卷八历四

○授时历经下

步中星第五

大都北极，高出地面四十度太强。

冬至，离北极一百一十五度二十一分七十三秒。

夏至，离北极六十七度四十一分一十三秒。

冬至白天，夏至夜晚，三千八百一十五分九十二秒。

夏至白天，冬至夜晚，六千一百八十四分八秒。

黄昏和黎明，二百五十分。

黄道出入赤道内外离极度数及半昼夜分

（表格略）

求每天黄道出入赤道内外离极度

将所求日清晨前夜半黄道积度，如果满半年周，则减去它；在象限以下，就是初限；如果已超过象限，则再减半年周，余数作为末限；满积度后减去，余数用该段内外差相乘，并除以一百，所得结果，用内外度减去它，就是出入赤道内外度；在内减、外加象限，即所求离极度及分秒。

求每天半昼夜及日出入晨昏分

将所求日进入初末限，满积度后减去，余数用昼夜差相乘，除以一百，所得结果，加上或减去该段的半昼夜分，即为所求日的半昼夜分；之前多之后少则减去，之前少之后多则加上。以半夜分作为日出分，用日周减去它，余数为日入分；以昏明分减去日出分，余数为晨分；加上日入分，即为昏分。

求昼夜刻及日出入辰刻

将半夜分加倍，除以一百，即为夜刻；用一百刻减去它，余数为昼刻；根据日出分和日入分按发敛法求之，即得所求的辰刻。

求更点率

将晨分加倍，除以五，即为更率；再将更率除以五，即为点率。

求更点所在的辰刻

将所求的更点数，乘以更点率，加上该日的昏分，按发敛法求之，即得所求的辰刻。

求距中度及更差度

将半日周，用该日的晨分减去它，余数为距中分；用三百六十六度二十五分七十五秒乘以它，除以日周，所得即为距中度；用一百八十三度一十二分八十七秒半减去它，再将结果加倍，除以五，即为更差度及分。

求昏明五更中星

将距中度，用该日午中的赤道日度加上并命名，即为昏中星所在的宿次，命名为初更中星；用更差度依次相加，满赤道宿次后减去，即为逐更及晓中星的宿度及分秒。各地昼夜刻分及中星各率，均根据当地北极出地度数推算。（以上各率，与晷漏推算的结果相符。）

求各地漏刻

各在所在地用仪器测量，或用水漏，以确定该地冬至或夏至夜刻，与五十刻相减，余数为至差刻。将所求日黄道离赤道内外度及分，用至差刻相乘，进一位，除以二百三十九，所得结果对内减、对外加五十刻，即为所求夜刻；用一百刻减去它，余数为昼刻。（其日出日入辰刻及更点等率，按方法求之。）

步交会第六

交终分，二十七万二千一百二十二分二十四秒。

交终，二十七日二千一百二十二分二十四秒。

交中，十三日六千六十一分一十二秒。

交差，二日三千一百八十三分六十九秒。

交望，十四日七千六百五十二分九十六秒半。

交应，二十六万一百八十七分八十六秒。

交终，三百六十三度七十九分三十四秒。

交中，一百八十一度八十九分六十七秒。

正交，三百五十七度六十四分。

中交，一百八十八度五分。

日食阳历限，六度。 定法，六十。

阴历限，八度。 定法，八十。

月食限，十三度五分。 定法，八十七。

推算天正经朔入交

将中积，加上交应，减去闰余，满交终分后去掉；余数用日周约算为日，不足为分秒，即天正经朔入交泛日及分秒。（向上考证时，中积内加上所求闰余，减去交应，满交终后去掉，余数用交终减去，其余同上。）

求次朔望入交

将天正经朔入交泛日及分秒，用交望依次相加，满交终日去掉，即为次朔望入交泛日及分秒。

求定朔望及每天夜半入交

分别将入交泛日及分秒，减去经朔望小余，即为定朔望夜半入交。如果定日有增减，也按此处理。否则以经朔望为依据，大月加二日，小月加一日，其余均加七千八百七十七分七十六秒，即为次朔夜半入交；依次加一日，满交终日去掉，即每天夜半入交泛日及分秒。

