月辛亥日影最长，各种历法都得到庚戌，《大衍历议》用永淳、开元冬至去推算，知道前两个冬至是史官按照当时历法所写，一定不是实测日影所得，所以不符合，现在用《授时历》考证也是这样。这是第八点。从刘宋以来，测量日影验证节气的共十七件事，其中景德丁未岁戊辰日南至，《统天历》、《授时历》都得到丁卯，是提前了一天；嘉泰癸亥岁甲戌日南至，《统天历》、《授时历》都得到乙亥，是晚了一天；一次偏差在提前，一次偏差在延后，如果勉强改变数字去符合景德，那么其余十六件事大多延后，去符合嘉泰，那么其余十六件事大多提前，也是太阳运行失常的验证。这是第十点。

前十件事与《授时历》不合，但按此道理推究，并不是不合，大致是归类相同就能知道其中规律，辨别差异就能知道变化。现在对于冬至，省略了那些日度运行失常以及史官依照当时历法记录的事共十件，那么《授时历》的三十九件事都符合，《统天历》与现行历法不合的只有献公一事，《大衍历》推算献公的冬至比实际晚两天，《大明历》晚三天，《授时历》与天象吻合。往下推算到至元庚辰年冬至，《大衍历》晚八十一刻，《大明历》晚十九刻，《统天历》早一刻，《授时历》与天象吻合。拿前代各种历法来比较，《授时历》最为精密，差不多千年之内的冬至，可以坐而推知。

古今历法参校疏密

《授时历》与古历相比较，疏密自然显现，因为它向上能符合数百年前的天象，那么向下就可以长久使用，这是前人的定论。古人称善于修治历法的，如宋代的何承天，隋代的刘焯，唐代的傅仁均、僧一行等人，最为杰出。现在用他们的历法与至元庚辰年冬至的气应相比较，没有不差错的，而用新历向上推算古代，无不吻合，那么它的疏密就可以知道了。

宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳日十一刻冬至，距离本朝至元十七年庚辰岁，共计八百三十八年。该年十一月，气应在己未六刻冬至，《元嘉历》推算得到辛酉，比《授时历》晚两天，《授时历》向上考定元嘉壬午岁冬至，得到乙巳，与《元嘉历》吻合。

隋大业三年丁卯岁十一月庚午日五十二刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计六百七十三年。《皇极历》推算得到庚申冬至，比《授时历》晚一天；《授时历》向上考定大业丁卯岁冬至，得到庚午，与《皇极历》吻合。

唐武德元年戊寅岁十一月戊辰日六十四刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计六百六十二年。《戊寅历》推算得到庚申冬至，比《授时历》晚一天；《授时历》向上考定武德戊寅岁，得到戊辰冬至，与《戊寅历》吻合。

开元十五年丁卯岁十一月己亥日七十二刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计五百五十三年。《大衍历》推算得到己未冬至，比《授时历》晚八十一刻；《授时历》向上考定开元丁卯岁，得到己亥冬至，与《大衍历》吻合，早四刻。

长庆元年辛丑岁十一月壬子日七十六刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计四百五十九年。《宣明历》推算得到庚申冬至，比《授时历》晚一天；《授时历》向上考定长庆辛丑岁，得到壬子冬至，与《宣明历》吻合。

宋太平兴国五年庚辰岁十一月丙午日六十三刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计三百年。《乾元历》推算得到庚申冬至，比《授时历》晚一天；《授时历》向上考定太平兴国庚辰岁，得到丙午冬至，与《乾元历》吻合。

咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计二百八十年。《仪天历》推算得到庚申冬至，比《授时历》晚一天；《授时历》向上考定咸平庚子岁，得到辛卯冬至，与《仪天历》吻合。

崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十二刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计一百七十五年。《纪元历》推算得到己未日冬至，比《授时历》晚十九刻；《授时历》向上考定崇宁乙酉岁，得到辛丑日冬至，与《纪元历》吻合，早二刻。

金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计一百一年。《大明历》推算得到己未冬至，比《授时历》晚十九刻；《授时历》向上考定大定己亥岁，得到己巳冬至，与《大明历》吻合，早九刻。（《大明历》冬至大概是因为测验不精密的缘故。）

庆元四年戊午岁十一月己酉日一十七刻冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计八十二年。《统天历》推算得到己未冬至，比《授时历》早一刻；《授时历》向上考定庆元戊午岁，得到己酉日冬至，与《统天历》吻合。