求定朔望加时入交

将经朔望入交泛日及分秒，用定朔望加减差进行加减，即定朔望加时入交日及分秒。

求交常交定度

将经朔望入交泛日及分秒，用月平行度相乘，为交常度；用盈缩差（盈加缩减）处理，为交定度。

求日月食甚定分

日食：视定朔分在半日周以下，则用半周减去它，为中前；以上，则减去半周，为中后；与半周相减、相乘，退两位，除以九十六，为时差；中前则减去，中后则加上，均加减定朔分，为食甚定分；用中前后分各加时差，为距午定分。

月食：视定望分在日周四分之一以下，为卯前；以上，再用半周减去，为卯后；在四分之三以下，减去半周，为酉前；以上，再用日周减去，为酉后。用卯酉前后分自乘，退两位，除以四百七十八，为时差；子前则减去，子后则加上，均加减定望分，为食甚定分；各按发敛法求之，即食甚辰刻。

求日月食甚入盈缩历及日行定度

将经朔望入盈缩历日及分，用食甚日及定分相加，减去经朔望日及分，即为食甚入盈缩历；按日躔术求盈缩差，盈加缩减，为食甚入盈缩历定度。

求南北差

视日食甚入盈缩历定度，在象限以下，为初限；以上，用半年周减去，为末限；将初末限度自乘，除以一千八百七十，为度，不足则退为分秒；用四度四十六分减去它，余为南北泛差；用距午定分乘之，除以半昼分，所得结果，用泛差减去，为定差。泛差不够减时，则反减之为定差，应加则减，应减则加。在盈初缩末时，交前阴历减、阳历加，交后阴历加、阳历减；在缩初盈末时，交前阴历加、阳历减，交后阴历减、阳历加。

求东西差

视日食甚入盈缩历定度，与半年周相减相乘，除以一千八百七十，为度，不足则退为分秒，为东西泛差；用距午定分乘之，除以日周四分之一，为定差。如果在泛差以上，则加倍泛差减去，余为定差，按加减处理。在盈中前时，交前阴历减、阳历加；交后阴历加、阳历减；中后时，交前阴历加、阳历减；交后阴历减、阳历加。在缩中前时，交前阴历加、阳历减；交后阴历减、阳历加；中后时，交前阴历减、阳历加；交后阴历加、阳历减。

求日食正交中交限度

将正交、中交度，用南北东西差加减，为正交、中交限度及分秒。

求日食入阴阳历去交前后度

视交定度，在中交限以下，用中交限减去它，为阳历交前度；以上，减去中交限，为阴历交后度；在正交限以下，用正交限减去它，为阴历交前度；以上，减去正交限，为阳历交后度。

求月食入阴阳历去交前后度

视交定度，在交中度以下，为阳历；以上，减去交中，为阴历。视入阴阳历，在后准十五度半以下，为交后度；前准一百六十六度三十九分六十八秒以上，再用交中减去，余为交前度及分。

求日食分秒

视去交前后度，各减去阴阳历食限（不够减则不发生日食），余数除以定法，各为日食的分秒。

求月食分秒

视去交前后度（不用南北东西差），用食限减去（不够减则不发生月食），余数除以定法，为月食的分秒。

求日食定用及三限辰刻

将日食分秒，与二十分相减、相乘，再开平方，所得结果，用五千七百四十乘之，除以入定限行度，为定用分；用食甚定分减去它，为初亏；加上食甚定分，为复圆；按发敛法求之，即为日食三限辰刻。

求月食定用及三限五限辰刻

将月食分秒，与三十分相减、相乘，再开平方；所得结果，用五千七百四十乘之，除以入定限行度，为定用分；用食甚定分减去它，为初亏；加上食甚定分，为复圆；按发敛法求之，即为月食三限辰刻。

月食全食时，将既内分与一十分相减、相乘，再开平方，所得结果，用五千七百四十乘之，除以入定限行度，为既内分；用定用分减去它，为既外分；用定用分减去食甚定分，为初亏；加上既外，为食既；再加既内，为食甚；再加既内，为生光；再加既外，为复圆；按发敛法求之，即为月食五限辰刻。

求月食入更点

将食甚所入日晨分，加倍，除以五，为更法；再将更法除以五，为点法。然后置初末诸分，昏分以上则减去昏分，晨分以下则加上晨分，用更法除之，为更数；不足时，用点法收之，为点数；其更点数，从初更初点起算之外，各得所入更点。

求日食所起

食在阳历，初起西南，食甚在正南，复圆在东南；食在阴历，初起西北，食甚在正北，复圆在东北；食八分以上，初起正西，复圆在正东。（这是依据午时位置而论。）

求月食所起

食在阳历，初起东北，食甚在正北，复圆在西北；食在阴历，初起东南，食甚在正南，复圆在西南；食八分以上，初起正东，复圆在正西。（这也是依据午时位置而论。）

求日月出入带食所见分数

视该日日出入分，在初亏以上、食甚以下时，为带食。分别用食甚分与日出入分相减，余为带食差；用所食之分乘之，除以定用分（如月食全食，则用既内分减去带食差，余数进一位，除以既外分，所得结果，用既分减去，即月带食出入所见之分；不够减时，为带食既出入），再用所食分减去它，即为日月出入带食所见之分。（其食甚在白天，清晨为渐进，黄昏为已退；其食甚在夜晚，清晨为已退，黄昏为渐进。）

求日月食甚宿次

将日月食甚入盈缩历定度，在盈时直接作为定积；在缩时加上半年周，为定积。望日则再加半周天度。用天正冬至加时黄道日度，加上并命名，各得日月食甚宿次及分秒。

步五星第七

历度

三百六十五度二十五分七十五秒。

历中

一百八十二度六十二分八十七秒半。

历策

一十五度二十一分九十秒六十二微半。

木星

周率，三百九十八万八千八百分。

周日，三百九十八日八十八分。

历率，四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半。

度率，一十一万八千五百八十二分。

合应，一百一十七万九千七百二十六分。

历应，一千八百九十九万九千四百八十一分。

盈缩立差，二百三十六加。

平差，二万五千九百一十二减。

定差，一千八十九万七千。

伏见，一十三度。

（表略）

火星

周率，七百七十九万九千二百九十分。

周日，七百七十九日九十二分九十秒。

历率，六百八十六万九千五百八十分四十三秒。

度率，一万八千八百七分半。

合应，五十六万七千五百四十五分。

历应，五百四十七万二千九百三十八分。

盈初缩末立差，一千一百三十五减。

平差，八十三万一千一百八十九减。

定差，八千八百四十七万八千四百。

缩初盈末立差，八百五十一加。

平差，三万二百三十五负减。

定差，二千九百九十七万六千三百。

伏见，一十九度。

（表略）

土星

周率，三百七十八万九百一十六分。

周日，三百七十八日九分一十六秒。

历率，一亿七百四十七万八千八百四十五分六十六秒。

度率，二十九万四千二百五十五分。

合应，一十七万五千六百四十三分。

历应，五千二百二十四万五百六十一分。

盈立差，二百八十三加。

平差，四万一千二十二减。

定差，一千五百一十四万六千一百。

缩立差，三百三十一加。

平差，一万五千一百二十六减。

定差，一千一百一万七千五百。

伏见，一十八度。

（表略）

金星

周率，五百八十三万九千二十六分。

周日，五百八十三日九十分二十六秒。

历率，三百六十五万二千五百七十五分。

度率，一万。

合应，五百七十一万六千三百三十分。

历应，一十一万九千六百三十九分。

盈缩立差，一百四十一加。

平差，三减。

定差，三百五十一万五千五百。

伏见，一十度半。

（表略）

水星

周率，一百一十五万八千七百六十分。

周日，一百一十五日八十七分六十秒。

历率，三百六十五万二千五百七十五分。

度率，一万。

合应，七十万四百三十七分。

历应，二百五万五千一百六十一分。

盈缩立差，一百四十一加。

平差，二千一百六十五减。

定差，三百八十七万七千。

晨伏夕见，一十六度半。

夕伏晨见，一十九度。

（表略）

推算天正冬至后五星平合及各段中积中星

将中积加上合应，用该星周率去除，余数就是前合；再减去周率，剩余的是后合；用日周约分，得到该星天正冬至后平合中积中星。命名日为日中积，命名为度日中星。用段日依次累加中积，就是各段中积；用平度依次累加中星，如果经过退行就减去，就是各段中星。向上推算时，中积内减去合应，满周率去掉，余数就是所求的后合分。