周天列宿度数

列宿附着于天，有二十八舍，有三百六十五度有余。没有太阳运行就无法校定度数，没有列宿就无法记载度数，周天的度数，通过这两者得到。天体浑圆，处于两极南北的中间，用赤道环绕，日月五星的运行，常出入于这里。天左旋，日月五星逆着向右转，古人观测推算日月星辰，就是指这个。然而列宿相互间的距离度数，历代测量不同，如果不是稍有移动，就是前人测量或有不够精密之处。古代用窥管，现在新制作浑仪，测量用两条线，所测得的度数分秒与前代不同的，现在列在下面。

（表格略）

太阳运行

太阳附着于天，悬挂的影像最为显著，大明一出，列宿都隐没。古人想测量太阳运行的度数位置，必须在黄昏、黎明、夜半用中星来衡量它所处的距度，从而考察它所对应的位置；然而黄昏、黎明、夜半的时刻不容易得到准确，时刻一有差错，那么所距、所对应的位置，就难免有误差。晋代姜岌首先用月食时太阳的对冲点来检验，知道太阳度数的所在；《纪元历》又用金星来标记它与太阳相距的远近，在黄昏后黎明前验定星宿的度数，从而得到太阳的运行位置。现在用至元丁丑年四月癸酉望日月食结束，推算求得冬至时太阳在赤道箕宿十度，黄道九度有余。仍然从该年正月到己卯年年底，三年之间，每天测量月亮所经过的宿次以及木星、金星相距的度数，定验参考，共得到一百三十四件事，都运行在箕宿，恰好与月食所对冲的位置吻合。用金代赵知微所修的《大明历法》推算，冬至仍然在斗宿初度三十六分六十四秒，比新测量实际差了七十六分六十四秒。

太阳运行盈缩

太阳月亮的运行，有冬有夏，是说太阳月亮的运行度数，冬夏各有不同。人们只知道太阳每天运行一度，一年绕天一周，却不知道盈缩损益，四季各有不同。北齐张子信长期观测日食月食的加时，感觉太阳运行有入气差，但损益没有找到正确的规律。赵道严又根据晷影长短，确定太阳运行的进退，重新制作盈缩表以求推算日食月食。到刘焯确立太阳运行度数，与四季升降相应，虽然损益不同，后代都沿袭使用。

阴阳往来，逐渐积累而变化，冬至时太阳每天运行一度强，出赤道二十四度弱，从此太阳轨道逐渐北移，经过八十八天九十一分，在春分前三天，交于赤道，实际运行九十一度三十一分而正好持平。从此其盈度每天减少，又运行九十三天七十一分，到夏至那天，进入赤道内二十四度弱，实际运行九十一度三十一分，太阳每天运行一度弱，之前的盈分全部减少而无剩余。从此太阳轨道逐渐南移，经过九十三天七十一分，在秋分后三天，交于赤道，实际运行九十一度三十一分而再次持平。从此其缩度每天减少，运行八十八天九十一分，出赤道外二十四度弱，实际运行九十一度三十一分，再次到冬至，之前的缩分全部减少而无剩余。盈缩都有损益，开始为增加，末尾为减少。从冬至到春分，春分到夏至，太阳运行从北陆转向西，再转向南，对于盈是增加，增加到极点而减少，减少到无剩余而转为缩。从夏至到秋分，秋分到冬至，太阳运行从南陆转向东，再转向北，对于缩是增加，增加到极点而减少，减少到无剩余而再次转为盈。盈的开始和缩的末尾，都是八十八天九十一分而运行一个象限；缩的开始和盈的末尾，都是九十三天七十一分而运行一个象限；盈缩的极差，都是二度四十分。这是由实际测量晷影而得到，又用算术推算考定，与测量吻合。

月亮运行迟疾

古历认为月亮平行每天十三度十九分度之七。汉代耿寿昌认为月亮太阳运行到牵牛、东井时，太阳超过一度，月亮运行十五度，到娄、角时，才平行，这是赤道造成的。贾逵认为现在合朔、弦、望、月食加时之所以不准确，是因为不知道月亮运行有迟疾。李梵、苏统都认为月亮运行应当有迟疾，不一定在牵牛、东井、娄、角之间，而是因为运行路径有远近出入所导致的。刘洪作《乾象历》，精心思考二十多年，才明白这个道理，列出差率，以限定进退损益的数值。后来作历法的人，都沿用它。到唐代一行，考察九道曲折的数值，得到月亮运行快慢的道理。