推算五星平合及各段入历

分别将中积加上历应及所求后合分，满历率去掉；余数用度率除得到度，不满则退位为分秒，就是该星平合入历度及分秒；用各段限度依次累加，就是各段入历。向上推算时，中积内减去历应，满历率去掉，余数反过来减历率，剩下的加上其后年合，余数同上。

求盈缩差

将入历度及分秒置于历中以下，为盈；以上则减去历中，余数为缩。视盈缩历，在九十一度三十一分四十三秒太以下为初限；以上则用减历中，余数为末限。

火星的盈历在六十度八十七分六十二秒半以下为初限；以上则用减历中，余数为末限。

将各星立差用初末限乘，再加减平差，得到结果；再用初末限乘，再加减定差，再乘以初末限，满一亿为度，不满退位为分秒，就是所求盈缩差。

另一种方法：将盈缩历用历策除，得到策数，余数为策余；用其下损益率乘，历策除，得到的数，益加损减其下盈缩积，也是所求盈缩差。

求平合各段定积

分别将各星各段中积，用其盈缩差盈加缩减，就是该段定积日及分秒；加上天正冬至日分，满纪法去掉，不满则从甲子算起，得到日辰。

求平合及各段所在月日

分别将各段定积加上天正闰日及分，用朔策除，得到月数，余数为入月以来的日数及分秒。月数从天正十一月算起，就是该段入月经朔日数及分秒；用日辰相距，得到所在定朔月日。

求平合及各段加时定星

分别将各段中星用盈缩差盈加缩减（金星加倍，水星三倍），就是各段定星；加上天正冬至加时黄道日度并命名，就是该星该段加时所在宿度及分秒。

求各段初日晨前夜半定星

分别用各段初行率乘该段加时分，除以一百，然后顺减退加其日加时定星，就是该段初日晨前夜半定星；加上命名如前，即得所求。

求各段日率度率

分别用各段日辰与后段日辰相距为日率，用该段夜半宿次与后段夜半宿次相减，余数为度率。

求各段平行分

分别将各段度率用该段日率除，就是该段平行度及分秒。

求各段增减差及日差

用本段前后平行分相减，得到该段泛差；加倍后退位，为增减差；用增减差加减该段平行分，得到初末日行分。前多后少时，加为初，减为末；前少后多时，减为初，加为末。加倍增减差为总差；用日率减一除，得到日差。

求前后伏迟退段增减差

前伏时，将后段初日行分加上其日差的一半，为末日行分。

后伏时，将前段末日行分加上其日差的一半，为初日行分；减去伏段平行分，余数为增减差。

前迟时，将前段末日行分加倍其日差后减去，为初日行分。

后迟时，将后段初日行分加倍其日差后减去，为末日行分；减去迟段平行分，余数为增减差。前后接近留的迟段。

木火土三星退行时，将平行分乘以六，退一位，为增减差。

金星前后退伏时，将平行分乘以三，折半后退位，为增减差。

前退时，将后段初日行分减去其日差，为末日行分。

后退时，将前段末日行分减去其日差，为初日行分；然后用本段平行分减去，余数为增减差。

水星退行时，将平行分折半，为增减差；都用增减差加减平行分，得到初末日行分。前多后少时，加为初，减为末；前少后多时，减为初，加为末。又加倍增减差为总差；用日率减一除，得到日差。