先儒认为月亮和五星，都是靠近太阳时运行快，远离太阳时运行慢。历法家立法，以入转一周的日子，作为迟疾二历，各设立初末二限，初为增加，末为减少。在快初和慢末，其运行速度都超过平行速度；慢初和快末，都低于平行速度。从入转第一天运行十四度半强，从此逐渐减少，经过七天，正好达到平行速度，称为疾初限，其累计度数比平行多出五度四十二分。从此其快度每天减少，又经过七天，运行十二度微强，之前增加的都减少而无剩余，称为疾末限。从此又开始运行慢度，又经过七天，正好达到平行速度，称为迟初限，其累计度数比平行少五度四十二分。从此其慢度每天减少，运行速度逐渐增加，又经过七天，再次运行十四度半强，之前增加的也减少而无剩余，称为迟末限。入转一周，实际是二十七天五十五刻四十六分，迟疾的极差都是五度四十二分。旧历每天为一限，都用二十八限。现在定验得到转分进退各时段不同，现在将一天分为十二份，共三百三十六限，一半为半周限，再四分之一为象限。

白道交周

处于两极南北中间，横向环绕天体以记录宿度的是赤道。出入赤道，作为太阳运行轨道的是黄道。所谓白道，与黄道交叉贯穿，是月亮运行的路径。古人随方位立名，分为八行，与黄道合计为九行，说到底，其实是一条。只是因为它随交点的移动而变化不定，所以勉强用方位颜色来命名。

月道出入日道，两相交汇，当朔日时月亮被太阳掩盖，当望日时月亮被太阳对冲，所以都有日食月食。然而交会的远近不同，食分有深有浅，都可以用数字推算。所谓交周，是月道出入日道一周的天数。日道距离赤道的远度，为二十四度。月道出入日道，不超过六度；其距离赤道，远不超过三十度，近不低于十八度。出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象。月亮在黄道上为正交，出黄道外六度为半交，再次在黄道上为中交，入黄道内六度为半交，这就是四象。每象分别七天，各运行九十一度，四象周历，称为一交的终结，按天数计算，得到二十七天二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九十三，总共二百四十九交，退天一周有余，周而复始。正交在春分点，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。正交在秋分点，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。中交在春分点，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋分点，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。月道与赤道正交，距离春秋二分黄赤道正交的宿度，东西方向不到十四度三分度之二。夏至在阴历内，冬至在阳历外，月道与赤道的差数多；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月道与赤道的差数少。因为白道两个交点，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直的交点紧密而狭窄，斜的交点稀疏而宽阔，其差数也随之不同。现在设立象限并制定方法求取，差数多的不超过三度五十分，少的不低于一度三十分，这就是月道与赤道差数的多少。

昼夜刻

太阳出来是白天，太阳落下是夜晚，昼夜循环一周，总共一百刻。用十二个时辰来划分，每个时辰得八刻又三分之一刻。无论南方北方，任何地方都是这样。白天短夜晚就长，夜晚短白天就长，这是自然的道理。春分和秋分时，太阳在赤道位置出入，昼夜相等，各为五十刻。从春分到夏至，太阳进入赤道以内，离北极越来越近，夜晚短而白天长。从秋分到冬至，太阳运行到赤道以外，离北极越来越远，白天短而夜晚长。以中原地区衡量，白天最长不超过六十刻，最短不少于四十刻。中原以南，夏至时太阳出入的位置较远，白天长度有不到六十刻的；冬至时太阳出入的位置较近，白天长度有超过四十刻的。中原以北，夏至时太阳出入的位置较近，白天长度有超过六十刻的；冬至时太阳出入的位置较远，白天长度有不到四十刻的。如今京师冬至时太阳在辰初一刻升起，在申正二刻落下，所以白天三十八刻，夜晚六十二刻；夏至时太阳在寅正二刻升起，在戌初一刻落下，所以白天六十二刻，夜晚三十八刻。因为地有南北，北极星高度不同，太阳出入有早有晚，所以情况不同。现在《授时历》中的昼夜刻数，一律以京师为准，各地实际观测的北极星高度，详细记载在《天文志》中。