求每日晨前夜半星行宿次

分别将各段初日行分用日差依次损益（后少则减，后多则加），得到每日行度及分秒；然后顺加退减，满宿次去掉，就是每日晨前夜半星行宿次。

求五星平合见伏入盈缩历

将各星各段定积日及分秒（若满岁周日及分秒则去掉，余数在次年天正冬至后）。如在半岁周以下，为入盈历；满半岁周去掉，为入缩历；各在初限以下为初限；以上则反减半岁周，余数为末限；即得五星平合见伏入盈缩历日及分秒。

求五星平合见伏行差

分别用各星各段初日星行分减去该段初日太阳行分，余数为行差。若金、水二星退行在退合时，用该段初日星行分加上该段初日太阳行分，为行差；其中水星夕伏晨见时，直接用该段初日太阳行分为行差。

求五星定合定见定伏泛积

木火土三星，用平合晨见夕伏定积日，即为定合伏见泛积日及分秒。

金水二星，将各段盈缩差度及分秒（水星加倍）分别用各段行差除，得到日，不满退位为分秒。在平合夕见晨伏时，盈减缩加；在退合夕伏晨见时，盈加缩减；分别用加减定积得到定合伏见泛积日及分秒。

求五星定合定积定星

木火土三星，分别用平合行差除其段初日太阳盈缩积，得到距合差日；不满退位为分秒，再用太阳盈缩积减去，得到距合差度。分别将各星定合泛积用距合差日盈减缩加，得到该星定合定积日及分秒；用距合差度盈减缩加，得到该星定合定星度及分秒。

金水二星顺合退合时，分别用平合退合行差除其日太阳盈缩积，得到距合差日；不满退位为分秒，顺加退减太阳盈缩积，得到距合差度。顺合时，盈加缩减其星定合泛积，得到该星定合定积日及分秒；退合时，用距合差日盈减缩加、距合差度盈加缩减其星退定合泛积，得到该星退定合定积日及分秒；命名后，为退定合定星度及分秒。用天正冬至日及分秒加上其星定合定积日及分秒，满旬周去掉，从甲子算起，即得定合日辰及分秒。用天正冬至加时黄道日度及分秒加上其星定合定星度及分秒，满黄道宿次去掉，即得定合所躔黄道宿度及分秒。（直接求五星合伏定日：木、火、土三星，用夜半黄道日度减去其星夜半黄道宿次，余数在其日太阳行分以下，为其日伏合；金、水二星，用其星夜半黄道宿次减去夜半黄道日度，余数在其日金、水二星行分以下，为其日伏合。金、水二星伏退合时，看其日太阳夜半黄道宿次未行到金、水二星宿次，又看次日太阳行过金、水二星宿次，金、水二星退行过太阳宿次，为其日定合伏退定日。）

求木火土三星定见定伏定积日

分别将各星定见定伏泛积日及分秒，晨加夕减九十一日三十一分六秒，如在半岁周以下则自相乘，以上则反减岁周，余数也自相乘，满七十五除之为分，满百为度，不满退位为秒；用该星见伏度乘，十五除；所得用其段行差除，得到日，不满退位为分秒；见加伏减泛积，得到该星定见定伏定积日及分秒；加命如前，即得定见定伏日辰及分秒。

求金星和水星定见伏定积日的方法：

各自用伏见日的运行差值，除它们段初日的太阳盈缩积，得到日数，不足部分退位为分秒；如果是夕见晨伏，盈加缩减；如果是晨见夕伏，盈减缩加。用这样计算的结果加减该星定见定伏的泛积日及分秒，得到常积。如果常积在半岁周以下，则为冬至后；如果以上，则减去半岁周，余数为夏至后。各自在九十一日三十一分六秒以下的，自乘；以上的，反减半岁周，也自乘。冬至后的晨见、夏至后的夕见，除以十八得一分为度；冬至后的夕见、夏至后的晨见，除以七十五得一分为度；再用该星的见伏度乘这个分度，除以十五；所得结果，除以运行差值，得到日数，不足退位为分秒，加减常积，得到定积。对于晨见夕伏的情况，冬至后加定积，夏至后减定积；对于夕见晨伏的情况，冬至后减定积，夏至后加定积；即为该星定见定伏的定积日及分秒。再按前法加命（推算干支等），即得定见定伏的日辰及分秒。